CC BY
22
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И То м III 197 2
№ 4
УДК 629.7.018.1.016.55
ИНДУКТИВНЫЕ СКОРОСТИ И АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНО ДВИЖУЩЕЙСЯ НЕСУЩЕЙ НИТИ В ГАЗЕ
В. Э. Баскин
В линейной постановке рассмотрены поля звуковых давлений и индуктивных скоростей при криволинейном нестационарном движении несущей нити с дозвуковыми скоростями.
При рассмотрении обтекания тел газом в рамках линейной теории [1] пользуются вспомогательным представлением о несущей нити. Требуется определить скорости газа, вызванные нитью, когда движение нити и нагрузки на ней заданы.
В общем случае произвольного криволинейного движения несущей нити с любыми до- или сверхзвуковыми скоростями вызываемые ею скорости течения газа рассмотрены в работе [4].
В статье для дозвукового движения нити результаты работы [4] представлены в более простом виде, вскрывающем связь скоростей газа со звуковым давлением [6] элементов нити.
Стационарное винтовое движение в газе несущей поверхности изучалось Г. И. Майкапаром и В. И. Ганабовым, а несущей нити — Ф. И. Франклем [2].
Прямолинейное нестационарное движение нити при ступенчатом изменении нагрузки исследовано С. М. Белоцерковским и Г. А. Колесниковым [3].
Криволинейное движение в газе несущей поверхности рассмотрено в работе [5].
1. Рассмотрим безграничный газ, который до момента времени £ —покоится, а затем возмущен вследствие движения в нем нагруженной нити, т. е. кривой, в точках которой к газу приложены внешние силы. Считая движение нити и распределение по ней сил произвольными, определим поля скоростей и давлений возмущенного движения газа в линейном приближении. Пусть Охуг — неподвижная система осей, в которой невозмущенный газ покоится.
Движение нити относительно этих осей зададим зависимостью
—v —■>
r — r(t, I) радиус-вектора ее точек от времени t и расстояния
отсчитываемого вдоль нити. Уравнение r= r(i, £) при изменении £ и х в пределах ^<£<^2. ^н<т<С^ определяет поверхность W(t), описанную к моменту t нитью в неподвижном пространстве (фиг. 1).
Параметры S, т являются гауссо-Ц*) выми координатами точки поверх-
ности W, а векторы г% = дг\д\,
—> '—у
гх = дг/д? образуют в каждой точке некоторый неортогональный базис, причем | ге | == 1. Погонную силу/?^, S) действия нити на газ считаем известной непрерывной функцией t и а скорость движения точек нити — дозвуковой.
За время dt элемент нити dL — r%d\, двигаясь со скоростью
/Ч, опишет на поверхности W площадку dS = UdHdt, где U = | п X X — нормальная к нити скорость ее движения. Передаваемый газу на единичной площадке поверхности W импульс р0/ связан с силой R соотношением
Фиг. 1
/? = Ро UI, ■плотность невозмущенного газа.
(1.1)
где Ро-
При действии на газ произвольного поля р0/7 внешних объемных сил возмущенные скорости V и давление р определяются уравнениями акустики
Ро-
dv
dt
gradp=p0/:',
dp
dt
+ a2 p0 div v = 0,
(1.2)
где а—скорость звука в невозмущенном газе. Для того чтобы воспользоваться этими уравнениями для случая несущей нити, проинтегрируем первое из них по времени от начала движения до текущего момента I и найденное таким образом выражение для скорости
н
Fdt ■
Ро
grad р dt
(1.2')
подставим во второе уравнение. Обозначив
получим уравнение для определения скалярного потенциала <р
1 д2 ср
v --d,vD' <L4) причем скорости газа v и давление р согласно (1.2') и (1.3) выражаются через потенциал ср в виде
д<о
v = D + grad ср, /7=_р0_^_. (1.5)
Вектор p0D представляет собой импульс, переданный внешними
силами единице объема газа к моменту времени t. Для разрывных полей импульсов удобно отыскивать [4] решение уравнения (1.4) в виде
<p = div£\ (1.6)
Векторная функция Е удовлетворяет согласно (1.6) и (1.4) еле-
дующему неоднородному волновому уравнению:
J д'Е
dt2
и нулевым начальным условиям. Соответствующее решение (1.7) дается формулой Кирхгофа
^(^о.4)= |||------——Ъ -------------^-) <Иг (/=|г0-г|). (1.8)
1<а(о 4п|Г°_Г|
При переходе от объемного поля импульсов И к поверхностному имеем
(1.9)
W
где
J (г, t) =
1(г) при £>т(г); (1.10)
0 при £<т(г), ]
•отнесенный к р0 импульс поля сил, подействовавших к моменту I
на единичную площадку поверхности ]У в точке г.
