Наблюдаемость и управляемость в задачах активной виброзащиты Текст научной статьи по специальности «Математика»

ское, Культуминское, Дыбыксинское, Тала-туйское, Ниже-Ключевское и др. в Забайкальском крае.

Одной из главных причин, по которым сдерживается освоение этих месторождений, называют отсутствие эффективной и экологически безопасной технологии переработки.

Однако за рубежом месторождения упорных золотосодержащих руд успешно эксплуатируются. Для "вскрытия" и извлечения тонкодисперсного золота применяют в основном три способа: обжиг, автоклавное и биохимическое окисление с последующим цианированием в присутствии активированного угля (процесс "уголь в пульпе").

С целью ускорения вовлечения в эксплуатацию крупных месторождений упорных зо-лотомышьяковых руд с дисперсным золотом, необходимо довести до промышленного внедрения наиболее экономически рентабельный и экологически безопасный способ переработки. Такой способ - кюветно-кучное выщелачивание золотосодержащего минерального сырья, который разработан в Читинском филиале ИГД СО РАН совместно с РГГРУ.

Технология кюветно-кучного выщелачивания золота со сменными активационными блоками адаптирован к типу руды и её технологической упорности, и позволяет увеличивать извлечение дисперсного золота более, чем на 20% и повысить эффективность и интенсивность процесса выщелачивания, что в свою очередь решает важную задачу золотодобычи на современном этапе — рациональное использование бедных и упорных руд.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Лодейщиков В. В. Основы технологии извлечения золота и серебра из упорных руд: Дис. д-ра техн.наук Иркутск. 1987.- 457 с.

2. Седельникова Г.В. Опыт применения кучного выщелачивания золота // Минеральные ресурсы России. Экономика и управление. 1996, № 5. - С.21-25.

3. Секисов А.Г. Дисперсное золото. Геологические и технологические аспекты. /А.Г.Секисов. Н.В.Зыков. В.С.Ко-ролёв.-Чита:ЧитГУ,2007.-С. 104.

Засядко А.А., Насников Д.Н.

УДК 621.317

НАБЛЮДАЕМОСТЬ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ В ЗАДАЧАХ АКТИВНОЙ ВИБРОЗАЩИТЫ

При создании мехатронных систем различного назначения, в том числе и для задач виброзащиты и виброизоляции, можно отметить, что действие любого из элементов системы (гасителя или амортизатора, к примеру) чаще всего сводится к формированию дополнительных динамических воздействий, обеспечивающих необходимое изменение вибрационного состояния [1]. В этом смысле, задача виброзащиты может рассматриваться как задача управления движением защищаемого объекта (или системы), а динамическое воздействие, вызывающее соответствующее изменение параметров — как «управление».

Динамические воздействия, формируемые виброзащитными устройствами и рассматриваемые как силовые или кинематические, в свою очередь, приводятся к общей схе-

ме внешнего возмущения, что рассмотрено, в частности, в работе [2].

В задачах оценки динамического состояния обычных систем защиты от вибраций и ударов, используются п-мерные цепные (или приводимые к ним) линеаризованные модели, которые описываются матрично-векторными уравнениями второго порядка вида

9ф + Вф + Оф = РЩ, (1)

где ф — п-мерный вектор обобщенных координат; 9, В, С — симметрические (п х п) матрицы, соответственно инерционная, диссипа-тивная и упругая; ^(£) — п-мерная вектор-функция внешних воздействий.

Динамические системы многих машин и агрегатов, например, силовые передачи, могут рассматриваться как системы с малой диссипацией [3,4].

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Во многих случаях матрица 9 является диагональной, а в тех случаях когда 9 имеет структуру, отличную от диагональной, всегда можно посредством невырожденного, модального по отношению к исходной инерционной матрице преобразования, трансформировать систему (1) к виду с диагональной инерционной матрицей.

Если в задачах активной виброзащиты, виброизоляции или управление динамическим состоянием объекта вводятся активные элементы, связанные с внешним источником энергии, то линеаризованная п-мерная модель со связями направленного действия [5] описывается матрично-векторным дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме

х = Ах + РЩ, (2)

где х — п-мерный вектор состояния (фазовых координат) модели;

А — вещественная или комплексная (п х п) матрица произвольной структуры;

Р(£) — п-мерная вектор-функция внешних воздействий.

