CC BY
4
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 4 (2023). С. 3-19.
УДК 517.5
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ, ИХ ПРЯМЫЕ ОБОБЩЕНИЯ И РОДСТВЕННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Ф.Г. АВХАДИЕВ
Аннотация. Неравенства Харди имеют многочисленные применения в математической физике и спектральной теории неограниченных операторов. В статье описаны прямые обобщения интегральных неравенств Харди, их усиления и аналоги. Нами систематизированы связи между различными интерпретациями этих неравенств и описаны новые одномерные интегральные неравенства. Показано, что эти известные и новые неравенства справедливы и для комплекснозначных функций.
Подробно рассмотрены интегральные неравенства типа Харди, Реллиха и Бирмана для функций, заданных в конечных интервалах. В частности, мы приводим с доказательством обобщения и усиления интегральных неравенств Бирмана для высших производных. Кратко обсуждаем многомерные аналоги, содержащие интегралы от степеней модуля градиента функции или полигармонического оператора.
Ключевые слова: неравенство Харди, Реллиха, Бирмана, константа Лямба, полигармонический оператор.
Mathematics Subject Classification: 26D10, ЗЗС20
1 15 И К. (К1III к
Как известно, неравенства Харди применяются при обосновании теорем вложения в пространствах Соболева. По-видимому, эти применения сыграли ключевую роль в популяризации одномерных интегральных неравенств Харди. Отметим, что в монографии С.Л. Соболева [1] имеется отдельный параграф «Неравенство Харди», стр. 118-124. Там обоснованы несколько вариантов этих неравенств и некоторые обобщения, когда весовые функции имеют вид i-A| lnt\p.
Появление различных версий неравенства Харди и родственных неравенств обусловлено большим количеством разнообразных приложений. В данной статье базовым версиям неравенства Харди посвящен следующий раздел 2, где, в частности, мы даем обоснование распространения этих неравенств на случай комплекснозначных функций.
В основном разделе 3 изложены неравенства для высших производных, а в разделе 4 даны усиления неравенств в конечных интервалах. Мы последовательно описываем связи между различными интерпретациями интегрального неравенства Харди и неравенств типа Харди, Реллиха и Бирмана для функций, заданных в бесконечных и конечных интервалах. Таким образом, нами систематизированы связи между различными интерпретациями интегральных неравенств Харди, Реллиха и Бирмана. Из новых результатов, полученных в статье, выделим теоремы 3.2 и 4.2, посвященные обобщениям и усилениям интегральных неравенств Реллиха и Бирмана, содержащих модули комплекснозначной функции f : X ^ С и ее производной fпорядка к > 2. Множество X = (0, го) в теореме 3.2 и X = (0, с), с е (0, го), в теореме 4.2.
F.G. Avkhadiev, Integral Hardy inequalities, their generalizations and related
inequalities.
© Авхадиев Ф.Г. 2023.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 23-11-00066).
Поступила 21 июня 2023 г.
В последнем разделе 5 кратко обсуждаем переход от одномерных интегральных неравенств к неравенствам для комплекснозначных функций, заданных в областях евклидова пространства размерности п > 2. При этом рассматриваются пространственные аналоги неравенств для функций и : О ^ С когда интегралы по области О С Мга содержат модуль этой функции и модули градиента Уи(х) или полигармонического оператора Ак/2и,(х).
Автор благодарен И.Х. Мусину и Б.Н. Хабибуллину, так как дополнительным стимулом к написанию этой статьи послужили вопросы и замечания И.Х. Мусина и Б.Н. Хабибуллина при обсуждении докладов автора на Международных Уфимских научных конференциях «Комплексный анализ и геометрия» в ноябре 2021 года и «Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации» в октябре 2022 года.
2. О вазовых версиях неравенства харди
Оригинальное неравенство Харди можно сформулировать следующим образом (см. книгу [2, теоремы 327, 328 и 330]).
Теорема 2.1. Предположим, что р € [1, те), в € (-те, 1) и (1, те). Пусть задана функция f : (0, те) ^ [0, те), удовлетворяющая условию ¡/гз/р-1 € Ьр(0, те). Определим, функцию Р : (0, те) ^ [0, те) ра венет вам, и
Р(¿) = / /(т)^т в случае 8 > 1, Р(¿) = / /(т)^т в случае 8 < 1.
Уо Л
Тогда, справедливы утверждения: если р = 1, то имеет место равенство
г иг
Р <*>.*;
1 I
/0 1 .10 ь
если же р > 1, то
' |в — 1| '<*>
ш > I
/о V Р / М
кром,е случая, когда функция f = 0. Константа (|з — Ц/р)р в этом неравенстве является наилучшей, т.е. максимальной из возможных.
Г т *> (^Г г ^ ™
Следующую теорему можно считать версией теоремы Харди, так как она одновременно является и обобщением, и следствием теоремы 2.1.
Теорема 2.2. 1) Пусть 1 ^ р < те, 1 < 8 < те. Предположим, что функция д : [0, те) ^ М абсолютно непрерывна на любом конечном отрезке [0, а] и удовлетворяет условиям: д(0) = 0, д'/гз/р-1 €Ьр(0, те). Тогда
г > (£—1 у Г (2.2)
к Ь'-г > V Р ) к >• v '
Еслир > 1 и д ф 0, то это неравенство является строгим, но постоянная ((в — 1)/р)р является точной, т.е. максимальной из возможных.
2) Пусть 1 ^ р < те, —те < а < 1. Предположим, что функция д : (0, те] ^ М абсолютно непрерывна на любом луче [ а, те], а > 0, и удовлетворяет условиям:
<7(те) = 0 и д'/та/р-1 € Ьр(0, те).
Тогда,
Г ^ > (I~ ШЕ*. (2.3)
Уо та р \ р ) Уо та
Еслир > 1 и д ф 0 то это неравенство является строгим, но постоянная (|а — Ц/р)р является т,очной, т.е. максимальной из возможных.
Ясно, что эта теорема является обобщением и усилением теоремы 2.1. Обратим внимание читателя на то, что в теореме 2.2 отсутствуют требования, связанные с монотонностью или знако-постоянством рассматриваемых функций g и д'.
С другой стороны, теорема 2.2 — следствие теоремы 2.1 с точки зрения неравенств. Действительно, пусть 1 < s < го. Определим функции f и F равенствами f (t) = \g'(t)\ и F (í) = То IT (г )\(1т. '
Так как /0 \д'(т)\dr > \<jf(í)\, следовательно, F(t) > \<jf(í)\ щи t > 0, то неравенство (2.2) следует из неравенства (2.1) при р > 1, а при р = 1 следует из равенства, соответствующего случаю р = 1 в теореме 2.1.
