Интерполяция некоторых классов весовых пространств Соболева и приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

517.982.27+517.984.52

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА И ПРИЛОЖЕНИЯ

С, Г, Пятков

Введение

Пусть д(х) — измеримая в области П функция. Введем весовое пространство Ьр,д(П), состоящее из измеримых в Л функций и(х) таких, что ||и||ьр а(п) = ||и(х)\д(х)^,р\\ьр(0) < Основной вопрос, который мы рассматриваем в данной работе, это вопрос о выполнении условия

3* е(0,1): (ж;(п),ьр,дтг-а,р = ),ьр,дт 1-я,Р) р е( 1,гс),

(1)

о

где — обычное пространство Соболева и пространство Ж£(П)

есть замыкание класса О^(О) в норме пространства Ж^Л). Символ (Н, Н2) 1-я,Р (Н, Н — банаховы пространства) обозначает пространство, построенное с помощью метода вещественной интерполяции (см.

[I])-

Опишем области применения интерполяционных равенств вида (1). Пусть А — позитивный оператор (см. определения в [1]) в гильберто-

о

вом пространстве ,д(П) = Н такой, что с В (А), В(А*) с

Обозначим через Н его область определения и положим Н— = (В(А*))*. Это пространство отождествляется с негативным пространством, построенным по паре В (А*) и Н. Тогда условие (1) является хорошим достаточным условием, гарантирующим равенство

(НЬН-!) 1/2,2 = Н, (2)

© 2009 Пятков С. Г.

имеющим многочисленные приложения. Абстрактным аналогом условия (1) является условие Зв € (0,1) : (£(А), Н)\= {В(А*), Н)\ и впервые это условие было использовано в работе [2]. Рассмотрим более общую ситуацию, когда А — произвольный позитивный оператор в гильбертовом пространстве Н. Тогда (2) есть достаточное, а иногда и необходимое условие, гарантирующее тот факт, что проектор Рисса, отвечающий данной неограниченной компоненте спектра, ограничен (см. [2-4]). Пусть Б — сектор па комплексной плоскости с вершиной в начале координат такой, что <г(А) С Б, и пусть <^(А) — аналитическая и ограниченная на Б функция. Если для любой такой функции у оператор <^(А) ограничен, то мы говорим, что А обладает ограниченным Н-исчислением.

В [5] доказано, что А обладит ограниченным Нто-исчислением тогда и только тогда, когда выполнено (2). Равенство (2) также эквивалентно тому, что мнимые степени Аг^ (£ € К) оператора А суть ограниченные операторы (см. [5,6]). Соответствующая теория и ре-

Н

прострапство Крейна и А — 7-диссипативный оператор в Н. При некоторых естественных дополнительных условиях выполнение (2) гарантирует существование максимальных семидефинитных инвариантных

А

при исследовании краевых задач для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени и при исследовании свойств ба-зисности собственных и присоединенных функций эллиптических спектральных задач с незнакоопределенной весовой функцией вида (см.

где Ь — эллиптический оператор порядка 2т, определенный в области О С Яп с границей Г, Bj — дифференциальные операторы, определенные на Г, Ви = д(х)и (д(х) — вещественная функция, меняющая знак в О О О-

[3,4])

Ьи = А Ви, х € О С Мп,

В^и\Г = 0, о = 1,т,

(3)

(4)

области С такие, что \ С±) = 0 (/х — мера Лебега), д(х) > 0 п. в.

в С+, д(х) < 0 п. в. в С" и д(х) = 0 п. в. С0 = С\(С+ ибР). При этом возможно, что = 0. Спектральные задачи (3), (4) были предметом значительного количества исследований начиная с работ Гильберта, Хольмгрена, Вейля, Ричардсона, Хилба, Хаупта и др. начала прошлого столетия. Значительная часть результатов и библиография может быть найдена в [3,4,9,10]. Среди последних работ, посвященных вопросам базисности и близким вопросам, мы отметим работы [11-22].

Ряд достаточных условий, гарантирующих равенство (1), можно найти, например, в книгах [1,3]. В данной работе мы обобщим некоторые из результатов книги [3] (см. также [9,10]) и опишем простейшие приложения полученных результатов к задачам вида (3), (4).

Определения и вспомогательные результаты

Пусть Л — некоторая область. Две измеримые в области Л функции и и и2 назовем эквивалентными в области Л (и ~ и2), если найдется постоянная М > 1 такая, что

\ш2(х)\/М < \и(х)\ < м\ш2(х)\ п. в. в Л.

