Инвестиционная и дивидендная политика двухпродуктового предприятия Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

дискуссия

журнал научных публикаций

Е. С. Пачина, аспирант, кафедра инновационной экономики, Московский физико-технический институт (государственный университет), г. Москва, Россия, elenpachina@gmail.com

ИНВЕСТИЦИОННАЯ И ДИВИДЕНДНАЯ

ПОЛИТИКА ДВУХПРОДУКТОВОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

В работе рассматривается модель распределения прибыли двухпродуктового предприятия (выпуск первого продукта которого не зависит от выпуска второго, и наоборот) между инвестициями в первое и второе производство, а также дивидендами. Считается, что рентабельность первого производства не ниже рентабельности второго. Предприятие действует в интересах своих акционеров, в этом случае ценность фирмы определяется стоимостью ее акций и объемом выплаченных дисконтированных дивидендов. Изначально предполагается, что дивиденды на всем интервале планирования не выплачиваются. Тогда в случае расхождения в рентабельности производства первого и второго продуктов прибыль предприятия на всем интервале планирования следует направлять на развитие более рентабельного производства. Если же их рентабельность совпадает, то распределение прибыли между инвестициями в первое и второе производство не влияет на ценность предприятия с точки зрения ее акционеров. Кроме того, рассматриваются частные случаи инвестиционной и дивидендной политики двухпродуктового предприятия, когда рынок адекватно оценивает стоимость предприятия. Определены стратегии распределения прибыли между инвестициями в первое и второе производства и дивидендами, а также максимальные значения критерия оптимизации в задаче распределения прибыли предприятия.

Ключевые слова: инвестиционная политика, выплата дивидендов, производственные фонды, двухпродуктовое предприятие, прибыль, интервал планирования.

Желаемым финансовым результатом работы любого предприятия является прибыль. Предприятие может направлять полученную за некоторый период времени прибыль на развитие самого предприятия (инвестиции) и/или выплату дивидендов своим акционерам. Один из главных вопросов, возникающих при управлении предприятием, каким образом распределить полученную прибыль. Начало теории оптимального предприятия (теории распределения прибыли предприятия оптимальным образом) дали работы американских ученых Ф. Модильяни и М. Миллера. В своих работах авторы обсуждали вопрос оптимальной структуры капитала (отношение стоимости заемных средств к стоимости акционерного

капитала) и пришли к выводу, что стоимость фирмы не зависит от структуры капитала1. Данное утверждение вызвало много споров, это касалось и предположений, введенных Ф. Модильяни и М. Миллером, и выводов. Кроме работ Модильяни и Миллера в поле зрения автора данной статьи попали работы, в которых обсуждается смысл понятия «однопродуктовое предприятие» на примере спичечной фабрики2. Исходными для них являются работы, авторы которых сформулировали экономико-математическую модель предприятии с одним и с двумя технологическими процессами3. Ценность фирмы во всех указанных выше работах определяется с точки зрения интересов акционеров как «средневзвешенная сумма дисконти-

рованного объема акционерного капитала и объема выплаченных дисконтированных дивидендов». Оптимальной программой названа такая политика предприятия (такое распределение прибыли между инвестициями и дивидендами), при которой ценность фирмы будет максимальной4.

В указанных выше работах рассматривается производственно-финансовая модель фирмы в дифференциальной форме, характеризующаяся кусочно-непрерывными функциями потока продукции, капитала акционеров, прибыли фирмы, инвестиций, дивидендов и прочего. Такая модель является идеальной.

В упомянутых работах обсуждается модель распределения прибыли однопро-дуктового предприятия между инвестициями и дивидендами, которая учитывает реальные черты процессов фондообразования: прибыль накапливается в течение некоторого шага, в конце этого шага прибыль распределяется между инвестициями и дивидендами, инвестиции, в свою очередь, увеличивают основные производственные фонды предприятия.