Согласно (1.10) функция У(г, tQ--lja) отлична от нуля на совокупности точек поверхности \У, удовлетворяющих условию
|/о —г| <а[*о —*('■)]. (1.11)
Это условие определяет на поверхности IV некоторую область
„слышимости11 (г0, (0), из точек которой успевают дойти до точки г0 к моменту tй возбуждаемые нитью звуковые волны. С учетом (1.10) интеграл (1.9) принимает вид
Обозначим через линию, отделяющую область от остальной части поверхности Уравнение этой линии „слышимости“ будет
1
(1.13)
Если е = (г — г0)// — единичный вектор направления из точки
в точку г, найдем из (1.13)
й/7 - ->
-д-------(Г,.в)/в.
Для дозвуковых скоростей движения нити, которыми мы далее ограничимся, всегда | с^/йх | < 1 и график функции у = Е(х) может
пересечься с прямой у = х только в одной точке. Поэтому уравнение (1.13) определяет при фиксированных г0, однозначную функцию х = х(£). Если х < х (£),
то точка (?, х) лежит в области
слышимости, а если х>т(£), то вне ее.
2. Вычислим на основании (1.12) потенциал ср скоростей течения. Предварительно определим
дифференциал ЬЕ вектора (1.12) в предположении, что время tй
возрастает на и, а точка г0 смещается на чШ, где V—произвольный единичный вектор. Имеем
ЬЕ=Ш
Я
IdS д I 1
/
- Я
4 я/
(2.1)
где <?/<?*„ — знак производной по положению точки г0 в направлении V, а 81^*— прирост области и?* при варьировании. Область 8 ЦТ* представляет собой бесконечно узкую полоску, заключенную между кривыми исходного и Ь1 смещенного положения линии слышимости (фиг. 2). Дифференцируя (1.5), получим соотношение
8,х = dt-\- — (rT8jX + re 8j 5 — v8 h),
(2.2)
связывающее приросты 8, £, 8jx параметров \ и x при смещении
—* —► *
произвольной точки г кривой Z,* в точку г' на кривой Lt. Если
вектор 8г — г'— г направлен вдоль линии % = const, то из (2.2), полагая 8t 1 = 0, имеем
alt + (е v) bh . -*-*
--------у-— ------ (при Д = а + e-rz).
В частном случае Ыг = Ы — 0 из (2.2) находим зависимость между дифференциалами 8$ и 8т при движении вдоль кривой
(а ег1)§т-]-(£-ге)8Е = 0. (2.4)
Элемент (И = -\-r-tdx кривой I*, используя (2.4), можно представить как
аТ = аЪ -Л**, (2.5)
где
сЦ* = Ш\, й!** = -(2.6)
причем N = [г? X Гі\іи — нормаль к поверхности №. Элемент площади гіБ' параллелограмма, построенного на векторах и 8г=гт 8т, будет
<Ю' = - [МЬ-Л] = Ш ^ ЬІг ШЕ; (2.7)
при с?£>>0 и векторе 8г, направленном наружу области и?*. Совокупность площадок йЗ' при интегрировании вдоль заполняет всю область ЗА?*, так что из (2.1) имеем
8?-йЯ^^(~г)+1 ИаишГъ-т- <2-8>
Коэффициент при 8А в этом выражении равен производной дЕ/дч. В частности, для производной в направлении V от проекции вектора Е на это направление имеем:
дЕ^ ггЬйЗ д / 1 \ , Г Ичвч
* “Я 4я *0 ( ч +1 Ро4^/Д (2-9)
ир* £*
где индексом V отмечены проекции соответствующих векторов
на направление V. Полагая в (2.9) вектор V последовательно равным ортам г, /, А декартовых осей и складывая результаты, получим потенциал <р скоростей течения газа:
»(Я, «=Я (т) +| йтег ■ <2-10>
причем градиент взят по координатам точки г0.
3. Для дифференциала 8<р при прежних условиях варьирования имеем
8Т _ 8Л A JJ £7grada (J-) + // £ /grad.
Wi=cotist 1
+
i
4тер0
Tfl
v.