Безусловные, в вычислительном плане, принципиальное отличие моделей (1) и (2) заключается в структурном характере их параметрических матриц: у цепных моделей матрицы 9, В, С — симметрические, а у моделей с направленными (активными) связями матрица А характеризуется произвольной, в общем случае несимметрической и не приводимой к симметрической структуре. В тех случаях, когда система носит более сложный характер, то есть система не является цепочной, матрицы В и С могут становиться абсолютно плотными.

I. При разработке активных виброзащитных систем (АВЗС), относимых к управляемым динамическим системам, предполагается, как правило, представление этих моделей в пространстве состояний. Рассмотрим в качестве примера механическую колебательную систему с активным электромеханическим преобразователем типа электромеханического вибратора.

Расчетная схема одноосного управляемого виброизолятора, представленная на рис. 1, имеет объект защиты (ОЗ), связанный с вибрирующим основанием по закону у(£) через демпфирующий подвес и сервосвязь в виде подвижной катушки (ПК), помещенной в постоянное магнитное поле.

Рис. 1. Расчетная схема одномерной виброзащитной системы с электродинамическим сервоприводом.

Управление сервосвязью осуществляется путем изменения напряжения и(£), поступающего на ПК. В соответствии с расчетной схемой малые колебания объекта защиты, как твердого тела, могут быть описаны системой уравнений

тх + ЬХ + сх = к 01 + Ьу + су,

СИ (3)

I— + Ш =и - к. (х - у),

м

где х(£) — координата, характеризующая абсолютное перемещение ОЗ; / — ток в цепи ПК, у(£) — координата перемещения основания (в данном случае — это кинематическое возмущение); и(£) — напряжение на зажимах ПК; т— приведенная масса ОЗ; Ь — коэффициент сопротивления (вязкоготрения); с — коэффициент приведенной жесткости упругих элементов; к0 = В1: В — магнитная индукция в зазоре, 1 — длина провода в ПК; Ш — активное сопротивление в цепи ПК; I — индуктивность ПК, к. — коэффициент магнитной индукции

(к. = ко).

Уравнение (3) в дальнейшем используется для синтеза управляемого виброизолятора; что сводится к построению динамического регулятора, обеспечивающего необходимое значение напряжения и в зажимах ПК при определенных параметрах т, Ь, с, I, В, 1. Первичной информацией, на основе которой динамический регулятор формирует управляющее напряжение и(£), может служить сигнал об относительном перемещении ОЗ хотн = к'(х - у), где к' — крутизна статической характеристики датчика первичной информации.

Структурная схема управляемого виброизолятора показана на рис. 2, откуда следует,

Рис. 2. Структурная схема одномерного управляемого виброизолятора.

что виброизолятор состоит из двух парциальных подсистем, имеющих между собой несимметричные связи взаимодействия.

Если предполагать, что и=0, то структурная схема на рис. 2 преобразуется к виду, показанному на рис. 3. В этом случае электромеханические связи образуют дополнительное звено, включаемое параллельно в упруго-демпфирующей связке элементов С и Ьр, что отражает существующие в системе так называемые внутренние или «конструктивные» дополнительные связи, вызванные специфическими особенностями конструктивной реализации сервопривода.

Передаточная функция системы на рис. 3 имеет вид

(С + Ьр)(Ьр + Я)

лагать [5], что кинематические возмущения у, у в уравнении (3) имеют физический смысл фазовых координат вибрирующего основания, простой механической моделью которого рассматривается осциллятор. Поэтому гармоническое колебание

у = у 0сов(юД + а) (5)

можно представить как реакцию некоторого осциллятора, описываемого уравнением

у + ш2 у = 0 (6)

при начальных условиях у ^ = 0) = у 0, у(1 = 0) = у(0).

