CC BY
5
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Научная статья УДК 517.983.22
doi: 10.18522/1026-2237-2022-4-1-90-95
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ОГРАНИЧЕННЫХ НА КОНУСАХ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ БАЗИСОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ
Алексей Константинович Дронов 1Виталий Маркович Каплицкий 2
12Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
1 floberr@mail.ru ^
2 kaplitsky@donpac. ru
Аннотация. Рассмотрен общий подход к решению вопроса о существовании базиса в произвольном дополняемом подпространстве ядерного пространства Кёте с правильным базисом. Данный подход основан на использовании интерполяционных свойств положительных операторов, действующих в пространствах числовых последовательностей и ограниченных на некоторых вложенных в них конусах.
Ключевые слова: базис, ядерные пространства Кёте, правильный базис, дополняемое подпространство
Для цитирования: Дронов А.К., Каплицкий В.М. Интерполяционные свойства положительных операторов, ограниченных на конусах в банаховых пространствах числовых последовательностей, и их применение к теории базисов в пространствах Фреше // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 4-1. С. 90-95.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).
Original article
INTERPOLATION PROPERTIES OF POSITIVE OPERATORS BOUNDED ON CONES IN BANACH SPACES OF NUMERICAL SEQUENCES AND THEIR APPLICATION TO THE THEORY OF BASES IN FRECHET SPACES
Aleksei K. DronovVitalii M. Kaplitskii2
2 Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia ' floberr@mail.ru B 2 kaplitsky@donpac. ru
Abstract. An approach is presented for solving the problem of the existence of a basis in an arbitrary complemented subspace of the nuclear Kothe space with a regular basis. This approach is based on the use of interpolation properties of positive operators acting in sequence spaces and bounded on some cones embedded in them.
Keywords: basis, Kothe nuclear space, regular basis, complemented subspace
For citation: Dronov A.K., Kaplitskii V.M. Interpolation Properties of Positive Operators Bounded on Cones in Banach Spaces of Numerical Sequences and Their Application to the Theory of Bases in Frechet Spaces. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(4-1):90-95. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
© Дронов А.К., Каплицкий В.М., 2022
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1
Введение
В работе [1] М.М. Драгилев ввёл понятие правильного базиса, которое оказалось очень удобным для применения к различным трудным проблемам теории базисов техники теории интерполяции линейных операторов. Именно наличие правильного базиса в пространстве Кёте обеспечивает хорошие интерполяционные свойства соответствующей шкалы ассоциированных банаховых пространств числовых последовательностей. На первом этапе исследований в этой области применялись классические теоремы об интерполяции линейных операторов, заданных на всём пространстве [2-4]. Однако в проблеме существования базиса в дополняемом подпространстве (проблема А. Пелчинского) возникла необходимость получения аналогичных интерполяционных оценок норм для операторов, ограниченных лишь на некоторых конусах в пространствах числовых последовательностей. В некоторых частных случаях задачу интерполяции операторов, ограниченных на конусах в пространствах числовых последовательностей, удалось решить [2, 3] и в качестве следствия доказать существование базиса в произвольном дополняемом подпространстве ядерного пространства, принадлежащего одному из классов М.М. Драгилева ((d\) или (d2)). Основным результатом данной статьи является изложение общего метода редукции проблемы существования базиса в произвольном дополняемом подпространстве ядерного пространства Кёте, обладающего правильным (в смысле М.М. Драгилева) базисом, к задаче получения некоторых интерполяционных оценок норм положительных операторов на конусах со свойством нижней полурешётки в пространствах числовых последовательностей. Сформулирована общая интерполяционная теорема об интерполяции положительных операторов на конусах со свойством нижней полурешётки в пространствах числовых последовательностей с sup-нормой, которая может быть эффективно использована в теории базисов. Доказательство этой теоремы мы планируем привести отдельно.
В данной статье будут использованы следующие обозначения: ш - линейное пространство всех числовых последовательностей; ф - линейное пространство всех финитных числовых последовательностей; с0 - линейное пространство всех сходящихся к нулю числовых последовательностей; Е+- конус неотрицательных векторов пространства числовых последовательностей Е, т.е. множество последовательностей из Е, каждый элемент которых неотрицателен; Е++ - конус положительных векторов пространства числовых последовательностей Е; с0 (аг) - банахово пространство числовых последовательностей, сходящихся к нулю с весом
ar = [ar(ri)}n=i с ш+, определяемое нормой ||х||с (а ) = \x\r = sup|x(n)|ar(n), т.е. линейное
г пей
пространство числовых последовательностей х = {x(ri)}"=1, для которых \х\ < œ, с топологией, порождаемой нормой ; 12 (аг), аг е ш+, - гильбертово пространство числовых последовательностей, определяемое гильбертовой нормой ||x||;2(ar) = ||x||r = JXii^xfâ^aïty) .