Неравенство (2.3) получается из (2.2) при замене переменной т = 1/í и параметра и = 2 — s. Таким образом, теорема 2.2 является следствием теоремы 2.1, примененной к функциям
rt
F(t)= \g'(r)\dT (s> 1), F(t) = \g'(T)\dr (a < 1), f(t) = \g'(t)\ (s > 1,a < 1). Jo Jt
Очевидно, что такие формулы для определения функций F : (0, го) ^ [0, го) и f : (0, го) ^ [0, го) можно использовать и в том случае, когда функция д является комплекснозначной. Поэтому справедлива следующая версия теоремы Харди.
Теорема 2.3. Предположим, что р G [1, го), s G R \ {1} непрерывная функция g : (0, го) ^ C
является дифференцируемой почти всюду, \g'\/ts/p-1 G LP(0, го) и выполнены следующие усло-
т
1) если s > 1, то g(0) := lim^o g(t) = 0 и имеет место равенство g(t) = Jgд'(т)йт, где 0 ^ t < го;
2) если s < 1, то д(го) := g(t) = 0 и имеет место раве нство g(t) = д'(т )(1т, где 0 <t < го
Тогда справедливо неравенство
I~ ÜW Л > (1Y I~ ЖЕ Л. (2.4)
Jo tS Р V P ) Jo tS
Еслир > 1 и g ф 0 mo это неравенство является строгим, но постоянная (\s — 1\/р)р является точной, т.е. максимальной из возможных.
Пусть к — натуральное число. Как обычно, символом Ск(Q) обозначим семейство непрерывных и к раз непрерывно дифференцируемых функций g : Q ^ C, гДе Q — непустое открытое множество. Символом Сд (Q) обозначим подсемейство, состоящее из функций g G Ск(Q), компактные носители которых лежат в Q.
Следствие 2.1. Для любого р G [1, го) и любого s G R \ {1} имеет место следующее неравенство
Г У(t)\\u^ (\В — 1\у Г~ \g(t)\p^^
Jo ts-P dt —Г)]0 v^Qi(0, го) (2.5)
с точной постоянной (|s — 1|/р)р. Для функции д ф 0 неравенство является строгим при любых р е [1, го) и s е R \ {1}.
Во многих приложениях теоремы 2.3 нужны ее усеченные версии, связанные с использованием лишь одного из граничных условий д(0) := lim^o g(t) = 0 и д(го) := lim^^ g(t) = 0. Эти усеченные версии формально являются некоторыми обобщениями теоремы 2.3 в случае s > 1 или s < 1, но фактически являются ее следствиями. Сформулируем два таких следствия.
Применяя неравенство (2.4) к функции, определенной равенствами f(t) = g(t), 0 ^ t ^ to и f(t) = g(to) = const, to < t < го, а также учитывая доводы Харди, использованные при доказательстве точности констант, получаем
Следствие 2.2. Предположим, что ¿0 € (0, го), р € [1, го), в € (1, го), функция f : [0, ¿0] ^ С является абсолютно непрерывной, /(0) = 0 и |/'|/^/р-1 € Ьр(0, ¿0). Тогда, справедливо неравенство
Г" I!'Л -1У I" I /(«Ж
л Л Н—; к (2 6)
Еслир > 1 и / ф 0 то неравенство является строгим, константа ((в-1)/р)р является точной.
Следующее утверждение доказывается так же, как и следствие 2.2. Отличие состоит в том, что мы применяем неравенство (2.4) к функции, определенной равенствами /(¿) = д(Ь), ¿о ^ ^ ^ го и /(¿) = д(Ь0) = с оп .в Ь, 0 < ¿0.
о € (0, го) € [1, го) € (-го, 1) / : [¿0, го] ^ С является абсолютно непрерывной, /(го) = 0 и |/'|/£5/р-1 € Ьр(10, го). Тогда справедливо неравенство
!-\логЛ> /¿-яу г~ \ш а. (2.7)
Л0 ^ 5 р V р / Л0 ^
Еслир > 1м / ф 0 то неравенство является строгим, константа ((в-1)/р)р является точной. Справедливо также
Следствие 2.4. Предположим, что —го < а < Ь < го. Для, любого р € [1, го) м любого в € М \ {1} имеет место следующее неравенство
[ 17—^> <6—'< (V1)'[тт—ж\г¥/€С°<а-« <2-8>
с точной постоянной (Ъ — а)р (|« — 1|/р)р- Для функции f ф 0 неравенство является строгим при любых р € [1, го) и « € М \ {1}.
Неравенство (2.8) следует из неравенства (2.5) при заменах переменной £ = (т — а)/(Ь — г) и ( ) ф ( )
Имеет место
Следствие 2.5. Предположим, что —го < а <Ь < го, р(т) := ш1п{т — а, Ъ — г}, где т € (а, 6). Для любого р € [1, го) и любого в € (1, го) справедливо неравенство
йт > --йт V/ € С10(а, Ь) (2.9)
Л Р3-р(т) > V р У Л Р*(т)
с точной постоянной ((в — 1)/р)р. Для функц ии f ф 0 неравенство является строгим при любых р € [1, го) и 8 € (1, го).
Доказательство. Применяя неравенство (2.6) при ¿0 = ( Ь — а)/2 и линейные замены переменных вида т = £ + аи т = Ь — получаем неравенства
, (а+Ь)/2 | /'(т)|Р — 1 \Р Г (а+Ь)/2 |/(т)|р
йт Ч1^)/ (г1йт ^(а, Ч,
к (т — аУ~р V р ) Л (т — а)
Г /(т> |р йт > Г1—1V ? Щ- йг Vf € 0,6).
Ла+»/2 (6 " т)""" "V р ) ](„+,)/ 2 (Ь — т)' ' 0
Сумма этих неравенств дает требуемое неравенство (2.9). □
Заметим, что величина р(т) = шт{т — а, Ь—т} равна расстоянию от точки т € (а, Ь) до границы ( а, )
3. Неравенства для высших производных
Последовательно применяя к раз неравенство (2.5) с параметрами р = 2 и = 2(к — ]) к функциям д = при 8 = к — 1,..., 0, получаем следующее утверждение, принадлежащее Харди при к = 1, Реллиху [3] при к = 2 и Бирману [4] при к > 3.
к
константой:
[ I/(к)№|2^ > 2 ^^ V/ еС0к (0, го). (3.1)
Если f ф 0, то неравенство является строгим.
Подробное доказательство неравенства (3.1) имеется в книге И.М. Глазмана [5]. Доказательство неравенства (3.1) можно найти также в нескольких статьях, в частности, в статье Оуэна [6], препринте 4-х авторов (Р. Gesztesy и др. [7]). В этих работах даны и доказательства точности константы ((2 к — 1)11/2к) при любом к > 1.