В данной статье автор предлагает модификацию модели распределения прибыли однопродуктового предприятия и описывает модель распределения прибыли двухпро-дуктового предприятия между инвестициями в первое и второе производство, а также дивидендами, предполагая, что технология выпуска первой продукции не зависит от технологии выпуска второй, и наоборот. Экономико-математическая модель распределения прибыли двухпродуктового предприятия такова:

— накопленная прибыль за период t составляет п' = р¡ф;-1 + р2ф'2-1, где р1 и р2 — рентабельность первого и второго производства, и ф'2-1 — стоимость производственных фондов первого и второго производства в конце шага t — 1;

— прибыль распределяется между инвестициями в первое производство, инвестициями во второе производство и дивидендами П' = и[ +и'2+ Б';

Ценность фирмы во всех указанных выше работах определяется с точки зрения интересов акционеров как «средневзвешенная сумма дисконтированного объема акционерного капитала и объема выплаченных дисконтированных дивидендов».

— стоимость производственных фондов изменяется за счет инвестирования в развитие соответствующего производства ф; = ф ;-1 + и\ и ф'2 =ф 21 + и\.

- Будем считать, что политика фирмы определяется интересами акционеров, которые при инвестировании своих средств принимают во внимание два вида богатства: дисконтированные дивиденды и стоимость акций. Предполагается, что стоимость акций прямо пропорциональна стоимости производственных фондов предприятия, где коэффициент пропорциональности х отражает адекватную оценку рынком акций данного предприятия5. Всего в конце планового периода богатство акционеров составит к = х(Фг+ф22 )+| d; (i+ру-.

Рассмотрим задачу распределения прибыли двухпродуктового предприятия между инвестициями в первое и второе производства и определим оптимальную политику такого предприятия. Математически указанная задача имеет следующий вид:

k = x ( + ф 2 ) ^ > max

ф; = ф|-ф2 = ф 2

+ и 1,; = 1,2... г

;-i + и 2,; = 1,2...г

у-i 2 >

(1)

; = 1,2...г

[и 1 + и' = афг + рг ф ' Предположим, что

Л > Р2 (2)

Для определения оптимального распределения прибыли составим функцию Лагранжа для указанной выше математической задачи.

I=*(Ф[ +Ф2 ) р1 (- Ф; + Ф;-1 + и;)+

+е р2 (-Ф 2 +Ф 2-1+и 2)

t=1

Т

+X®t (- U - и2 +аФ1 -1 +р2Ф2-1 t=1

= ( +Р1®1 )0 + ( +Р2®1 )у0 +

)=

(3)

(х- p )

т-1 ,

Е(- Р

t =1 т-1 /

Е(-

-(х-рТ )

, л+1 , „ ,,t+1W, t

+ p1 + руЮ ф1

t t +1 t +1

p2 + p2 + р2ю

) 2

) +(р2) 21

+

+

+

+

И для удобства примем, что

К = Р -ю' , ^2 = Р2 ' (4)

Используя формализм Лагранжа, имеем следующие равенства (они вытекают из условия равенства нулю производной функции Лагранжа от соответствующих переменных):

* - рТ = о; / -рТ = о; - р + р[+1 +р^'+1 = о

при 1 < t < т -1; р2 + р2+1 +рм+1 = 0 при 1 < t < т -1. (5) Лагранжиан, а также условия оптимального решения примут вид — с учетом (3), (4) и (5)6:

l = (1 +рлшл ) + ( +р2шл )ф 2

-¿(U + (u 2)

(6)

Условия оптимального решения:

— во-первых, комбинации двойственных переменных и не могут быть положительными. Если это не так, то безусловный максимум функции Лагранжа достигался бы при бесконечных значениях инвестиций в первое и второе производство (функция Лагранжа в таком случае являлась бы возрастающей, так как инвестиции не могут быть отрицательными). Следовательно, функция Лагранжа также бы имела бесконечное значение, но ограничения исходной задачи (1) не могут быть выполнены при бесконечных инвестициях;

— во-вторых, если в какой-то момент времени двойственная переменная отрицательна, то инвестиции в первое производство равны нулю, если же ^ равна нулю, то инвестиции в первое производство могут принимать любое значение из допустимой области: и'1 > 0 (аналогичное утверждение справедливо и для ^2 и и2).

