CC BY
38
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2G10, том 53, №8_____________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.53: 517.945
А.С.Сатторов
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ЗАДАЧИ ТИПА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ
В работе выясняется возможность подстановки задач типа Коши для одного квазилинейного уравнения второго порядка в гиперболическую часть области. Полученные интегральные представления применяются для решения задач типа Коши в характеристической области.
Ключевые слова: сингулярная линия - квазилинейные дифференциальные уравнения.
М.В.Келдыш [1] установил, что постановка основных краевых задач для общего вырождающегося уравнения существенно зависит от коэффициентов при младших производных. Ниже мы увидим, что постановка задачи типа Коши для квазилинейного вырождающегося уравнения также зависит от принимаемых значений коэффициентов при первых производных. В [2] впервые исследованы дифференциальные уравнения второго порядка с сингулярной линией.
В данной работе выясняется постановка задачи типа Коши для одного квазилинейного уравнения второго порядка в гиперболической части области. Для этого же уравнения даются интегральные представления через произвольные функции в этой области, которые в свою очередь применяются для решения задачи типа Коши в характеристической области. Аналогично [3] и [4], решение задачи типа Коши дается в явном виде.
Проблеме исследования модельных и немодельных эллиптических и гиперболических уравнений с одной и многими сингулярными областями посвящены работы Н.Раджабова [5] и [6].
Пусть П — конечная область, ограниченная гладкой кривой Г, лежащей в первом квадранте,
имеющей концы в точках 0(0;0) и А(1;0), а также характеристиками х + у = 0; у[х + лТу = 1-
Части области П, в которой х > 0, у > 0, обозначим через П+ — эллиптическую часть, и
х > 0, у < 0 обозначим через П — гиперболическую часть.
Введем следующий интегральный оператор
ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Т.Михайловым 07.11.2009 г.)
(1)
В области D рассмотрим уравнение
Адрес для корреспонденции: Сатторов Абдуманон Сатторович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
6О1
хи„ + уи,у + !+^ (Цх + и у)+хи; + уи; = 0, (2)
где V — вещественное число.
Для построения решения уравнения (2) будем пользоваться решением линейного уравнения
1 + 2v
хЦхх + уЦуу + — (Ц + Цу ) = 0. (3)
В дальнейшем введем в рассмотрение следующие классы:
через М2 (П) обозначим классы решения уравнения (2), представимого в виде и (х, у) = 1п V (х, у), где V (х, у) — решение уравнения (3), содержащего одну или две произвольные функции одного переменного в зависимости от принимаемых значений коэффициента уравнений.
Используя связь уравнения (1) с уравнением (2), можно убедиться в справедливости следующих утверждений.
Теорема 1. Пусть 2v > 1. Тогда любое решение уравнения (2) из класса М2 (П_) в области П представимо в виде
и (^ у) = 1п [Д,Т1] , (4)
где А - постоянное число, (рх (X) - произвольная функция одного переменного.
Теорема 1 доказывается непосредственно подставлением (4) в (2). Убедимся в справедливости теоремы.
Теорема 2. Пусть 0 < 2v < 1. Тогда любое решение уравнения (2) из класса М2 (П_) в области П представимо в виде
и (X, у) = 1п
+ ву (-ху) 2 ту^2
1-2у
2
(5)
где Лу, Ву - постоянные числа, (рх (X), (р2 (X) - произвольные функции одного переменного. Теорема 2 доказывается аналогично теореме 1.
Теорема 3. Пусть -1 < 2у < 0. Тогда любое решение уравнения (2) из класса М2 (О- ) в области О представимо в виде
и (х, у) = 1п
(1 + 2^)Л{Г_уф- 2д/- ху • + ЛіТ-Уф' + Л2(-ху) 2 Тущ
где Т^ф = |-Ф-1—у------^ у(— )]—(-)йт, А, А - постоянные числа, (р(X), ^(Х)
0 [г(1 _т).Г
произвольные функции одного аргумента.
Замечание. Аналогичным образом даются интегральные представления решений уравнения (2) при различных значениях V в эллиптической части области П+ .
Полученные интегральные представления (5) и (6) применяем для решения задачи типа Коши в области П , когда начальные условия даются на линии параболического вырождения.
Задача К. Требуется найти решение уравнения (2) из класса М2 (П_) в области П при 0 < 2v < 1, удовлетворяющее начальным условиям:
ІІШ
у^-0
1ІШ ( ехр и (X, у) ) = / (х),
= И (х)
у^-0 2--1 1+2-
2'-1 1+2V ч
х 2 (-у) 2 ~ду (ехри(x, у))
( К)
где /(х) и g(х) - заданные непрерывные функции на отрезке Г0 = {х : 0 < х < і} .
