CC BY
51
___________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
_________ __
№1—2
УДК 533.6.011.5/.55 629.7.015.3
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКА ПОД УГЛОМ АТАКИ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
С. Д. Животов, А. Н. Минайлос, В. С. Николаев, В. П. Провоторов,
Л. Г. Черникова
На основе анализа расчетных и экспериментальных данных распределения давления на диске получены аппроксимационные соотношения для давления при малых углах атаки. Предложен и реализован алгоритм определения распределения вектора скорости по диску. В рамках осесимметричной аналогии проведен расчет уравнений ламинарного пограничного слоя вдоль каждой искривленной линии тока. Определены коэффициенты аэродинамических сил и положение на оси диска условного центра масс при нейтральной статической устойчивости.
Расчеты сверхзвукового обтекания головных частей летательных аппаратов явились предметом многочисленных исследований последних 40 лет [1]—[5]. Большинство из них связано с определением аэродинамических характеристик носовых частей, плавно сопрягаемых с боковой поверхностью. Однако для летательных аппаратов специальной формы, в частности, коротких тел, сопряжение с боковой поверхностью может быть неплавным, с изломом. Для таких тел особый интерес представляют вопросы статической устойчивости и влияния на моментные характеристики вязких эффектов. Простейшим примером модельной задачи такого рода является задача определения аэродинамических характеристик носовой части в виде круглого диска.
При небольшом угле атаки а>0 критическая точка на теле смещается от центра круга «вниз», оставаясь в плоскости симметрии течения на поверхности торца. При этом струйка тока, пришедшая в критическую точку, прошла перед этим через прямой скачок уплотнения, течение между скачком и телом полностью дозвуковое, а на границе круга местная скорость равна скорости звука.
Смещение критической точки приводит к смещению линии действия равнодействующей сил давления, и при а>0 появляется момент на пикирование относительно условного центра масс летательного аппарата, расположенного на оси диска за ним (статическая устойчивость). Напряжение трения, как и давление, распределено неосесимметрично как по величине, так и по направлению. Равнодействующая сил трения — вектор, лежащий на поверхности диска. Положительная при а>0 нормальная сила су, вызванная поверхностным трением, порождает момент тангажа на кабрирование относительно условного центра масс (статическая неустойчивость). Таким образом, факторы давления и трения действуют в разные стороны и их результирующее воздействие зависит от координаты условного центра масс и числа Рейнольдса.
Целью настоящей работы явилось решение модельной задачи определения аэродинамических и моментных характеристик диска в рамках совершенного газа и разделенной схемы течения Прандтля: сначала определяется невязкое обтекание диска, затем по известному распределению давления на внешней границе ламинарного пограничного слоя находится решение уравнений пограничного слоя.
1. Невязкая зона течения. В работе проведены расчеты аэродинамических характеристик диска единичного радиуса, обтекаемого сверхзвуковым потоком совершенного газа при небольших углах атаки а от 0 до 16°, когда гарантировано, что критическая точка расположена на диске. При расчетах отношение удельных теплоемкостей принималось равным у = 1,4, а число Маха набегающего потока равным Мсо= 5,8. Сравнительные расчеты невязкого обтекания при других числах М показали, что число Мю влияет на поле течения между скачком й телом и размеры возмущенной области течения, однако на распределение давления по торцу значение числа М практически не сказывается.
Невязкое поле течения получено методом интегральных соотношений [3], [4], в котором между телом и ударной волной использовалась обычная для первой схемы этого метода аппроксимация [5] в первом приближении, то есть при одной полосе между телом и скачком уплотнения. По окружной координате 0 (отсчитывается от нижней полуплоскости, в которой расположена при а > 0 критическая точка) использовались простые аппроксимации [6] : по cos 0 для четных относительно плоскости симметрии функций, по sin 0 для нечетных; в качестве опорных использовались значения этих функций в плоскости симметрии (0 = 0 и 0 = л) для четных функций и при 0 = л/2 для нечетных функций. Так, для давления была принята следующая аппроксимация (г, 0 — полярная система координат)
/ АЧ , .Л + сюб . .1-COS0
р(г,в) = р(г, 0)-------+ р(г, тс)-------. (1)
Рис. I. Распределение давления в плоскости симметрии диска при нулевом угле атаки
р/р.
А'
У
0,9
0,6
а =8 М -5,8
о.о
0,5
На рис.1, 2 пунктирной кривой представлены данные расчета [3] по распределению давления на диске в плоскости симметрии течения при числе Мю= 5,8 и при углах атаки а - 0 и а = 8°.
При этом х > 0 соответствует нижней полуплоскости (вообще при расчете локальных аэродинамических характеристик х, у — декартова система координат, лежащая в плоскости диска), р — давление, р'о — давление в критической точке.