Для а,Ь е ш через ab обозначается последовательность {а(п)Ь(п)}"=1. Для банаховых пространств Е и F под записью Е с F всюду ниже будет подразумеваться, что Е алгебраически и топологически вложено в F.
Интерполяционные свойства операторов, ограниченных на конусах в пространствах числовых последовательностей
Подмножество Q линейного пространства Е называется конусом, если для любых х,у е Q, А> 0 имеем х + у е Q, А е Q. Конус Q в линейном пространстве Е называется воспроизводящим, если его линейная оболочка Q совпадает с Е. Несложно видеть, что Q является воспроизводящим тогда и только тогда, когда для любого х е Е найдутся y,z е Q такие, что х = у — z . Конус Q в линейном топологическом пространстве E называется тотальным, если замыкание его линейной оболочки Q совпадает с Е. Конус Q в нормированном пространстве Е называется несплющенным, если существует константа с > 0 такая, что для любого х е spari(Q) найдутся y,z е Q:x = у — z, ||у|| < сЦхЦ, ЦгЦ < с||х||. Наименьшая из таких констант называется константой несплющенности конуса Q и обозначается A(Q). Пусть E,F - нормированные пространства и Т: E ^ F - линейный оператор, ограниченный на элементах несплющенного конуса
QcE: ЦТхЦ^СЦхЦе.х е Q.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Несложно видеть, что такой оператор Т ограничен на подпространстве Q, однако в приведённом выше неравенстве константа C умножается на константу несплющенности конуса. Если условие несплющенности конуса не выполнено, то из ограниченности оператора на конусе не следует ограниченность этого оператора на линейной оболочке конуса. Поэтому получать интерполяционные оценки норм операторов на конусах с помощью обычной линейной интерполяции не получается. В задачах интерполяции операторов на конусах в общем случае появляются значительные трудности. Заметим, что линейный оператор, ограниченный на элементах замкнутого воспроизводящего конуса банахова пространства, является ограниченным во всем пространстве. Будем рассматривать векторные решетки [5] числовых последовательностей, в которых упорядоченность вводится стандартным образом (х > у, где х,у е ш, если х(п) > у(п) для всех п). Для любой последовательности у е ш справедливо разложение у = у+— у-, где у+,у- - последовательности, определяющиеся следующим образом: у+ = max(y(n), 0), у- = min(y(n), 0).
Элемент lyl = у+—у- называется модулем. В нормированном пространстве Е числовых последовательностей норма ||-|| называется монотонной, если для всех х,у е Е из неравенства Ixl < lyl следует неравенство ||х|| < ||у||. Подмножество А упорядоченного пространства Е называется нижней полурешеткой, если для любых х,у е А справедливо min(x,y) е А. Ниже будем использовать понятия, определения которых можно найти, например, в [6]. Пусть Л,Ъ -отделимые вещественные линейные топологические пространства, являющиеся векторными решетками. Пусть Ё = (Е0, Е1); F = (F0, F^) - банаховы пары; Et с A.,Ft с Ъ и Qt - конусы в пространствах Ei(i = 0,1), причем пространства Е и F наследуют полупорядок от Л и Ъ таким образом, что сами становятся векторными решетками. Будем говорить, что Q = (Q0, Q1) - пара конусов в банаховой паре Ё. Конус Q в пространстве Л называется промежуточным для пары Q, если qo^qicq cq0 + qi.
Пусть банаховы пространства Е и F являются промежуточными пространствами банаховых пар Ёи F, причем банахова тройка (Е0, Е1, Е) интерполяционна относительно банаховой тройки (F0, F-^, F) [6, гл. 3, с. 32-34]; Т: Е0 + E1 ^ F0 + F1 - непрерывный линейный оператор. Если Т -положительный линейный оператор, действующий из Et в Ъ так, что tq iq^qi ^ Ft(i = 0,1) и ||Гх||^. < М[||х||е при х е Qi, то будем говорить, что Т - положительный ограниченный оператор из пары нормированных конусов Q = (Q0, ql) в банахову пару F = (F0, F-1). Обозначим через L+(Q0, ql) множество таких операторов. Пусть конус Q с Е является промежуточным для пары Q. Если существует постоянная с = с(Ё, F,Q,E,F,Q) > 0 такая, что tq |q : Q ^ F и
ЦТхЦР < с • тахШоМЦхЦц, х е Q, (1)
для всех Т е L+(Q0, Q-), то будем говорить, что тройка конусов (Q0, Q1, Q) обладает Р-интерпо-ляционным свойством по отношению к банаховой тройке (F0,F1,F) и равномерным Р-интерпо-ляционным, если в неравенстве (1) постоянная с = с(Ё, F, Е, F) не зависит от конуса Q.