Таким образом, условия оптимальности имеют вид:

и' = 0 при ^ < 0, и' > 0 при ^ = 0 и2 = 0 при ^2 < 0, и2 > 0 при ^2 = 0.

Одновременно и' и и2 не могут равняться нулю, иначе нарушается последнее уравнение (1). Покажем (используя 5 и 7), что только в одном случае инвестиции в первое и второе производство будут одновременно отличны от нуля.

(7)

Щ > 0 If = 0 ip = ю' ^

и; > о f 2 = о [ = ю

ю = (i+р1)'+ = (i+рг у

^ Pl = Р2 .

Случай, когда рх = р2 можно свести к модели однопродуктового предприятия с данными: р = р1 = р2, ф° = ф0 + ф0.7 Таким образом, случай, когда рентабельность первого и второго производства совпадает, не рассматривается, так как он уже был подробно изучен в работе Ю.Н. Иванова и Р.А. Сотниковой. Итак, нашему рассмотрению подлежит случай, когда рентабельность первого и второго производства находится во взаимосвязи, определяемой формулой (2).

Выше было показано, что одновременно инвестиции в оба производства не могут быть положительными, то есть в каждый момент времени реализуется один из режимов: инвестиции только в первое производство или инвестиции только во второе производство. Причем если включается режим U[ =0;U'2 >0 (то есть когда вся прибыль направляется на инвестиции второго производства), то он завершает интервал планирования.

Теперь покажем, что при введенном выше критерии оптимальности проводимой инвестиционной политики (критерий равен максимальному значению производственных фондов предприятия с учетом оценки предприятия на рынке, характеризующейся показателем адекватности х) инвестиции во второе производство на всем интервале планирования будут равны нулю. Этот факт связан с тем, что рентабельность второго предприятия меньше рентабельности первого. Итак, рассмотрим случай U[ =0\U'2 >0 и покажем, что такой вариант распределения прибыли не может появиться на интервале планирования.

Предположим, что на интервале планирования существуют оба режима. И пусть первый режим длится т шагов. Тогда из приведенного выше рассуждения имеем: l <' < т : Ui>0;U'2=0; т +1 <' < T : .

Чтобы доказать, что режима с инвестированием во второе (менее рентабельное) производство нет на интервале планирования, необходимо доказать, что функция не является отрицательной. При г +1 <' < T (' = 0 ^ p'2 =ю', тогда из (5) получаем значения pl и p2 =а'. Подставив их в (4), получим

=1

^ ^ - ^^Ч^Г— ^ 0 .

Vl - р1 - ю - -

Р 2

Из полученного выражения следует, что функция ^ отрицательна и равна нулю только в момент времени I = Т. Но в этот момент времени акционерам неважно, увеличение стоимости производственных фондов какого из производств увеличивает их богатство. В дальнейшем будем учитывать этот факт. Таким образом, на всем интервале планирования вся прибыль направляется на инвестиции в более рентабельное первое производство. Покажем, что такой режим действительно существует, то есть что функция ^ действительно не является положительно определенной

у/2 - р2 — а -

' _ Л —Р2

Р2

[1—(1+ Л )—'] * 0,

причем

равенство нулю достигается лишь при I = Т.