В теореме Харди имеется одно особое значение параметра. А именно, для = а = 1 неравенство теряет смысл, так как соответствующая константа равна нулю. Обозначим 5р (1) = {1}- Для случая к е N\ {1} нам потребуется множество 5р(к) := 1^=1 {1 + (] — 1)Р}> состоящее из к особых точек.
Справедлив следующий прямой аналог неравенства Харди, совпадающий с теоремой 2.3 при к = 1
Теорема 3.2. Пусть ре [1, го) к е N и а е М \ Б^к), где 5р(к) := и^=1{1 + (3 — 1)р }•
Предположим, что / е Ск-1(0, го) — комплекснозначная функция, такая, что производная £(к-1) поряд ка к — 1 является дифференцируемой почт и всюду и ^-а/р1 /(к)| е Ьр(0, го).
Пусть ] е (N и {0}) П [0, к — 1]. Предположим, что /(0) := / и выполнены следующие условия:
1) если а > 1 + (к — 1)р; то (0) := Иш^0 = 0 для всех целых чисел ] е [0, к — 1] и имеет место равенство
/(к-1)№ = Г ¡(к)(т)с!т, 0 < го;
2) если а < 1, то (го) := /(^)(^) = 0 для всех целых чисел ] е [0, к — 1] и имеет место равенство
¡(к-1)(1 )=/ % (к)(т)с!т, 0 <1 < го;
./те
3) если 1 + ( т — 1)р < а < 1 + тр, где натуральное число т е [1,к — 1], то /(^(0) := Нш^0 (£ ) = 0 для всех целых чисел ] е [0, т — 1], а, также (го) := /(^)(^) = 0 для
е [ т, к — 1]
¡(к-1)(г) = /* ¡(к)(т)с1т, 0 <г < го. Тогда справедливо неравенство
[~|/(к)л[I/(¿)|р
Л г-ь-Я >СР(к,а)]о (3.2)
где Ср(к, а) := П к=1 |(а — 1)/р — ] + 1|р .Константа Ср(к, а) является наилучшей. Если р > 1м / ф 0, то неравенство (3.2) является строгим.
к > 2 к = 1
Харди, точнее, ее вариантом в виде теоремы 2.3. Применяя теорему 2.3 при 8 = а — ]р к функции д = /(з\ получаем
>--т--& 0 = к —1,..., l,0). (з.з)
^-(з+1)Р рр у0
0
Подчеркнем, что в неравенстве Харди (3.3) в силу теоремы 2.3 требуется лишь одно граничное условие: функция д = должна обратиться в нуль либо в точке £ = 0 (если 8 = а — ]р > 1), либо в точке Ь = го (если в = а — ]р < 1). Эти требования выполняются в силу условий 1), 2), 3), указанных в формулировке теоремы 3.2. Кроме того, при обосновании неравенства Харди (3.3) необходимо проверить выполнение условия Р-а/р1 f(:>^| е 1^(0, го) для любого натурального числа 3 е [1, к]. Требование 1к-а/р1 /(к^1 е Ьр(0, го) содержится в условиях теоремы 3.2. Поэтому имеет место неравенство
1|а — (к — 1)р — 1|р Г I
\р
М > ------- ^—„ '' <и.
.]0 га-кр рр .}0 га-(к-1)р
Отсюда следует, что íк-1-а/р|/(к-1Ц е Ьр(0, го). Но тогда имеет место неравенство Г- Ц(к-1)(У\Р > |а — (к — 2)р — 1|р Г - \ ¡( к-2) (I ) \ р
Уо га-(к-1)р — рр Уо га-(к-2)р ,
и отсюда следует, что 1к-2-а/р1 /(к-2^1 е Ьр(0, го).
Последовательно понижая порядок производной в этих рассуждениях, приходим к тому, что р-а/р1 | е Ьр(0, го) для любого натурального числа ^ е [1, к], что и требовалось показать.
Применяя последовательно неравенства (3.3) к случаям ] = к — 1, ] = к — 2, ..., ] = 0, будем иметь
Г- |/(к)(^)1р^ > |а — Р(к — 1) — 1|р Г-
> |а — р(к — 1) — 1|р |а — р(к — 2) — 1|р Г- |¡(к-2)(I)|р >
- рр р} ]0 Iа-(к-2)р — ...
, \ р
к \ |у(0)(^)|р
- I — 1 — р(Ц — 1)|1
3 = 1
В результате получаем искомое неравенство (3.2).
Отметим, что при р = 2 и а = 2кв теореме 3.2 имеем константы Харди, Реллиха и Бирмана, так как
С2(к, 2к)= |гкП (2к + 1 — 2^ = .
к - 2
станты Ср(к, а). Поэтому нам остается доказать точность константы в общем случае при к — 2.
Предположим, что константа Ср(к, а) в теореме 3.2 не является наилучшей. Тогда для некоторого набора {р, к, а} фиксированных параметров р е [1, го), к е N \ {1} а е М\ в*(к) существует 60 > 0 таков) что для любой функции / : (0, го) ^ С, удовлетворяющей условиям теоремы 3.2, справедливо неравенство
I ^к)(*) I , ^ (- I /М
р
уо 1а-кр < — (60 + Ср(к, а)) у ^^Г-М. (3.4)
Пусть е е (0,1). Рассмотрим функцию /£ е С(0, го) П С— ((0, го) \ {1}), определенную равенствами
= 1(а-1+£)/р (0 <г < 1); дсо = ¿(ст-1-£)/р (1 < г < го). £ е С к(0, го)
) = Ш) (* е (0,1/2) и (2, го)); д&)=Н(*) (* е [1/2,2]),
где Н(¿) — интерполяционный полином Эрмита для функции /£, построенный по двум узлам ^ = 1/2 и = 2 кратности к + 1, следовательно, выполнены 2к + 2 условия
Н ) = ,) 0' = 0,1,...,к;и = 0,1).
эо
Известно (см., например, H.H. Калиткин [8, стр. 38]), что степень полинома Н(t) не превосходит 2k + 1 и
н w=Ё £ )(t —,
v=0 j=0 q=0 V
где Ckjq = (—1)9(k + q)\/(j\k\q\). Нетрудно видеть, что
sup max |Н(i)| = M0 < то, sup max |H(k)(i)| = Mk < то, ee(0,') te['/2,2] e€(0,') ^['/2,2]
так как величина maxj,v sup£e(0,') (tv)| < то. Непосредственными вычислениями получаем
г л«^=—+ г л. ад
/0 ta~kP 2£е J'/2 ta~kP v ;
Отметим, что
в^С ]\/2 £° ^С Л/2 ^-кР
Функция £ Ск(0, го) удовлетворяет граничным условиям, описанным в пунктах 1, 2 и 3 теоремы 3.2. Следовательно, для функции / = д£ согласно (3.4) имеем неравенство
2 /" > (,С + С,(к,„))£ /~ ши (3.8)
полученное из неравенства (3.4) для функции / = д£ после умножения обеих частей неравенства на е/2.
