CC BY
21
ЭНЕРГЕТИКА И ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
УДК 537.862 И.П. Попов
Департамент экономического развития, торговли и труда Курганской области Д.П. Попов
ГОУ УКК «Курганскагропром»
C.Ю. Кубарева
ОАО «Курганмашзавод»
ИНДУКТИВНО-ИНДУКТИВНАЯ КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА
Аннотация. Рассматривается электрическая колебательная система, состоящая из однородных элементов -двух катушек индуктивности. Показана возможность возникновения в такой системе свободных гармонических колебаний.
Ключевые слова: колебательная система, индуктивность, гармонические колебания, частота.
I.P. Popov
Department of Economic Development, Trade and Labor of the Kurgan Region
D.P. Popov
GOU UKK Kurganskagroprom (State Educational Institution, Training Centre) S.Y. Kubareva
OAO Kurganmaszavod (Open Joint-stock Company)
MUTUAL INDUCTIVE OSCILLATING SYSTEM
Abstract. The article considers the electric oscillating system consisting of homogeneous elements - two inductive coils. The possibility of free harmonic vibrations in such a system is revealed.
Index Terms: oscillating system, inductive, harmonic, frequency.
¿¿-система
На рисунке 1 изображена LL колебательная система, выполненная в виде двух одинаковых катушек индуктивности, связанных посредством двухфазной синхронной индуктивной электрической машины, ротором которой является постоянный магнит.
I
Рисунок 1 - Индуктивно-индуктивная колебательная система
Катушки индуктивностью L подключены к фазным обмоткам статора. Число витков каждой обмотки статора п, длина активной части витка !, индукция магнитного поля В. Активное сопротивление обмоток и соединительных проводников полагаются равными нулю. Индуктивность обмоток входит в L. Вращающий момент равен нулю.
При названных допущениях условия электрического и механического равновесия в соответствии с законом электромагнитной индукции, вторым законом Кирхгофа, законом Ампера и аналогом третьего закона Ньютона для моментов запишутся:
L
Введение
В электрическом колебательном LC-контуре происходит взаимное преобразование энергии магнитного поля катушки индуктивности в энергию электрического поля конденсатора. Индуктивность L и емкость C имеют взаимно противоположный характер реактивности. В связи с этим колебательный LC-контур можно рассматривать в качестве биреактивной системы. Характерным свойством этой системы является то, что она имеет фиксированную собственную частоту свободных колебаний
Ш0 = 1/>/ЬС . Другим ее свойством является то, что
сдвиг по фазе между колебаниями энергии элементов составляет л/ 2.
Ниже рассматривается колебательная система с однородными элементами, а именно индуктивно-индуктивная LL-система, и возникновение в ней свободных гармонических колебаний. Поскольку реактивный характер каждого из двух элементов, входящих в LL-системy взаимно идентичен, ее можно рассматривать в качестве монореактивной системы [1-7].
ш udФ • Tdii Bl nR — sin ф = L—1
dt dt
d ф di2 < BlnR — cos ф^—2 dt dt
BlniJR sin ф = -Blni2R cos ф .
При интегрировании первых двух уравнений
BlnR
/j =--—— cos ф + Aj,
BlnR .
i2 =-sin ф + A2
L
и подстановке в третье получается тождество при условии Aj = A2 = 0 , где Aj, A2 - постоянные интегрирования. Другими словами, суммарный момент равен нулю при любом характере вращения ротора.
Пусть начальные условия Ф(0) = Фс,
ШФ
ш
В соответствии с аналогом первого закона Ньютона для вращательного движения
Ш ф Шг
=
Ф = |ш0Шг = ш0г + А = ш0г + ф0.
Тогда
В 1п Я , Ь =--— С08(®0г + Ф0) =
В1пЯ&0 Е
=--;-1 С08Кг + Ф0) = - — С08Кг + Ф0)
В1пЯ . . . Е . . . г2 =—— 81п(Ш0г + Ф0) = — 81п(Ш0г + Ф0)
ь ль
Таким образом, в системе с двумя катушками индуктивности происходят свободные гармонические колебания электрического тока.
В рассмотренной колебательной системе происходит взаимный обмен энергией между магнитными полями индуктивных элементов. При Ф = 0 энергия магнитного поля первого индуктивного элемента максимальна, а второго -равна нулю. После этого ток во втором элементе начинает возрастать за счет энергии магнитного поля первого элемента, ток которого начинает уменьшаться.