Оптимальное значение критерия в задаче распределения прибыли между инвестициями в два производства одного предприятия равно, с учетом (6):

к -7

тах а-

(1+Р ) Ф0 +Р2 Ф 2(1+Р1 )Г~1+ф 2 I. (8) +£ ( +^2и> +ф'й') Р1 ) *-1

формализм Лагранжа. Для этого составим функцию Лагранжа:

^=*(+Ф2 ) мт —(+:Ы (—ф1+Ф;-1+и)+

(-1 ы

£Р2 (—ф 2+ф 2-(+и[)+£ а(— и — и[ — с+лФ(-(+Р2Ф 2—()-- (+ Р(®1 )+( + Раа )ф 2+(—рТ )+(—рТ ) + +£ (— р(+р(+(+р,а+1 )Ф(+£ (— р2+р2+(+Р2^+1 ф 2 + (10)

+£ [—а)+((2—а)+()т]

И для удобства примем, что

К = р[ - ^ = ^ - ю', Ф - (1 + в) ' — ®'. (11)

Равенства, вытекающие из условия равенства нулю производной функции Ла-гранжа от соответствующих переменных, совпадают с (5).

Учитывая (5), (10) и (11), запишем, как будет выглядеть лагранжиан, а также укажем условия оптимального решения:

I - (р( +р(®1 ) +(р( +р2®1 )ф0 +

. (12)

Вывод из формулы (8) такой: так как инвестиции во второе производство равны нулю, то стоимость производственных фондов этого производства не изменяется на протяжении всего интервала планирования (с учетом оговорки относительно последнего шага) ф'2 - ф0, при этом прибыль второго производства р2Ф2 наращивается со скоростью р1, с такой же скоростью р1 наращиваются фонды первого производства.

Далее рассмотрим более сложную задачу — инвестиционную и дивидендную политику двухпродуктового предприятия, где суммарная прибыль двухпродуктового предприятия направляется на инвестиции в первое производство и{, инвестиции во второе производство и\, дивиденды £)'. Тогда оптимизационная задача имеет следующий вид:

к=х{Ф{+Ф1)+±О'{\+РГ-

щп

-»тах

ф[=ф\-1+и[,г = \,2...т ф\=ф'~1 +и'2,г = \,2...т

и[ +и'2+о'= Аф;-' + р2Ф'-\1=1,2...Г.

(9)

Как и в предыдущем разделе будем решать поставленную задачу, используя

Условия оптимального решения аналогичны указанным выше:

— во-первых, комбинации двойственных переменных у/\, у/'2 и (р' не могут быть положительными;

— во-вторых, если в какой-то момент времени двойственная переменная у/[ отрицательна, то инвестиции в первое производство равны нулю, если же у/[ равна нулю, то инвестиции в первое производство могут принимать любое значение из допустимой области: и[ > 0 (аналогичное утверждение справедливо и для ^ и и'2, а также для (р' и !)').

Пояснения к данным условиям оптимальности аналогичны тем, что приводятся к оптимальной инвестиционной политике двухпродуктового предприятия.

Таким образом, условия оптимальности имеют вид:

при 0, при \р[= 0;

при хр\ < 0, при у/\ = 0; (13) £>' =0 при (р2 < 0, £>' >0 при (р2 = 0.

Одновременно и[, и'2 и Б' не могут равняться нулю, иначе нарушается последнее уравнение (9). Инвестиции в первое и второе производство, а также дивиденды бу-

дут одновременно отличны от нуля только при условии, что % = 1 и р1 =р2 = р — это утверждение выводится с использованием (5) и (13). Покажем, что при таких условиях разделение прибыли между инвестициями и дивидендами не влияет на итоговое значение критерия оптимальности. Для этого введем две новые величины:

К' = х (ф1 + ф 2 )+£в''(1 + в)'' ;

''=1

8' (1 + в)'= (1 + в)8'-1 + В'.

г=1

Тогда при % = 1, р1 = р2 =р

к' = ф; + ф 2 + S' = ф;т; + и' + ф 2т1 +

Доказательство основано на выводе знака функции ^ на тех шагах, на которых инвестиции на развитии второго производства положительны.

Итак, получено, что при % = 1 и р1 = Р > р2 на всем интервале планирования существует лишь один режим — и1' > 0; и'2 = 0; В' > 0 (выше уже оговаривался момент времени ' = Т ). Наибольшее значение критерия дается выражением (12):

K max =(1 + в ) Ф0 + Р2 Ф 0

в

+ ф 2.