Переходя к пределу в неравенстве (3.8) при е ^ 0 и учитывая формулы (3.5), (3.6) и (3.7), приходим к соотношениям
7Р(k, а) = lim °p(k,а — g)2++fp(k^ + g) > lim = ,o + Ср(
С
Свойство / ф 0 с учетом граничных условий влечет аналогичные свойства /' ф 0 •••, /(к-1 ф 0 для производных. Поэтому при р > 1 и / ф 0 неравенства (3.3), а значит, и неравенство (3.2) являются строгими.
Теорема доказана. □
Ниже в следствиях мы рассматриваем лишь случай к > 2. Аналогичные утверждения для случая к = 1 также верны и сформулированы во введении как следствия неравенств Харди.
Обобщением неравенств Реллиха и Бирмана является
Следствие 3.1. Предположим, что к £ N \ {1}, 1 < р < то, комплекснозначная функция / £ Ск-1[0, то).
Если /(к-1 дифференцируема почти всюду, /(к) £ Ьр(0, то) /(?')(0) = 0 для всеж j = 0,..., к — 1 и j{к-1)(l) = ^ /(к)(т)(1т, 0 ^ £ < то, то имеет место неравенство
^ /~ IД£)1Р
Г /(k)(t) > п и — i/p)p f
Jo J 0
PI LL^liL. dt 0 tki
='
с точной константой. В частности, справедливо неравенство
k
1°° | f (k)(t) | Р dt > П (J — 1/Р)Р I° ^kF dt Vf g Ск(0, то).
i
При р = 1 последнее неравенство не является содержательным, так как а = к € 5*1 (к) и константа обратится в нуль.
Полагая р = 1 и а = 0 или а = к + 1 в теореме 3.2, получаем
Следствие 3.2. Пусть к € М\{1}. Тогда для любой комплекснозначной функции / € Ск(0, те) имеют место неравенства
f(k)(t) dt > k\ I |f(t)\dt, jT ^^ dt >k\J~ № dt.
r<x r<x>
k
J0
Константа k! точна в обоих неравенствах.
Следствие 3.3. Предположим, что k £ N \ {1} 1 ^ р < те, комплекснозначная функция f £ Ck-1(0, те) /(k-1) дифференцируема почти всюду, tk f(k £ Lp(0, те)
Если f(j) (те) := lim^ /(%) = 0 <?лл всех j = 0,...,k - 1 f(k-1)(t) = f(k)(r)dT, где 0 < í ^ те, то имеет место неравенство
fОО p k—1 /"ОО
kp
f(k)(t) dt >Ц (j + 1/p)4 |/(í)\Pdí. i=0 1/0
Константа, П^о (3 + 1/Р)р точна.
Следующие две теоремы дают обобщения неравенств (2.6) и (2.7).
Теорема 3.3. Предположим, что к € N 0 < с < те, 1 ^ р < те и 1 + (к — 1)р < а < те. Пусть / € Ск~1 (0, с) — комплекснозначная функция, такая, что производная, /(к ^ порядка,
к — 1 гк~а/рц(k)| € ьр(о,с).
Если № (0) :=Иш4^о ) = 0 для всех целых ч,исел, ] € [0, к — 1] и имеет место равенство /(к-1\1) = ^ /(к\т)йт, 0 ^ £ < с, то справедливо неравенство
г I Я (* ) I р (к ) Г |/(¿)|р
Уо ' >СР(к,а) ^ (3-9)
г(9е Ср(к, а) := П^=1 1(а — 1)/р — У + 1|р - Константа Ср(к, а) является наилучшей.
Доказательство. Пусть е € (0, с) и пусть / € Ск-1(0, с) — одна из функций, удовлетворяющая
к — 1
должены по непрерывности в точку ¿ = 0. Можно считать, что / € Ск-1[0, с), (0) = 0 для всех целых чисел ] € [0, к — 1] и производиая /(к-^ порядка к — 1 является абсолютно непрерывной [0, — ] € (0, ) Применяя к функции неравенство (2.6) при ¿о = с — е, в = а — jр и з = к — 1, к — 2,..., 0, получаем
* Г- |^+1)а)|р^ > |а — рз — 1|р Г-
Пользуясь итерациями этих неравенств, точнее, применяя это неравенство к случаю ] = к — 1,
= к — 2 ... = 0
Г »Л — Ср(к, а) Г №.
./о V7 р Уо V7
Остается доказать точность константы. Предположим, что константа Ср(к, а) в теореме 3.3
{ , , а}
р € [1, те) к € N а € (1 + (к — 1)р, те) существует £о > 0, такое, что для любой функции / : (0, с) ^ С, удовлетворяющей условиям теоремы 3.3, справедливо неравенство
p
('»d > (eo + cp(k„)) [ ifU
ü
Применим это неравенство к функции /е(£) = ^ 1+е")/р (0 ^ £ ^ с), удовлетворяющей условиям
£ (0, 1)
с£ с£
Ср(к, а + е)— > (ее + Ср(к, а)) — .
Умножая обе части на е и переходя к пределу при е ^ 0 будем иметь: С-(к, а) > £с + С-(к, а). Полученное противоречие доказывает точность постоянной С-(к,а) в теореме 3.3.
Теорема доказана. □
Теорема 3.4. Предположим, что к £ N 0 < Ь < то, 1 ^ Р < той —то < 8 < 1. Пусть / £ Ск-1(Ь, то) — комплекснозначная функция, такая, что производная /(к-1 порядка, к—1 является дифференцируемой почти всюду и
£к-з/Р-у(к)| £ 1р(ь, то). Если /(Л(то) := Игщ/(Л(£) = 0 для всех целых чисел ] £ [0, к — 1] и имеет место равенство /(к-1)(£) = ¡(к\т)йт, где Ь ^ £ < то, то справедливо неравенство
1°° Я > СР(к, в) ° ^^ (3.10)
где С-(к, 8) := Пк=1 |(з — 1)/р — ] + 1) |-• Константа С-(к, 8) является наилучшей.
