Инертно-индуктивный осциллятор Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 537.311.6 И.П. Попов

Департамент экономического развития, торговли и труда Курганской области Ф.Н. Сарапулов, С.Ф. Сарапулов Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

ИНЕРТНО-ИНДУКТИВНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Аннотация. Рассматривается инертно-индуктивная колебательная система и возникновение в ней свободных гармонических колебаний, при которых происходит взаимное превращение кинетической энергии массивного тела в энергию магнитного поля катушки индуктивности.

Ключевые слова: массивное тело, катушка индуктивности, инертно-индуктивная система, гармонические колебания.

I.P. Popov

Department of Economic Development, Trade and Labor of the Kurgan Region F.N. Sarapulov, S.F. Sarapulov

Ural Federal University named after the first President of Russia Boris Yeltsin

INERT AND INDUCTIVE OSCILLATOR

Abstract. The article considers the inert and inductive oscillatory system and generation of its free harmonic oscillations when mutual transformation of the kinetic energy of the massive body into the energy of the magnetic field of the self-inductive coil happens.

Index Terms: massive body, self-inductive coil, inert and inductive system, harmonic vibrations.

Введение

Известные колебательные системы имеют параметры, физическая природа которых одна и та же [1-4]. Например, в выражении для собственной частоты пружинного маятника

оба параметра - коэффициент упругости к и масса т - являются механическими величинами. В формуле для электрического колебательного контура

1

4lc

(1)

параметры индуктивность ^ и емкость С являются электрическими величинами.

При этом в известных колебательных системах происходит взаимное превращение энергии, обусловленной движением (кинетической энергии и энергии магнитного поля), в энергию, обусловленную положением (энергию деформированной пружины и энергию электрического поля).

Ниже рассматривается инертно-индуктивная колебательная система, элементы которой имеют различную физическую природу. В этой системе происходит обмен энергией между катушкой индуктивности и массивным телом.

L

Рисунок 1 - Инертно-индуктивный осциллятор

1 Инертно-индуктивная система

Упрощенная модель системы представлена на рисунке 1. Масса магнита т, магнитная индукция в зазоре В, между полюсами находятся п проводников с длиной активной части I [5-7]. Индуктивность катушки Активное сопротивление, потери на трение, индуктивность и емкость рамок не учитываются.

2 Возникновение свободных гармонических колебаний

Пусть начальные условия: х(0) = 0; dx/dt(0) = у0; /(0) = /0. Механическое и электрическое состояния mL колебательной системы описываются двумя уравнениями в соответствии со вторыми законами Ньютона и Кирхгофа:

d2 х . m —— = Blni ■ dt2

D, dx di Bln — + L— = 0 dt dt

(2)

(3)

где х - перемещение инертного тела (магнита), В1п/ -сила Ампера, Blndх/dt - ЭДС электромагнитной индукции, -Ld//dt- ЭДС самоиндукции. В, I, п, - параметры, обусловливающие электромеханическое взаимодействие. Их целесообразно объединить в параметрический коэффициент

у = (В1п)2 .

Из (3)

^ X ^ ^ 1

-= _ у Ь-

Ж2 Ж2 '

При подстановке в (2)

ё21 у

—Г + 1 = 0.

& тЬ

Последнее выражение представляет собой классическое уравнение свободных гармонических колебаний. Его решение

i = L sin (®ot + ф), х = У~0'5L [L sin (fflot + ф) - io ],

Ф = агС£

¿0 ХтЬ

Еп

= arctg -

(4)

- собственная частота автономной консервативной т^-системы.

Хп1 ~

V т

(5)

- волновое сопротивление колебательной т^-системы. Таким образом, в инертно-индуктивной т^-системе происходят свободные гармонические колебания. Величина

с = п

Сп

У

может рассматриваться как «инертная емкость» [8-10]. При этом

ХтЬ V с~,

Шо =

что соответствует (1).

только из однородных элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний [Текст]/ И. П. Попов // Омский научный вестник. Серия «Приборы, машины и технологии».-2012.- № 3(113).- С. 177-179.

5 Попов, И. П. Реактивные элементы электрических цепей с

«неэлектрическими» параметрами [Текст]/ И. П. Попов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Технические науки».- 2010.- №4(27).-С. 166-173.

6 Попов, И. П. О емкостных и индуктивных свойствах

электромеханических преобразователей [Текст]/ И. П. Попов, Ф. Н. Сарапулов, С. Ф. Сарапулов // Вестник Курганского гос. унта. Технические науки.- 2011.-Вып. 6. №1(20).- С. 102, 103.

7 Попов, И. П. Переходный процесс при подключении

электромеханического преобразователя с упругой нагрузкой к источнику постоянного напряжения [Текст]/ И. П. Попов, Ф. Н. Сарапулов, С. Ф. Сарапулов // Вестник Курганского государственного университета. Серия «Технические науки».-2012.- Вып. 7.-№2(24).- С. 80-82.

8 Попов, И. П. Вращательные инертно-емкостные устройства

[Текст] /И. П. Попов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Технические науки».- 2011.-№3(31).- С. 191-196.

9 Попов, И. П. Инертно-емкостное устройство [Текст] / И. П. Попов //

Актуальные проблемы современной науки и практики: Материалы международной научно-практической конференции, посвященной 85-летию транспортного образования в Зауралье и 55-летию УрГУПС / под ред. Е. А. Худяковой. - Курган : Изд-во КГУ, 2011.- С. 119-120.

10 Попов, И. П. Установление частной функциональной зависимости

между емкостью и массой [Текст]/ И. П. Попов // Вестник Курганского государственного университета. Серия «Естественные науки».-2011.- Вып. 4.- №2(21).- С. 85-87.

