CC BY
45
ЭкононачЕскае ннуки
МЕЖОТРАСЛЕВАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ КАК ЭФФЕКТИВНЫЙ ИНСТРУМЕНТ ИНДИКАТИВНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ СБАЛАНСИРОВАННОГО РОСТА
А.С. Мараховский
INPUT-OUTPUT BALANCE MODEL AS AN EFFECTIVE INSTRUMENT OF BALANCE GROWTH INDICATIVE PLANNING
Marakhovsky A.S.
The article analyzes the use of indices, which characterise the dynamic features of Leontiev's input-output balance model for forecasting and planning of the balanced increase of macroeco-nomic system total output. Being specific indicators, eigen values and corresponding eigen vectors entirely determine the current and future condition of the economic system development. The elaboration of effective tools for managing such indicators allows to bring economic dynamic systems out to balanced rate of growth.
В статье проводится анализ использования показателей, характеризующих собственные динамические свойства межотраслевой балансовой модели Леонтьева для прогнозирования и планирования сбалансированного роста валовых вы/пусков макроэкономических систем.
В бывшем СССР, в том числе в России, был накоплен огромный опыт по планированию и прогнозированию. Разработке научных народнохозяйственных планов способствовала обязательная государственная отчетность и статистика. Наиболее слабым звеном народнохозяйственного планирования был механизм реализации планов. Советский опыт разработки народнохозяйственных планов служил объектом изучения во многих странах мира. За годы реформирования, в процессе всеобщего отрицания и разрушения уничтожены все государственные институты, занимавшиеся разработкой народнохозяйственных планов, растеряны специалисты высокого уровня. За последние 10 лет не появилось ни прогнозных программ, ни среднесрочных планов социально-экономического развития России. Между тем бюджет страны не может быть реальным, если он не основывается на объективных оценках фактического состояния экономики и ее кратко- и среднесрочных прогнозах.
Необходимость планирования и прогнозирования осознается правительством и экономической наукой России. Формирование рыночной экономики не оставляет иного пути государственного регулирования в России кроме индикативного планирования.
Впервые принципы индикативного планирования были раскрыты в 1944г . К. Ландауэром в работе «Теория национального экономического планирования». В ней дается следующее определение государст-
УДК 330.366
венному планированию: «Планирование основывается на сознательной координации деятельности, а не на автоматическом согласовании, как при рыночном типе хозяйства. Эта сознательная деятельность должна осуществляться какой-либо организацией общества. Таким образом, планирование представляет собой некоторую совместную деятельность и регулирование обществом процессов функционирования индивидуальных агентов. Даже если план принимается в результате всеобщего и свободного обсуждения, в нем проявляется приоритет решений, принятых в общих интересах, а не решений отдельных агентов...
Для достижения основной цели плана будущие производственные процессы должны быть выбраны и определены таким образом, чтобы обеспечивалось полное использование имеющихся ресурсов и исключались противоречивые требования. Выполнение этих условий создает возможность поддержания устойчивых темпов роста».
Индикативный план (ИП) в литературе называют также план-прогнозом. Причина этого в том, что ИП должен быть сбалансирован по материальным, трудовым и финансовым ресурсам, чтобы объединения предприятий, крупные корпорации и отрасли соизмеряли свои будущие действия (планы) с предполагаемым (прогнозируемым) наличием ресурсов (в особенности топливно-энергетических). Но иногда это неосуществимо из-за нехватки ресурсов, поэтому баланс допускается в ИП, если предполагается (прогнозируется), что есть большая вероятность изыскания ресурсов в будущем.
Методы оптимального регулирования и управления в нашей стране стали разрабатываться сразу же после Первого Всероссийского совещания по применению математики и вычислительной техники в экономических исследованиях и планировании (апрель 1960 г.) и получили принципиально новое обоснование в середине 60-х годов с разработкой системы оптимального функционирования экономики (СОФЭ). СОФЭ опиралась на практические расчеты межотраслевых балансов, значительно продвинувшие вперед методологию и технику го-
сударственного планирования и экономического регулирования.
Разумеется, теория СОФЭ - не совокупность истин в последней инстанции, а система развития рациональных методов хозяйствования, включающая и целый ряд социально-экономических аспектов. Монополизация социально-экономических исследований в рамках кургузой политической экономии ныне успешно преодолевается: социально-экономический аспект теории рационального ведения хозяйства ассимилируется все более и теорией СОФЭ, которая вбирает в себя все атрибуты рационального хозяйствования, в том числе и те, которые вплотную примыкают к политической экономии.
