Инвестиции и сбалансированный рост в модели децентрализованной экономики Текст научной статьи по специальности «Математика»

У

правление в социально-экономических системах

УДК 519.865.7;330.46

ИНВЕСТИЦИИ И СБАЛАНСИРОВАННЫЙ РОСТ В МОДЕЛИ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОЙ ЭКОНОМИКИ1

А.П. Абрамов

Рассмотрены две схемы выхода на неймановскую траекторию в модели децентрализованной экономики с учетом инвестиций. Первая из них базируется на натуральных показателях, вторая — на денежных расчетах хозяйствующих субъектов. Приведены условия, при которых эти схемы обеспечивают асимптотическое решение указанной задачи.

Ключевые слова: децентрализованная экономика, сбалансированный рост, инвестиции.

ВВЕДЕНИЕ

Теория сбалансированного роста — классический раздел математической экономики, с ее основными результатами можно ознакомиться в работе

[1]. Модели экономики, изучаемые этой теорией, неявно предполагают существование единого управляющего центра, обладающего всей информацией об экономической системе. Этот центр полностью контролирует производство и распределение продукции, а все его решения выполняются абсолютно точно. Ясно, что подобные модели не соответствуют принципам рыночной экономики, в которой хозяйствующие субъекты самостоятельно планируют и организуют свою работу. Один из возможных подходов к построению общей схемы линейной теории экономического роста для децентрализованной экономики предложен в статье

[2]. Он базируется на стандартной гейловской теории в совокупности с моделью равновесия Вальраса. Однако анализ данного подхода показывает необходимость централизованного распределения избыточных продуктов. Альтернативный подход, не использующий равновесие по Вальрасу, предложен в работе [3]. В настоящей статье развивается это направление и исследуются возможные схемы выхода на неймановскую траекторию децентрализованной экономики с учетом фактора инвестиций.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-07-00286).

1. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

Рассмотрим замкнутую динамическую модель производства и товарообмена, в которой фигурирует п монопродуктовых отраслей, причем каждый из видов продукции производится только одной отраслью. Состояние данной экономической системы отслеживается в дискретные моменты времени, которые обозначаются индексом t, t = 0, 1, 2, ... Шаги модели, т. е. промежутки времени между соседними моментами, будем помечать тем же индексом t, причем номер шага соответствует правой границе. Длительности всех шагов предполагаются одинаковыми и равными одному производственному циклу во всех отраслях. Продукция, произведенная на некотором шаге, должна быть использована до окончания следующего шага.

Введем обозначения:

/ = 1, ..., п — индекс отрасли;

Ы+ — подмножество отраслей, продукция которых необходима отрасли / в качестве сырья или комплектующих для выпуска продукции;

N + — подмножество отраслей, продукция которых необходима отрасли / для наращивания производственных мощностей;

— подмножество отраслей, потребляющих продукцию отрасли / в качестве сырья или комплектующих;

Ык- — подмножество отраслей, потребляющих продукцию отрасли / в качестве фондообразующей;

^..(і) — производственные мощности отрасли і на шаге і, равные максимально возможному объему производства на данном шаге;

х..(і) — объем выпуска продукции отраслью і на шаге і;

у..(і) — объем производственного ресурса вида у,

у є N. +, которым располагает отрасль і в начале шага і;

г..(і) — объем капитального ресурса вида у,

у є Щк+, которым располагает отрасль і в начале шага і.

Вообще говоря, номенклатуры производственных и капитальных ресурсов не совпадают. Однако чтобы не усложнять описание модели, явно этот факт не будет учитываться. Предполагается,

тк—

щ-, т-, і = і, ..., п

\тГ + \тк+

что множества N , N не пусты, а производственная функция отрасли I имеет вид

х.(і) = тіп<! £..(і), тіп

і є Мг,+

У і і ( і) 0

Ун

і = 1,

(1)

где уу7 > 0 — минимально необходимое количество

продукта вида у, которое требуется для производства одной единицы продукции вида I. Эту функцию называют производственной функцией Леонтьева, а также производственной функцией с фиксированными пропорциями факторов [4, 5].