Другим источником информации о распределении давления по диску является эксперимент [7] — [9]. На рис. 1 точками приведено экспериментальное распределение давления [7] при числе Мот = 6 и угле атаки а = 0. Имеющиеся в этой же
работе подробные данные при числах Мю= 8 и 10 весьма близки к данным при Мм = 6. На рис. 2 точками приведены экспериментальные данные работы [8] при числе М00= 5,8 и угле атаки а = 8°. В работе [9] помимо приведенных экспериментальных данных предложена отличная от (1) аппроксимация по угловой координате:
p(r, Q)-p(r, 0)[0,464 + 0,5cos9 + O,O36cos20] + р(г, л)х х [о,536 - 0,5 cos 0 - 0,036cos 20].
Однако не приводится достаточно убедительных доводов в пользу подобного усложненного представления.
Как следует из сравнения расчета с экспериментом, расчетные данные, полученные однополосным методом интегральных соотношений, занижают давление на заметном периферийном учалке кривой, примыкающем к звуковой точке (jc = ±1). Это занижение не очень существенно при определении силы лобового сопротивления. Однако при расчетах такой тонкой характеристики, как продольный момент, связанный со смещением линии действия равнодействующей сил давления, и особенно при расчете величины скорости на теле для последующего расчета пограничного слоя, это занижение весьма существенно. Заметим, что при вычислении величины
Рис. 2. Распределение давления в плоскости симметрии диска под углом атаки
скорости на теле важна не ошибка в величине р/р'0, а ошибка в разности (1 -Р/Р'о)-
В результате обработки обширного экспериментального и расчетного материала в настоящей работе получено удобное аппроксимационное соотношение для определения распределения давления по диску в плоскости симметрии течения при значении у = 1,4
- 0,528 + 0,472^ 1 - 5с2 Р0 ^
(2)
Здесь х — безразмерное расстояние до критической точки, определяемое по формулам
х -
*
X -х
1 * 1 — дс
при X < X
при X > X
ах* координата критической точки, зависящая от угла атаки а (в радианах), а <16°:
х* = 2,88а - 1,18а2.
При определении х* руководствовались, естественно, расчетными данными, так как в эксперименте положение максимума р/р'0 находится с большой погрешностью. Для показателя степени Ь получено следующее представление (а > 0).
Ь =
[ 0,157 +0,284а + 0,422а2 при х<х* 10,157-0,284а + 0,422а2 при х>х*
Формула (2) дает точные значения р/р'0 при х - 0 и х - 1 и обеспе-\
чивает квадратичный характер зависимости р!р'0 от х при малых х.
На рис.1, 2 данные расчетов по аппроксимационной формуле (2) приведены сплошной кривой. Коэффициенты формулы (2) не зависят от числа М., первое слагаемое — отношение давления при числе М = 1 к давлению адиабатически заторможенного газа в случае у = 1,4. В случае произвольных значений у формула (2) имеет вид:
Р
Ро
Г-1
+
Г-1
Совместное использование формул (1) и (2) определяет распределение давления по диску. Интегрируя по кругу распределение давления, получим равнодействующую сил давления, нормальную к торцу. Безразмерный коэффициент силы, отнесенный к скоростному напору и площади круга, обозначим с„ так как по отношению к предполагаемому летательному аппарату он является коэффициентом продольной силы. В рассмотренном диапазоне углов атаки от 0 до 16° коэффициент сх почти постоянен и равен примерно сх = 1,72 при числе Моо= 5,8. На рис. 3 приведена зависимость от угла атаки коэффициента момента тангажа т2 относительно условного центра масс, расположенного на оси диска (или продольной оси летательного аппарата), от равнодействующей сил давления. Линия действия этой равнодействующей смещена при а > 0 вниз от оси диска на величину {-т2 /сх)и параллельна этой оси, при обработке момента в качестве характерной длины выбран радиус диска. Упомянутое смещение весьма мало по сравнению со смещением критической точки. Так, при а = 8° значение х* = 0,38, а величина (~т!. /сх)~ 0,007.
-0,02 —1
Рис. 3. Зависимость коэффициента момента тангажа относительно условного центра масс от угла атаки
2. Пограничный слой. По известному распределению на диске, решая уравнения Эйлера, можно найти распределение вектора скорости по диску. Остальные газодинамические параметры на теле, а значит, на внешней границе пограничного слоя, определяются условиями за прямым скачком и условием изоэнтропичности, так как все струйки тока на теле при малом угле атаки прошли через прямой скачок уплотнения [10]. Расчет уравнений пограничного слоя будем вести в рамках осесимметричной аналогии [11]: считаем, что вдоль каждой струйки тока выполняются уравнения осесимметричного пограничного слоя с заданным распределением давления и других параметров газа на его внешней границе. При этом соответствующая система уравнений пограничного слоя, записанная в переменных типа Дородницина — Лиза, решалась численно конечно-разностным методом [12].