Доказательство. Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство предыдущей теоремы. Отличия состоят в том, что при обосновании требуемого неравенства теоремы 3.4 пользуемся неравенством (2.7) для ¿о = Ь + е, где е > 0, а при обосновании точности константы рассматриваем функцию /£(Ь) = ¿(5-1-£У- (Ь < £ < то), удовлетворяющую условиям теоремы 3.4 при любом е £ (0,1). Этим и завершается доказательство теоремы 3.4. □
к = 1
Приведем следствие теоремы 3.3, обобщающее и усиливающее неравенство Реллиха-Бирмана к > 2
Следствие 3.4. Предположим, что к £ N 0 < с < то, 1 < Р < то. Пусть / £ Ск-1(0, с) —
( к-1)
¿к-а/-1 у(к)| £ ь-(0, с)
Если /(:?) (0) := Нш4^С/(:,)(£) = 0 для всех целых чшел ] £ [0, к — 1] и /(к-1)(£) = /С /(к)(т)с1т, 0 ^ £ < с, то справедливо неравенство
к
Г\¡(к)а)\ РМ > п и — 1/р)- Р-Щ^м.
Jc j=l
Константа пк=1 (3 — 1/р)- является наилучшей.
4. Усиления неравенств Реллиха и Бирмана в конечных интервалах
Согласно следствию (2.3), для любого с £ (0, то) и любой абсолютно непрерывной функции £ : [0, с] ^ М, такой, что /(0) = 0 и /' £ Ь2(0, с), справедливо неравенство
1 Г I /(£) 12
т 1> (41)
с наилучшей константой 1/4. X. Брезис и М. Маркус [9] воспользовались отсутствием экстремальной функции, реализующей равенство в (4.1), следующим образом. Они доказали, что при тех же условиях на функцию / неравенство (4.1) может быть усилено, а именно, имеет место следующее неравенство
£ | Г(1 ) 12м > 1 ^ ^М + А [ -/(£)-2М, (4.2)
где Л = 1/4. Автор и К.-И. Вирц [10] нашли наилучшее значение для постоянной Л в неравенстве Брезиса и Маркуса (4.2). Оказалось, что наилучшее значение для постоянной Л равно Л0, где г = Ло ~ 0.940 — первый положительный корень уравнения Jо(<г) + 2zJ0(z) = 0 для функции Бесселя порядка нуль.
Согласно следствию (2.3), для любого с € (0, го), любого в € (1, го) и любой абсолютно непрерывной функции / : [0, с] ^ М, такой, что /(0) = 0 и /'Д5/2-1 € Ь2(0, а), справедливо неравенство
' [ ^ - ^ [ ^ <,з>
с наилучшей константой (в — 1)2/4. Возникает естественная задача: доказать, что при тех же неравенство
Г I/'(*)!2 (* — 1)2 Г I№)12, Л 'с
о -dt > „
ts-2 > 4
Г ^dt + А Г |m2dt (4.4)
J 0 1 С J 0
.10 ь 4 .10 ь ^ .30
с некоторой положительной постоянной Л > 0. Эта задача была решена автором и К.-И. Вирцом в статье [11]. Для точной формулировки соответствующего результата, включающего неравенство (4.4) как частный случай, нам нужны некоторые обозначения.
Пусть (р, д) — пара положительных чисел. Нам потребуется функция
У — FVtPtg(t) — tp/2Jv (Л,(2р/q) У/2) , te [0,1],
(_1)m ¿2m+v
v,p,q \b) — ь Jv I Av \2P / 4)b I , b e
где
Jv (t) — E
22m+vrnir(rn + 1 + v)
m=0 v '
— функция Бесселя порядка v > 0 Г — гамма функция Эйлера, Лv(2p/q) — постоянная Лям-ба, определенная как первый положительный корень уравнения (2р/q) Jv(z) + 2zJV ( z) — 0 при фиксированных v > 0 и x — 2p/q > 0.
Нули функции xJV(z) + 2zJ'V(z) при фиксированных v > 0, x > 0 были изучены Лямбом (см.
v — 0
В частности, найдено, что Ао(1) — Ло ~ 0.940.
Через z — Av (x) обозначим первый положительный корень уравнения xJV(z) + 2zJ'V (z) — 0 при фиксированных x > 0 и v e [0,x/2]. В статьях [10] и [11] доказано, что функция
z — Av : (0, го) ^ (0, го)
является монотонно возрастающей, значение z — Av(x) для любого x e (0,1] ми x e [1, го) может быть найдено как решение задачи Коши для уравнения
d 2
йх х2 — 4и2 + 4г2
с начальным условием ,г(1) = Ли(1).
При решении задач, связанных с неравенствами типа Харди в выпуклых областях О С Мга, в статье автора и К.-И. Вирца [11] доказано следующее утверждение (см. в [11] леммы 1 и 2 и теорему 2 при р = — 1).
Теорема 4.1. Пусть в € (1, го) q € (0, го) и и € [0, (8 — 1)/q]. Пусть
г = Ли,3,д := Л„(2(в — 1)/q)
— постоянная Лямба, определенная как первый положительный корень уравнения (2(« — 1)/q)JV(г) + 2гJlv(г) = 0 при фиксированных и > 0 и х = 2(в — 1)/q. Если / : [0,1] ^ М — абсолютно непрерывная, функция, такая, что /(0) = 0 и /'Д5/2-1 € Ь2(0,1), то
г1¡т^ > « — р' — иу г1 щтл + 'Щы. 11!Жа. (45)
./о Р-2 > 4 /о Р 4 /о к !
