CC BY
25
ИНТЕРВАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФОТОДАТЧИКОВ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ
А.Н. Коровьяков, С.А. Сударчиков, А.В. Ушаков
Рассматриваются вопросы линеаризации нелинейной преобразовательной характеристики двухканаль-ных фотодатчиков с использованием технологий интервальной линеаризации.
1. Введение. Постановка задачи
В фотоэлектрических системах пространственного слежения для целей измерения рассогласования между линией визирования объекта наблюдения и оптической осью оптико-электронного измерительного устройства используются двухкоординатные фотодатчики (ДКФД). В силу ограниченности апертуры приемной оптической системы [1,2], преобразовательная характеристика ДКФД оказывается нелинейной. Модельно ДКФД состоит из двух частей, первая часть преобразует модуль указанного рассогласования в электрический сигнал, а вторая представляет собой расщепитель сигнала на канальные компоненты, как представлено на рис. 1.
£
II
U
е 1
U
е2
Рис. 1. Структурная схема фотодатчика
Таким образом, фотодатчик связывает двухкомпонентный вектор электрических аналогов рассогласований с двухкомпонентным вектором входных (угловых) рассогласований.
Аналитически ДК ФД задается нелинейной функцией (1), (2)
uE(t) = f (e(t)); f (0) = 0; (1)
e(t )= g (t)- y(t). (2)
В соотношениях (1), (2) е, g, y - соответственно ошибка рассогласования, вектор входного воздействия, вектор выхода, y, g, е, е Rm (m=2), нелинейная функция f (e(t))= col{f (е)1, f (е2)} составлена из его нелинейной пеленгационной характеристики и алгоритма, описывающего процесс расщепления сигнала общего тракта по канальным компонентам, образующим вектор ue. Для полного описания ФД соотношение (1) необходимо дополнить условием
e(t)е Se, (3)
выполняемым для режима сопровождения. В (3) Se - сфера, задаваемая в форме
Se:||e(t)\<\\е3\|, Vt. (4)
где ||(e(t)) - норма вектора ошибки e(t), ||е3|| - значение нормы вектора ошибки рассогласования, при котором происходит переход от режима захвата к режиму сопровождения. Ставится задача привести зависимость (1) к виду
w.
где
ы=
()=Кк(),
[ K£J [ K£J ] [ K„]
(5)
2. Интервальная линеаризация нелинейных векторных зависимостей
Рассмотрим нелинейный непрерывный объект управления (НОУ)
х(() = f (x()) + Bu(); x(0); y() = Cx(), (6)
где x, y, u - векторы состояния, выхода и управления, f (x) - нелинейная векторная функция от вектора, f (0) = 0; B, C - матрицы входа и выхода;
x, f (x)e Rn; u e Rr; y e Rm размерности матриц B, C согласованы с размерностями векторных переменных, с целью построения интервального представления нелинейного объекта управления (1) в форме
x() = [A ]x() + Bu(); x(o); y() = Cx(), (7)
где [a]= [a, a] - интервальная (n x n) матрица состояния интервального непрерывного объекта управления. Объект управления (7) с интервальной матрицей [A] строится для области Sx пространства состояния
Sx :||x|| < ds, V t, (8)
так чтобы выполнялись неравенства
ЕАг]х] < у;-(х)<ЕАх- . (9)
У=1 У=1
Граничные значения А-у и A1J (;, у) - компонента интервальной матрицы [А]
строится с помощью алгоритма, на первом шаге которого осуществляется переход от представления (6) к представлению вида
x() = Ax()+Bu(t); x(o); y() = Cx().
(10)
На втором шаге этого алгоритма конструируются элементы А.ц и Ау в силу соот-
ношения
A = min(a(x)), Ajj = max(A(x))./.
Ключевым моментом в этом алгоритме является конструирование матрицы Л(х) элементы которой зависят от вектора х. Для этих целей можно воспользоваться поло жением следующего утверждения.