Непрерывную положительную в Л функцию назовем весовой функцией в Л. В дальнейшем символ хм обозначает характеристическую функцию множества М. Через р(х, М) будем обозначать расстояние от точки х до множества М. Кроме того, обозначим через Вр(х) = {у : \х — у\ < р} шар радиуса р с центром в точке х. Шар радиуса р с центром в нуле обозначим через Вр, т. е. Вр = Вр(0). Назовем область Л липшицевой (или областью с липшицевой границей), если найдется конечное покрытие 9Л областями Щ,... , ит такими, что в некоторой системе координат у\,... ,уп, полученной путем поворота и переноса начала координат из исходной:

Щ П Л = {у е Мп : ш(у') < уп < Н, \у'\ < а}, ] = 1, 2,... , т, и П (Мп \ Л) = {у е Мп : — Н < уп < и(у'), \у'\ < а}, 3 = 1,2,..., т,

Щ П 5П = {у € Мп : уп = ш(у'), |У'1 < а}, ¿ = 1,2,..., т,

где у' = (ух,... , Уп-1), функция ш(у') удовлетворяет условию Липшица в области {у' : |у'| ^ а} с константой Липшица М, причем Ма ^ Н/2. Систему координат у\,... , уп обычно называют локальной системой координат.

Пространство (1 < р < ж) состоит из функций и € ЬР(П),

имеющих обобщенные производные (в смысле Соболева) Ваи до пот

= У ^ |Баи{х)|Р ¿х < ж.

о а <т

П

Пространство (р < ж) при в ф [в] состоит из и € таких,

что

И иыо, = и ы + / / > ]-, , , г Л Сш,у < 00.

11 11 № у у |х - у|п+Ыр у

п п Н=М

Пространства Бесова В® д(П) нам понадобятся лишь в случае р = д < ж По определению Вр,р(П) = при в ф [в] и Вр,р(П) при в = [в]

состоят из и € таких, что

11и11В?>р(п) = НиСГ^)

*| = 8-1

где Вь = {х € О : х + Н, х + 2Н € О}. В случае выпуклой области Л вместо предыдущей нормы в В8р(П) можно ввести норму

Ни11В,р(п) = Н^^ТЧП)

V- \Раи(0 - 2Раи((£ + ??)/2) + Раи('П)\р , ,

/ > 1 йхау.

|х — у|п+р

п п Н=8-1

Пусть П — липшицева область и д(х) — весовая функция в П. Функцию р(х) ъжоъеы допустимой для д(х), если р(х)|эп = 0, р(х)

удовлетворяет условию Липшица в области Л и найдется постоянная M > 1 такая, что

тах ш ^ M min ш (5)

Bpx (х) Bpx (х)

для всех x £ О. Допустимые функции всегда существуют и могут быть построены так:

p(x) = рм(x) = maxjp : max ш/ min ш ^ M, ВДx) С Л}.

Bpx (x) BPX (x)

Функция рм (x) удовлетворяет условию Липшица с постоянной Липшица 1 и является допустимой (см. [3, гл. 3, § 1.1.3]). Назовем весовую в Л функцию g(x) медленно меняющейся в Л, если найдется допустимая для g функция p(x) такая, что p(x) ~ p(x, Oft) в Л. Далее, рассматривая допустимые функции, всегда считаем, что они удовлетворяют условию Липшица с постоянной Липшица меньше 1. Это условие гарантирует нам, что ВРх (x) П дЛ = 0 для любого x £ П. В последующих рассуждениях мы используем неравенства типа Харди вида

j go(x)|u(x)|p dx ^ c^^p^ (x)go(x) J |Dau(x)|p dx + с j |u(x)|p dx,

O ^ |a| = r По

_ (6) где и £ Cq°(ÍÍ), ÍIq С Л и функция ро-допустима для весовой функции gx

Используя теоремы вложения и неравенство Гёльдера, легко найти, что при выполнении условия

n n n n

g(x) G Lq(SI), q > — при r < —, q = 1 при r > —, q > 1 при r = —

rp p p p

r

имеем вложение Wp(fi) С ,3(Л).

Мы будем использовать следующее следствие из [3, гл. 3, теоремы 1.2-1.4, лемма 1.10].