Выпишем балансовое уравнение для продукции, произведенной отраслью I на шаге t:

х^) = I У( + 1) + X У + 1) + vi(t), (2)

У е N- у е М*-

где переменная vг.(t), равна объему нераспределенной продукции.

Динамику производственных мощностей отрасли I будем описывать уравнением вида

Щ = (1 - ^/(і - 1) + тіп

і = 1,

і є N п

к+

(3)

где ц — коэффициент амортизации, который счи-

0

тается одинаковым для всех отраслей; у — минимально необходимый объем продукции вида у; необходимый для увеличения на единицу производственных мощностей отрасли I, т — временной лаг, характеризующий запаздывание в создании новых мощностей. Этот параметр предполагается одинаковым для всех отраслей и всех видов фондообразующей продукции и равным числу шагов, за которое происходит освоение этой продукции. Случай т = 0 означает возможность ее использования

в качестве основных производственных фондов уже на следующем производственном цикле. Предположим, что система функционирует так, что на всех шагах вся продукция полностью распределяется, и в процессах (1) и (3) нет избыточных ресурсов (в том числе мощностей в процессе (1)). Это означает, что х^) = ^) при всех I и t. В этом случае из выражений (1)—(3) имеем матричное уравнение вида

х(^ = Ух^ + 1) +

+ 2(х^ + т + 1) — (1 — ц)х^ + т)), (4)

где х(^) — вектор-столбцы, а элементы у у и квадратных матриц У и Z порядка п определены соответственно так:

Уу

_ ■'/г

0 • Л7"Г+

У г, і є N.. ;

0, і і N.

= І і і є щік+; г 1о, і і щ*+.

Легко видеть, что указанный режим может быть обеспечен при постоянном темпе роста у объемов выпуска всех видов продукции: х(і + 1)/х..(і) = у для всех і и і. В этом случае уравнение (4) принимает вид

(1/у)х(ї) = (7 + (ут - (1 - ц)ут - Х')2 )х(ї).

Оно показывает, что достаточное условие такого режима состоит в наличии у матрицы

М(у) = 7 + (ут - (1 - Ц)ут - 1) (5)

положительного собственного числа 1/у и соответствующего строго положительного собственного вектора х, а начальный вектор х(0) должен быть коллинеарен вектору х. Поскольку интерес представляют только экономические системы с возможностью расширенного воспроизводства, сформулируем условия, при которых существует такое у > 1, что матрица М(у) имеет собственное число 1/у. Для удобства заменим в матрице (5) параметр у на параметр X = 1/у и рассмотрим матрицу

М (X) = М(1Д).

Теорема 1. Пусть матрица (7 + Z) неразложима, и все ее столбцевые суммы строго меньше единицы, т. е.

П

X(уу + ) < 1 у = 1, ..., п.

/ = 1

Тогда существует скаляр X* є (0, 1), являющийся

собственным числом матрицы М (X*), которому отвечает единственный (с точностью до скалярного множителя) собственный вектор х*, все координаты которого ненулевые и одного знака. Если найдется такой скаляр X є (0, X*), что он также является собственным числом матрицы М (X), то любой со-

ответствующий ему собственный вектор имеет компоненты разных знаков. ♦

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.6 в книге [6, гл. 2]. Таким образом, если х(0) — фробениусов вектор матрицы

М (X*), то экономическая система может функционировать в режиме неймановского процесса, т. е. иметь сбалансированный рост с максимальным темпом у [6]. При этом траектория выпусков будет принадлежать неймановскому лучу, называемому также магистралью [1]. Для краткости, указанный режим функционирования будем именовать магистральным.

Всюду далее предполагается, что параметры экономической системы удовлетворяют условиям теоремы 1 и, значит, у = 1Д* > 1.

2. ПЛАНИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ МАКСИМИЗАЦИИ ПРИБЫЛИ

До сих пор в модели неявно предполагалось наличие централизованной системы управления, которая полностью контролирует производство и распределение продукции. Далее будем считать, что отрасли работают в условиях хозяйственной автономии. При этом каждая отрасль і стремится максимизировать свою прибыль П.(і) на текущем шаге і, определяемую как разность между выручкой и соответствующими затратами:

П/.(і) = рі(і)хі(і) - X р( - 1)Уі/(і) -

І є М"

X Рі(і -

(6)

І є N

к+

где цена р(1) связана с объемом продаж, равным на магистрали объему производства, х^) линейным уравнением вида

р(1) = а(Г) + Ь^)х^),

I = 1, ..., п, t = 0, 1, ..., (7)

в котором параметры а;(^ > 0, Ь(1) < 0 имеют фиксированные значения при данных I и t. Таким образом, отрицательное значение Ь^) в уравнении (7) снижает цену с ростом объема продаж.

Ясно, что параметр а(1) равен предельному значению цены, когда объем реализации (производства) данного вида продукции стремится к нулю. Параметр Ь;(^ указывает, насколько снижается цена при увеличении объема реализации (производства) на единицу. Будем называть их соответственно базовой ценой и параметром скидки. При этом цена должна быть положительной:

В магистральном режиме выражение (6) принимает вид

П..(і) = (а(і) + Ьі(і)хі(і))хі(і) - X (а}(і - 1) +

І є <+

+ Ь}(і - 1)х/і - 1))у0/х(і) - ут - 1(у - (1 - ц)) X

X X (а/і - 1) + Ь}(і - 1)х/ї - 1) г0/х.(і).

дгк+

1 е N

Так как выбор переменной хг(^ происходит при фиксированных ценах предыдущего шага, и Ь($ < 0, то максимум прибыли отрасли I на шаге t достигается при

х/(і) =

1

2Ь/(і)

а(і) - X (а( - 1) +

І є М[+

+ Ь( - 1)х^ - 1))у° - ут '(у - (1 - ц)) X X I (а( - 1) + Ьр - 1)х( - 1)) 41. (8)

1 е М+ '

Отсюда следует, что в магистральном режиме коэффициенты аг(^ и Ь^) должны удовлетворять при всех I и t системе уравнений вида

а() + 2Д(1)х/(0) - I (ар - 1) +

1 е М[+

+ / - 1 - 1)х/0))у0 - ут - '(у - (1 - ц)) X X I (ар - 1) + / - гЬр - 1)х/0)) 1) = 0.

дт-к+

1 е М1

Для этого достаточно, чтобы переменные аг(^ удовлетворяли системе уравнений

а О = I Ур ар - 1) + ут - Х(у - (1 - ц)) х

І є М'Г

X І ар - 1),

(9)

і є N

к+

а переменные Ь.(і) — системе уравнений

Ь/(і) =

1

2у х{ (0)

X у0іх(0)Ьр - 1) +

а.(і) + Ь.(і)х.(і) > 0, і = 1,

і = 0, 1...

+ ут 1(у - (1 - ц)) X }х}(0)Ь}(і - 1) 1. (10)

І є Мк+ '

Обозначим через а(0) и Ь(0) вектор-строки, образованные из начальных значений ценовых коэффициентов. Пусть а(0) = р*, где р* — левый фробениусов вектор матрицы М (X*), а - Ь(0) — левый фробениусов вектор матрицы М (X*), элементы

X

, п;

которой связаны с элементами матрицы М (X*) равенствами вида т¡у = хг(0)/х1(0) т¡у. При 11 1 положим

а($ = у-1а^ - 1), Ь($ = 0,5у-2Ь^ - 1),

I = 1, ..., п. (11)

Элементарные вычисления показывают, что при такой динамике ценовых коэффициентов в магистральном режиме справедливы следующие утверждения:

— выполняются динамические уравнения (9) и (10);

— если а.(0) и Ь.(0) таковы, что р.(0) > 0, то р¡(^ > 0 при всех 11 1;

— все отрасли имеют положительную прибыль на всех шагах Ц.(^ = -Ь^)х{ (t) > 0;

— все отрасли имеют нулевые платежные балансы Б(1) на всех шагах

Б^) = (а^) + Ь()х())х() -

- I (ар) + Ь()хр))уу( + 1) -

1 е М{+

- I (а/0 + Ьр)хр))1.( + 1) = 0.