+ и 2 + (1+р)8'-1 + в' = Ф1-1 + ф 2-1 + + (1 + р)8'-1 + Р1Ф1-1 + р2Ф 2-1 = = (1 + р)( 1 + Ф2-1 + 8' 1) = (1 + р)К' 1;

кТ =(1 + в )т ( + ф 2).

Таким образом, получаем, что при % = 1, и р1 =р2 = р распределение прибыли между инвестициями и дивидендами не изменяет богатства акционеров, в этом случае становится истинными утверждение Модильяни-Миллера.

Рассмотрим другие частные случаи. 1. % = 1 и р1 = Р > р2. В этом случае одновременно могут быть равны нулю (р' и у', то есть возможна ситуация, при которой одновременно положительны дивиденды и инвестиции в первое производство.

В нашем распоряжении есть два режима распределения прибыли. Первый режим характеризуется тем, что при нем прибыль распределяется между инвестициями в первое производство и дивидендами, то есть и' > 0, и2 = 0, В' > 0, второй режим — прибыль полностью отдается на инвестиции во второе производство, то есть и1' = 0, В' = 0, В' = 0, при этом второй режим (если он существует) может только завершать интервал планирования (если предположить, что на двух подряд идущих шагах функция равна нулю, то есть ^2 = у/2+1 = 0, кроме того, ф' < 0. Используя (2) и (5), можно показать, что функция (р' — отрицательна и убывает, а это доказывает, что режим и 1 = 0, и2 > 0, В' = 0 — завершающий). Дальнейшее исследование показывает, что на интервале планирования второго режима и' = 0, и2 > 0, В' = 0 нет.

Вывод из формулы (14) такой: фонды второго производства не изменяются на протяжении всего интервала планирования (с учетом оговорки относительно последнего шага), при этом фонды первого производства и прибыль второго производства р2Ф1| наращиваются со скоростью в. Вся прибыль направляется на дивиденды или инвестиции в первое производство, причем становится безразличным, в какой пропорции делится прибыль между инвестициями и дивидендами. Дело в том, что значения рентабельности первого производства и банковской ставки по депозитам совпадают, помимо этого рынок абсолютно адекватно оценивает предприятие. В таких условиях предприятие наращивает фонды (с ними и стоимость акций акционеров) с такой же скоростью, с какой банк наращивает дивиденды, находящиеся на депозитных счетах акционеров.

2. % = 1 и р; > Р = р2. В этом случае одновременно могут быть положительными дивиденды и инвестиции во второе производство.

Но проведенное выше исследование показывает, что на всем интервале планирования инвестиции во второе производство, а также дивиденды равны нулю, а вся прибыль направляется на инвестиции в первое производство (исследование аналогично первому варианту). Наибольшее значение критерия дается выражением (12):

K max =(1 + Р; )T Ф0 + Р2 Ф 2 (l + Р' )Г" 1 + Ф 2 . (15)

Р;

На всем интервале планирования прибыль направляется на развитие более рентабельного производства, обеспечивая тем самым богатство акционеров за счет роста

стоимости акции как результат стоимости производственных фондов первого производства. При сравнении формулы (8), (14) и (15) получаем, что структура оптимального решения остается одинаковой. Дело в том, что, как уже отмечалось выше, предприятие наращивает фонды, а банк — дивиденды с некоторой постоянной скоростью, при этом рынок адекватно (то есть % = 1) оценивает акции предприятия.

В работе была рассмотрена оптимальная инвестиционная политика двухпродук-тового предприятия. Решение оптимизационной задачи таково: всю прибыль на всем интервале планирования следует направлять на развитие более рентабельного производства, при этом стоимость производственных фондов первого производства наращивается со скоростью рр с такой же скоростью наращивается прибыль второго производства

Итак, в работе были рассмотрены три варианта распределения прибыли между инвестициями в первое и второе производство (в рамках одного предприятия) и дивидендами:

1. Прибыль направляется на инвестиции и дивиденды, при этом выполнены условия % = 1 и рх= р2= р. Тогда становится неважным вопрос о распределении прибыли между инвестициями и дивидендами

*mo =(1 + вУ (Ф0 + Ф 2 .