11 Попов, И. П. Реализация частной функциональной зависимости

между индуктивностью и массой [Техст] / И. П. Попов // Российский научный журнал.- 2012.- № 6(31).- С. 300, 301.

12 Попов, И. П. Функциональная связь между индуктивностью и

массой, емкостью и упругостью [Текст]/ И. П. Попов // Вестник Забайкальского государственного университета.- 2013.-№ 02(93).- С. 109-114.

1

Заключение

В рассматриваемой инертно-индуктивной тL колебательной системе могут возникать свободные гармонические колебания, причем, в отличие от традиционных колебательных систем, в ней происходит взаимное превращение энергии, обусловленной движением (энергии магнитного поля катушки) в энергию, обусловленную также движением (в кинетическую энергию инертного тела). При этом в выражения для волнового сопротивления колебательной системы (5) и собственной частоты колебаний (4) входят величины разной физической природы - инертная масса т и индуктивность I.

Инертно-индуктивная mL-система представляет собой электрический колебательный контур в составе катушки индуктивности I и инертной емкости Ст.

Между величинами различной физической природы может существовать функциональная зависимость [11; 12]. Выражения (4) и (5) устанавливают функциональные зависимости между электрическими и механическими величинами.

Колебательные свойства инертно-индуктивной тL колебательной системы могут учитываться, в частности, при разработке линейных электромеханических преобразователей с инертной нагрузкой.

Список литературы

1 Попов, И. П. Свободные гармонические колебания в системах с

однородными элементами [Текст] / И. П. Попов // Прикладная математика и механика.- 2012.- Т. 76.- Вып. 4.- С. 546-549.

2 Попов, И. П. Свободные гармонические колебания в электрических

системах с однородными реактивными элементами [Текст]/ И. П. Попов // Электричество.- 2013.- № 1.- С. 57-59.

3 Попов, И. П. Колебательные системы, состоящие только из

инертных или только упругих элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний [Текст]/ И. П. Попов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика.- 2013.- № 1(21).- С. 95-103.

4 Попов, И. П. Механические колебательные системы, состоящие

СЕРИЯ «ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ», ВЫПУСК 8

81

УДК 53.091 И.П. Попов

Департамент экономического развития, торговли и труда Курганской области

ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС ПРИ ПОДКЛЮЧЕНИИ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ С ИНЕРТНОЙ НАГРУЗКОЙ К ИСТОЧНИКУ ПОСТОЯННОГО НАПРЯЖЕНИЯ

Аннотация. Показано, что переходный процесс при подключении пьезоэлектрического преобразователя с инертной нагрузкой к источнику постоянного напряжения идентичен процессу при подключении катушки индуктивности. При этом эквивалентная, или «инертная», индуктивность определяется массой груза.

Ключевые слова: пьезоэлектрический преобразователь, «инертная» индуктивность.

I.P. Popov

Department of Economic Development, Trade and Labor of the Kurgan Region

TRANSITION WHILE CONNECTING A PIEZOELECTRIC TRANSDUCER WITH INERTIAL LOAD TO A CONSTANT VOLTAGE SOURCE

Abstract. The article shows that the transition process of connecting piezoelectric transducer with inertial load to the DC voltage source is identical to the process of connecting the coil. In such a case, the equivalent or «inert» inductance is determined by the lading weight.

Index Terms: piezoelectric transducer, «inert» inductance.

Введение

В настоящее время получили распространение пье-зокерамические электромеханические преобразователи [1]. При использовании их во всевозможного рода датчиках целесообразно учитывать влияние инертной нагрузки на их реактивное сопротивление. Это позволит повысить расчетную точность датчиков и соответствующих приборов.

На рисунке 1 изображен линейный пьезоэлектрический преобразователь с инертной нагрузкой массой т.

Рисунок 1 - Пьезоэлектрический преобразователь с инертной нагрузкой

Работа устройства основана на прямом и обратном пьезоэффектах [2-4]. Прямой пьезоэффект проявляется в том, что на обкладках пьезоэлемента при его деформации х появляется электрический заряд q:

q = dx, (1)

где d1 - пьезомодуль. При подаче на обкладки напряжения ип пьезоэлемент деформируется и развивает усилие F. В этом заключается обратный пьезоэффект:

F = dA . (2)

Подключение к источнику постоянного напряжения

Пусть активное сопротивление устройства R '" 0, коэффициент механического трения b '" 0. При подключении преобразователя к источнику постоянного напряжения U возникает усилие (2). В соответствии с третьим и вторым законами Ньютона

_ , d2 x 1 dx

F = d2un = m —— + b —.

dt2 dt Первая и вторая производные (1)

dq dx

— = г = d, —

dt

ч

dt '

(3)

(4)

d 2 x

Ж а Ж

—т = — = & —т . Ж2 Ж Ж2

При подстановке в (3)

т Ж Ь

ип =---1--1

Ж1Ж2 Ж Ж1Ж2

Пусть для компактности В соответствии со вторым законом Кирхгофа

ТТ п. т Ж Ь.

и = мп + Я1 =--+ -1 + Я1

г Ж г

Ж.+Г Ь+^ 11=и.

Ж- I т т ) т '

d1d2 = z.

(5)

Общее решение дифференциального уравнения / является суммой общего решения /1 однородного уравнения (без правой части) (свободная составляющая тока) и частного решения /2 (принужденная составляющая)

г = гх + /2

b+Rz

г1 = C1e m ■ г2 = C2 .

При подстановке i в (5)

0 +

b + Rz

m

г = Uz C2 = , m

C =

U

b/z + R

_ bjz + R

/ = / + /2 = C1e m/z +-

U

b/z + R (6)

Пусть v(0) = Vo . Из (4) определяется начальный ток при t = 0, а из (6) - постоянная С1