Магистральные характеристики матричных моделей экономической динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование

А.И. АБАКУМОВ, Т.А. ПИДЮРА

Магистральные характеристики матричных моделей экономической динамики

Изучены магистральные характеристики траекторий в матричной модели Неймана и ее частном случае на основе известных теорем о магистралях для модели Неймана-Гейла. Магистральные свойства уточнены с помощью результатов об асимптотических свойствах решений в матричных моделях динамических систем.

Ключевые слова: экономическая динамика, теорема о магистралях, темп роста, матрица, собственное число.

Main line characteristics of matrix models of economic dynamic. A.I. ABAKUMOV, T.A. PIDYURA

There have studied the main line characteristics of trajectories in matrix model of Neman and in its partial occasion on the base offamous theorems about main lines for the models Neiman-Gail. Main line properties are defined more precisely with the help of the results about asymptotic properties of the solutions in matrix models of dynamic systems.

Key Terms: economic dynamic, theorem of main lines, rate of speed, matrix, own number.

Наиболее общим образом модель Неймана-Гейла экономической динамики формулируется в терминах суперлинейных многозначных отображений [6]. В то же время известны разные модели, в частности матричная модель Неймана [4, 5]. Подобные модели применяются не только в экономике, но и, например, в экологии [1]. Для них справедливы те или иные теоремы о магистралях. В нашей работе указан способ получения многих теорем о магистралях из одной, достаточно общей, теоремы. Рассмотрен пример для матричной модели Неймана и ее частных случаев.

Сначала приводятся необходимые известные сведения об общей модели Неймана-Гейла [6], а затем наши конструкции для матричной модели Неймана и ее частного случая. Получающиеся свойства согласуются и дополняются асимптотическими свойствами матричных динамических моделей [2].

Модель Неймана-Гейла. Многозначная модель Неймана-Гейла [6] представляет собой такой замкнутый выпуклый конус М с ЯП х Я+,

( ° Л

что Vу Ф 0 (0, у)ёМ и множество РгуМ п R+ непусто. Символы

V /

Ргх, Рг у обозначают проекции множества по первой и второй компонентам соответственно, а кружок сверху - внутренность множества. Нам понадобятся только правильные модели Неймана-Гейла, для которых Ргх М = Я+.

В паре (х, у) е М вектор х называется вектором затрат, а вектор у - вектором выпуска. Пару (х, у) называют процессом. По конусу М строится производственное отображение f: Я+ ^ р(я+ ) модели

Неймана-Г ейла: f (х) = {у | (х, у) е М }. Конус М служит графиком этого отображения. Отображение f является суперлинейным в смысле следующего определения.

Пусть К и Q - два выпуклых замкнутых конуса в конечномерных (возможно, разных) нормированных пространствах. Многозначное отображение f: К ^ Р^) называется суперлинейным, если это

отображение: супераддитивно Vx х2 е К,

/ (х1) + / (х2) с / (х1 + х2); положительно однородно Va> 0,

Vx е К f (ах) = af (х); замкнуто (т. е. его график замкнут); гейловское

О

f (0) = {о}; невырожденное /(К) п Q Ф 0.

Отображение f называется нормальным, если Vx е К множество f (х) нормальное. Множество D с Я+ называется нормальным, если из у е D и г < у следует г е D . Отношение « < » употребляется в смысле покомпонентного частичного порядка между векторами.

Для двух элементов х, у е Яп через х• у обозначим их скалярное произведение. Заметим, что любой вектор р е Яп порождает линейный функционал с помощью скалярного произведения: р(х) = р •х .

Состоянием равновесия модели Неймана-Гейла называется набор элементов (а, (х, у), р) с действительным числом а > 0, парой

(х, у) еМ и элементом р е Я+, условия для которых следующие:

1) ах < у ;

2) V(x, у)е М выполняется неравенство р • у <а(р • х) и

р • у > 0.

Число а тогда называется темпом роста модели Неймана-Гейла М (или производственного отображения / ).