2. Прибыль направляется на инвестиции и дивиденды, при этом выполнены условия % = 1 и р^> /} = р2. Тогда существует лишь один режим U[ > О, U[ =0, D' > 0, при этом становится безразличным, в какой пропорции делится прибыль между инвестициями в первое производство и дивидендами

K max =(1 + в У Ф0 + Р2 Ф 0 (1 + в' 1 + Ф 2 .

3. Прибыль направляется на инвестиции и дивиденды, при этом выполнены условия % = 1 и р1 > Р = р2. Тогда существует лишь один режим U[ =0, D' - 0, D' - 0;

+ Ф 0

К тах -(1 + Р1 Г Ф0 + Р2 Ф 2 (1 + Р' )Г — 1

р1

Таким образом, было показано, что в рамках описанной модели распределения прибыли двухпродуктового предприятия

между инвестициями и дивидендами (в случае расхождения между рентабельностью первого и второго производств) руководству следует направлять всю прибыль на развитие более рентабельного производства. Кроме того, было показано, что существуют особые условия, когда распределение прибыли никак не влияет на ценность предприятия. И эти выводы, и модель распределения прибыли, учитывающая реальные процессы фондообразования, могут заинтересовать как руководителей предприятий, действующих в интересах своих акционеров, так и инвесторов, планирующих приобретение акций.

Литература

1. Модильяни Ф., Миллер М. Сколько стоит фирма? Теорема ММ / пер. с англ. М.: Дело, 1999. 272 с.

2. Иванов Ю.Н. Сотникова Р.А. Теоретическая экономика: Теория оптимального предприятия. М.: ЛЕНАНД, 2013. 224 с.; Иванов Ю.Н., Лившиц И.Л. Оптимальная инвестиционная и дивидендная политика предприятия (к теории оптимального предприятия). // Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник. 2002. Выпуск 31. М.: Едиториал УРСС, 2004. С. 181210.

3. Габасов Р., Габасова О.Р., Дмитрук Н.М. Синтез оптимальной политики для производственно-финансовой модели фирмы I. Построение магистралей // Автоматика и телемеханика. 1998. № 9. С. 100-117; Габасов Р., Габасова О.Р., Дмитрук Н.М. Синтез оптимальной политики для производственно-финансовой модели фирмы II. Программные и позиционные решения. // Автоматика и телемеханика. 1998. № 10. С. 95112.

4. Там же.

5. Иванов Ю.Н. Сотникова Р.А. Теоретическая экономика: Теория оптимального предприятия. М.: ЛЕНАНД, 2013. 224 с.; Иванов Ю.Н., Лившиц И.Л. Оптимальная инвестиционная и дивидендная политика предприятия (к теории оптимального предприятия). // Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник. 2002. Выпуск 31. М.: Едиториал УРСС, 2004. С. 181210.

6. Иванов Ю.Н. Сотникова Р.А. Теоретическая экономика: Теория оптимального предприятия. М.: ЛЕ-НАНД, 2013. 224 с.

7. Там же.

INVESTMENT AND DIVIDEND POLICY OF TWO-PRODUCT ENTERPRISE

E. S. Pachina, Postgraduate, the department of innovative economics, Moscow Institute of Physics and Technology (State University), Moscow, Russia, elenpachina@gmail.com

This article considers the model of profit's distribution of two-product enterprise (issue of one product doesn't influence another one, and vice versa) between investment in the first and second production, and also dividends. It is considered that profitability of the first production is not less than the second one. Enterprise acts in the interests of their stockholders, in that case the enterprise's goodwill in defined by price of the stocks and value of the paid discount dividends. Initially it is suggested that dividends aren't paid during planning. Then, in the case of first and second productions profitability divergence, the enterprise's profit should be aimed at development of more profitable production during planning. If profitability levels are the same, so distribution of profits between investments in the first and second production does not influence the enterprise's goodwill from stockholders' points of sight. Besides, it considers peculiar cases of investment and dividend policies of two-product enterprise, when market evaluates enterprise's goodwill. It got the new strategies of profit distribution between investment in the first and second production and dividends, and also maximal indices of optimization criterion in the task of enterprise's profit distribution.