Теорема 1. Пусть r £ N p £ (1, весовая функция g(x) удовлетворяет (7), где Л С Rn — ограниченная лнпшнцева область, н с>

всех функций u G C^(fi), где до = g п ро = р — некоторая допустимая функция для g. Тогда найдется sq G (0,1) такое, что

= (W;(Q),LPJÜ)) 1-a/r,p = (Wrp(Ü),Lpjn)) 1-s/r,p Vs g (0,so). Если g\= p-rp + g(x), то для всех s g (0, so) имеем равенство Hp(fi) = {u G LpiSs/v_./r(fi):

u(y + p(y)v) G Lp,p-spgi-./r(Sl; BBppiBi))}, Bi = B^O),

н норма в пространстве Hp(ft) определяется так:

С gsJm(y)gx-s/m(y) f s + И, Mps,p = J 91 KV^{y)n {У) J \u(x)\pdxdy

Q Bpy (y)

n Bpy(у)врЫ(y) |a|-w

/" gis/myk1 -s/my) f

*=И, IMI?,P = J 91 {У} j \u(x)\pdxdy

Q Bpy (y)

J p(y)n J . ^ t le - ^

« (в,ы(y))2 |a|-s-1

В эту норму также может быть добавлено слагаемое

/ £ /

n W В,ы (y)

где [s]- = [s] пРи s ф [s] и [s]- = [s] — 1 при s = [s].

Замечание 1. Отметим, что условие теоремы влечет (см. [3, гл. 3, лемма 1.10]), что найдется число si > 0 такое, что

g2 = gi(y)s/mg(y)1 -s/m g L^fi)

для всех s G (0, si) и справедливо неравенство (6) с go = g2 и Po = P- В этом случае число So не меньше, чем si.

р

минимальна в классе тех функций, для которых неравенство (6) может быть справедливо (см., например, [3, гл. 3, лемма 1.13]).

Основные результаты

Пусть Л — ограниченная липшицева область, Г — ее граница и д(х) — весовая функция. Пусть и — область из определения липши-цевой области и у — соответствующая локальная система координат. Для у € и П Л положим

Ку( Ъ) = {п еЛ: |п' - у'| <Ъ(уп - Пи)}, ъ>о.

д

(А) д € ^(Л) и существуют конечное покрытие иг (г = 1, 2,... , ш) границы Г (области иг обладают свойствами из определения липшице-вой области), соответствующие локальные системы координат и допустимая для д в области Л функция р(х) такие, что для некоторых Ъ, с > 0 и всех у € иг П Л

У дг( п) |п - Р+1¿П < сд4( у)^"1' р+ 1-п( у), г=1,2,...,ш,

Ку( Ъ) П Ui

(8)

где дг(у) = д(х(у)) И Р®(у) = р(х(у)) (у — локальная система координат).

с, Ъ

не зависят от г. Всюду ниже через сг мы будем обозначать различные положительные постоянные, не зависящие от функций, участвующих в неравенствах.

д

весовая функция, удовлетворяющая условию (А) при некотором р > 1. Тогда существуют постоянная с > 0 и область Ло такие, что Ло С Л и выполнено неравенство (6) для всех и € С^(Л). Если дополнительно выполнено условие (7), то справедливо утверждение теоремы 1 и, в частности,

38 е (0,1) : (%Г(Л),Ьр,ят= (!^(Л),Ьр,ят 1-а,р.

Доказательство. Прежде всего мы получим некоторые следствия из условия (А). Фиксируем г. Пусть и г = {у € иг П Л : Ку( Ъ) С иг}.

Предположим, что у € и ¿.Положим Кр = Ку( Ъ) П Врд ^ (у). Тогда в силу допустимости р для любого в > 0 найдутся постоянные с§,с\ >0 такие, что

одг(у)рв(у) ^ / дг(п) 1п - у|в-и ¿п < ^у)рв(у) Vy € и¿. (9)

кр

Оценим левую часть неравенства (8) снизу. Взяв у € и( и используя (9), получим, что

I дг(п) 1п - у|(г-1)р+1-п ¿п

Ку( Ъ)

=/дг(п) 1п - у|(г-1)р+1-и ¿п + I дг(п) 1п - у|(г-1)р+1-и ¿п

Кр КУ(Ъ)\Кр

> сод((у)р(г-1)р+1 + р?(у) / дг(п)|п - у|(г-1)р+¿п = /,

КУ Ъ \Кр

где а € [0, (г - 1 )р +1) — произвольная постоянная. Еще раз воспользовавшись (9), можем оценить полученное выражение снизу так:

I > С2р°(у) I дг{п)|п - у|(г-1)р+ ¿п

кр

+ р?( у) I дг{ п) |п - у|(г-1) р+1-п-а ¿п

Ку( Ъ)\Кр

> с3р?(у) | дг{п)|п - у|(г-)р+¿п.