Траекторией модели Неймана-Гейла М называется последова-

<» |

" хг,х1+1!еМ (т е. х+ е J \хг> это означает, что в момент времени £ затраты х£ порождают продук-

тельность ) с (х^, х^+і )єМ (т. е. х^+і є f (хі)). Содержательно

цию хі, которая полностью является затратами следующего момента времени 1+1.

Конечная траектория (Т называется оптимальной, если существует такой р є R+ , что р • х^ = тах (р • у), где f'Т - су-

Ує^ (х0)

перпозиция отображения / с собой і раз.

Нам понадобится следующая теорема о магистрали для модели Неймана-Г ейла.

Теорема о магистрали (в слабой форме [6, с. 233]). Пусть а -темп роста модели М, точка х0 > 0 и функционал р > 0 удовлетворяют следующим условиям:

а) из точки х0 исходит траектория (х|) со средним темпом

роста а;

б) найдутся положительные числа кк" и функционал Р є г (Па) такой, что к'р < р < к р.

Пусть є - произвольное положительное число. Тогда для любой

конечной траектории (х| )Т=0, исходящей из х0 и оптимальной в смысле р, число таких процессов (х^, х , ), что

Р

1’Л1+1

і • -‘/+111 ^

г(хі• хі+і)г ' га

х1

> є , не превосходит некоторого числа, не завися-

щего от длины траектории Т.

Поясним все использованные обозначения. Под нормой ||х|| понимается любая норма в Яп, для определенности будем использовать

и и п

х = 2 І=1

х

І

. Через гф) для множества D с Яп выражена относи-

тельная внутренность множества D. Символ р обозначает расстояние в нормированном пространстве, расстояние от точки до множества определяется по Хаусдорфу [7]. Неймановская грань определяется как Га = М П ( П Н р), где множества Н р выглядят следующим реПа

образом: Нр = {х, у) е Яп х Яп | р • (ах - у) = 0}. При этом множество

функционалов имеет вид Па =|р еR^| V(x,y) еM a(p • x) > (p • y)}.

‘a

Траектория (x^ )^=q имеет средний темп роста a, если существует такой p е r (Па), что lim a _t (p • x^) > 0.

Чтобы найти темп роста, определяем показатель роста процесса

у j

(x, y) как a(x, y)= min ----. Неймановский показатель роста a(M)

j=1,..,n xj

x .ф0 j

модели M достигается на некотором элементе (x, у) с наибольшим числом положительных компонент в векторах этой пары. Процесс (x, y) называется неймановским, для него выполнено условие max a(x, y) = a(x, y) = a(M). Существует функционал p с

(x y)eMAB

условием p • y < a(M)(p • x) для любых (x, y) еM. Все это следует из результатов [6] для модели Неймана-Гейла. Таким образом, чтобы рассматривать a(M) в качестве темпа роста, выполняются все условия, кроме одного: a(M) у > 0. Если же выполняется и последнее, то a(M) - темп роста и (a(M), (x, y), p) - равновесие. Множество темпов роста может быть построено с помощью конечного алгоритма.

Алгоритм построения множества темпов роста [6]. Обозначим пространство X = Rn и модель M = M в X х Xt. Определяем

неймановский показатель роста a1 = a(M 1) и проверяем, является ли он темпом роста. При этом в качестве (x, y) выступает полный неймановский процесс (x y1), т. е. такая пара векторов, у которых множества индексов с положительными компонентами максимальны по включению. Такой процесс всегда существует. Через X обозначаем

подпространство в пространстве Rn, порожденное векторами стандартного базиса Rn, соответствующими нулевым компонентам вектора y1; проектируем M на X х X , получаем модель M ; затем

определяем кандидата a2 = a(M 2) этой модели в темпы роста с соответствующим возможным равновесием и т. д. Процесс закончится за конечное число шагов. Находим невозрастающую последовательность

a a ...,a, кандидатов в темпы роста. Из них выбираем убываю-12 k

щую последовательность темпов роста. Они составят все темпы роста модели M . Здесь же мы получаем соответствующие равновесия.