Замечание 1. В качестве индуктивных элементов И-системы могут использоваться не только катушки индуктивности, но и устройства, обладающие эквивалентной индуктивностью, обусловленной неэлектрическими параметрами, например, массой [8; 9] и коэффициентом упругости [10; 11].
Замечание 2. В ^-системе ротор синхронной машины может содержать обмотку возбуждения.
Замечание 3. Как и в электрическом биреактивном колебательном ^С-контуре в рассмотренной монореактивной колебательной ^-системе фазы колебаний энергии катушек сдвинуты на п/2 .
Замечание 4. В отличие от колебательного ^С-кон-тура частота свободных колебаний ^-системы не зависит от параметров элементов системы и определяется исключительно начальными условиями. Другими словами, рассмотренная система может совершать свободные гармонические колебания с любой изначально заданной частотой.
Замечание 5. Вращающаяся часть ^-системы совершает равномерное вращательное движение без подвода энергии извне.
Замечание 6. Возможность возникновения свободных колебаний в ^С-контуре обусловлена тем, что элементы колебательного контура ^ и С имеют противоположный характер реактивности. В колебательной ^-системе противоположная реактивность достигается суммированием пространственного сдвига (п/2 ) и сдвига по фазе (п/ 2).
Замечание 7. В монореактивной ^-системе катушки могут быть связаны между собой не только индуктив-
ным электромеханическим преобразователем, но и синхронными электромеханическими преобразователями, построенными на иных принципах, например магнитоэлектрических [12].
Замечание 8. Индуктивно-индуктивная система может быть выполнена многофазной.
В качестве примера многофазной монореактивной колебательной системы может рассматриваться трехфазная колебательная ^^-система, в которой три одинаковых индуктивных элемента ^ связаны посредством трехфазной синхронной индуктивной электрической машины.
В качестве практического аспекта рассмотренной электрической монореактивной колебательной системы может, в частности, рассматриваться возможность взаимной компенсации реактивных сопротивлений фаз в многофазных системах.
Список литературы
1 Попов, И. П. Свободные гармонические колебания в системах с
однородными элементами [Текст]/ И. П. Попов // Прикладная математика и механика.- 2012.- Том 76.- Вып. 4.- С. 546-549.
2 Попов, И. П. Колебательные системы, состоящие только из
инертных или только упругих элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний [Текст]/ И. П. Попов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика.- 2013.- № 1(21).- С. 95-103.
3 Попов, И. П. Механические колебательные системы, состоящие только
из однородных элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний [Текст] / И. П. Попов // Омский научный вестник. Серия «Приборы, машины и технологии». - 2012. -№ 3(113).- С. 177-179.
4 Попов, И. П. Свободные механические гармонические колебания в
системах с кривошипно-кулисными механизмами [Текст] И. П. Попов // Вестник Курганского государственного университета. Серия «Технические науки».- 2012.- Вып. 7.-№2(24).- С. 15, 16.
5 Попов, И. П. Самонейтрализация реакции системы из трех
массивных частей на внешние периодические воздействия [Текст] / И. П. Попов, Д. П. Попов, С. Ю. Кубарева // Высокие технологии в машиностроении : материалы Международной научно-технической конференции (Курган, 21-23 ноября 2012 г.). Курган: Изд-во Курганского гос. университета.- С. 209-211.
6 Попов, И. П. Об одном способе нейтрализации реакции массивных
деталей и узлов на внешние периодические воздействия [Текст] / И. П. Попов, Д. П. Попов, С. Ю. Кубарева // Вестник Курганской ГСХА.- 2012.-№ 2 (2).- С. 60-62.
7 Попов, И. П. О самонейтрализации реакции системы, состоящей из
упругих элементов, на гармонические воздействия [Текст]/ И. П. Попов, Д. П. Попов, С. Ю. Кубарева // Зауральский научный вестник.- 2012.-№ 2.- С. 39-41.
8 Попов, И. П. Реализация частной функциональной зависимости
между индуктивностью и массой [Текст] / И. П. Попов // Российский научный журнал.- 2012.- № 6(31).- С. 300, 301.