Решение уравнения (6) принимает форму

у^) = у(0)сОБ &Л + ¿^ят и t

и,

Ш = X =

у р3Ьш + р2(Яш+ ЬЬ) + р(СЬ + ЬЯ-к0кЛ + СЯ' (4) или преобразуется к виду (5), где

что позволяет определить частотные свойства системы при заданном внешнем воздействии.

Информацией, для формирования регулятором управляющего напряжения и может служить сигнал об относительном перемещении ОЗ, например, и = к'(х - у), где к' — имеет смысл крутизны статической характеристики датчика первичной информации.

Если принять, что и = к'(х - у), то обратная связь со звеном, имеющим передаточную функцию Ш = к1 р, изменится и передаточная функция звена примет вид Ш = к1 р + к' с соответствующими изменениями в структурных схемах на рис. 2,3 и выражении (4).

II. Процесс проектирования управляемых динамических систем предполагает представление этих систем в пространстве состояний. В связи с этим рассмотрим особенности типовых моделей кинематических возмущений, принимаемых чаще всего как детерминированные гармонические и узкополосные стационарные случайные колебания. Можно по-

у 0 = у(0)2 +

у(0)

ю2

Ша = -

7(0)

Югу 0

(7)

(8)

Таким образом движение у(^ с частотой ю можно сформировать с помощью осциллятора (6), если для последнего в момент времени t = 0 обеспечить соответствующие начальные условия у(0) и 7(0). При этом выбор численных значений начальных условий определяется

Рис. 3. Расчетная схема управляемого виброизолятора при отсутствии управляющего напряжения.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

соотношениями (8). При фиксированной частоте ю эти соотношения устанавливают связь между амплитудой у 0 и фазой а моделируемого колебания (5), с одной стороны, и значениями начальных условий (начального состояния) у(0) и у(0), с другой стороны. Представим модель осциллятора (6) в пространстве состояний. Для этого введем новые переменные

21 = ^ 22 = у. (9)

Используя переменные (9), вместо скалярного уравнения (6) можно ввести векторное уравнение вида

2 = Ая, = 0) = г(0), (10)

где

z =

,А =

0

-ю,

(10')

Уравнение (9), как и уравнение (6), описывает свободные колебания гармонического осциллятора, возникшие в момент времени t=0 из-за начальных условий Zj(0) = y (0), z2(0) = з^(0). Таким образом, вектор z(t) описывает поведение осциллятора в области t > 0.

Принимая во внимание, что начальное условие z(0) удобно ввести в само уравнение (9) отдельным членом (по физическому смыслу эквивалентной внешней силой), получим

z = Az + z(0)5, (11)

где вектор z и матрица A определяется соотношениями (10), а 5(t) — импульсная функция.

Выражение (11), таким образом, вводится и является уравнением состояния гармонического осциллятора как фильтра, формирующего кинематическое возмущение вида (5). При этом параметр ю формирующего фильтра определяет частоту сигнала (5), а поданные на вход фильтра импульсы размера z1(0) = y(0) и z2(0) = у(0) обеспечивают, в соответствии с (8) амплитуду и фазу этого колебания.

III. Достаточно часто общей моделью узкополосного стационарного случайного процесса является его представление, связанное с корреляционной функцией, аппроксимируемой выражением

К = а2 e-

'(cos Хл + — sin|x|), (12)

X

числовые значения а2, ц и X обычно определяются путем статистической обработки реальных записей колебаний виброзащитной системы. При этом а2 имеет смысл дисперсии процесса, ц и X — параметры, определяющие

свойства случайного процесса. Коэффициент ц характеризует быстроту убывания корреляционной зависимости между ординатами случайного процесса: чем больше ц, тем быстрее

убывает корреляционная связь. Значение от-ц

ношения — характеризует «степень нерегу-X

ц

лярности процесса»: при малых — ординаты

X

процесса, взятые через промежутки времени 2л

—, оказываются сильно коррелированными, X

и реализация процесса становится похожей на синусоиду; при больших значениях ц периодичность с частотой X становится малозаметной.