Каждый темп роста порождает магистральные свойства траекторий. В настоящей работе речь идет о магистральных характеристиках матричных моделей экономической динамики. Как правило, эти

модели являются частными случаями модели Неймана-Гейла, поэтому для них справедливы теоремы о магистралях. Остается только выяснить, какие темпы роста имеют модели и как устроены соответствующие неймановские грани. В силу теорем о магистралях под магистральными характеристиками моделей мы понимаем множество темпов роста и описания соответствующих неймановских граней. Рассмотрим эти характеристики для матричной модели Неймана.

Матричная модель Неймана. Модель Неймана определяется двумя неотрицательными матрицами А и В. Обе они имеют одинаковую размерность т х п, где т означает число производимых продуктов, а п - число способов производства [4, 5]. Матрица А описывает удельные затраты, матрица В - удельные объемы произведенных продуктов. Векторы х,уеЯп обозначают мощности способов производства. Модель Неймана определяется как частный случай модели Неймана-Гейла в виде конуса МА в = {(х, у) е Я+ х Я+ | 0 < Ау < Вх}

Будем предполагать модель невырожденной в том смысле, что матрица А не имеет нулевых столбцов, а матрица В не имеет нулевых строк [4]. Тогда модель Неймана является правильной моделью Неймана-Гейла с нормальным производственным отображением.

Введем множество Dа = {х е Я+ | 3 у е Я+ Ау < Вх, ах < у} для модели МА В . Наибольшее число а > 0 при конусе Dа Ф {0} и будет

неймановским показателем роста. Условие невырожденности обеспечивает существование и конечность такого а, т. к. множество Dа является выпуклым замкнутым конусом и приводится к виду Dа = {х е Я+ | (В - аА)х > 0}. Для наибольшего а > 0 выбираем вектор х Ф 0 с наибольшим возможным числом положительных компонент. Из свойств модели Неймана-Г ейла [6] следует, что такой вектор существует. Для а > 0 проверяем условия существования равновесия, т. е. условия быть темпом роста.

Далее по указанному выше алгоритму находим все темпы роста аг (I = 1,...,5) модели МАВ . Для каждого темпа роста определено состояние равновесия (а ,(х1 ,а[х1), рг).

Для каждого найденного темпа роста а > 0 с равновесием (а,( х,ах), р) неймановская грань Га имеет вид

Га =Ы у) е Я+ х Я+ 1 а(р •х) = р • у}.

Дальнейшее уточнение характеристик темпов роста удалось сделать при рассмотрении нижеследующего частного случая матричной модели Неймана.

Частным случаем матричной модели Неймана является модель Леонтьева, лежащая в основе моделей межотраслевого баланса [5]. При этом матрицы А и В квадратные, В совпадает с единичной

матрицей I. Мы будем исследовать несколько иной частный случай матричной модели Неймана, когда т = п, А = I, причем матрица В неразложимая [3]. Выясним, существует ли для этих моделей состояние равновесия, исследуем асимптотику их траекторий. Матрицу В переобозначим через А . Получаем модель

МА = ((х, у) е ЯГП х ЯП | 0 < у < Ах}. (1)

Исследуем свойства частного случая (1) матричной модели Неймана. Согласно теореме Перрона-Фробениуса для неотрицательных матриц [3] неразложимая матрица А имеет доминантное положительное собственное число, равное спектральному радиусу. Следующая теорема характеризует темпы роста матричной модели (1).

Утверждение о темпе роста матричной модели. Модель М А

имеет единственный темп роста, равный доминантному собственному числу г матрицы А.

Доказательство. В силу теоремы Перрона-Фробениуса [3] неотрицательная неразложимая матрица А имеет доминантное положительное собственное число г. Это собственное число обладает кратностью 1, у него есть положительный собственный вектор х > 0 . Доминантное собственное число г является темпом роста с равновесием (г,(х, гх), р). Вектор р > 0 - собственный вектор для числа г матри-

*

цы А (символ «*» обозначает операцию транспонирования матрицы). Процесс (х, гх) является полным неймановским процессом, и выполняется неравенство гх > 0. Из схемы построения темпов роста следует, что других темпов роста в модели нет. Утверждение доказано.