Сформулируем интерполяционную теорему, пользуясь которой, как будет показано ниже, можно доказать существование базиса в дополняемом подпространстве ядерного пространства Кёте с правильным базисом.
Теорема. Пусть Et = с0(щ);F = c0(bi) (i = 0,1); Е = с0(а);F = с0(Ь),причем el с Е с Е0, F1 с F с F0 и банахова тройка (Е0,Е1,Е) обладает интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (F0,F1,F). Пусть Л - множество конусов в ш+ такое, что для каждого Q е Л выполняются условия:
1) Q - нижняя полурешетка в ш;
2) QHE+- тотальный конус в £-;
3) QHE++ содержит последовательность, все члены которой положительны.
Тогда семейство троек конусов £={(^ПЯ+, QHE++ ,QHE+): Q е Л} обладает равномерным P-интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (c0(b0), Со^-^), с0(Ь)).
Доказательство этой теоремы предполагается опубликовать в отдельной статье. Заметим, что общее определение интерполяционности семейств (для случая пространств Фреше) вводилось в [7].
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1
Редукция проблемы существования базиса в дополняемом подпространстве ядерного пространства Кёте к задаче интерполяции положительного оператора, ограниченного на конусах в пространствах числовых последовательностей
Последовательность { еп}"=1 элементов локально выпуклого пространства X называется базисом, если для любого элемента х е X найдется единственная числовая последовательность { сп}"=1 такая, что ряд
X ^п=1 ^п^п (2)
сходится в X.
Правую часть в (2) можно также записать в виде XП=1 еп(х)еп, где e'n (x) = ся - коэффициентные функционалы. Если для всех х е X выполняется 2п=1|е^(х)||еп|г < œ для любой непрерывной преднормы ||-||г, то базис { еп]ПП=1 называется абсолютным. Пространством Фреше называется полное метризуемое локально выпуклое пространство. Топология всякого пространства Фреше может быть задана с помощью счетной системы преднорм {|Н|Г}П=1, г=1,2,... . Системы преднорм {МГ)П=1 и {|Н|Г,}П=1 пространства Фреше называются эквивалентными, если они порождают на нем одинаковую топологию.
Пусть X- пространство Фреше с определяющей системой преднорм {П^ПЛП^, f = 1,2,... . Всегда можно считать, что система {Ц^гК^!., г = 1,2,., является возрастающей, т.е. ||х||г , ||х|г+1 для всех x е X (в противном случае переходят к эквивалентной системе преднорм). Базис {en пространства Фреше X называется правильным, если имеется определяющая система преднорм АНУП^, г = 1,2,... , такая, что ^^l^ < ^пу для всех ri иг.
H^+iHr+i ne—nr+i
Для нас основной интерес представляют ядерные пространства Фреше с правильным базисом. Такие пространства изоморфны ядерным пространствам Кёте с правильной матрицей. Дадим определение пространства Кёте.
Пусть (ar(ri)),r,ri е M, - бесконечная матрица, при этом ar+1(ri) > ar(ri) > 0 для всех ri. Пространством Кёте Е будем называть пространство числовых последовательностей {хп}'П=1, для которых ||х||г = ХП^Хп^гО1) < œ с определяющей системой преднорм (|Н|г),г е M.
В пространстве Кёте имеется абсолютный базис ортов, состоящий из последовательностей
(0,к Ф ri,
вида еп = { 0кп}п=ъ где Skn = {^к =
к = п.
Базис ортов в пространстве Кёте называют каноническим. Матрица Кёте ( аг(п)) называется
аг(п+1) аг(п) правильной, если---- <-— для всех пи г.
аг+1(п+1) аг+1(п)
Всякое пространство Фреше с абсолютным базисом изоморфно некоторому пространству Кёте [8, гл. 27, р. 341]. Несложно видеть, что пространство Фреше с правильным абсолютным базисом изоморфно пространству Кёте с правильной матрицей. Пространство Кёте, определяемое матрицей Кёте (аг(п)), является ядерным тогда и только тогда, когда для любого г найдется
<«-' V со аг(п) ^
, _ г такой, что < т.