КУ Ъ

Таким образом, используя (8), получим

с3р?(у) I дМ|п - у|(г-1)р+¿п < сд((у)р(г-1)р+1(у).

КУ Ъ

Разделив это выражение на сзр®(у), придем к неравенству

У дг(п)|п - у|(г-1)р+1 ¿п < с4д((у)р(г-1)р+1-а(у), (10)

КУ Ъ

где постоянная те зависит от у € и( и а € [О, (г-1 )р+1). Поскольку функция р( удовлетворяет условию Липшица с некоторой постоянной д € (0,1), имеем

Р((п) < Р({у) + д|п - у| ^ р7(п) < с(7)(р7(у) + |п - у|7) (7 >о).

Используя это неравенство и (10), получим при 7 < а, что

/ д((п)р7(п)|п - у|(г-1)р+1-п-а ¿п

Ку( Ъ)

< с(7)р?(у) I дДп)|п - у|(г-1)р+1-п-а ¿п

Ку( Ъ)

+ с(7) / д((п)|п - у|(г-1)р+1-п+7-а¿п < сбд((у)р(г-1)р+^-а(у).

КУ Ъ

Таким образом, придем к неравенству

у д((п)р7(п)|п-у|(г-1)р+1-п-а ¿п < сбд((у)р(г-1)р+1+7-а(у) Vy € и(,

КУ Ъ

(П)

где а € [0, (г - 1 )р + 1), 7 € [0, а].

Построим разбиение единицы {^>(на Г, подчиненное покрытию {и(}™1 (см. определения в [23]). В силу компактности носителя найдется £о > 0 такое, что

вирр^( С и0( = {у € и : |у„| < й, |у'| < а - £0}, г=1,2, ...,ш.

Пусть Пй — ¿-окрестность Г = 5П. Найдем ^ > 0:

Ку( Ъ) С и Vy € и ( П П Й0 П П V*,

и построим функцию ^(х) € С^ (М") такую, что ^(х) равна 1 в некоторой окрестности Г и равна 0 вне Пйо, причем 0 < ^(х) <1 для любого х € М". Положим

и(( у) = ¥>(( Х(у)ЖХ(у))и(Х(у)),

считая, что и € W11(fi). Построим также неотрицательную функцию ф(п) € О^(Мп) такую, что

У ф(п) ¿п = 1 и вирр ф С КНг = |п'| < Ъ^п, О <Пп < Ь},

где параметр Н\ выбираем таким образом, чтобы у + К^ С О П Щ для любого у € О ¿0 П Щ г и для всех г = 1,... , т. Фиксируем г. Имеет место равенство 1

У ду У + = У ^МиЛУ + V) ^^ - иг(у) ■

О

Отсюда получаем интегральное представление

1

иг(у) = -J ! ф(п)¥щ(у + ¿^¿у о

+ У (р(ц)щ(у + ц) ¿^¿у = VI + У2. (12)

Аналогичные представления имеются в [23]. Отметим, что найдется ¿1 > 0 такое, что вирр ф С {п € К^ : ¿1 < |п| < ¿2},а тогда найдется и ¿з >0:

|у2 | < сЦиЦь^и*^).

Здесь мы сделали замену у + п = £ и затем оценили функцию ф по максимуму. Интегрируя это неравенство по Щг с весом дг и используя тот факт, что дг € ^(Щ¿), получим неравенство

||у2 11^,8(ин) < С1 Н^НмиДП¿3). (13)

Оценим функцию щ. Сделав замену переменных у + гуц = придем к неравенству

1

кк У

Однако в силу свойств функции у на носителе подынтегрального выражения ^ |£ — у| ^ Отметим также, что носитель внутреннего интеграла содержится в множестве У (у + -К^). Тогда функция «1

ve[0 ,1]

допускает оценку

Ь | < с| |Vu4( о lxv+Khl (С)1С - уГ-n de.

Интегрируя это неравенство с весом #j(y) и используя для £ G supри неравенство Xy+Khl (С) ^ XKf(ь) (y)> получим оценку

J 9i{у)Му)I dy < с J |V5ml J 9i{y) 1С - yl1 dyde.