Случайный процесс у(£), удовлетворяющий корреляционной функции (12), можно задать в виде выходного сигнала динамической системы, второго порядка, на вход которой поступает белый шум:

y + 2hy +rof2 y = kf а,

(13)

где h, wf, kf — постоянные величины (h>0, kf >0, wf > h), a a(t) — белый шум со спектральной плотностью Sa (ю)« S - const. Действительно, спектральная плотность выходного сигнала системы (13) определяется выражением

Sy (ю) =-

k2

(ja>)2 + 2hjrn+ ю2

k; S

-S „( ю) =

(14)

(ю2 -ю2) + 4h2ю2

Умножая числитель и знаменатель (14) на

2лЛю2 и вводя обозначения

а2 — = h, X = Jöf-h'

2hю?

получим

Sy (ю) =

2 а2 —

—2 + X2

(ю2 -X2 -—2)2 + 4—2ю2

(15)

(16)

Отметим, что выражение (16) для спектральной плотности Бу (ю) совпадает с преобразованием Фурье корреляционной функции (12).

Таким образом, можно полагать, что динамическая система (13) является фильтром, формирующим случайное колебание, удовлетворяющее корреляционной функции (12). В этом случае при заданных параметрах а2, ц,

X корреляционной функции и заданной интенсивности Б входного белого шума, параметры Л, ю(, к( формирующего фильтра (13) подбираются в соответствии с выражением (15).

Представим модель формирующего фильтра (15) в пространстве состояний, вводя переменные г 1 = у, г2 = у, тогда вместо скалярного уравнения (13) второго порядка можно записать соответствующее векторное уравнение первого порядка

г =А1 г + Ра, (17)

где

г1 , А1 = 0 1 0

г= 1 , р =

г 2 1 -®2 -2Л к,

Уравнение (17) характеризует состояние динамической системы второго порядка (13) как фильтра, формирующего случайное кинематическое воздействие у(£), корреляционная функция которого удовлетворяет выражению (12). При этом параметры формирующего фильтра и параметры, характеризующие корреляционную функцию, удовлетворяют соотношениям (15).

IV. Перейдем к рассмотрению пространства состояний с использованием динамической модели (3), вводя новые переменные

Х1 = х, 71 = у, ц = 1,

Х2 = х 72 = у

и обозначения

Л = -*-, к, = к0, к0 = I,

2т т Ь

2 С Ь 1 к О

Ю =—, Т 1 = к2 = ^ т Я Ь

С учетом обозначений вместо (5) можно записать

где

X = А1X + А 2 ц + р7, ц = А 3 X + А 4 ц + к 3и + Р2 7,

X = [Х1,X2]Т, 7 = [71,72 ]Т

(18)

А1 =

0 1 0 0 1

; А 2 = ; Р = ю2 2Л

-ю? -2Л к. 1 1

(19)

1

той, если к ней присоединить уравнение фильтра, формирующего у(£), т.е. уравнение (11) или (17). Таким образом, замкнутая система уравнений, описывающая состояние управляемой системы (Рис. 1,2), в произвольный момент времени имеет вид

X = А;X + А2ц + р7; X(t = О) = ЩО) ф О; ц = А3X +А4л + к3и + Р27; = О) = ц(0) ф О; (20) 7 = А7 + ст; о = 7(0)8^.

Система уравнений (2О) характеризует состояние расширенной системы «виброизолятор + исполнительный механизм + формирующий фильтр». Такую модель управляемого виброизолятора целесообразно использовать в том случае когда возникает необходимость учета влияния электродинамической постоянной времени т 1 вибратора на процессы, происходящие в виброзащитной системе.

В ряде случаев т 1 бывает достаточно мала и ее влиянием можно пренебречь, тогда вводя обозначения

Л1 = к0 /тЯ, 2Л'-2Л +Л1, к' = к0 /тЯ, (21) вместо (2О) запишем

X = А 'X + Ви + Р7, 7=А7+ст,

(22)

где

а ' =

0 1 0 0 0

, в = , р = ю2 2Л

-ю2 -2л ' к

А3 =[0 -к2]; А4 = —; ^ =[0 к2].

