К теории индукции тяжелонагруженного винта Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том IV

197 3

М 4

УДК 629.735.45.015.3.035.62

К ТЕОРИИ ИНДУКЦИИ ТЯЖЕЛОНАГРУЖЕННОГО ВИНТА

Получены выражения для составляющих скорости, вызываемой в произвольной точке пространства тяжелонагруженным винтом с постоянной по радиусу и азимуту циркуляцией, которые могут быть использованы для решения различных задач интерференции винта и других тел.

Теория малонагруженного винта (ТМНВ), разработанная Н. Е. Жуковским для осевого обтекания винта и распространенная Г. И. Майкапаром [1] на режимы работы винта в косом потоке, продолжает интенсивно развиваться и в настоящее время. Однако ТМНВ не может удовлетворить требованиям, предъявляемым задачами аэродинамики, устойчивости и управляемости аппаратов вертикального взлета и посадки (АВВП) с винтовой тягой при малых скоростях полета. Поэтому для решения вопросов интерференции при малых скоростях полета АВВП необходима более точная теория — теория тяжелонагруженного винта (ТТНВ). Из многолетней практики применения ТМНВ для расчета аэродинамических характеристик винтов можно сделать вывод об удовлетворительном соответствии ее с опытными данными почти на всех установившихся режимах работы винта. Следовательно, и ТТНВ по индукции в плоскости диска должна давать результаты, близкие К результатам, получающимся по ТМНВ. Другое требование, предъявляемое к теории винта, например, задачей исследования динамики переходных режимов АВВП с поворотным крылом, обдуваемым винтами, заключается в том, чтобы определение поля скоростей, вызываемых винтом в окрестности крыла, не занимало слишком много времени. Этому требованию не удовлетворяют появляющиеся в последние годы машинные алгоритмы, основанные на методе установления при отыскании формы вихревой системы и требующие очень большого машинного времени самых быстродействующих ЭЦВМ. Результаты, получающиеся на базе этих алгоритмов, трудно воспроизвести вновь и проконтролировать.

В настоящей статье предлагается ТТНВ, построенная на некоторых точных решениях, полученных на основе ТМНВ. Рассмотрим основные предпосылки к построению формы свободных вихрей тяжелонагруженного винта с постоянной циркуляцией.

При определении радиальной деформации свободного вихревого слоя будем предполагать, что вихревая система деформируется в радиальном направлении в соответствии с законом изменения скорости на оси винта НЕЖ. Применив к сечениям следа винта уравнение неразрывности, получим выражение для те^ кущего радиуса вихревой поверхности '

где С = — параметр нагруженности винта; у координата вдоль Оси винта.

Э. Д. Сафронов

г = V (1 + С)/[ I + С (1 - у/У1 + У2)],.

(1)

8—Ученые записки № 4

99

На фиг. 1 приведена форма вихревой поверхности для некоторых значений параметра С. Значение С--со соответствует режиму работы винта на месте, С——1/3 — режиму ветряного двигателя при максимальном коэффициенте использования энергии ветра, С = —0,5 — режиму максимального торможения потока. Ниже приведено отношение площади сечения вихревой поверхности, которую она принимает на бесконечном удалении от винта, к площади диска для характерных С:

С..................... оо 0,5 0 -1/3 -0,45 —0,5

/^.................0>0,75 1 2 5,5 оо

Из выражения (1) следует, что при работе винта на месте форма свободного вихревого слоя не зависит от нагрузки на ометаемую винтом площадь.

Сравнение экспериментальной и расчетной форм вихревой системы судового и воздушного винтов [2] показало, что зависимость (1) удовлетворительно описывает характер радиальной деформации свободных вихрей.

Для учета аксиальной деформации свободных вихрей используем результаты [3], где с помощью метода дискретных вихревых поясов дано решение задачи о скорости движения цилиндрического вихревого слоя. На фиг. 2 показано отношение скорости свободного вихревого слоя в произвольной точке вихревого цилиндра к ее величине V на бесконечности за винтом для характерных значений параметра С. Положительные величины С соответствуют пропеллерному режиму работы винта, отрицательные— режиму ветряного двига-

Фиг. 1

Фиг. 2

теля. Для приложений удобно представить закон изменения скорости движения вихрей аппроксимирующей функцией [3].