Форма линий тока и соответствующее направлению скорости на внешней границе пограничного слоя направление касательных сил трения
на диске определялись в результате численного решения уравнения Эйлера, одновременно решались уравнения пограничного слоя и определялась величина напряжения трения на диске. Для решения уравнений Эйлера в настоящей работе предложен и реализован специальный алгоритм, основанный на одновременном использовании на каждом шаге трех систем: декартовой, так как в ней сохраняется направление на шаге, полярной, так как именно в ней аппроксимируется давление, вычисляется grad (р) и делается шаг в направлении скорости, и наконец, подвижной локальной системы, связанной с градиентом давления, так как в направлении, обратном к градиенту, происходит на шаге изменение скорости, а поэтому на шаге вдоль линии тока решается уравнение движения лишь для одной составляющей скорости:
где р — плотность, и„ — составляющая скорости в направлении grad (р).
При слежении за каждой линией тока, выходящей из критической точки, и для дальнейшего вычисления двойных интегралов при расчете сил и моментов использовано семейство неконцентрических окружностей и координаты г* и ф, 0 < г* < 1, 0 < ср < 2л, г* — радиус окружности, ф — "полярный" угол, отсчитываемый против часовой стрелки от положительного направления оси х (при центре в критической точке х*). Центры окружностей х0 лежат на оси х и при увеличении радиуса окружности г* смещаются от критической точки к центру диска, от х0 = х* до х0 = 0:
undun = -dp! р,
х0 = х* (1-г*).
Приведем связь декартовых (х,у) координат и координат (г*,ф)
X = X
^2 2 I ^
-X sin (р-х СОБф \г СОвф,
y = (ji
-х*2 sin2 ф-х* СОвф Г* ЭШф .
Якобиан преобразования имеет вид
Интегралы по диску при вычислении сил и моментов имеют следующий вид:
где функции (р) находятся в про-
цессе решения, а интегрирование от 0 до % и коэффициент 2 перед интегралом связаны с симметрией течения относительно ОСИ X.
На рис. 4 приведены линии тока на диске при углах атаки а, равных 8 и 16°.
После интегрирования по кругу найдем равнодействующую сил трения на стенке, в обезразмеренном виде это коэффициент нормальной силы су, так как по отношению к предполагаемому летательному аппарату эта сила является нормальной. На рис.5 представлена зависимость величины сул]Кеда от угла
атаки а, где число Рейнольдса Яе* определено по скорости, плотности и коэффициенту вязкости набегающего потока и радиуса диска, равном 1 м.
а = 8
а = 16
Рис. 4. Картина линий тока при обтекании диска
УЛ
Рис. 5. Зависимость коэффициента нормальной силы от угла атаки
В зависимости от безразмерной координаты условного центра масс на оси диска суммарный момент тангажа может быть при а > 0 отрицательным при «малой» координате центра масс хт (здесь хт связано с летательным аппаратом в целом) — статическая устойчивость, либо положитель-
ным при «большой» координате х„, — статическая неустойчивость. При координате центра масс хт = 0,082 момент на кабрирование (при
а > 0) от сил трения компенсирует момент на пикирование от сил давления — нейтральная устойчивость. В частности, при числе Re„= 104 безразмерное значение «нейтральной» координаты центра масс равно 8,2, а при числе Reoo= Ю5 оно равно 26.
ЛИТЕРАТУРА
1. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. Теоретические и экспериментальные исследования. — Труды ВЦ АН СССР/ Под редакцией О. М. Белоцерковского. — М.: — 1966.
2. Белоцерковский О. М. Обтекание кругового цилиндра с отошедшей ударной волной// ДАН СССР.— 1957. Т. 113, № 3.
3. Минайлос А. Н. О расчете течения у затупленного тела вращения под углом атаки в сверхзвуковом потоке газа // ЖВМ и МФ. — 1964. Т. 4,
№ 1.
4. Козлова И. Г., Минайлос А. Н. Несимметричное обтекание лобовой части тела вращения сверхзвуковым потоком совершенного или реального газа // ЖВМ и МФ. — 1967. Т. 7, № 3.
5. Белоцерковский О. М. Симметричное обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком совершенного и реального газа // ЖВМ и МФ. — 1962. Т. 2, №6.
6. Сычев В. В. Расчет распределения давлений по телам вращения под углом атаки в сверхзвуковом потоке газа. — Сб. теоретических работ по аэродинамике. — М.: Оборонгиз. — 1957.
7. Trimmer L. L. Study of the blunt-body stagnation point velocity gradient in hypersonic flow// AEDC-TR-68-99. — 1968.
8. Fraasa D. An experimental investigation of hypersonic flow over blunt-nosed bodies at Mach number of 5.8 // GAL CIT Report. — 1957, № 2.
9. Stallings R. L., Howell D. T. Experimental pressure distributions for a family of blunt bodies at Mach numbers from 2.49 to 4.63 and angles of attack from 0 to 15°. Washington. — 1969, NASA TN-D 5392.
10. Ладыженский М. Д. Пространственные гиперзвуковые течения газа. — М.: Машиностроение. — 1968.
11. Cooke J. An axially symmetric analogue for general three-dimensional boundary layers // ARC R.&M. — 1961, № 3200.
12. Денисенко О. В., Провоторов В. П. Исследование течений вязкого газа при умеренных числах Рейнольдса // Труды ЦАГИ. — 1985.
Вып. 2269.
Рукопись поступила 30/XI1998 г.