U0 ¿nfi U0 ¿nfi K£( b)

Воспользовавшись (10) с a = (г — 1 )p, придем к неравенству

У gi(у)ЬЫI dy < с5 J |V5£ЫOde- (14)

Uoinfi Uoinfi

Считаем, что функция щ(y(x)) продолжена нулем на всю область П. Тогда из (13), (14) вытекает оценка

j y>j(х)^(х) lUX |g(x) dx fi

^ cj |V(y>j(х)^(х)и(х)) |g(x)p(x) dx + с j IUXI dx,

справедливая для всех г = 1, 2,... , m (без ограничения общности мо-

с

вытекает неравенство

J \u(x)\g(x) dx = J ф(х)\u(x)\g(x)dx + J( 1 — ^(x))\u(x)\g(x) dx fifi fi

g x dx \ u x \ dx

fi\fi á4

^ x)-^{x)u(x)

fi i=1 m ,,

^ c^^ / \V(^>¿(x)^(x)u(x))\g(x)p(x) dx + ci / \u(x) \ dx i=1 fi fi\fi г4

^ \Vu(x)\g{x)p{x) dx + сз J \u(x) \ dx + c^ J \u(x)

n íAfi^ n

где ^ ^ min(¿3,¿o) — некоторая положительная постоянная. Найдем ¿5 ^ ¿4 такое, что p(x)c4 < 1 /2 для любого x Е ПП Л¿5. Тогда, перенося соответствующую часть последнего интеграла в левую часть неравенства, приходим к оценке

j \u(x)\g(x) dx ^ 2c2 j \Vu(x)\g(x)p(x) dx + + ^ j \u(x) \ dx, (15)

fifi fio

где По = fí \ fíá5• Предположим теперь, что u Е C^(íl), и возьмем в качестве функции u в (15) функцию \u\p. Имеем \V\u\p\ ^ p\u\p-1 \Vu\. Из (15) получим

j \u(x) \pg(x) dx ^ cj\Vu(x) \ \u\p 1 g(x)p(x) dx + c j \u(x) \p dx.

fifi fio

Применяя неравенство Юнга с е

e\a\p \b\q 1 1

zb\ <

= 1

p eq/p p q в первом интеграле в правой части неравенства, получим при подходящем е > 0, что

j !u(x) \pg(x) dx ^ c\ j \Vu(x)\pg(x)pp(x) dx + ci J \u(x)\p dx. (16)

fifi fio

Используя (10) с а = (r — 1 )p, получили наше неравенство (6) при r = 1.

Записывая неравенство (11) при 7 = p, 2p,... , (r — 1 )p и а = (r — 1 )p, видим, что выполнены неравенства

J 9Áv)pkiP(V)\'П — yf-n dn < c5g¿(y)pkp+1 (у) Vy е Ui, (17)

Ky( b

где fe = 1,2,... , r — 1, г = ^2,... , m. Тем самым функции g¿( y)pkp (у)

(fe = 1, 2,... , r — 1 также удовлетворяют перавепству (10) с а = (r — p

качестве g(x) возьмем функцию g(x)pkp(x). Имеем цепочку неравенств

У \ ux \ pg(x)pkp( x)dx fi

Í \ pgWp<k«>p(x dx + Kx, \p dx W е СЛ«,, ,18,

fi fio

где, вообще говоря, область По и постоянная с\ зависят от к. Однако, не ограничивая общности, можем считать, что область одна и та же и постоянные совпадают. Записывая неравенство (18) при к = 1 для производных uXi и складывая полученные неравенства, придем к оценке

У \ Vu(x)\ pg(x)p^Xdx fi

< ^J J2 \ DaUX\Pg(x)p2p(x)dx + ^ J\Vu(x)\p dx Vu е C^).

fi N=2 fio

Используя это неравенство в правой части (16), получим оценку

У \ u(x)\ pg(x)dx < c3J ]Г \ Dau(x)\pg(x)p2p(x)dx+c3l|u||Wi(n0)• (!9)

fi fi N=2

Записывая неравенство (18) при к = 2 и беря в качестве функции u

u

и используя (19), придем к оценке

J \u(x)\pg(x)dx < с4 J \Dau{x)\pg(x)p3p(x) dx + с4|М|^(п0)• п п Н=з

Продолжая по индукции, окончательно получим неравенство

I \u(x) \p g{x)dx < <*J ]Г \Dau{x) \p g{x)prp{x)dx + c5 |М^-1(По r

n n H=r

(20)