Утверждение 1. Представление /(х) = Л(х)х выполняется, если Л(х) сконструи
(12)
ровано в фо
рме (13).
fl (x )
A(x ) =
¡¡Т x1
x
f1 (x)
wT x1
x
fx (x).
II2 n
fl (x L f2 (x )
x
x
fn (x)
2 x1
fn (x)
x
x
fl (x)
2 xn
x
fn(x).
2n
2n
□ (13)
x
где х - евклидова норма вектора х.
Доказательство утверждения строится на непосредственном вычислении произведения А(х )х , для которого в силу (13), а также с учетом конструкции евклидовой нормы вектора получим
/1 (х)
А(х )х =
/1 (х )х х1
х
/2 (х)
х
/1 (х )х
1мТх1
/2(х )х ^¡^ х2
ц2 п
/2 (х)
2 хп
/п (х )х х1
/п (х)
2 хп
/п (х)
2 хп
х1 " /1 (х )"
х2 = /2 (х)
_ хп _ _/п (х)_
= / (х ).
■ (14)
Примечание. Возможность выбора вида нормы, при построении представления в форме А(х )х, позволяет уменьшить априорную модельную интервальность модельного представления (7) при осуществлении перехода вида (1).
Процесс формирования матрицы А(х) вида (13) оказывается вычислительно устойчивым, если при конструировании матрицы фиксируется норма ||х|| в сфере 8х, причем при обходе по вложенным в сферам снимается текущее значение переменных х1, которые в (9) входят мультипликативным элементом числителей компонентов матрицы А(х).
3. Пример
В качестве примера рассмотрим построение интервально линеаризованного модельного представления исходного нелинейного описания (1) ДКФД в полном соответствии с вышесказанным и положениями, разработанными в [3,4]. Задача решается в унифицированной обобщенной форме. Пеленгационная характеристика ФД ив = /(в),
" /1 (в)"
может быть записана в покоординатной форме которой формируются в силу соотношений = /1(в) = Щв|| О , ив 2 = /2 (в) = Щв|| Й,
ив1
<82
/2 (в)
81
скалярные элементы
(15)
где ||8 = -у/812 +822 . В приведенных выражениях модульный компонент щв представ-
ляется степенным рядом [5] с двумя членами в форме
1|3
_ .3
= ^-—и--^-^- П
8
118 1 11в|| иин = -"-^-л -■
8.
3!
-п
(16)
8
л/6
где —вт - размер апертуры ФД. п
Выражение (15) с учетом (16) получает следующее представление
/ (8) == От
118 111813 3 ^ — л--
8
3! в3
У
_в1
х
2
X
X
X
X
Um П
ei e 2
I
3! e2.
el e
e 2 e
Um П
Um П
I _ 1 П_|UN2 3! e_ l|e|1
e1 e1e 2
e2
e1e 2 e2
e 2
I _1 ^
3! e2
ei
e1e2
e1e 2 e 2
Введем обозначения ^ = cos ф и jy = sin ф, которые позволяют выражение (17)
переписать в виде
f (e) =
f
Umn
I _ 1 у 2
3! e2. "e"
V
cos2 ф ^т2ф
-^т2ф sin2 ф 2
Umn
1 _ 1 Я2
6
1 П2
--П
12
2
Vem f II ИЛ2
'е1
2 12
cos ф--П
12
2
VSm У
sin2ф 1 _1 п2 6
Vem У
f 1Ы1Л2
VSm У
e1 e 2.