т1

Уравнение (18) описывает состояние управляемой виброзащитной системы с учетом процессов, протекающих в ПК при известной модели возмущения у(£). Система уравнений (18) может рассматриваться замкну-

Отметим, что уравнение (21) описывает расширенную систему, состояние которой характеризуется расширенным вектором X ]Т = [х, х у, у ]т.

При решении задач проектирования динамических регуляторов в управляемых виброзащитных системах необходимо располагать некоторой изначальной информацией о состоянии расширенной системы (20) или (22). Хотя такая информация, как правило, бывает ограничена, сигнал об относительном перемещении может быть получен без особых усилий

и' = к'(х - у). (23)

В пространстве состояний можно полагать, доступный измерению сигнал г представляет собой линейную комбинацию координат х и у, характеризующих состояние собственно виброизолятора и состояние фильтра, формирующего кинематическое возмущение, поэтому (23) принимает вид

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

я = С1X + С 2 У, (24)

где

я = и', С1 = |к' 0 , С2 =|-к' 0 . (25)

Уравнение (24) может быть названо уравнением наблюдения для расширенной модели управляемой системы, а матрицы (25) — матрицами наблюдения. В общем случае сигнал измерения я, кроме полезной информации, может содержать и помеху. При этом вместо (24) получим

я = С1X + С2У + 5, (26)

где О — скалярная помеха, являющаяся, как правило, случайной функцией времени.

V. Управляемость и наблюдаемость АВЗС. Рассматриваемые здесь АВЗС представляют собой управляемые динамические системы, расширенная модель состояния которых в общем случае представляется уравнением

X = АХ + Ви + Сш, (27)

где X— вектор состояния; и — вектор управления; ш — вектор белых шумов; А — матрица состояния; В — матрица передачи управления; С — матрица передачи белых шумов.

Информация о состоянии расширенной АВЗС определяется при помощи датчиков первичной информации. На основе этой информации может быть сформировано уравнение наблюдения вида

я = СХ + 3, (28)

где вектор измерения я имеет размерность, меньшую размерности вектора состояния X, а структура матрицы наблюдения С определяется составом первичных измерителей.

Рассматриваемые АВЗС являются управляемыми динамическими системами с обратной связью. При проектировании таких динамических систем важное значение имеют свойства управляемости и наблюдаемости, которые могут быть изучены на начальном этапе проектирования, например, с помощью критериев Р.Калмана: линейная п-мерная система вида (27) полностью управляема тогда и только тогда, когда матрица

Р = [В АВ А2В ... Ап-1 В] , (29)

называемая матрицей управляемости, имеет ранг, равный п: для того, чтобы линейная п-мерная система вида (27), (28) была полностью наблюдаема, необходимо и достаточно, чтобы матрица

О =[СтАтСт(Ат )2 Ст...(Ат )п-1 Ст] , (30)

называемая матрицей наблюдаемости, имела ранг, равный п [5] . Поскольку вопросы управляемости и наблюдаемости связаны со свойствами пар матриц (А, В) и (А, С), соответственно, то в случае полной управляемости или полной наблюдаемости говорят об управляемой паре (А, В) или наблюдаемой паре (Л, С).

При использовании моделей состояния и задачах синтеза алгоритмов управления АВЗС анализ структуры взаимодействия ВЗС с внешней средой (кинематическими возмущениями), определяемой свойствами управляемости и наблюдаемости, позволяет избежать некорректности постановки решаемых задач. Так, если относительно измеряемого выхода я (28) АВЗС не является полностью наблюдаемой, то это означает, что результат функционирования ненаблюдаемой подсистемы является неконтролируемым. Управление такой подсистемой возможно лишь по разомкнутому контуру. Если АВЗС не является полностью управляемой, то это означает, что система содержит подсистему, изменение состояния которой не зависит от управления.

Управляемость и наблюдаемость являются структурными свойствами моделей в пространстве состояний. В общем случае при заданных парах (А, В), (А, С) эти свойства идентифицируются с помощью ранга матрицы управляемости Р (29) и матрицы наблюдаемости О (30). Если задана матрица системы Л, размерность управляемого подпространства зависит от матрицы входов В, а размерность наблюдаемого подпространства — от матрицы выходов (наблюдения) С.