справедливое для всех u G C¡^(П). Без ограничения общности считаем, что Ш0 G CДалее используем очевидное неравенство

||u||Wri(fio) < ||u||W(fi0 )•

Однако хорошо известно (см. [1, п. 4.2.4]), что норма в пространстве Wp(Qo) эквивалентна норме

, 1 /Р

\u\p + Y, \Dau\P dx

fio lal=r

Тогда предыдущее неравенство может быть переписано в виде

llwllWr-^^ cУ \Dau\p dx + cWuV

W^-^Qo) ^ "J Z^ "I " "Lp(fio)*

fi0 |a|=r

g

и p в По, из (20) получим

j !u(x)\pg(x) dx fi

< <bj ]T \Daux\pgg(x)prp{x)dx + <*||u||Pp(no) Vu g c™(ü).

fi N=r

Это неравенство совпадает с (6). Оставшиеся утверждения вытекают из теоремы 1, ч. т. д.

Замечание 3. В случае, если g(x) — медленно меняющаяся функция, при r = 1, n = 1 условие (А) эквивалентно условию из работ [13,12,15], являющемуся необходимым и достаточным условием,

n

Условия теоремы, в частности, выполнены для функций, приведенных в качестве примеров в книге [3]. Приведем некоторые из них.

Пример 1. Пусть П — ограниченная липшицева область и

N

= П(1п(р*(, а > о, ßi е R,

¿=1

где po = p(x, dfi) и pi = p(x, Si) (Si С dfi — некоторые замкнутые множества). Пусть а > —1. Легко увидеть, что функция p(x) = qpo(x) (постоянная q < 1 достаточно мала) является допустимой для этой функции д. Условия теоремы 2 выполнены при любом r.

Пример 2. Пусть П — ограниченная липшицева область и

N

g(x) = e-p-r( pf( X,

i

где po(x) = p(x,öfi), рДX = ^x, S^ (Si С dfi — некоторые замкнутые множества), r > 0 и а, в е R- Тогда допустимая функцня для g(x) есть функция p(x) = qpg+1 (x) (q — достаточно маленькое положительное число). Условия теоремы 2 здесь также выполнены.

Сейчас мы сформулируем некоторые простейшие приложения теоремы 2 к спектральным задачам (3), (4). Считаем, что оператор L и граничные операторы имеют вид

Lu = ^^ Daaa,e w(x),

| а|, |в| ^m

= bajDau(x) (j = l,m, mj < 2m).

| a| ^mj

Предполагаем, что G — ограниченная область с грапицей Г е Cm,

(I) ааф{х) = (-1)Н+1/з1о^, ааф € С^^ЦС), Ь^ € С2"^Г) для всех а в и 3 Ь — эллиптический оператор, а система граничных операторов нормальна на Г и накрывает оператор Ь на Г (см. определения, например, в [1]).

Положим

П(Ь) = {и е W22m(С) : Бйи|г = 0, 3 = 1,2,... , т}, Н = {и е W2m(С) : Б^и|г = 0, т^ < т}.

Предположим также, что оператор Ь с областью определения ЩЬ) самосопряжен в Ь2(С) и полу ограничен снизу, т. е.

(II) существуют постоянные с\,с2 > 0 и С3 такие, что

С1 ЬНж^с) > (Ьи,и) > е2 Ни11^2™(с) - езНиНь2(с) Уи е В(Ь)'

а функция д(х) удовлетворяет (7) с р = 2 и

(III) кегБ ПкегЬ = {0}.

Положим Б = Ь,д(С \ С0). В пространстве Б можно ввести индефинитную метрику посредством равенства

[и,у]о= ! д{х)и(х)у(х) ¿х.

а\а°

д

каждой из компонент связности области С+ (или С-) эквивалентна непрерывной функции, удовлетворяющей условию (А). Тогда в Ь2,3(С\ С

единенных функций задачи (3), (4). Любая функция /(х) е Б = Ь,д(С \ С0) единственным образом представима в виде ряда

ж ж м

/ = !>+ е+ + + (М< <»), (21)

¿=1 ¿=1 ¿=1

где ряды сходятся в Бо, (и-) — собственные функции, соответствующие положительным (отрицательным) собственным значениям,

и±]о = , е± = ±[/,и±]о, [и±,и;]о = 0, [и+, и-]0 = 0, {и}М1

— базис в некотором коиечиомериом подпространстве, являющемся линейной оболочкой конечного числа собственных н присоединенных функций задачи. Кроме того, норма в F эквивалентна норме

то M

II/Н10 = Е ( i i 2 + 1 с-г i 2) + Ei i2-

¿=1 ¿=1

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3.1 в [3, §3 гл. 3] (аналогичное доказательство приведено также в [10]), и мы не будем на нем останавливаться.