Перейдем к изучению магистральных свойств в матричной модели (1). Вспомогательное множество Пг имеет следующий вид:

Пг = {р>0|Мх,у)еМАг(р^х)>р-у } = {р>0| Ух>0р-((г!-А)х)>0}.

I »

Лемма о множестве П г. П г = Lг п Я+ , где Lr - одномерное

*

подпространство собственных векторов для числа г матрицы А .

Доказательство. Пусть выполняется неравенство (г1 - А*)р Ф 0.

Тогда по лемме о положительности матрицы (А * ПI)п 1 для неотрицательной неразложимой матрицы А * [3] выполняется

(г1 - А* )q > 0 при q = (А * ПI)п 1 р . В этом случае q • ((г1 - А)х) > 0 для собственного вектора х, что противоречит определению собственного вектора. Отсюда (^ - А *)р = 0 . Лемма доказана.

Лемма о неймановской грани. Для р е П г неймановская грань определяется как Гг = {(х, Ах) | х > 0}.

Доказательство. Вычислим Нр = {(х, у) | р • (гх - у) = 0} для

р е Пг, р > 0. Так как (VI - А*)р = 0 то для любого х > 0 выполняется равенство р • (гх - Ах) = 0. Если р • (гх - у) = 0 для у < Ах, то из условия р > 0 следует у = Ах . Лемма доказана.

Из утверждения и лемм следует, что магистральность в модели (1) определяется известным поведением траектории в динамической модели

х, П1 = Ах' (2)

при фиксированном векторе х0. А именно для матрицы А вычисляется индекс импримитивности h как количество собственных векторов матрицы, по модулю равных доминантному собственному числу г.

Если ввести нормировку вектора х в виде у = —х , то получается

г

следующая характеристика асимптотических свойств траектории в модели (2):

1 '^ р • х0 _ ( Л

7 ^у- =^^х , (3)

'h р • х

где х, р - положительные собственные векторы матриц А и А* соответственно с дополнительными условиями нормировки: ||х|| = ||р|| = 1. Этот результат в целом получен в работе [2], здесь мы лишь уточнили числовой множитель в формуле (3) справа. Эта формула означает, что лишь для примитивной (И = 1) матрицы существует предел нормированного вектора состояния системы, в импримитивном случае предел вычисляется только для скользящего среднего.

Таким образом, свойства матричной модели Неймана вытекают из общей теоремы о магистралях для модели Неймана-Г ейла. В частном случае (1) матричной модели магистральные свойства тесно связаны с доминантным собственным числом переходной матрицы. Использование теорем о магистралях в матричных моделях экономической динамики позволяет находить и траектории сбалансированного роста как магистрали. В иных случаях траектория сбалансированного роста постулируется, а темп роста вычисляется на основе этого постулата. При условии применения теорем о магистралях мы получаем только асимптотически устойчивые траектории сбалансированного роста и соответствующие им темпы роста.

Литература

1. Абакумов А.И. Управление и оптимизация в моделях эксплуатируемых популяций. - Владивосток: Дальнаука, 1993. - 129 с.

2. Абакумов А.И., Худзик Т.А. Асимптотика в матричных моделях динамических систем // Дальневост. мат. журн. 2003. Т.4, № 1. С. 44-51.

3. Гантмахер Ф. Теория матриц. - М.: Наука, 1988. - 576 с.

4. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М.: Прогресс, 1975. - 606 с.

5. Ланкастер К. Математическая экономика. - М.: Сов. радио, 1972. - 464 с.

6. Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. - М.: Наука, 1973. - 336 с.

7. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. - М.: Мир, 1973. - 471 с.

© Абакумов А.И., Пидюра Т.А., 2010 г.