Key words: investment policy, the payment of dividends, production assets, two-product company, profit, range planning.

References

1. Modigliani F., Miller M Skol'ko stoit firma? Teorema MM [How much is the company? Theorem MM]. Moscow, Delo Publ., 1999. 272 p. (in Russian).

2. Ivanov Iu.N. Sotnikova R.A. Teoreticheskaia eko-nomika: Teoriia optimal'nogo predpriiatiia [Theoretical Economics: Theory of optimal enterprise]. Moscow, LENAND Publ., 2013. 224 p.; Ivanov Iu.N., Livshits I.L. [Optimal investment and dividend policy of the company (the theory of optimal enterprise)]. Sistem-nye issledovaniia. Metodologicheskie problemy. Ezhegod-nik 2002. Vypusk 31 [System studies. Methodological problems. Yearbook 2002. Issue 31]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2004, pp. 181-210.

3. Gabasov R., Gabasova O.R., Dmitruk N.M. Sintez optimal'noi politiki dlia proizvodstvenno-finansovoi modeli firmy I. Postroenie magistralei [Synthesis of optimal policies for production and financial model of the company I. Construction of highways]. Avtomatika i tele-mekhanika — Automation and Remote Control, 1998, no. 9, pp. 100-117; Gabasov R., Gabasova O.R., Dmitruk N.M. Sintez optimal'noi politiki dlia proizvodstvenno-finansovoi modeli firmy II. Programmnye i pozitsionnye resheniia [Synthesis of optimal policies for production and financial model of the company II. Program and positional solutions]. Avtomatika i telemekhanika — Automation and Remote Control, 1998, no. 10, pp. 95-112.

4. Gabasov R., Gabasova O.R., Dmitruk N.M. Sintez optimal'noi politiki dlia proizvodstvenno-finansovoi modeli firmy I. Postroenie magistralei [Synthesis

of optimal policies for production and financial model of the company I. Construction of highways]. Avtomatika i telemekhanika — Automation and Remote Control, 1998, no. 9, pp. 100-117; Gabasov R., Gabasova O.R., Dmitruk N.M. Sintez optimal'noi politiki dlia proizvodstvenno-finansovoi modeli firmy II. Programmnye i pozitsionnye resheniia [Synthesis of optimal policies for production and financial model of the company II. Program and positional solutions]. Avtomatika i telemekhanika — Automation and Remote Control, 1998, no. 10, pp. 95-112.

5. Ivanov Iu.N. Sotnikova R.A. Teoreticheskaia ekonomika: Teoriia optimal'nogo predpriiatiia [Theoretical Economics: Theory of optimal enterprise]. Moscow, LENAND Publ., 2013. 224 p.; Ivanov Iu.N., Livshits I.L. [Optimal investment and dividend policy of the company (the theory of optimal enterprise)]. Sistemnye issledovaniia. Metodologicheskie problemy. Ezhegodnik 2002. Vypusk 31 [System studies. Methodological problems. Yearbook 2002. Issue 31]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2004, pp. 181-210.

6. Ivanov Iu.N. Sotnikova R.A. Teoreticheskaia ekonomika: Teoriia optimal'nogo predpriiatiia [Theoretical Economics: Theory of optimal enterprise]. Moscow, LENAND Publ., 2013. 224 p.

7. Ivanov Iu.N. Sotnikova R.A. Teoreticheskaia ekonomika: Teoriia optimal'nogo predpriiatiia [Theoretical Economics: Theory of optimal enterprise]. Moscow, LENAND Publ., 2013. 224 p.