1 е Мк+

Отметим, что положительная прибыль всех отраслей на каждом шаге не противоречит последнему равенству, так как закупка ресурсов и продажа произведенной продукции происходят со сдвигом в один временной шаг.

Легко видеть, что планирование выпуска согласно выражению (8) в совокупности с соотношениями (11) обеспечивает системе магистральный режим при соответствующих начальных условиях.

3. ПЕРВАЯ СХЕМА ВЫХОДА НА НЕЙМАНОВСКУЮ ТРАЕКТОРИЮ

Рассмотренный в § 2 подход решает задачу удержания экономической системы на луче Неймана. Ясно, что для его применения векторы х(0), ^(1), ..., ^(т - 2) должны иметь согласованные значения, а всем отраслям должен быть известен максимальный темп сбалансированного роста у. Если требуется, чтобы все отрасли имели нулевые платежные балансы на всех шагах, то вектор-строки а(0) и -Ь(0), образованные из соответствующих ценовых коэффициентов, должны быть фробени-

усовыми векторами для матриц М (Х*)и М (^соответственно. В этом случае отрасли, определяя цены на свою продукцию на основе динамических уравнений (11), и планируя производство исходя из максимума прибыли, обеспечивают системе магистральный режим.

Выполнение на практике всех этих условий представляется маловероятным. Кроме того, любые сбои в работе системы сразу уводят систему с магистрали, при этом для некоторых видов продукции возникает превышение спроса над предложением. В этих обстоятельствах данный механизм планирования перестает работать ввиду отсутствия процедур принятия управленческих решений в таких ситуациях. Поэтому заслуживают изучения схемы планирования со следующими свойствами:

— не требуют централизованного управления;

— могут вырабатывать решения вне магистрального режима и при этом (асимптотически) выводят систему на магистраль;

— не уводят систему с магистрали, если она работает в этом режиме;

— имеют ясное экономическое обоснование.

Описание работы многосекторной экономики

вне магистрального режима требует введения дополнительных переменных для отрасли I, I = 1, ..., п, в которых явно проявляется ее экономическая самостоятельность, и которые должны быть определены к моменту перехода от шага t - 1 к шагу £

х. (1) — планируемый объем выпуска на шаге £

Акр ^ + т) — план ввода производственных мощностей к началу шага t + т;

х] ^ - 2) — объем реализованной (отгруженной потребителям) продукции, которая была произведена на шаге t - 2.

Совокупность указанных планов позволяет определить для отрасли / показатель х* ^ - 1) — суммарный спрос потребителей на продукцию шага t - 1, вычисляемый по формуле

х* ^ - 1) = I у01 х. (!) + I 4 А кР ^ + т),

1 е 1 е

I = 1, ..., п,

которая предполагает, что все потребители стремятся достичь планируемых показателей наиболее экономным способом.

Опишем схему функционирования данной экономической системы, которая при некоторых условиях выводит систему на магистраль, а также обеспечивает сохранение магистрального режима.

Базовая схема функционирования системы. Первоначальный план выпуска отрасли I на шаге t, а также план ввода мощностей этой отрасли к началу шага t + т однозначно определяются объемом реализации продукции, произведенной на шаге t - 2:

х. (1) = ах] ^ - 2), АкР ^ + т) = вх] ^ - 2),

t 1 2, I = 1, ..., п, (12)

где коэффициенты а и в одни и те же для всех отраслей на всех шагах. Наряду с показателями (12) отрасль I вычисляет коэффициент

Х.(0 = х. ^)Дг.(0, I = 1, ..., п,

который соизмеряет первоначальный план выпуска с имеющимися мощностями. Далее, суммируя заявки от потребителей, отрасль I определяет показатель х* ^ - 1) первоначального спроса на свою продукцию. Поскольку в момент перехода к шагу t уже известен реальный объем выпуска х^ - 1), то отрасль t вычисляет коэффициент

Пр) = х*^ - 1)/х^ - 1), I = 1, ..., п,

характеризующий обеспеченность планов ресурсом, который она произвела. Далее все отрасли обмениваются коэффициентами %г(0, Пг(0 и каждая из отраслей (или некий информационный центр) вычисляет максимальное значение этих показателей:

ст(t) = шах{хг(0, лг(^)}.