Если V > 0 то равенство в (4-5) имеет, место тогда и только тогда, когда f(t) = С Р„,3-1,я(£) где С = сош£. Если V = 0 и f ф 0, то имеет место строгое неравенство
!1 > (1 * + Щм 11 Ш!(4.6)
Л 4 ]о Р 4 Л Р-я ' 1 '
г(9е обе постоянные ( в — 1)2/4 и с^Л^/4 в неравенстве (4.6) являются точными, т.е. наилучшими, в следующем, смысле: для, любого е > 0 существуют функции ¡1е, ¡2е удовлетворяющие условиям теоремы и неравенствам
]о V-2 4 ]о Р '
/1-ДМл < И—И [1 -Ы£1 л + + £ [11М£
Л 4 ./о р 4 Ус
Неравенство (4.5) будет справедливо и для комплекснозначных функций. А именно, имеет место
Следствие 4.1. Предположим, что числа, в, д, V и Л„,3,я т,акие же, что и в формулировке теоремы 3.1. Если д : [0,1] ^ С — абсолютно непрерывная функция, такая, что д(0) = 0 и | д'| /£3/2-1 £ Ь2(0,1), то
Г1 ЩЛ > ( > - Р' — "У [1 ШЛ + 'Щм. 11 Ш(4.7)
Уо Р-2 > 4 УС Р 4 УС 1 '
Доказательство. Пусть д(£) = + г¡2(£) Нетрудно видеть, что функции ) = Кед(£) и /2(£) = 1т д(Ь) удовлетворяют условиям теоремы. Поэтому мы можем записать неравенство (4.5) для функции / = /1 и для функции / = ¡2- Суммируя полученные неравенства и учитывая тождества
I д(£) 12 = /?(£) + т, | |2 = (/1(£))2 + (/2(£))2,
приходим к неравенству (4.7). □
Непосредственными вычислениями с использованием замен 8 = 2 —а, £ = 1/т, д(1/т) = /(г) в интегралах неравенства (4.7), получаем
Следствие 4.2. Пусть а £ (—то, 1) д £ (0, то) и V £ [0, (1 — а)/д]. Пусть
г = Ли,а,д := Л,(2(1 — а)/д)
— постоянная Лямба, определенная как первый положительный корень уравнения (2(1 — а)/д)Зу (г) + 2x3,(г) = 0 при фиксированных V > 0 и х = 2(1 — а)/д. Если / : [1, то] ^ С — абсолютно непрерывная, функция, такая, что /(то) = 0 и /'/та/2-1 £ Ь2(1, то), то
г ЩР >-а>2 — ^2 I° Ш)!лт + Ю** г° Щлт,
.к та-2 > 4 Л т* 4 .¡1
В частности, полагая т = v = 0 и д = 2, получаем, неравенство
° г2 IГ (г) 12*г > 1 ^ ° I/(Т)| 2*т + ЛС ^ ° ¿г,
г(9е обе константы 1/^ ЛС = ЛС(1) « 0.940 являются наилучшими.
Полагая V = 0шд = 8, пользуясь заменами £ = т/с, д(Ь) = /(т/с) в интегралах неравенства (4.7) и непосредственными вычислениями, получаем неравенство вида (4.4) с точными константами.
Следствие 4.3. Пусть с £ (0, то) в £ (1, то) г = ЛС(2 — 2/в) — постоянная Лямба, определенная как первый, положительный корень уравнения (2 — 2/в)3С(<г) + 2 г3'С(%) = 0 при фиксированном в > 1. Если / : [0, с] ^ С — абсолютно непрерывная функция,, такая, что
| /'I /Г/2-1 £ Ь2(0, с) и /(0) = 0, то
Следующая теорема дает усиление и обобщение неравенств Харди-Реллиха-Бирмана для случая конечных интервалов.
Теорема 4.2. Пусть к € N с € (0, го). Пусть / € Ск-1[0, с] — комплекснозначная функция, такая, что производная /(к-1) порядка, к — 1 является дифференцируемой почти всюду и I/(к)| €Ь2(0, с).
Если /(Л(0) := Иш4^о (*) = 0 дм всех целых чисел ] € [0, к — 1] и имеет место равенство
/(к-1)С0=/* 1{к)(т)йт, 0 с,
о
то
'ч* - [
\Л0. *+ло к(к+6^+1)Г|/(«)1'*
(4.9)
где Ло — 0.940 — постоянная Л ямба.
Доказательство. Если 8 = 2 т, т € N то 2 — 2/в — 1. Следовательно,
Ло(2 — 2/в) — Ло(1) = Ло - 0.940
в силу того, что функция Ли(х) является монотонно возрастающей. о
о
ме 3.2.
Выбирая в = 2т, т € N и применяя к производной т) функции /о неравенство (4.8) т = 1, ... , к Л (2 — 1/ т) > Л
Г1/Г"'+>12.Л — (2т—12 Г «+т2Л Г\т?«.
¿2т-2
02т I 0
т = 1
т = 2 ... т =
[ | л|2* - («) [ ^* + л2£ |Л(()|2Л.
Применяя это неравенство к функции д, удовлетворяющей условиям теоремы при с = 1 и учитывая известное равенство 12 + 22 + ... + к2 = к(к + 1)(2к + 1)/6, будем иметь
9(к)(т)
йт >
((2к — 1)!!\ 2 Г1
I 2к ) ,1о
19(т) 12Лт + Л2 к(к + 1)(2к + 1)
0
2 к
6
(г)|2 йт.
Заменой переменной т = Ь/с и функции д(т) = /(¿), отсюда получаем неравенство (3.10). Этим и завершается доказательство теоремы 4.2. □
Замечание 4.1. Константа ((2к — 1)!!/2к)2 в неравенстве (3.10) является наилучшей и в том случае, когда второе слагаемое отсутствует. А именно, как следствие теоремы 3.3 имеем следующее утверждение: для, любого е > 0 существует функция ¡е, удовлетворяющая условиям теоремы 4-2 и неравенству
/в(к)(^)
М <
+- И
I /е(г) 11 ¿2к
м.
Л2 к( к + 1)(2 к + 1)/(6 2 к)
к = 1
О
О
о
1
1
2
о
о
2
о
5. Многомерные аналоги
Опишем кратко связь между одномерными интегральными неравенствами и их многомерными аналогами.
Пусть п € N п > 2 Пусть величина |х| = д/х2 + х\ + ... + х^ обозначает евклидову норму вектора х = (х1,х2, ...,хп) € Кп, dх = (1х\(1х2 ■■■йхп — дифференциальный элемент объема (площади при п = 2). Рассмотрим область О С Кп и функции и : О ^ С Для и € С2(О) норма |Уи(х)| евклидова градиента
Уи(х):= (^х-1 ^ ,...,^и(х)) € Сп, х € О С К», \ дх1 Ох2 Охп )
определяется равенством |Уи(х)| =
\
Е
3 = 1
ди(х)
дхп
\
д и( х)2
В произвольной области О С Кп, О = следующее неравенство
[ |Уи(х)|р
-йх > Ср(,в, О)
дхз ) +(1т дху ) , прямым аналогом неравенства Хардп является
Г |и(х)|р
-йх Уи €С0(О),
(5.1)
!п ^ 3—р(х, дПУ~~ 7П Шв^х, дО)
где постоянная Ср(,в, О) € [0, то) предполагается наибольшей из возможных.
В многомерном случае по-прежнему важна роль параметров р € [1, то) в € К, но главными становятся следующие проблемы: 1) как геометрически описать «хорошие» области, т.е.
те области, для которых Ср(в, О) > 0; 2) получить нижние и верхние оценки Ср(в, О) > 0 в
р
Ряд результатов по исследованию неравенства (5.1) можно найти в недавно изданных монографиях [14]—[16]. Опишем кратко лишь несколько результатов, относящихся к особым случаям неравенства (5.1).
Можно указать несколько областей, в которых неравенство вида (5.1) эквивалентно неравенству (2.5), т.е. неравенству
Г™ ^ (1| V г™ Ь(¿)|р
рI'
~(И Уд€С1(0, то).