Принципиально новым моментом в развитии современной экономической науки является постановка вопроса об альтернативных возможностях социально-экономического развития. Обобщение опыта хозяйственного строительства в нашей стране, в ряде стран Европы, да и всего мира, необходимо именно для того, чтобы выработать адекватные современным производительным силам методы хозяйствования, несводимые к традиционному противопоставлению капитализма и социализма. Современный уровень развития производительных сил диктует целый спектр возможных форм социально-экономических организаций, из которых регулирующий механизм подбора осуществляет выбор наиболее целесообразных и удачных.
За рубежом исследованием динамики развития экономических систем занимался наш соотечественник и лауреат Нобелевской премии В.В. Леонтьев. Исследование Леонтьева и его последователей в области межотраслевого анализа с самого начала были связаны с решением важнейших народнохозяйственных задач изучения состояний сложных экономических систем и оптимального планирования их развития.
Простейшая, статическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева «затраты - выпуск») имеет вид:
X = АХ + У (1)
где X - вектор валовых выпусков продукции, У - конечный продукт (вектор потребления), А - матрица коэффициентов прямых затрат.
Модель отражает балансовую взаимосвязь между затратной частью производства АХ и конечным продуктом У, при определенном уровне валовых выпусков Х.
Предположив в модели наличие инвестиций 1(1), связанных с расширением про-
йХ
изводства и валовых выпусков в раз-
личные моменты времени X посредством матрицы капитальных затрат В, получим динамическую модель межотраслевого баланса:
Хф = ЛХ(0 + У(0 +1(1) или (Е - Л) X (X) - В Х (X) = У (X), (2) где Е - единичная матрица, а точка над Х(1) обозначает операцию дифференцирования.
Динамическая модель представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений с правой частью. Для замыкания модели (2) по потреблению необходимо вектор конечного спроса У(1) выразить через валовые выпуски Х(1):
У(1) = КХ(1), (3)
где К - матрица норм потребления.
Такая замена справедлива для межотраслевой макроэкономической системы нашей страны, в которой из года в год суммарная доля, отводимая на конечное потребление постоянна [1].
Подставляя (3) в (2), получим систему:
X (X) = ОХ(1), (4)
матрица 0=В_1(Е-Л-К) является матрицей однородной системы замкнутой по потреблению.
Источником капитального строительства является вектор инвестиций Щ):
ВД = ВХ (X). (5)
Элементы матрицы Ьу представляют собой «определяемый технологией запас особого типа благ - машин, механических инструментов, промышленных зданий и сооружений, первичных и промежуточных материалов производимых отраслью 1, которые
используются в отрасли ] для производства единицы ее продукции» [2]. Каждый столбец матрицы В описывает потребность в физическом капитале в некоторой отрасли, а строка - возможность предоставления этого капитала другим отраслям.
Деление отраслей на «фондосоздаю-щие» и не образующие фонды приводит к появлению нулевых строк в матрице капитальных коэффициентов. В этом случае матрица В является вырожденной и, что следует из курса линейной алгебры, не имеет обратной матрицы В . Учет отраслей не способных генерировать основные фонды, превращает систему дифференциальных уравнений (2) в систему дифференциально-алгебраических уравнений: В1Х1 + В 2 X 2 + А1Х1 + А2 X 2 + У1 = 0 А3 X1 + А4 X 2 + У 2 = 0, в которой матрица капитальных коэффициентов и матрица Леонтьева (обозначенная как А) разбиты на четыре подматрицы.
Если система (6) состоит из т дифференциальных уравнений и п алгебраических, то размерности подматриц следующие: Л1(т,т), Л2(т,п), Л3(п,т), Л4(п,п), В1(т,т), В2(т,п), В3(п,т), В4(п,п). По причине наличия в матрице В нулевых строк элементы подматриц В3 и В4 равны нулю. Так как матрица Леонтьева продуктивна, то квадратная подматрица Л4 невырождена и имеет обратную матрицу Л4-1. Смысл дальнейших преобразований сводится к избавлению от алгебраических уравнений системы (6) и приведения ее к системе одних дифференциальных уравнений.
Выразим вектор Х2 из системы алгебраических уравнений:
Х2=-Л4-1Л3Х1-Л4-1У2 (7)
Полученное значение подставим в систему дифференциальных уравнений, которая примет следующий вид:
(В1-В2Л4лЛ3)Х 1 +
+ (Л1 - Л2Л4-1Л3)Х1 + (У1 - Л2Л4-1У 2) = 0
(8)
В данной системе матрица коэффициентов при производных невырождена, а, следовательно, и нет проблем с нахождени-
ем решения в виде Х1(1) Подставляя полученное решение в систему (7) находим Х2(1) Таким образом, находится решение системы дифференциально-алгебраических уравнений (6) и преодолевается проблема решения системы дифференциальных уравнений (2), в которой не все отрасли являются фондо-создающими.
