Интегральные представления и задача типа Коши для одного квазилинейного вырождающегося дифференциального уравнения второго порядка с одной сингулярной линией Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2009, том 52, №12______________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.53.517.945

А.С.Сатторов

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ЗАДАЧА ТИПА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Раджабовым 26.10.2009 г)

Вырождающиеся уравнения, получившие развитие в середине двадцатого века, являются одним из новых разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа и вырождающихся дифференциальных уравнений является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных в связи с её многочисленными приложениями.

Первые фундаментальные результаты в этом направлении были получены в работах Ф.Трикоми [1]. Исследования краевых задач для уравнений смешанного типа вызвали интерес к изучению эллиптических и гиперболических уравнений, вырождающихся на границе области. Ф.И.Френкель [2] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных задач в трансзвуковой газодинамике. В [3] впервые были исследованы дифференциальные уравнения второго порядка с сингулярной линией.

В настоящее время имеется ряд работ [4-6], в которых изучены различные задачи для вырождающихся дифференциальных уравнений в зависимости от значений коэффициентов данного уравнения. Квазилинейные вырождающиеся дифференциальные уравнения мало исследованы.

Проблеме исследования модельных и немодельных эллиптических и гиперболических уравнений с одной и многими сингулярными областями посвящены также работы [7-9].

Целью настоящей работы является получение интегральных представлений решений для одного квазилинейного вырождающегося дифференциального уравнения второго порядка и решения задач типа Коши в явном виде, когда начальные условия задаются на линии параболического вырождения.

Рассмотрим уравнение

и« +уи„ +^Ч -{и; =0, (1)

где //, V - вещественные числа.

Пусть £)— конечная область, лежащая в плоскости хОу. Обозначим через О + эллиптическую часть, а через П~ - гиперболическую часть области I). Лежащая в квадранте х>0, .у > 0 область В ограничена гладкой кривой Г, имеющей концы в точках 0^,0 , А(1;0), и в квадранте ^ > 0, у < 0^ ограничена участком вещественной оси ОА и характери_____________________ ________________ /*2 ^ ^

стикамиОС: х - 2^1— у - 0, АС: х + 2-у]—у = 1, где С —,-.

У2 16)

При соответствующей замене уравнение ( сводится к уравнению

и^+уи^

\ + 2у 2ц

-Іїу +—их = 0.

2

х

(2)

Для построения решения уравнения (1) будем пользоваться решением уравнения (2). Введем в рассмотрение следующие классы:

Через Ж- Ф = 1,2,3,4 обозначим класс решений уравнения (1), представимых в виде и х, у =ехр V х,у , где V у ^ решение уравнения (2), содержащее соответственно

одну, две, три и четыре произвольные функции одного переменного.

Используя связь уравнения (1) с уравнением (2) и связь уравнения (2) с гиперболическим уравнением с двумя сингулярными линиями и принцип соответствия [9], можно убедиться в справедливости следующих утверждений.

Теорема 1. Пусть 2 /л > 1, 2у>1. Тогда любое решение уравнения (1) из класса

Щ ф представимо в виде

и х, у = ехр

(3)

где

і і

(р |Ч- 2сг^- 2^- у І.-2

(р С - произвольная функция переменного х, Ацу =

(4)

- постоянное

число.

Теорема 2. Пусть 2// > 1, 0<2у<1. Тогда любое решение уравнения (1) из клас-

са И72 Ф представимо в виде

и х,у =ехрГ^7^л^1+В/^ -у 2 Т1_ру1//1

(5)

1

где (р 4( ^ и у/ 4 ^ - произвольные функции одного аргумента, В =

1

постоянное число.

Теорема 3. Пусть 2 /и>\ -1 < 2у < 0. Тогда любое решение уравнения (1) из класса IV2 {)~ представимо в виде

( ___ . 1^2у \

и х,у =ехр 1 + 2V А^Т1_/1_у(р-2А/1уУР^Т\_м _у(р +В/1У -у 2 Тг_М УЦ/ (6) V /

т<г„.. ф,

где - произвольные функции своих аргументов.

Теорема 4. Пусть 0 < 2ц <1, 2у > 1. Тогда любое решение уравнения ( из класса ЩФ представимо в виде

и х, у — ехр А;!\-иА-№ + Л-*' 2Х ,-/А ,

(7)

где <Рг*\ - произвольные функции своих аргументов, А1з А2- постоянные числа.

Теорема 5. Пусть 0 < 2ц < 1, 0 < 2к < 1. Тогда любое решение уравнения ( из клас-

са 1¥4 ф представимо в виде

II х, у = ехр

1-2к 1-2к Л

АТ,.Л,.М+А2^г"Тг>М+А1 -у^т^Ж+Ах’-2" -у —т„,(р, ,(8)

где <р, с«=ш,4; - произвольные функции своих аргументов, Ах, А2, А3, А4 - постоянные числа.

Интегральные представления, полученные в теоремах 1-5, можно использовать для решения различных задач типа Коши в характеристической области .