7о - V р ) 7с 13
Отметим, что следующие теоремы 5.1 и 5.2 можно отнести к фольклору теории многомерных неравенств Хардп.
Теорема 5.1. Пусть п € N п > 2. Для любого р € [1, то) и любого а € К имеет место следующее неравенство
|Уи(х)|р
,хГ-р->(^)р £ V,, € С0(КП \(0})
|и(х)|р
(5.2)
с точной константой (|а — п|/р)р
Приведем краткое доказательство эквивалентности неравенств (2.5) и (5.2) при фиксированном п > 2. Возьмем 8 = а — п + 1, воспользуемся сферическими координатами
х = ГШ € Кп (г = |х| > 0, ш €Б := (у € Кп : |у| = 1}),
формулой йх = гп-1 йгйш и неравенством |Уи(х)| > |ди(х)/дг|.
Применяя неравенство (2.5) к функции и € С0 (Кп \ (0}) при фиксированном ш € Б, получаем неравенство
ди(гш) р йг ^(|s — р Г™ |и(гш)|р
1о г3
>0
д
3- р
эквивалентное неравенству
Г™ ди(гш)
Уо
д
р гп 1йг
| х|
а—р
>
( ^ )р [
-йг,
|и(Г ^Тп—Чг, о |х|а '
п
где | х\ = г ш а = s + п — 1. Умножая обе части последнего неравенства на dw и интегрируя по сфере S, приходим к неравенству
что влечет (5.2). Обратно, применяя (5.2) к радиальным функциям, определенным равенством и(х) = и(| х\) =: д(1 х\), получаем неравенство (2.5) с 8 = а — п + 1 и £ = г = |х|.
Если а = 8 + п — 1 < п, то з < 1. Неравенство (5.2) будет справедливо при выполнении граничного свойства и(го) = 0, что будет слсдавать из условия и € Со(Мга). В частности, полагая р = а, получаем
Следствие 5.1. Для любого р € [1, п) имеет, место следующее неравенство
с тонной константой ((п — р)/р)р.
Неравенство (5.3) принято называть неравенством Лерэ (Л. Ьегау). Оно было доказано Лерэ в 1933 году для случая р = 2, п = 3 в работе [17], посвященной исследованию уравнений Навье-Стокса. Таким образом, Лерэ впервые рассмотрел неравенство типа Харди в пространственной области.
Нетрудно также показать, что неравенство (2.5) эквивалентно соответствующему неравенству в полупространстве Н+ = {х € Мга : XI > 0}.
Теорема 5.2. Для любого р € [1, го) и любого 8 € М имеет место следующее неравенство
с тонной константой (|s — 1|/р)р.
Опишем несколько нетривиальных результатов о неравенстве (5.1) в областях Q С Кга, отличных от областей Жп \ {0} и H+. Точнее, рассмотрим неравенство (5.1) в областях Q С Кга, когда отсутствуют простые формулы для нахождения расстояния dist(x, 9Q), х £ Q.
Отметим прежде всего, что описанные ниже теоремы 5.3 — 5.1 в оригинальных работах сформулированы и доказаны, для, вещественнознанных функций. Но теоремы 5.3 — 5.1 являются справедливыми и для комплекснознанных функций, так как их доказательства основаны, на применениях неравенств вида (2.4), которые верны и для комплекснознанных функций.
Для случая s > 1 наиболее полные результаты о неравенстве (5.1) получены для выпуклых областей Q С Шп. Усилиями ряда математиков, а именно, Е.Б. Дэвиса, Т. Матскевича и P.E. Сло-бодецкого, X. Брезиса, М. Маркуса и В.И. Митцеля, автора и И.К. Шафигуллина (см. статью [18] и библиографию в ней) доказано следующее утверждение.
Теорема 5.3. Пусть п > 2. Дм любо го р £ [1, го), любого s £ (1, го) и любой выпуклой области Q С Мга, Q = Мга, имеет место неравенство
где константа является наилучшей, т.е. Ср(в, О) = ((в — 1)/р)р для, любой выпуклой области О С Мга, О = Мга при любых р € [1, го) и 8 € (1, го).
Теорема 5.3 интересна и удивительна тем, что различные выпуклые области имеют одну и ту же константу Харди, равную ((в — 1)/р)р. В статье [19] нами доказана
(5.3)
(5.4)
Теорема 5.4. Пусть п > 2. Дм любого р € [1, го), любого в > п и любой области П С М" П = Мга; имеет место неравенство
/п «'-"(х.дП) "V Р ) ]а «'(х.дП) 0( ''
где константа является оптимальной в том смысле, что существуют области, для, которых константа ((в — п)/р)' является точной.
Обратим внимание на то, что в этой теореме отсутствуют дополнительные геометрические требования на границу области. Такая ситуация в теоремах вложения подобного типа встречается крайне редко.
При € (—го, 1) «хорошими» областями оказываются внешности выпуклых компактов. А именно, справедлива следующая теорема, доказанная автором и Р.В. Макаровым в статье [20].
Теорема 5.5. Предположим, что п > 2 1 ^ Р < го, —го < в < п, П С Мга область, такая, что Мга \ П непустой выпуклый компакт. Тогда,
*<., П) > :=-"* 3|',
т.е. для любой комплекснозначной функции и € С^П)
[ | Уи(х) |' . [ |и(х) |' ,
Уп dists_'(x, дП) - ' Уп dists(x, дП)
где константа является оптимальной в том смысле, что существуют области, которые удовлетворяют условиям теоремы и для них константа С'ЗП является точной.
Многомерные аналоги неравенств Реллиха - Бирмана связаны с полигармоническими операторами порядка к > 2.
Пусть А — оператор Лапласа. Для гладких функций и € Ск (П) рассмотрим полигармонический оператор, определенный равенствами (см. [21])
д^/2 ^ I А^и(х), если к = 2] — четное число,
1 УА^и(х), если к = 2] + 1 — нечетное число,
с формальным соглашением А1/2и := Уи. Очевидно, в одномерном случае Ак/2/(¿) = /(к)(£) для функции £ € Ск (а, Ь) от перемени ой £ € (а, Ь). Справедлива
Теорема 5.6. Пусть п > 2, к > 2, и пусть П С Мга — выпуклая область, П = Мга. Тогда
/ |Ак/2и(х)|2йх > ((2к —,1)!!)2 Г 'и!Х)|1о^х ^и €Ск(П). Уп 4 К Уп dist2К(х,дП)
Дри любых п > 2, к > 2 константа точна для любой выпуклой области П С Мга; П = Мга.