Если окажется, что ст(^ < 1, то производственные мощности позволяют выполнить намеченные планы, спрос каждой из отраслей на ресурсы удовлетворяется полностью, объемы поставок определяются так:

Уу(і) = УІх- (і), у є N..-

ф = 4'Ак/(t + т), у е N , I = 1, ..., п, и выпуск продукции равен первоначальному плану: х(Г) = х1Р (0, I = 1, ..., п.

Ясно, что при ст(t) > 1 полное выполнение исходных планов становится невозможным. В этом случае все отрасли, используя данный параметр, уменьшают планы выпусков и планы развития:

х. (^ := х. (0/ст(0, А к? ^ + т) := А кР ^ + т)/ст(1),

I = 1, ..., п. (13)

Соответственно, потребность в мощностях и спрос на все ресурсы также уменьшаются в ст(^ раз, все скорректированные планы полностью выполнимы, а вновь вычисленный показатель ст(^ равен единице.

Если причина корректировки состоит в нехватке ресурсов, то выражение (13) означает, что планы пересчитываются по наиболее дефицитному ресурсу, и этот ресурс распределяется пропорционально размерам спроса. Тем самым в модели ни у одной из отраслей нет привилегий по ресурсному обеспечению.

План, допустимый по ресурсам, однозначно

определяет для отрасли I показатель х] ^ - 1) —

к—

объем реализации продукции, произведенной на шаге t - 1:

х] ^ - 1) = I у01 хр (0 + I А к. ^ + т),

1 е М~ 1 е м\-

I = 1, ..., п.

Далее начинается производственный цикл на шаге t, после завершения которого по показателям (12) определяются начальные значения векторов

хР^ + 1), АкРр ^ + т + 1) и т. д. Что касается начала

работы схемы при t = 2, то вместо х] (0) в выражении (12) можно выбрать параметр ^¿(0). Кроме того, должны быть заданы векторы х(1), ^(2), ..., ^(т + 1). Легко видеть, что базовая схема функционирования системы позволяет вырабатывать все необходимые управленческие решения вне магистрали. С другой стороны, элементарная индукция показывает, что экономическая система будет функционировать в магистральном режиме, если выполнены следующие условия:

в/а = УТ - 1(У - (1 - ц^ а 1 Y2, (14)

a) векторы х(1) = ^(1) = Y^(0) суть фробениусовы матрицы М^),

b) производственные мощности растут с темпом Y на шагах 2, ..., т + 1.

В общем случае имеет место следующий результат.

Теорема 2. Пусть в условиях теоремы 1 матрица У + Z примитивна, векторы х(1), ^(1), ..., ^(т + 1) строго положительны и выполняются ограничения (14). Тогда базовая схема функционирования либо асимптотически выводит систему на магистраль, либо оставляет систему на магистрали при выполнении условий а) и Ь). ♦

Доказательство. Введем параметр р(^, показывающий степень выполнения первоначальных планов на шаге t:

р(і) =

1,

ст( і )< 1;

1/ст(і), ст(і) > 1.

Применяя индукцию, выпишем зависимость между векторами х(і) и хр(2):

х(1) = р(а)р(/ - 1)...р(2)а' 2М(X*)' 2хР(2). Используя фробениусово число X* матрицы М (X*), запишем последнее равенство так:

х(і) = Р(і)Р(і - 1)...p(2)(X*a)

і — 2

М( X* )

. X*

і - 2

х р(2).