ЛИТЕРАТУРА

1. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

2. Grisvard P. An approach to the singular solutions of elliptic problems via the theory of differential equations in Banach spaces // Lect. Notes Math. 1986. V. 1223. P. 131-156.

3. Егоров If. E., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические операторно-дифференциальные уравнения. Наука: Новосибирск, 2000.

4. Pvatkov S. G. Operator theory. Nonclassical problems. VSP: Utrecht, 2002.

5. Ausber P., Mcintosh A., Nabmrod A. Holomorphic functional calculi of operators, quadratic estimates and interpolation // Indiana Univ. Math. J. 1997. V. 46, N 2. P. 375-403.

6. Pvatkov S. G. On some properties of imaginary powers of linear operators // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, №2. С. 137-145.

7. Denk R., Hieber M. Priiss J., R-boundedness, Fourier multipliers, and problems of elliptic and parabolic type // Mem. Amer. Math. Soc. 2003. V. 166.

8. Pvatkov S. G. Maximal semidefinite invariant subspaces for some classes of operators ft Conditionally Well-Posed Problems. Utrecht: TVP/TSP, 1993. P. 336-338.

9. Pvatkov S. G. Interpolation of weighted Sobolev spaces // Sib. Adv. Math. 2000. V. 10, N 3. P. 83-132.

10. Pvatkov S. G. Elliptic eigenvalue problems involving an indefinite weight functions ft Sib. Adv. Math. 2000. V. 10, N 4. P. 134-150.

11. Пятков С. Г: Некоторые свойства собственных и присоединенных функций незна-коопределенных задач Штурма — Лиувилля. Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Нзд-во Нн-та математики СО РАН, 2005. С. 240-251.

12. Парфенов А. И. О существовании сжимающего отображения, сохраняющего граничные значения // Вестн. НГУ. Сер. Математика, Механика, Информатика. 2007. Т. 7, вып. 2. С. 69-91.

13. Парфенов А. И. Сжимающий оператор и граничные значения. Новосибирск, 2005. (Препринт / Ин-т Математики им. С. Л. Соболева; № 155).

14. Парфенов А. И. О критерии вложения интерполяционных пространств и его приложении к индефинитным спектральным задачам // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 4. С. 810-819.

15. Parfenov A. Г. The Curgus condition in indefinite Sturm-Liouville problems // Sib. Adv. Math. 2005. V. 15, N 2. P. 68-103.

16. Binding P. A., Curgus B. A counterexample in Sturm-Liouville completeness theory 11 Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 2004. V. 134, N 2. P. 241-248.

17. Fieige A. Necessary aspects of the generalized Beals's condition for the Riesz basis property of indefinite Sturm-Liouville problems // Operator Theory, Adv. Appl. 2007. V. 175. P. 179-194.

18. Fieige A. The Riesz basis property of an indefinite Sturm-Liouville problem with a non-odd weight function // Integral Equations, Operator Theory. 2008. V. 60, N 2. P. 237-246.

19. Binding P., Curgus B. Riesz bases of root vectors of indefinite Sturm-Liouville problems with eigenparameter dependent boundary conditions. I // Operator Theory, Adv. Appl. 2006. V. 163. P. 75-95.

20. Binding P., hanger H., Moiier M. Oscillation results for Sturm-Liouville problems with an indefinite weight function //J. Comput. Appl. Math. 2004. V. 171, N 1-2. P. 93-101.

21. Faierman M., Moiier M. Eigenvalue asymptotics for an elliptic boundary problem // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 2007. V. 137, N 2. P. 281-302.

22. Faierman M. An elliptic boundary problem involving a semi-definite weight // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 2004. V. 134, N 1. P. 109-136.

23. Besov О. V., II'in V. P., Nikoi'skii S. M. Integral representations of functions, and embedding theorems. M.: Nauka, 1975.

г. Ханты-Мансийск 15 декабря 2008 г.