Нестационарные вихревые движения слабовозмущенного газа и преобразования Лоренца Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том II 1971

№ 4

УДК 629.7.018.1.016.55

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ СЛАБОВОЗМУЩЕННОГО ГАЗА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛОРЕНЦА

В. Э. Баскин

Рассматривается слабовозмущенное [1] нестационарное движение газа, вызванное произвольным полем объемных или поверхностных внешних сил, в частности полем сил со стороны произвольно движущейся по плоскости несущей нити. Показано, что использование преобразований Лоренца (со звуковой предельной скоростью) [2] позволяет сводить задачу о возмущенных скоростях, вызываемых внешними силами в однородном потоке, к задаче о возмущенных скоростях в покоящемся газе. Преобразования Лоренца дают возможность оперировать представлениями о слышимых вихрях непосредственно в системе осей, движущихся вместе с обтекаемым телом [3], в результате чего снимаются трудности формулирования граничных условий на двжущихся телах при рассмотрении абсолютного движения газа [4], [5]. Преобразования пространства при винтовом движении системы координат рассматривались Г. И. Майкапаром.

1. Рассмотрим безграничный газ, который до момента времени t — 0 покоился, а затем приведен в движение действием произвольного поля внешних объемных сил. В неподвижной системе осей координат Охуг возмущенные скорость v и давление р газа в линейном приближении определяются системой дифференциальных уравнений акустики

-5-+-|-grad/? = /7(r, t)\ ~+а2Podiv® = 0 (1.1)

dt Ро at

и нулевыми начальными условиями. Здесь р0 — плотность невозмущенного газа, а — скорость звука.

Решению этих уравнений можно придать вид [4]

v = D + grad?; р = - — , (1.2)

Ро dt

где <p = div£, а Е является обращающимся в нуль на бесконечности решением неоднородного волнового уравнения

д^Е_ &Е_ дЧ5_ _ ±_&Е_ = _п [п_?рнЛ п ъ дх3 дуг dz2 a2 dt2 \ J /

при нулевых начальных условиях. Вектор £> представляет собой импульс внешней силы РоД действующей в произвольной неподвижной точке г на объем газа единичной массы.

2. Введем наряду с неподвижными осями Охуг систему осей Ох’у’г', движущихся обратно направлению оси Ох с постоянной дозвуковой скоростью V и совпадающих с неподвижными в момент времени t0. При переходе в уравнении (1.3) к переменным х’ у' %’ согласно преобразованию Галилея

х = х’+ УУь — Ь), у=у',г—г', (2.1)

вид этого уравнения меняется. Чтобы оставить вид уравнения (1.3) при переходе к подвижным осям неизменным, введем измененный масштаб отсчета координат вдоль оси Ох', положив \=х'!$ (Р = 1/1 —М2, М=1//а) и новое время Р согласно преобразованиям Лоренца:

Ж

, х + Уу-10) , 1°+аХ

5— , ^—у, С — 2, г Го— р . (^-^)

В разрешенном относительно переменных хугЬ виде преобразования (2.2) будут

/ __ М у

\—У(р — й) _ , , 10 а ,0

х =-------1--------, у = ц, 2 = с, ь — *0 = ■---р------. (2.3)

Величину ?0, задающую начало отсчета времени выбираем

из условия £' = 0 при £ = 0 и £ = 0, что дает Ьо — ^0.

После перехода к переменным ЧцУ уравнение (1.3) преобразуется в следующее:

д*Е , д*Е , д*Е 1 д2Е _ л . /0 ..

""Ь ЛГ2 /-.2 1 (^> )» (2.4)

д£2 г дц2 д£2 а2 д*2

причем через (I, т), С, О обозначена функция, получаемая из

0(х, у, г, і) путем замены аргументов х,у, г и £ их выражениями (2.3),

я, (Є, Ч, С, О = О у. ---р-у • (2-5)

Если поле импульсов задано как функция /)' (х', у', г', ^ подвижных координат, то для £>, согласно (2.1), (2.5) находим:

Г — — I

/>і (5, Ч С, 0 = V | р, ті, С, -------) . (2.6)

\ Р

Скорость, потенциал и давление газа после перехода в выражениях (1.2) к переменным ^'представляются в виде

^ . . д<р 1 , . дер | ь д<? . М д<?

3. Рассмотрим вспомогательное течение газа, покоящегося в невозмущенном состоянии относительно системы координат и приведенного в движение действием внешних объемных сил с полем импульсов />1 (£, т), С, 2"). Скорости уи давление рг и потенциал этого течения будут

1 ft J д-п дС

Pi-

1 д?1

Ро

дЕу дЕ,

~ж.-----------Ь -(■

(3.1)

где вектор Е = Ех (£, Y), С, f) представляет собой решение уравнения (2.4) при нулевых начальных условиях. Вследствие единственности такого решения функция Д (£, т], С, £) образуется из функции

Е(х, у, z, t) заменой переменных xyzt выражениями (2.3).