Решение данной однородной системы имеет вид:
Х(1) = еО1Х(0):
(9)
где матричная функция еО1 является матрицей размера т х т; Х(0) - начальные значения валовых выпусков т-секторной макромодели.
Решение (9) можно представить с использованием собственных чисел 1 и векторов Т матрицы О:
X (г) = Т ■ diag (е1) • Т - • X (0), (10)
где diag(e1t) - диагональная матрица.
Собственные значения матрицы О характеризуют динамические свойства системы, а собственные векторы - амплитуды собственных движений.
Общее решение однородной системы (4) в соответствии с классическим методом расчета переходных процессов имеет вид: Х (1) = С1 ем + С2 е"2' + ... + Сп е я"\ (11) где С1, С2, ..., Сп - векторы постоянных интегрирования, определяемые из начальных условий.
Сравнивая (10) и (11) заметим, что векторы С, которые определяют амплитуды собственных движений, зависят от начальных условий и собственных векторов матрицы О. Таким образом, собственные числа и векторы матрицы О являются своеобразными индикаторами, которые характеризуют переходные процессы и динамику валовых выпусков балансовой модели.
Планирование валовых выпусков на краткосрочную и среднесрочную перспективу сводится к такому выбору собственных чисел и собственных векторов, который бы обеспечивал постоянный сбалансированный рост и расширение экономики. Динамическая модель межотраслевого баланса Леонтьева позволяет планировать эффективные
траектории функционирования производственного сектора экономики.
Наличие в модели отраслей, не создающих фонды и, как следствие, нулевых строк в матрице капитальных коэффициентов, приводит к трансформации системы дифференциальных уравнений (2) в систему уравнений (8), что приводит к уменьшению размерности модели. Размерность модели в этом случае определяется количеством фон-досоздающих отраслей. Таким образом, чем меньше фондосоздающих отраслей в модели, тем меньше составляющих движения в уравнении решения (11) системы (9). Учет же динамики развития отраслей, не генерирующих основной капитал, осуществляется посредством решения алгебраических уравнений (7), не содержащих инерционные элементы, а потому, эти решения будут линейно зависимы относительно найденных из первой части системы (6).
Уменьшение составляющих движения в выражении (11) непременно приводит к "загрублению" результата анализа и аппроксимации динамики валовых выпусков. Сложные траектории развития или спада экономических процессов, в которых присутствуют колебательные составляющие циклов запасов (Китчина), строительных циклов (Кузнеца), циклов длинных волн (Кондратьева) и др., могут быть адекватно описаны с применением достаточного количества составляющих. В этом случае уместна аналогия с полиномиальной аппроксимацией, в которой чем выше степень полинома, тем ближе (с точки зрения квадрата расстояния) теоретическая кривая расположена к фактическим данным.
Наличие в современной экономике [3] широкого спектра волн и циклов с различной амплитудой и частотой требует для адекватного математического описания применения тригонометрических методов аппроксимации рядом или интегралом Фурье. Связь между тригонометрическими функциями и экспоненциальными составляющими движения известна из курса алгебры комплексных переменных:
с ео8(Я) + о] 1) = се11 (12)
В этом случае если отрасли экономической системы участвует в сложном динамическом процессе, описываемом рядом Фурье с достаточно большим количеством гармонических составляющих, то, переводя систему к экспоненциальному базису, количество собственных составляющих движения (11) должно быть таким же.
Автору пока еще не встречались отечественные работы, в которых при формировании капитальных коэффициентов матрицы В реальной макроэкономической системы учитывалось бы в качестве фондосоз-дающих отраслей более двух отраслей. Общепринятым мнением считается, что фондо-создающими отраслями являются «машиностроение» и «строительство» [2], тогда как в представленных алгоритмах обращения вырожденной матрицы В фигурирует их большее количество. Недостаток отечественного статистического материала приходится компенсировать зарубежными, причем устаревшими данными, например, Японии за 1965 год [4], в которой представлена трех-секторная модель с тремя фондообразующими отраслями. Если наличие низкоразмерных моделей в прошлом еще можно объяснить отсутствием высокопроизводительной компьютерной техники, то вакуум фактического материала в настоящее время опасен, так как создает различные преграды на пути вывода страны из текущего состояния и приведения отраслей к сбалансированному росту.