9 Попов, И. П. Функциональная связь между индуктивностью и
массой, емкостью и упругостью [Текст]/ И. П. Попов // Вестник Забайкальского государственного университета.- 2013.-№ 02(93).- С. 109-114.
10 Попов, И. П. Реактивные элементы электрических цепей с
«неэлектрическими» параметрами [Текст]/ И. П. Попов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Технические науки».- 2010.- №4(27).-С. 166-173.
11 Попов, И. П. Упруго-индуктивное устройство [Текст]/ И. П. Попов//
Зауральский научный вестник. - 2011.- Вып. 1.- № 1.- С. 181-183.
12 Попов, И. П. О некоторых аспектах магнитоэлектрического
взаимодействия [Текст]/ И. П. Попов // Вестник Челябинского государственного университета. Физика.-2009.- Вып. 5.-№24(162).- С. 34-39.
СЕРИЯ «ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ», ВЫПУСК 8
79
УДК 537.311.6 И.П. Попов
Департамент экономического развития, торговли и труда Курганской области Ф.Н. Сарапулов, С.Ф. Сарапулов Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
ИНЕРТНО-ИНДУКТИВНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Аннотация. Рассматривается инертно-индуктивная колебательная система и возникновение в ней свободных гармонических колебаний, при которых происходит взаимное превращение кинетической энергии массивного тела в энергию магнитного поля катушки индуктивности.
Ключевые слова: массивное тело, катушка индуктивности, инертно-индуктивная система, гармонические колебания.
I.P. Popov
Department of Economic Development, Trade and Labor of the Kurgan Region F.N. Sarapulov, S.F. Sarapulov
Ural Federal University named after the first President of Russia Boris Yeltsin
INERT AND INDUCTIVE OSCILLATOR
Abstract. The article considers the inert and inductive oscillatory system and generation of its free harmonic oscillations when mutual transformation of the kinetic energy of the massive body into the energy of the magnetic field of the self-inductive coil happens.
Index Terms: massive body, self-inductive coil, inert and inductive system, harmonic vibrations.
Введение
Известные колебательные системы имеют параметры, физическая природа которых одна и та же [1-4]. Например, в выражении для собственной частоты пружинного маятника
оба параметра - коэффициент упругости к и масса т - являются механическими величинами. В формуле для электрического колебательного контура
1
4lc
(1)
параметры индуктивность ^ и емкость С являются электрическими величинами.
При этом в известных колебательных системах происходит взаимное превращение энергии, обусловленной движением (кинетической энергии и энергии магнитного поля), в энергию, обусловленную положением (энергию деформированной пружины и энергию электрического поля).
Ниже рассматривается инертно-индуктивная колебательная система, элементы которой имеют различную физическую природу. В этой системе происходит обмен энергией между катушкой индуктивности и массивным телом.
L
Рисунок 1 - Инертно-индуктивный осциллятор
1 Инертно-индуктивная система
Упрощенная модель системы представлена на рисунке 1. Масса магнита т, магнитная индукция в зазоре В, между полюсами находятся п проводников с длиной активной части I [5-7]. Индуктивность катушки Активное сопротивление, потери на трение, индуктивность и емкость рамок не учитываются.
2 Возникновение свободных гармонических колебаний
Пусть начальные условия: х(0) = 0; dx/dt(0) = у0; /(0) = /0. Механическое и электрическое состояния mL колебательной системы описываются двумя уравнениями в соответствии со вторыми законами Ньютона и Кирхгофа:
d2 х . m —— = Blni ■ dt2
D, dx di Bln — + L— = 0 dt dt
(2)
(3)
где х - перемещение инертного тела (магнита), В1п/ -сила Ампера, Blndх/dt - ЭДС электромагнитной индукции, -Ld//dt- ЭДС самоиндукции. В, I, п, - параметры, обусловливающие электромеханическое взаимодействие. Их целесообразно объединить в параметрический коэффициент
у = (В1п)2 .
Из (3)
Ш х ^ Ш г
-= _ у ь-
Шг2 Шг2 '
При подстановке в (2)
Ш 2г у
—г + г = 0.
Шг тЬ
Последнее выражение представляет собой классическое уравнение свободных гармонических колебаний. Его решение
i = L sin (®ot + ф), х = У~0'5L [L sin (fflot + ф) - io ],