Задача Кь Требуется найти решение уравнения (1) из класса IV-, {) при 2// > 1, -1 < 2у < 0, удовлетворяющее начальным условиям:

Нш 1п и х, у = / х ,

у->-О и

1ІШ

у-У-0

1+2к

-У ~^г1ыи Х’У ]

ду J

(К)

где - заданные четные функции на отрезке Г0 = : 0 < х < 1

Используя представление ^ с учетом условий (К1) будем иметь:

\<р ((- 2(тз- ёст

К-сг^' І-2у^І-у,\-

V

Таким образом, задача свелась к решению интегральных уравнений типа Вольтера первого рода, связанных с осесимметрической теорией поля [5,7].

Обращая последние интегральные уравнения [4], получим:

где

(р

Р X =.

2'

к+2Л

1 + 2V В 1 + 1/, В А,1-А [ к + Л-1 ■■■А Л + 1 ]

(9)

ё V ё Л" йбс -Ч

V

Лб/У

2 2

X

а х =

->£+2Я+1

2^-1 В 1-у, 1-у В Л,1-А [ Л + к-1 ••• А + 1 Л]

А

дх

2 2

X

Л, = // , к = // , /и =к + Я .

Подставляя значение функции (р 4( и из (9) в (6), получим решение задачи К1

в явном виде.

Таким образом, доказано следующее утверждение

Теорема 6. Пусть в задаче К1 функции ^ 4с 3= С 2~1: ( ^и £ С] к С,; _• Тогда задача К1 имеет единственное решение, которое дается формулой (6), в котором (р С и I// С __ определяются из равенств (9).

Задача Кг. Требуется найти решение уравнения (1) в области I) из класса IV-, при 2// > 1, и 0<2у <1, удовлетворяющее начальным условиям:

у-*-0 1ІГП

_у—>0

1+2 у Я

(К2)

1

о

где С, заданные четные функции на отрезке Го = 0 < х <1 .

Используя теорему 4 и условия задачи К2, приходим к следующим интегральным уравнениям Вольтера первого рода:

\(рх ((- 2сг ^б/<т_ 1

Я

к

в«,

1?//, ((- 2(тз- йа

„ К-^Х" <-2и><-г,1-^

Аналогично задаче К1, обращая эти интегральные уравнения, получим

(ю)

где

Я

^£+2Я

б/

В у,у В А, 1— А ^ £ + Я— 1 ••• А + 1 с!х

I

б/

- \ SCIS у

4'2"-1 /, 4'

Я ’

е,

2'

к+2Л+\

X =

2у-1 В 1-1/, 1-1/ В /1,1-Л [ А + Аг-1 ••• /1 + 1 /1]‘

а V (I

дх

Лб/у

1 •

Подставляя найденные значения (рг4с и у/г ^ из (10) в (7), получим явное решение задачи К2.

Итак, доказано следующее утверждение.

Теорема 7. Пусть в задаче К2 С*'^ 'Со . Тогда задача Кг

имеет единственное решение, которое дается формулой (7), где (рх4( и \//] С , определяются из равенств (10).

Таджикский национальный университет

Поступило 26.10.2009 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Трикоми Ф.О. Линейные уравнения в частных производных второго порядка смешанного типа. -М.: 1947.

2. Френкель Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. - М.: Наука, 1973, 256 с.

3. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. - Душанбе: АН ТаджССР, 1963, 183 с.

о

2

4. Раджабов Н. Некоторые краевые задачи для осесимметрической теории поля. В сб. «Исследование по краевым задачам, теории функций и дифференциальных уравнений» Душанбе: АН ТаджССР, 1965, с. 79-123.

5. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. - М.: Наука, 1966, 292 с.

6. Саттеров А.С. - Докл. АН ТаджССР, 1990, т.33, №7, с. 223-227.

7. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Ч. I, Душанбе, 1980, 147 с.,

ч. II, Душанбе, 1981, 170 с., ч. III, Душанбе, 1982, 170 с., ч. IV, Душанбе, 1985, 148 с.

8. Раджабов Н. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверх-сингулярными коэффициентами. - Душанбе, 1992, 236 с.

9. Раджабов Н. - ДАН СССР, т. 233, №4, с. 355-358.

А.С.Сатторов

ТАСВИРИ ИНТЕГРАЛИ ВА МАСЪАЛАИ НАМУДИ КОШИ БАРОИ ЯК МУОДИЛАИ ТАНАЗУЛЁБАНДАИ ГАЙРИХАТТЙ ДИФФЕРЕНСИАЛЙ ЦИСМАН ХАТТИ (КВАЗИЛИНЕЙНИЙ) ТАРТИБИ ДУЮМ БО ЯК ХАТТИ СИНГУЛЯРЙ

Дар макола тасвири интеграли халли як муодилаи дифференсиалй таназулёбан-даи кисман хатти (квазилинейний) тартиби дуюм вобаста аз киматхои кабул кардаи коэффисиентхои он муайянкарда мешавад. Пас аз он халхои ёфташуда барои хдлли масъалаи намуди Коши тадбик карда мешаванд. Хдлли масъалахои намуди Коши ба намуди ошкор навишта шудаанд.

A.S.Sattorov

THE INTEGRAL REPRESENTATION AND CHASHY-TYPE PROBLEM FOR QUASI DEGENERATING DIFFERENTIAL OF SECOND ORDER WITH SINGULAR LINE

The present article gave the common mean of the integral deduction of guasi-linear which shows the equation of the second order in hyperbolical port. Then the interval introduction we can use in Koshi’s types of the decision.