Тем не менее, эффективные траектории не сводятся только к сбалансированному росту. Соответствующие типы динамических процессов или, выражаясь геометрическим языком, формы траектории в пространстве состояний экономики могут быть настолько сложными, что даже явно выписать уравнения орбит, на которых лежат эти траектории, оказывается нелегко. Самуэль-сон [5] высказал гипотезу о том, что эффективные траектории на промежуточных этапах перед достижением конечного состояния имеют тенденцию выходить на луч максимального сбалансированного роста, и чем длиннее траектория, т.е. чем больше интервал времени, отведенный для достижения
конечной цели, тем в большей степени эффективная траектория совпадает с таким лучом.
Самуэльсон сравнивает луч максимального сбалансированного роста с магистралью в автодорожной сети. Если требуется проехать в близлежащий город, то нужно двигаться прямо к цели, не выезжая на магистральную дорогу. Однако если совершается длительная поездка в отдаленный город, то выбирается более сложный путь: прежде всего нужно доехать до магистральной дороги, затем двигаться по ней столько, сколько это возможно, и только потом нужно свернуть с магистрали на местную дорогу, ведущую к нужному городу. Гипотеза Саму-эльсона состоит в том, что стратегия эффективного долговременного экономического роста подобна такому плану движения. Выйдя из исторически сложившегося начального состояния, экономика должна сначала достигнуть луча максимального сбалансированного роста, затем функционировать в течение возможно большего числа плановых периодов в режиме сбалансированного роста на этом луче или почти в этом режиме - вблизи луча, и затем, наконец, свернуть к достижению конкретной цели. В связи с этой аналогией указанная близость эффективных траекторий к лучу максимального сбалансированного роста получила название принципа магистрали.
Уравнение магистрали [2,5] для системы (4) замкнутой по потреблению имеет вид:
X(Г) = (1 +1)' • X(0), (13)
где 1 - собственное число матрицы О, соответствующее положительному правому
собственному вектору X(0) (теорема Перрона - Фробениуса).
Вектор начальных условий X(0) сбалансирован и отражает оптимальные пропорции валовых выпусков. Соответственно
траектория X(¿) также является сбалансированной, т.к. в любой момент времени вектор X(ti) является собственным вектором матрицы О, что следует из определения соб-
ственного вектора с точностью до произвольного множителя.
По поводу существования эффективных траекторий, выводящих на магистраль в теоретическом плане доказано множество теорем [2, 5] и мы не будем останавливаться на их обсуждение. В настоящее время существует проблема недостатка автоматизированных систем управления, которые при наличии реальных данных динамического межотраслевого баланса указывали бы направление эффективного функционирования и развития экономических подсистем. Ориентируясь на эту информацию ЛПР (лицо, принимающее решение) должно выбрать в какой последовательности и какие действия ему нужно предпринять для изменения своей экономической политики в области материальных АХ, капитальных В Х и трудовых КХ затрат.
Частичное решение этой проблемы заключается в создании специального комплекса оптимизирующего программного обеспечения, позволяющего при наличии целевой функции и граничных условий, используя математический аппарат теории автоматического и робастного управления синтезировать оптимальные траектории функционирования экономики. При этом входными и выходными величинами должны быть экономически-прозрачные параметры динамической системы.
Однако перевод задач оптимизации в «техническую» плоскость вовсе не гарантирует отсутствия серьезных проблем в области нахождения оптимального решения. Это связано с определенными трудностями в решении задач многокритериальной оптимизации в управлении. Такие задачи должны рассматриваться с точки зрения исследования неразрывной совокупности следующих аспектов: формирование векторных критериев эффективности; трансформации множества возможных альтернатив; выбор и обоснование путей решения задачи векторной оптимизации; кадровое, методологическое, информационное и аппаратно-программное обеспечение решения. Эти аспекты должны рассматриваться в едином комплексе.
Тем не менее, в области создания соответствующих алгоритмов и вычислительных процедур были достигнуты определенные результаты, которые составили основу программного комплекса СТАТУС (статическая устойчивость) [6]. Принятие и формирование оптимальных решений в экономике неразрывно связано с проблемой статической устойчивости этих решений. Анализ колебательных составляющих переходных процессов основан на контроле за собственными числами (10), которые, являясь решением характеристического уравнения, могут быть комплексными.