Используя представление (5), с учетом условий (К), будем иметь:
В(--р-( х ) = / (х),
і - 2V
в(1 - V,1 - -р2(Х) = g(х)
или Р-(Х) = -^Г—7 ^(х) 5
В(-—, -)
2
Р2(Х) = п О Л лп-------1---Т g(х) • (7)
(1 - 2-) В(1 - -,1 - -)
Подставляя в (5) значения р (X) и р2 (X) из равенства (7), получим явное решение задачи К . Таким образом доказана следующая теорема:
Теорема 4. Пусть /(х) є С2(Г0) и g(х) єС-(Г0). Тогда единственное решение задачи К в области О при 0 < 2- < і даётся формулой
и (х, у) = 1п
В--)} } х - у ~ 2г)] л+
0 г(1 -О]
+__________2______________(-ху')~2~ -gIх~у ~2^~ху(-~ 2т)\а
(1 -2-)В(1 -V, і--)( у) { [г(1 -г)]'
где /(х) и g(х) - заданные непрерывные функции на отрезке Г = {х : 0 < х < і}
Легко можно проверить, что равенство (8) удовлетворяет уравнению (2) и условию задачи
*1-
Задача К2. Требуется найти решение уравнения (2) из класса М2 (П-) в области П при -1 < 2v < 1, удовлетворяющее начальным условиям:
1ІШ
у^-0
Нт ( ехри (^ у) ) = /( x),
= Иі( x),
у^-0 2--1 1+2-
х 2 (-У) 2 д (ехРи(x, У))
ду
( К )
где /(х) и g(х) - заданные непрерывные функции на отрезке Г0 = {х : 0 < х < 1} .
Аналогично задаче К из равенства (6) с учетом условий задачи ( К ) получим
9(.X) = 1 + ^ . /,(х),
В(1 + v,1 + v) 2
Щ(Х) = л о лпп-----------^---Т&(х)-
(1 - 2v) В(1 - v,1 - v)
Теперь, подставляя значения функций (х) и g1 (х) в равенство (6), получим явное решение
задачи К2. Итак, имеет место следующая теорема.
Теорема 5. Пусть ^(х) еС4(Г0) и g1 (х) е С2(Г0). Тогда единственное решение задачи К2 даётся формулой
и (х, у) = |п 1 + ^ Г Iх - у - (_‘- 2г)К
В(1 + v,1 + v) 1 [т(1 -г)]-v
2^1 - ху г /Ц[х - У - 2д/- ху (1 - 2г)]- (1 - 2т)ёт В(1 + v,1 + v) 1 [г(1 -г)]^
__________2_________(-ХУ)Чт г ^ [х - у - 2У- ху (- - 2г)]~ (- - 2г)аг
(1 - 2-)В(1 -', і -')( у) і Г(1 -г)-
(9)
где /г (х) и g1 (х) - заданные непрерывные функции на отрезке Г = {х : 0 < х < 1} .
Легко можно проверить, что равенство (9) удовлетворяет уравнение (2) и условие задачи
Поступило 07.11.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Келдыш М.В. - ДАН СССР, 1951, т.77, №2, с.181-183.
2. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. - Душанбе: АН ТаджССР, 1963, 183 с.
3. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. - М.:Наука, 1966, 292 с.
4. Сатторов А С. - ДАН ТаджССР, 1990, т.33, №4, с. 223-227.
5. Раджабов Н. - В. сб. «Исследование по краевым задачам теории функции и дифференциальным уравнениям». - Душанбе: АН ТаджССР, 1965, с. 79-123.
6. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Ч. I, Душанбе, 1980, 147 с., ч. III, Душанбе, 1982, 170 с., ч. IV, Душанбе, 1985, 148 с.
А.С.Сатторов
ТАСВИРИ ИНТЕГРАЛЙ ВА МАСЪАЛАИ НАМУДИ КОШИ БАРОИ ЯК МУОДИЛАИ ДИФФЕРЕНСИАЛЙ ЦИСМАН ХАТТИ БО ДУ ХАТТИ ТАНАЗУЛЁБИ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола гузориши масъалаи намуди Коши барои як муодилаи дифференсиалй кисман хатти бо ду хатти таназулёби дар кисми гиперболии соха тахлил карда шудааст. Пас аз он тасвири интеграли халли ёфташуда барои хали масъалаи намуди Коши татбик карда меша-ванд.
Калима^ои калиди: хатуои сингуляри - цисман хатти.
A.S.Sattorov
AN INTEGRAL VIEW AND THE PROBLEM OF KOSHI’S FORM IS ONLY FOR GUASI-LINEAR DIFFERENTIAL EQUATION WITH TWINS LINE
Tajik National University This article is about the analysis of Kosh’s form is for second order differential equation in hyperbolical part of the sphere. Then after the integral view uses for the analysis of Kosh’s form in characteristic sphere.
Key words: singular line - linear quasidegenerating differential.