Ограничимся случаем, когда внешние силы имеют нулевую проекцию на ось Ох, так что DX = EX = 0. Сопоставляя выражения (2.7) и (3.1), находим, что <р = <р,, а давления и компоненты скоростей первоначального и преобразованного течений при одинаковых значениях переменных Ь£Л' связаны соотношениями

IV 1 Мр0 )

P = — Pi------vx-=>v,x-----------------

P Pop P «Р (3.2)

vy = vt y\ v2 = vlt. >

Формулы (3.2) определяют способ пересчета скоростей и давления вспомогательного течения на основное течение, состоящий в следующем.

Пусть имеется набегающий на оси Oxx’y'z' однородный дозвуковой поток газа, направленный вдоль оси Ох', причем на газ действуют внешние объемные возмущающие силы с полем импульсов D' (х\ у', z', t), не имеющим составляющей вдоль оси Ох. Построим вспомогательное течение газа, первоначального покоившегося относительно осей O^rf,, а затем возмущенного объемными силами с полем импульсов

ZMS. Ч, С, V) = D'(р, I, т], С,(^-М5/а)/р), где t' — время.

Тогда компоненты vy, v2 возмущенной скорости в точке (х'оУ'о2о) в момент времени t0 в набегающем на оси Ох'у'z’ потоке равны одноименным компонентам vx у, vx 2 вспомогательного течения, взятым в точке с координатами £0 — х'0/р, т}=у'0, С0 == z'0 в момент

Vx0

времени t'= t0 р-)—^р-- Компонент скорости vx и давление р

выражаются через одноименный компонент скорости х и давление Р\ вспомогательного течения по формулам (3.2). Способ пересчета справедлив и в случае вырождения объемных полей сил в поверхностные, образованные движением несущей поверхности или

2—Ученые записки № 4

17

нити. Роль вектора й при этом играет вектор Г поверхностной плотности отнесенного к р0 импульса сил; величина Г равна циркуляции образуемой системы вихрей [4], [5].

Если несущая поверхность или нить движутся по цилиндрической поверхности с параллельными оси Ох образующими (например, по плоскости Оху), то циркуляция Гг (?, ■»), С, (') во вспомогательном течении строится с помощью циркуляции Г' (х', у', г', Ь) исходного течения в подвижной системе осей по формуле (2.6) с заменой в ней символа й на Г.

4. Удобный способ нахождения скоростей газа, обусловленных

несущей нитью, состоит в нахождении слышимых вихрей [4], [5] с последующим применением к ним обычной формулы Био—Савара. По этому способу рассматривается абсолютное движение несущей нити, и для каждой пары значений (г0, 10) выделяется область слышимости т* на сходящей с нити пелене свободных вихрей, из точек которой успевают дойти до точки г0 к моменту £0 испускаемые нитью звуковые сигналы. Слышимыми считаются те элементы свободных вихрей, которые попадают в эту область. Кроме этого, вводится [4] следующее определение слышимых элементов присоединенных вихрей, распределенных вдоль линии /.* границы области ю*. Пусть г — произвольная точка на линии и

йЬ — элемент этой линии, начинающийся в этой точке. Элементом йЬ** слышимого присоединенного вихря, соответствующего йЬ, называется участок несущей нити, вырезаемый из линии ее положения в момент двумя сферами с центрами в точке г0, поверхности которых проходят через крайние точки элемента сИ,.

Скорость течения газа ©(г0£0) в момент в точке г0, лежащей на плоскости хОу, равна скорости от слышимых элементов свободных и присоединенных вихрей, подсчитанных для точки г0 по обычной формуле Био—Савара. При этом система слышимых вихрей строится в абсолютном движении.

Если движение несущей нити задается относительно подвижных осей, то для получения скоростей газа с помощью слышимых вихрей требуется перейти от относительного движения к абсолютному. Применение же преобразований Лоренца открывает другую возможность — преобразовать координаты и время таким образом, чтобы скорости газа в относительном движении определялись такими же уравнениями, как и в абсолютном движении. Система слышимых вихрей для преобразованных уравнений получается отличной от системы для абсолютного движения нити и в некоторых случаях более простой.

5. Рассмотрим движение нестационарной несущей нити по плоскости с постоянной дозвуковой скоростью V. Скорости нити и подвижных осей Охх'у’г' возьмем совпадающими. Считаем, что нить занимает на плоскости Охх'у' фиксированное положение, описываемое уравнением х’=Х (у') (уг < у' <уг). Интенсивность присоединенного вихря нити зададим зависимостью Г — й(у', £). Нетрудно установить, что циркуляция Г(х', у', £) по контуру, прокалывающему пелену в точке (х', у'), равна:

при х'>х, ух <у'<у2

(5.1)

0—в остальных случаях.