Указанное в теореме 5.6 неравенство доказал М.П. Оуэн в статье [6], где указано, что константа (П) := ((2к — 1)!!)2/4к является оптимальной, так как она точна для случая полупространства х1 > 0. Точность константы для любой выпуклой области П С Мга, П = Мга, доказана нами в статьях [22] и [23].
Имеются также несколько обобщений этой теоремы на случай невыпуклых областей. Например, в статье [24] нами доказана
к > 2 П С М2 П = М2
янная Ак(П) € [0, го) — точная, т.е. максимальная, из возможных константа в неравенстве
/ А/2и(х)|2их >Ак(П) / 'и^яо^х ^и €Ск(П). Уп Уп dist2 к(х,дП)
Тогда
Ак(П) > ((к - 1)!)2Ai(Q),
и справедливо следующее утверждение: при любом к > 2 констант,а, Ак(П) > 0 тогда и только тогда, когда область П С R2 имеет равномерно совершенную границу.
Отметим, что в доказательствах теорем 5.6 и 5.7 существенную роль играют теоремы 5.3 и 5.4 и следующее обобщенное тождество O.A. Ладыженской (см. [25, гл. 2, формула (6.26)] для т = 2 и [21, гл. 2, формула (2.12)] для общего случая): для любой функции и £ С™(П)
о г п п п / \ 2
Ат/2и(х)
dx = / V V • • • V ( ~-дти(х) - dx.
п П П /
£ £••£ (;
ki=1kn = 1 km = 1
'п—г—1 —=1^дхк1дхк* ■■■дхк"
Приведем несколько следствий теоремы 5.7. Граница круга с выколотым центром не является совершенным множеством. Поэтому справедливо
Следствие 5.2. Если О2 С К2 — круг |х| < 3 с выколотым центром,, то Ак(О2) = 0.
Выбрасывая из круга достаточно «густое» замкнутое множество точек, можно построить область с равномерно совершенной границей. В частности, имеет место
О2 С К2 | х| < 3
множество, лежащее на, отрезке [0,1], то константа Ак(О2) > 0.
Ак(О2) Ак(О)
О
в следующем утверждении.
Следствие 5.4. Если О С К2 — односвязная область, О = К2; то Ак(О) > ((к — 1)!/4)2.
В заключение отметим, что в недавних статьях [26] и [27] сформулирован ряд нерешенных проблем по многомерным неравенствам типа Харди и Реллиха.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. С.Л. Соболев. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука. 1989.
2. Г.Г. Харди, Дж.Е. Литтльвуд, Г. Полиа. Неравенства. (С дополнениями В.И. Левина и С.Б. Стечкина.) М.: ИЛ. 1948.
3. F. Rellich. Perturbation theory of eigenvalue problems. New York-London-Paris: Gordon and Breach. 1969.
4. М.Ш. Бирман. О спектре сингулярных граничных задач, // Матем. сб. 55(97):2, 125-174 (1961).
5. И.М. Глазман. Прямые методы качественного спектрального анализа, сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматлит. 1963.
6. М.Р. Owen. The Hardy-Rellich inequality for polyharmonic operators // Proc. Royal Soc. Edinburgh Sect. A: Math. 129:4, 825-839 (1999).
7. F. Gesztesv, L.L. Littlejohn, I. Michael, R. Wellman. On Birman's sequence of Hardy-Rellich type inequalities // J. Differ. Equ. 264:4, 2761-2801 (2018).
8. H.H. Калиткин. Численные м em оды. M.: Наука. 1978.
9. Н. Brezis, М. Marcus. Hardy's inequalities revisited // Dedicated to Ennio De Giorgi, Ann. Scuola Sup. Pisa CI. Sci. (4). 25, 217-237 (1997).
10. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths. Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains // Z. Angew. Math. Mech. (ZAMM). 87:8-9, 632-642 (2007).
11. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths. Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constants // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 18, 723-736 (2011).
12. Н. Lamb. Note on the Induction of Electric Currents in a Cylinder placed under across the lines of Magnetic Force // Proc. London Math. Soc. 15, 270-274 (1884).
13. G.N. Watson. Theory of the Bessel functions. Second edition. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1962.
14. A.A. Balinskv, W.D. Evans, R.T. Lewis. The Analysis and Geometry of Hardy's Inequality. Universitext. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer. 2015.
15. M. Ruzhanskv, D. Suragan. Hardy Inequalities on Homogeneous Groups. Progress in Mathematics, 327. Birkhauser. 2019.
16. Ф.Г. Авхадиев. Конформно инвариантные неравенства. К.: Изд-во Казанского университета. 2020.
17. J. Lerav. Etude de diverses équations intégrales non linéaires et de quelques problèmes que pose l'hydrodynamique // J. Math. Pures Appl. 12, 1-82 (1933).
18. Ф.Г. Авхадиев, И.К. Шафигуллин. Точные оценки констант Харди для, областей со специальными граничным,и свойствами // Изв. вузов. Матем. 2. 69-73 (2014).
19. F.G. Avkhadiev. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants // Lobachevskii J. Math. 21, 3-31 (2006).
20. F.G. Avkhadiev, R.V. Makarov. Hardy Type Inequalities on Domains with Convex Complement and Uncertainty Principle of Heisenberg // Lobachevskii J. Math. 40:9, 1250-1259 (2019).
21. F. Gazzola, H.Ch. Grunau, G. Sweers. Polyharmonic boundary value problems. Lect. Notes Math. 1991. Berlin-Heidelberg: Springer. 2010.
22. F.G. Avkhadiev. Hardy-Rellich inequalities in domains of the Euclidean space // J. Math. Anal. Appl. 442, 469-484 (2016).
23. Ф.Г. Авхадиев. Обобщенная проблема Дэвиса для полигармонических операторов // Сиб. матем. журнал. 58:6, 1205-1217 (2017).
24. Ф.Г. Авхадиев. Неравенетва, Реллиха для полигармонических операторов в областях на плоскости // Матем. сборник. 209:3, 4-33 (2018).
25. О. A. Ladyzhenskava. The Boundary Value Problems of Mathematical Physics. New York: Springer. 1985.
26. F. Avkhadiev. Selected results and open problems on Hardy-Rellich and Poincaré-Friedrichs inequalities // Anal. Math. Phvs. 11:134, 1-20 (2021).
27. Ф.Г. Авхадиев, И.P. Каюмов, С.P. Насыров. Экстремальные проблемы в геометрической теории функций // УМН. 78:2(470), 3-70, (2023).
Фарит Габидинович Авхадиев, Казанский федеральный университет, ул. Кремлевская 18, 420008 г. Казань, Россия E-mail: avkhadiev47@mail .ru