sin 2ф
sin2 ф
[e],
(18)
Интервальное представление / (в) строится на интервальных значениях тригонометрических функций при изменении переменной ф в пределах от 0 до ± 2п и использовании правил интервальной арифметики, в результате чего получаем линейное интервально линеаризованное векторно-матричное представление пеленгационной ха-
"Квц! [КВ12 ]"
рактеристики ФД (5) с интервальной матрицей [Ke] =
[ K e 21 ] [ K e 221
. Граничные
(угловые) значения элементов интервальной матрицы [Кв] находятся в силу следующих соотношений [Кв;у] = [К,Кву ], ;,у = 1,2,
K S = min Un
е11 fMl у
ф, | -e- J ^ m
1 _ 1П
6
Л1с1|У
\Sm У
cos ф
K s,, = max
Un
-,iSi i у
1 _ 1П
6
ГЫУ
V Sm У
cos ф
Umn
Umn
1 _ l П
6
(\\c iiv
V Sm У
f
K е., = max
12 ф IS
iU\Y
--П
12
Sm \
V Sm У
sin2ф
Umn 1
rile IIY
= —П 12
Umn
VSm У
К в12 = -К В К В21 = КВ12 , К В = К В . К В22 = К В К в22 = К еп ,
Для введения в рассмотрение оценки относительной интервальности интервальной матрицы [Кв ] воспользуемся ее представлением в форме
[Кв] = Кво +[АКе], (19)
e
e
1
2
e
e
e
2
т
т
Ь
e
S
2
т
2
Ь
е
m
ь
m
1
где К8о, [ДК8] - медианный и интервальный компоненты матрицы [К8], задаваемые
соотношениями
К 8о = 0,5( К 8+ К в ) =
ит п
1 - .1 п 2 12
липу
V8т У
[ДК в]=
ит п
1 п 2 -п
12
- 1 п2 -п
12
2
2
V8т У
лил2
12
п
р
V т у
1 п 2 п
12
V8т у
'II IIЛ2: 'б
р
V т у
1 - ± п 2 12
2
V8т у
2
-п 12
2
V8т у
12
п
1 п 2 п
12
'И? ± п2
ту 12
V8т у 'II II Л2
'б
р
V т у
Оценка относительной интервальности 57К8 =
м
||К ро|
(20)
(21)
если воспользоваться
столбцовыми нормами матриц К80 (20) и [ДК 8] (21), функция -Ц- принимает вид
8т
51К р =
1 п 2 — п 6
'II II V '8
V8т у
1 - ± п2 12
Л •
(22)
8
V т у
С использованием предложенного технологического приема строятся значения оценки относительной интервальности 51Ки в функции от 8 для 0 <-И<!И1, где
И
положено 0.75. Полученные данные приведены в табл. 1.
Таблица 1.
Значения оценки относительной интервальности 51Ки в функции от 8/и
0
8
т
0
1
1
1
т
8
т т
т
8 / Ит 0 0.166 0.25 0.333 0.5 0.666 0.75
1 п2 —к 6 'II 11Л2 и \8т у 0 0.046 0.104 0.183 0.411 0.73 0.926
К,0и = 1 -гит итп 12 V Ит у 1 0.977 0.948 0.909 0.794 0.635 0.537
5 Кб 8 /Ит ) 0 0.047 0.11 0.201 0.518 1.15 1.645
Кривая этой зависимости представлена на рис. 2. Как и следовало ожидать, с уменьшением нормы ЦиЦ ошибки слежения ФЭСС уровень интервальности представления (5) пеленгационной характеристики падает, в окрестности точки 8 = 0 матрица К8 перестает быть интервальной.
5 К 2 ^
Г 8т
Рис. 2. Значение 57К8 в функции от -Ы-Литература
1. Буров А.Ф., Лопарев Р.Н., Мясников В.А., Попов О.В. Оптические пеленгацион-ные автоматы на судах. Л.: Судостроение, 1975.
2. Порфирьев Л.Ф. Теория общих электронных приборов и систем. Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1980.
3. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2002.
4. Акунов Т.А., Сударчиков С.А., Ушаков А.В. Интервальное представление нелинейных объектов в задаче синтеза модального регулятора. // Проблемы транспорта. Выпуск 10. / Под. ред. Г.В. Анцева и А.В. Линцера. Международная академии транспорта; Открытое акционерное общество «Радар ммс». СПб: Логос, 2004.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1962.