Рассматриваемая нами АВЗС такова, что управляемый виброизолятор является динамической системой с одним управляющим входом, хотя в более сложных виброзащитных системах управляющих входов может быть несколько.

Решение задачи проектирования АВЗС требует изучения как свойства управляемости, так и свойства наблюдаемости. Эти свойства могут быть проверены непосредственным вычислением матрицы управляемости Р и матрицы наблюдаемости О. Вместе с тем, при синтезе алгоритмов управления удобно пользоваться каноническим представлением структуры, в которой система полагается полностью управляемой с помощью одного вхо-

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

1

да. Напомним, что каноническая структура матриц Л и В для полностью управляемой п-мерной линейной системы (27) имеет вид

0 1 0 • 0 0

0 0 1 0 0

A = ; в =

0 0 0 • 1 0

-а 0 -а, -а 2 • • -а n-1 1

где ау (у = 0,п-1) — коэффициенты характеристического многочлена матрицы Л:

п-1

det( Б1 - Л) = Бп 5*.

У= о

Для оценки управляемости и наблюдаемости управляемого виброизолятора, воспользуемся уравнением состояния (22) и уравнением наблюдения (24).

Сначала оценим свойство управляемости. Согласно выражениям (22), (8) и (23) состояние виброизолятора описывается уравнением

X =АХ + Ви + ст, (31)

где

х 0 1 0 0 0 0

X= хх y ; A = -ю. 0 -2h ' 0 0 2h' 1 ; в = k i 0 ; о = 0 У(0)

У 0 0 -ю^ 0 0 У(0)

Заметим, что оценивается управляемость собственно виброизолятора, а не всей расширенной системы. Свойство управляемости здесь будет определяться верхним левым блоком матрицы Л и верхним блоком матрицы В. При этом верхний левый блок матрицы имеет каноническую структуру и, следовательно, виброизолятор является управляемым по своим переменным состояния х и X. Кроме того, верхний правый блок матрицы Л, характеризующий передачу возмущений у и у на виброизолятор, также имеет каноническую структуру. Это значит, что при наличии информации об этих возмущениях они могут быть скомпенсированы за счет формирования соответствующего управляющего воздействия и. Таким образом, при оценке свойства управляемости управляемого виброизолятора нет необходимости вычислять ранг матрицы управляемости Р (29).

При изучении свойства наблюдаемости управляемого виброизолятора вместо уравнения (31) достаточно рассматривать однородное уравнение

X = AX, (32)

где матрица Л имеет ту же структуру, что и в уравнении (32). К уравнению (32) добавим уравнение наблюдения

z = CX, (33)

где

C = [k'0 - k '0]. (34)

Здесь отметим, что для обеспечения желаемой эффективности гашения кинематических возмущений рассматриваемым виброизолятором необходимо располагать информацией, о полном расширенном векторе состояния X. Поэтому необходимо изучать наблюдаемость расширенной системы (32) по измерению (33).

Чтобы система (32), (33) была полностью наблюдаема, необходимо и достаточно, чтобы rankQ = rank[CTATCT ( AT )2 CT ( AT )3 C^ =4.(35)

Непосредственным вычислением проверяется, что условие (34) выполняется. Это значит, что измеряя сигнал, пропорциональный относительному перемещению хотн = x - y, можно восстановить [5] (при помощи асимптотического идентификатора) весь расширенный вектор состояния и определиться с параметрами динамического регулятора.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Елисеев С.В., Засядко А.А. Виброзащита и виброизоляция как управление колебаниями объектов. // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. №1. ИрГУПС . Иркутск. 2004. С.36-42.

2. Димов А.В., Елисеев С.В., Хоменко А.П. Обобщение задач виброзащиты и виброизоляции на основе структурных методов математического моделирования. // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. №2(10). ИрГУПС . Иркутск. 2006. С.72-84.

3. Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. Изд-во Наука. Москва. 1976. 318с.

4. Фролов К.В. Нелинейные задачи динамики машин. М.: Машиностроение. 1992. 376с.

5. Кузовков Н.Т. Модельное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение. 1976.184с.