В процессе использования программного комплекса был наработан определенный опыт в области модификации параметров сложных динамических систем и их влияния на формирование эффективных траекторий устойчивого сбалансированного роста валовых выпусков продукции. Оказалось, что существенный потенциал управления сбалансированностью пропорций валовых выпусков заложен в эффективном распределении инвестиций, за которые в динамической модели Леонтьева отвечает матрица капитальных затрат В. Эта матрица в случае влияния научно-технического прогресса при приобретении основных производственных фондов содержит в себе коэффициенты приростных фондоемкостей.
Ни для кого не секрет, что после развала СССР нарушились экономические связи между отраслями, которые привели к существенным диспропорциям в организации производства. Появилось подавляющее большинство промышленных предприятий, работающих на грани банкротства и закрытия. В таких условиях руководство предприятий меньше всего заботилось о долгосрочной инвестиционной политике, что естественно привело к простаиванию и неэффективному функционированию основных средств предприятий. По некоторым подсчетам до 40% промышленных предприятий нашей страны имеют освоенные, но не эффективно функционирующие и простаивающие производственные площади. Запуск их в эксплуатацию требует гораздо меньших
материальных затрат нежели постройка новых.
Сбалансированное перераспределение инвестиций в таких предприятиях приведет к значительному снижению капиталоемкости (матрица В), а в случае приобретения высокоэффективных производств - снижению коэффициентов прямых материальных затрат (матрица А). Поставка на рынок высококачественной современной продукции непременно скажется на изменении баланса спроса и предложения, что будет отражено в матрице К. Анализируя эти изменения в балансовой макромодели нашей страны для 22-х отраслевой экономики приходится учитывать 222+222+222=1452 параметра, которые в той или иной мере подлежат варьированию для определения траекторий сбалансированного роста валовых выпусков.
Разработка процедур оптимизации высокоразмерных моделей не единственная сложность на пути сбалансированного распределения затрат производства. Наряду с проблемой статической устойчивости при выходе на темпы сбалансированного роста возникает проблема параметрической устойчивости. То есть возникает проблема удержания экономической системы на магистральном пути развития.
Сказанное можно проиллюстрировать следующим примером. На рисунках 1 и 2 представлены два варианта развития трех-секторной макроэкономической системы. Три отрасли обоих вариантов имеют одинаковые начальные условия.
Валовые выпуски х1 первого варианта стартуют находясь уже на магистрали, но начиная с некоторого момента времени (И=3) происходит нарушение сбалансированного роста. Валовые выпуски х2 второго варианта стартуют с определенным дисбалансом, но с течением времени происходит саморегуляция системы на сбалансированные темпы развития. В первом случае нужны дополнительные меры по поддержанию сбалансированного роста, тогда как во втором - система является автономной и устой-чиворазвивающейся.
Выбор какого-либо варианта развития экономической системы зависит от множе-
ства факторов и конкретной ситуации на производстве. Линейная динамическая модель Леонтьева обладает рядом известных ограничений по аппроксимации реальных экономических объектов, но методика планирования, основанная на анализе индикаторов собственных динамических свойств, дает возможность осуществлять непрерывное слежение и оптимизацию траекторий развития сложных экономических систем. В конечном итоге, предоставляя одновременно гибкий и мощный инструмент для принятия решений.
2
О И
Рис. 1. Неустойчивое развитие.
О
О 11 1
Рис. 2. Устойчивое развитие.
Вывод: сбалансированные траектории индикативно-балансового планирования, оставаясь чисто рекомендательными, являют собой эталон, к которому следует стремиться, который следует «иметь в виду», хозяйствуя в реально складывающихся условиях, где фактор случайности может играть решающую роль. В последнем случае траектория развития уйдет от прогнозируемой дос-
таточно далеко и необходимо прилагать
усилия для минимизации этой «далекости».
ЛИТЕРАТУРА
1. Соколин В.Л. Система таблиц «Затраты -Выпуск» России за 2000 год: Стат.сб./Госкомстат России. - М., 2003.
2. Драгобыцкий И.Н. Экономико-математическое моделирование. - М.: Издательство «Экзамен», 2004.
3. Рудый К.В. Циклы в современной экономике. - М.: Новое знание, 2004.
4. Кубонива М. Математическая экономика на персональном компьютере. - М.: Финансы и статистика, 1991.
5. Никайдо X Выпуклые структуры и математическая экономика. -М.: Мир, 1972.
6. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Системная устойчивость и экономические циклы // Российское предпринимательство. - 2004. -№№6,7.
Об авторе
Мараховский Александр Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры автоматизации учетно-финансовых информационных систем Ставропольского государственного аграрного университета. Сфера научных интересов - математические методы и модели в экономике.