1
5»',
1 ~R~e
+
4 яр0 /Д
dl,
(3.1>
причем индекс 8г0 в интеграле по смещенному положению кривой 1* означает, что стоящее в квадратных скобках выражение взято для смещенного положения (г0-)^8/г) точки наблюдения г0.
Выполнив в этом интеграле по /,* замену переменной интегрирования г' переменной г = г' — г%8^, преобразуем его в интеграл по линии
1
1
4"р0
Re
/А
(R
5 га
-J
1
4ир0
/Д
(3.2)
5г0, Вг
где подынтегральное выражение в правой части равенства (3.2)
берется при смещенных положениях (г0 4-^8Л) и (г + г^8, -с) точек
(г0) и (г). С учетом (3.2) и после замены интеграла по области 8Ц7* интегралом по линии 1.выражение (3.1) записывается в виде
Sf=“-|r Jj 1т^га<1*(т
UP-^const
+
_dE_
4up0
/Д
+
+J
4тгРо Д
/?grad0
I
(3.3>
Символом 82 обозначена операция взятия дифференциала при
смещении точки г0 на вектор ч»8Л и точки г на вектор 8г==гт81т.
Коэффициенты при 8/г и Ы в раскрытом выражении (3.3) суть производные ду/дч и ду/дЬ. Определив по ним в соответствии с (1.3) скорость и давление газа, получим
v
(га, to) = grad -|^7grad0^^ +
d%
W$— const
I
4тгр0
grad0
P(r0, ^0) = JndE, П =
■tf e
/Д I
д fle
4jc /2Д
Г еП.йЧ
J ’
t,
' 1 <?
Д
Re\ ia) j
(3.4)
(3.5>
7^5 и ГсИ всех свободных вихрей, попадающих в область слышимости, и к элементам ТйЬ**, которые можно интерпретировать как „слышимые" элементы присоединенного вихря нити. Кроме того, присутствуют дополнительные „волновые" слагаемые скорости ?>(2), связанные с акустическим (звуковым) давлением II элементов несущей нити. Отметим, что при движении нити по плоскости и определении скоростей в этой же плоскости слагаемое v(■2'^ обращается в нуль, а формулы (3.8) оказываются пригодными для любых, не обязательно дозвуковых, скоростей ее движения [4].
Если нить нагружена не только подъемной силой, но и силами сопротивления, в состав выражения (3.4) входят скорости несжимаемой жидкости от диполей, ориентированных по касательной
к поверхности \У, причем интенсивность их <3 на единице площади
поверхности будет (? = /—N(1 Л/). Эти скорости с помощью „поверхностной" теоремы Гаусса
//с11Уиy(G|l)dS = / (<?//) (3.9)
можно преобразовать к скоростям от источников, распределенных по области 1^* и ее границе /.*+/,'. В результате получим, что к найденным ранее скоростям (3.8) добавится слагаемое vi■Я)
t>(3) ==
w.
rre.gdS Г e[G N dL] Ce[GNdL**\ f vGdb n IJ 4 тг/2 J 4 тс/2 4я P J 4тг/8Д ’ 1 '
где g = divir G — поверхностная расходимость поля вектора G.
Представив вектор G в виде 0=С1ге+С2гт и подсчитав поток его через стороны бесконечно малого параллелограмма сетки координат Ь, получим для входящего в (3.10) произведения
gdS = -A (UGX) + (£/<?*) 1 dWx.
С дополнением слагаемого г>(3) формулы (3.8) определяют скорости газа при движении в нем нити, нагруженной не только подъемной силой, но и силами сопротивления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоцерковский С. М. Тонкая несущаа поверхность в дозвуковом потоке газа. М., „Наука*, 1965.
2. Франкль Ф. И. Теория винта с конечным числом лопастей при больших поступательных и окружных скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 540, 1942.
3. Белоцерковский С. М., Колесников Г. А. Расчет воздействия порыва на крыло сложной формы в плане при дозвуковых скоростях. МЖГ, № 5, 1969.
4. Баскин В. Э. К линейной теории нестационарного движения газа под действием непотенциальных внешних сил. МЖГ,
№ 4, 1969.
5. Баскин В. Э. К теории нестационарного криволинейного движения несущей поверхности в газе. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 1, вып. 2, 1970.
6. Lowson М. V. The sound field for singularities in motion. Proceedings of the Royal society series A, No 1407, v. 285, 1965.
Рукопись поступила 4jXf 1971 г.