Соответствующая циркуляция Г (£, т], (') преобразованного течения равна:

Если функция <7(т], Ь) непрерывно зависит от времени, то циркуляция (5.2) может быть истолкована, как создаваемая несущей поверхностью, перемещающейся в покоящемся относительно осей газе. Вызываемые ей скорости получаются [5] применением формулы Био-Савара к системе слышимых вихрей, порождаемых циркуляцией Гь

Если функция 6(7), в момент t = 0 скачком возрастает от нуля до значения О0(т)) и далее не меняется, то выражение (5.2) записывается в виде

где х'($, т])==I — фХ(г\)/\/. Выражение (5.4) может быть истолковано как циркуляция системы вихрей, создаваемая несущей нитью с интенсивностью С0(т)), движущейся в покоящемся относительно осей газе. Уравнение положения нити в произвольный момент времени Ь' при этом будет $ = VI/ + Х{^) р, где значения г\ удовлетворяют условию X (т])/р. Общий случай изменения

функции <3(Е, Г) соответствует наложению рассмотренных выше.

6. Пример. В покоящемся относительно осей Охуг газе с момента времени £ = 0 начинает с постоянной скоростью I/<^а двигаться прямолинейная бесконечная несущая нить постоянной интенсивности Г. Скорости будем определять в точке (}(х0,0, 0) оси Ох в момент времени Ь0, когда нить, двигаясь обратно направлению оси Ох, совпадает с осью Оу.

В абсолютном движении линия грацицы слышимости представляет собой гиперболу с фокусом в точке (3, осью Оу в качестве директрисы и эксцентриситетом р = а/1/[4]. Свободные вихри течения состоят из сошедшего с нити в момент £ = 0 бесконечного разгонного вихря обратной ей интенсивности —Г, расположенного вдоль линии х = Н (Н — УЬ0). „Слышимым" будет отрезок АВ этого вихря, вырезаемый из него гиперболой £* (фиг. 1). „Слышимые" элементы с?/,** присоединенного вихря имеют интенсивнось Г, распределены вдоль дуги гиперболы /,* в области х<^Н; элементу с1Ь — (йх-\-]йу кривой I* соответствует

) при £{3 X(тц), <С т) <С.У2

(5.2)

0 — в остальных случаях.

(5.3)

,в0 (7)) ПрИ ^>Т'(2, 7|), ф>^(т)), ^1<Т)<^2

Г!(5,Ч,П = \

х0— в остальных случаях,

(5.4)

(,*

Для скорости v’z в точке <3 от отрезка вихря АВ имеем:

где 6в — угол между С}В и осью Ох. Элементы <2£** согласно формуле Био—Савара индуцируют в точке скорость

где / — длина фокального радиус-вектора точек гиперболы Ь*, зависящая от угла 0 его наклона к оси Ох:

Решим теперь эту же задачу путем перехода к преобразованному движению. В системе координат ОЫ. развитие системы вихрей будет представляться в виде движения по плоскости со скоростью V бесконечного вихря, который в начальный момент времени

£'=0 совпадал с осью О-ц. Скорость газа следует вычислить в точке

движущийся вихрь будет отстоять от оси О-г] на расстоянии Нх== У? = %0 + Р(Я — х0). Линия слышимости будет гиперболой с тем же эксцентриситетом, фокусом в точке Р и линией \ — Н1 в качестве директрисы. Свободный вихрь в преобразованном движении направлен вдоль оси СЬ], а слышимым будет его отрезок СО, вырезаемый указанной гиперболой (фиг. 2). Распределенные по гиперболе

1в

Интегрирование дает

1 = \1Х0/(1 —[А соэ 6).

V.

г

так что искомая скорость газа = ^"г будет

(6.1)

У

н

I

и,

Фиг. 1

Фиг. 2

Ух

р\ьО, 0, 0), где ?0 = Хо/р, в момент времени Ґ = р° , когда

слышимые элементы йЬ** будут иметь интенсивность —Г. Для скоростей от отрезка вихря Сй

где <р0 — угол между Р£> и отрицательным направлением оси 0\. Для скорости V" от элементов СИ,** получим

Г _ у] г

51ПСРв 81п?о= У 1

—Г“‘т* у ^Н2 так что искомая скорость газа ^1г = ^г + ®^г будет:

"’■•--^г(т?:Ь:+^)5,п'р- (6-2)

Хотя формулы (6.1) и (6.2) подобны по своей структуре, величины углов и расстояний в них совершенно различны, ибо первая написана для „прямой* системы вихрей (см. фиг. 1), а вторая—для обращенной (см. фиг. 2). В тождественности выражений (6.1) и (6.2) можно убедиться, заметив, что в{пЬв-=Н\рН, — после чего

каждое из них преобразуется к виду

Г к

*>г = Ъ1г=-

2тс \>.х0{Н — х0) ’ где к — половина длины отрезка АВ или СО.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красилыцикова Е. А. Крыло конечного размаха в сжимаемом потоке. М., Гостехиздат, 1952.

2. М а й л с Дж. Ц. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. М., Физматгиз, 1963.

3. Белоцерковский С. М., Колесников Г. А. Расчет , воздействия порыва на крыло сложной формы в плане при дозвуковых

скоростях. МЖГ, 1969, № 5.

4. Б а с к и н В. Э. К линейной теории нестационарного движения газа под действием непотенциальных внешних сил. МЖГ, 1969, № 4.

5. Б а с к ин В. Э. К теории нестационарного криволинейного движения несущей поверхности в газе. .Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 2, 1970.

Рукопись поступила 2/1У 1971 г