Так как матрица М (X*) неразложима и примитивна, то (см. книгу [6]) последовательность

(М (X*)/X*)'xp(2) сходится к пределу ух * при t ^ да, где у = ||хР(2)||/||х *||, а х * — фробениусов вектор матрицы М^*). Это означает, что последовательность нормированных векторов вида х(1)/|| х(1)|| при t ^ да сходится к пределу х*/||х*||, т. е. к нормированному

фробениусову вектору матрицы М (X*). Отсюда следует, что равенство х(1 + 1) = Yx(t) будет выполняться сколь угодно точно при достаточно больших t. ♦

4. ВТОРАЯ СХЕМА ВЫХОДА НА НЕЙМАНОВСКУЮ ТРАЕКТОРИЮ

В базовой схеме функционирования экономической системы применялись только натуральные показатели. Рассмотрим схему выхода на магистраль, основанную на финансовых показателях. Предположим, что в каждой отрасли есть собственник, которому принадлежат производственные мощности, а также (наемный) управляющий, который занимается текущей работой данной отрасли. Последний берет в аренду производственные мощности у собственника, выплачивая ему определенные платежи. В свою очередь, владелец капитала контролирует динамику мощностей посредством закупок фондообразующей продукции.

Конкретно, будем предполагать, что в момент перехода от шага t - 1 к шагу t управляющий должен определить показатель П[Р (^ — планируемую величину производственной прибыли отрасли I на шаге t. Оценивая показатель Пгр (1), он полагает, что будет продан весь объем продукции, планируемой к выпуску. Кроме того, ему известна функция п(1) — размер платежа, которую установил владелец капитала за использование единицы производственных мощностей отрасли I на шаге t. Поскольку использование капитальных и производственных ресурсов сверх необходимого минимума приводит к денежным потерям, то данный показатель вычисляется так:

ПГР (р) = р($х. (О - I рр - 1)у0. х. (О -

j є N'i +

п(t)(t).

(15)

Предположим, что цены р(і), п(і) отвечают принципу «базовая ставка — скидка» и являются линейными функциями вида

Pi(t) = (t) + br (t)x(t),

п (t) = ak (t) + bk (ft (t),

где аг (t) > 0, ак (t) > 0, Ьг (^ < 0, Ьк (t) < 0, а £ г.(t) —

объем производственных мощностей, сданных в аренду. Как и ранее, функции р.(1), пг.(t) могут принимать только положительные значения. Ес-

г к

ли Ьг- (0 < Ьг- (t), то показатель (15) достигает максимума при

xp (t) =

1

2 (br,( t) - bk (t))

a] (t)

Z j - 1)

af (t)

j є щ-

(17)

Предположим, что параметр br (t) задан. Опре-

делим параметр ar (t) так:

a' (t) = Z Pj(t -

1) У0 + ak (t)

j є

NГ

2( b\ (t) - bk (t))a xS (t - 2),

(18)

(16)

где коэффициент a тот же самый, что и в показателях (12). Подставляя это значение в формулу

(17), получаем значение xf(t) из выражения (12). При этом показатель (15) принимает вид

(t) = -(b\ (t) - bk (t))( xf (t))2, (19)

и планируемая прибыль будет положительной, если | br (t)| > | bk (t)|.

Что касается владельца капитала отрасли i, то в начале шага t он планирует финансовые траты в объеме £ pj(t - 1) zf (t) = £ Pj(t - 1) zji A kf (t + t)

j e N+ j e N+

на закупку фондообразующей продукции. Эти траты должны принести доход на шаге t + т, а также на всех последующих шагах. С другой стороны, доход от сдачи в аренду мощностей на шаге t + т зависит и от объема мощностей ^ (t + т - 1), которые образовались в результате предыдущих капиталовложений. Поэтому, для простоты, будем оценивать ожидаемый эффект от рассматриваемых затрат только на шаге t + т. При этом введем фактор дисконтирования s = s(t) < 1, который приводит ценность денег шага t + т к шагу t.

Представим планируемый объем мощностей

^f (t + т) отрасли i к началу шага t + т в виде

(t + т) = (1 - ц) (t + т - 1) + Ak>f (t + т). (20)

Собственник полагает, что этот объем будет равен соответствующему спросу на мощности.