ац(п)
Доказательство можно найти, например, в [8, гл. 28, р. 355; 9]. Переходя в случае необходимости к эквивалентной системе преднорм, всегда можем считать, что д = г + 1. Пусть банахово пространство Е с базисом { компактно вложено в пространство Фреше F и всюду плотно в нем. Если в F равностепенно непрерывна система операторов Рпх = Т,п=1е'(х)е1, то система { е^}^-! является базисом в F. В дальнейшем будет использован критерий существования базиса в пространствах Фреше, доказательство которого в более общей формулировке можно найти в [4]. Пусть банахово пространство С с базисом { е¿}°=1 компактно вложено в пространство Фреше F и всюду плотно в нем. Если в F равностепенно непрерывно семейство операторов {Рп}: ^ ^ Р,п£ М, Рпх = е[(х)в1, то система {е^}^-! является базисом в F.
Пусть пространство Фреше F является дополняемым подпространством некоторого другого пространства Фреше Е, т.е. F = Р(Е) для некоторого непрерывного проектора Р в Е. Тогда для доказательства существования базиса в F достаточно убедиться в равностепенной непрерывности семейства операторов {Рп}:Е ^ Е, п£М, Рпх = Т,п=1е'(х)е1.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Итак, пусть Е - ядерное пространство Кёте, определяемое правильной матрицей (аг(п)), Р -его дополняемое подпространство. Задача состоит в том, чтобы доказать существование базиса
в Е . Без ограничения общности можно считать, что < от ,г = 1,2,... .
аг+!(п)
Введем обозначения: Нг = 12(аг(п)), Сг = с0(аг(п)) , г е М. Тогда Е = ^Г>1НГ = Пг>1^г, причем в1з Сг з СГ+1,Н1 з Нг з Нг+1. Из условия ядерности следует, что системы /2-норм и соответствующие системы sup-норм являются эквивалентными [8, гл. 28, р. 355], причем
справедливы оценки: 1х1г < ||х||г < И(г)1х1г+1, ||х||г = ЦхЦ^) = ^П=11хп12а2(п),
1х1г = sup|xn|ar(n).
пем
С помощью диагонального преобразования можно перейти к изоморфному пространству Кёте, в котором а1(п) = 1. В дальнейшем будем предполагать, что это условие выполнено. Пусть Р - непрерывный проектор в Е, такой, что Р = Р(Е). Так как Е - пространство с абсолютным базисом (из ядерности Е и теоремы Дынина - Митягина [9, гл. 10] следует, что всякий базис в Е абсолютен), то оператор | Р |: Е ^ Е также непрерывен. Здесь |Р|- модуль оператора Р в смысле теории векторных решеток [5, гл. 8, с. 231]. Если (р^ - матрица Р в каноническом базисе ортов [е^П^-!, то(|р^|) - матрица 1Р1 в этом же базисе. Запишем условие непрерывности оператора |Р|: УгЗз(г),С'(г): |||Р|||Г < С'(г)1х18^гу
Переходя, в случае необходимости, к эквивалентной системе норм, можно добиться выполнения неравенств || |Р|||Г < 1 г = 1,2,... .
Пополнив линейное многообразие Ь = [Рх:х е Ст0 } по нормам |Н|Г и|Н|п, получим гильбертовы пространства Рг и Рп такие, что Р^^з Рг з Рг+1 з рп.
Пусть ^к}™^ - общий (см. подробнее в [10]) ортогональный базис пространств Р1 и Рп. Для определённости будем считать его нормированным в
Введём операторы Рп: Е ^ Е,п е М, Рпх = 'Ек=1/к(Рх)/к, где /к(Рх) = (/к,Рх)^. Согласно приведенному выше критерию, последовательность ^к}™^ является базисом в Р, если [Рп} -равностепенно непрерывное семейство операторов Е. Действуя так же, как в [11], можно ввести пространства Сп0 = с0(аПо0), Нп = 12(ап), Сп = с0(ап) таким образом, что вложения Сп 0 с Нп с Сп с Нг с Сг непрерывны для всех г и выполняются неравенства
11<С1(г)1А1гх11,х еQNlnGt, (3)
<С1(г)1А1.х1п,х еQN2nG+, (4)
где А* и А2 - композиции оператора |Р| и специальным образом построенных диагональных операторов. Фигурирующие в неравенствах конусы QNl и QN2 определяются следующим образом: QNl = [х е х > А1гх }, г = 0,1.