х

X

Тогда планируемый размер прибыли П^ (Р) оценивается так:

П7(t) = Епр + т) Ъ? ^ + т) -

- I р(? - 1) 1 (0. (21)

1 е Нр+

Из выражений (16), (20) и (21) следует, что максимум прибыли, как функции А к? ^ + т), достигается при

Ак.(t + т) =

(ц(г + т)-е-1 £ pj(t-\)гп + 2^(7 + т)(1-+ т-1)

= -___________1 е ^+______________________________ .

2Ьк(t+ т)

(22)

Предположим, что параметр Ьк ^ + т) задан. Определим параметр ак ^ + т) так:

ак ^ + т) = е-1 I р(? - 1) 1 - 2Ьк ^ + т) х

1 е Мр+

X ((1 - ц) Ъ. ^ + т - 1) + вх] ^ - 2)), (23)

где коэффициент в тот же самый, что и в выражении (12). Подстановка этого значения в формулу

(22) дает А к. ^ + т) из выражения (12). При этом формула (21) принимает вид

П? (0 = -еЬк ^ + т)(Ак. (t + т))2 + е(ак ^ + т) +

+ Ьк « + т)(1 - ц) Ъ. « + т - 1))(1 - ц) Ъ. « + т - 1).

Таким образом, в натуральных показателях данная схема идентична базовой схеме и, значит, также обеспечивает асимптотический выход на магистраль либо сохранение магистрального режима. Рассмотрим экономическую интерпретацию соотношений (18) и (23), сформулировав их в виде правил.

Правило назначения базовой цены. В базовую цену закладываются издержки на производство единицы продукции плюс базовая ставка арендной платы плюс компенсация в двойном размере ожидаемых удельных потерь из-за скидок при планируемом объеме продаж.

Правило назначения базовой ставки арендной платы. Базовая ставка арендной платы должна быть равна издержкам (с учетом дисконта) на ввод

в строй единицы мощностей плюс компенсация в двойном размере ожидаемых удельных потерь из-за скидок при сдаче мощностей в аренду.

Рассмотренный финансовый механизм допускает определенный произвол в выборе параметров Ьг (0 и Ьк1 (^. Например, если их динамика описывается геометрической прогрессией вида Ь™ (0 = Y-'Ь™ (0), т = г, к; ЬГ (0) < Ьк (0) < 0, I = 1, ..., п, то из соотношения (19) видно, что производственная прибыль каждой из отраслей асимптотически выходит на темп роста Y.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренная модель показывает теоретическую возможность асимптотического выхода многосекторной экономики на неймановскую траекторию, когда отсутствует централизованное планирование и управление, а экономические агенты ориентируются на максимизацию своей прибыли. Тем не менее, некоторая координация планов работ отраслей необходима в рамках предложенной схемы. Задача координирующего органа состоит в определении «правильных» значений параметров а и в (см. условия (14)) и передаче этих данных всем отраслям. Кроме того, координирующий орган должен установить такой порядок в сфере экономики, при котором ни одна из отраслей не имеет привилегий по ресурсному обеспечению.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. — М.: Мир, 1972. — 520 с.

2. Беленький В.З., Сластников А.Д. Равновесная динамика замкнутого рынка монопродуктовых производств // Экономика и математические методы. — 1994. — № 4. — С. 112—128.

3. Абрамов А.П. О выходе на магистраль сбалансированного роста в модели замкнутой децентрализованной экономики // Математическое моделирование. — 2008. — № 2. — С. 3—12.

4. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. — М.: Наука, 1979. — 304 с.

5. Клейнер Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение. — М.: Финансы и статистика, 1986. — 240 с.

6. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. — М.: Наука, 1984. — 294 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Н. Бурковым.

Абрамов Александр Петрович — д-р физ.-мат. наук,

гл. науч. сотрудник, Учреждение Российской академии наук

Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН,

Я (499) 135-00-80, И apabramov@list.ru, apabra@ccas.ru.