Опираясь на представленную выше интерполяционную теорему и свойства конусов QNl и QN2, можно доказать, что из неравенств (3) и (4) следует |||Р|||Г < С(г)1х1г , х е Р, что и доказывает существование базиса в Р.
Список источников
1. Драгилев М.М. О правильных базисах в ядерных пространствах // Мат. сб. 1965. Т. 68, № 2. С. 153173.
2. Драгилев М.М. Базисы в пространствах Кёте. Ростов н/Д.: РГУ, 2003. 143 с.
3. Кондаков В.П., Ефимов А.И. О базисах в дополняемых подпространствах пространств, обобщающих пространства степенных рядов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 1. С. 5-9.
4. Кондаков В.П. Замечание о существовании базисов в весовых счётно-гильбертовых пространствах и их дополняемых подпространствах // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 43, № 6. С. 1300-1313.
5. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. 407 с.
6. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. 400 с.
7. Шубарин М.А. Условия интерполяционности для семейств пространств Фреше // Владикавказский мат. журн. 2007. Т. 9, вып. 2. С. 57-65.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1
8. Meise R., Vogt D. Introduction to functional analysis. Oxford: Clarendon, 2004.
9. Митягин Б.С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // Успехи мат. наук. 1961. Т. XVI, вып. 4. С. 63-132.
10.Дронов А.К., Каплицкий В.М. О существовании базиса в дополняемом подпространстве ядерного пространства Кёте из класса (di) // Мат. сб. 2018. Т. 209, вып. 10. С. 50-70.
11.Дронов А.К. О существовании базиса в дополняемом подпространстве ядерного пространства Кёте из класса (d2) // Владикавказский мат. журн. 2016. Т. 18, вып. 1. С. 9-10.
References
1. Dragilev M.M. On correct bases in nuclear spaces. Mat. sb. = Sbornik: Mathematics. 1965;68(2): 153-173. (In Russ.).
2. Dragilev M.M. Bases inKete spaces. Rostov-on-Don: Rostov State University Press; 2003. 143 p. (In Russ.).
3. Kondakov V.P., Efimov A.I. On bases in augmented subspaces of spaces generalizing spaces of power series. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2001;(1):5-9. (In Russ.).
4. Kondakov V.P. Remark on the existence of bases in weighted countable Hilbert spaces and their augmented subspaces. Sib. mat. zhurn. = Siberian Mathematical Journal. 2001;43(6):1300-1313. (In Russ.).
5. Vulikh B.Z. Introduction to the theory of semi-ordered spaces. Moscow: State Publishing House of Physical and Mathematical Literature; 1961. 407 p. (In Russ.).
6. Krein S.G., Petunin Yu.I., Semenov E.M. Interpolation of linear operators. Moscow: Nauka Publ.; 1978. 400 p. (In Russ.).
7. Shubarin M.A. Interpolation conditions for families of Frechet spaces. Vladikavk. matem. zhurn. = Vladikavkaz Mathematical Journal. 2007;9(2):57-65. (In Russ.).
8. Meise R., Vogt D. Introduction to functional analysis. Oxford: Clarendon; 2004.
9. Mityagin B.S. Approximative dimension and bases in nuclear spaces. Uspekhi mat. nauk = Russian Mathematical Surveys. 1961;XVI(4):63-132. (In Russ.).
10. Dronov A.K., Kaplitsky V.M. On the existence of a basis in the augmented subspace of the Kete nuclear space from class (d1). Mat. sb. = Sbornik: Mathematics. 2018;209(10):50-70. (In Russ.).
11. Dronov A.K. On the existence of a basis in the augmented subspace of the Kete nuclear space from class (d2). Vladikavk. matem. zhurn. = Vladikavkaz Mathematical Journal. 2016;18(1):9-10. (In Russ.).
Информация об авторах
A.К. Дронов - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.
B.М. Каплицкий - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.
Information about the authors
A.K. Dronov - Candidate of Science (Physics and Matematics), Associate Professor, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science. V.M. Kaplitskii - Candidate of Science (Physics and Matematics), Associate Professor, Department of Differential and Integral Equations, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.
Статья поступила в редакцию 07.07.2022; одобрена после рецензирования 20.07.2022; принята к публикации 15.11.2022. The article was submitted 07.07.2022; approved after reviewing 20.07.2022; accepted for publication 15.11.2022.