Рассмотрим винт правого вращения в правой системе осей координат Охуг, связанной с винтом. Ось у направим против вектора скорости невозмущенного потока. Углы 9„ и 47 азимутального положения лопасти с номером п и точки / будем отсчитывать от отрицательной полуоси х в направлении вращения винта, а угловой параметр & элементов свободных вихрей — от азимутального положения в„ лопасти в направлении, обратном направлению вращения винта. Найдем выражения для скоростей, вызываемых тяжелонагруженным винтом в произвольной точке / с координатами х — — г^сов фу, у—уу, 2 = Гу вш фу в случае осевого

обтекания. Задав уравнение вихревой линии в параметрическом виде по параметру &, •

Г (ft) cos (0„ -

где г (ft) =

+ с

j К, f«)rfft; С = г (ft) sin (9„-ft),

О

V 1+C(l-v/l+^2)’

нетрудно получить на основе закона Био—Савара в векторной форме следующие выражения для составляющих мгновенной индуктивной скорости:

,V4 (ft) ~Г] Sin фу - Sin (0„ - ») [ К, (ft)7 (ft) — (уу Tj) rj] -

n=l J

~*-Ы]

n = 1 "

г (ft) (Уу — Т]) cos (8„ — 9)

J-S/2

rfft;

r'2 (») 4- r# ry sin (в„ ■

Фу) — г (^) rj cos (9„ ■

Фу)

p/2

rfft;

r (ft) (y, _ Tj) sin (0Л — ») 4- Kv (ft) rj cos фу --г f - cos (fl„ - ») [ (ft) F (ft) -7; (Уу - 4)]

73/2

dft,

(2)

где / = rj + r2 (ft) + (yj — Y))2 — 2 /- (ft) Гу cos (9„ — ft — фу);

?;= -С^1+С ^,(*)/2[(1+!)*)(! +С)+Ст)Т/1 + Т)2]3'2.

Осреднив мгновенную скорость в точке У по времени и сведя интегралы по переменной 0 к эллиптическим, получим

dft;

Е (*> - *(*)

- А-Г Г I Га — 2 л2 (ft)

vy = Тт$~J

dft;

6Г Г____________________1

4 it2 ry J -

Г (.У/ ~ *l) _

*(*> Hw ”

E(k) I Kv (ft) (a -2 7j)

^lU, Mft) JJ

(3)

где а = (уу - и))2 -1- г2 (») +гу, Ь = 2г (») /у;

К (к) и £ (£) — полные эллиптические интегралы первого и второго родов с модулем к,2 = 2 ЬЦа + Ь).

Из найденных выражений для скоростей видно, что входящие в них интегралы достаточно сложны в вычислениях, поэтому рассмотрим также упрощенный метод расчета индуктивной скорости. Заменим поверхность свободного вихревого слоя системой ч (-V = 1, 2, 3.....п) усеченных конусов (фиг. 3). В пре-

делах протяженности Ауч конуса, принимаемой достаточно малой, скорость движения вихрей считается постоянной.

Интегралы составляющих мгновенной скорости, вызываемой в произвольной точке У свободными вихрями, лежащими на конусе ч, легко получить из выра~ жений (2), положив в них

Г — Г Дг

' V к V»! ____ V

Фиг, 3

Интегрирование необходимо производить в предела* от нуля до Ъчк=Ьуч1Уч -Осредняя мгновенную скорость в точке ] по времени и вычислив интеграл по переменной после преобразований получим

- к Г Г Уг = -—— I сое I 4 7C2VvJ

1* +

Ь [(У./ + У,„) (2 г, „ « - 18 *Р) -~гч (Р2-2«ї)]

. . _ 2Му~ :

А______, 1А 1п У*Р + а*Уу + Р/2

—I

. я2 у а .у

Ка7 + р/2 я2 т — І82 X | ау — -тр I — 1а -у

11 о

Л1 + !п

А'К-Г > а * У^ +

М\

ТС . у . . ^

- • - * г Г о- + со8в[іеХ(у;+%„)-^н] [аЛу' + Т р ^ г'*= -----------ТГ---------------\~УТ~~ІГіГ'

где

а = 1 + 182 X;

Р = 2 [у, +Л н +х <>\ н — Гусов в)];

7 = ^ н + г) ~ 27, н ~г} сов 0 4- 67 4- У, н)3; / = 1§Х(2г7Н - г} сов 0);

Ь -2 7г, н + (у/ +- у» «) (л, н Р —2 т (§А);

^ = а7-(4Х2

р — аДу, 4- рД_у, 4- у.

Ъ

0,1

0,05

-0,05

-0,1

Интегралы, подобные интегралам (4), путем громоздких преобразований сводятся к весьма сложной совокупности полных и неполных эллиптических интегралов. При вычислениях, по-видимому, удобнее пользоваться приведенными выражениями. Формулы (4) в частном случае при X = 0 превращаются в выражения составляющих скорости, вызываемой вихревым поясом [3].

Рассмотрим некоторые результаты расчетов индуктивной скорости с учетом радиальной и аксиальной деформаций свободного вихревого слоя. На фиг. 4 приведены эпюры распределения осевой составляющей индуктивной скорости в плоскости винта для режимов работы на месте, пропеллерного и ветряного двигателей, полученные расчетом по теории тяжелонагруженного винта и по теории Н. Е. Жуковского. Скорость движения вихревого слоя на бесконечности за винтом для всех рассмотренных режимов работы винта принималась одинаковой. Расчеты проводились как по точной формуле (3) для иу, так и по схеме дискретных вихревых конусов (4)-Результаты оказались практически одинаковыми. Из фиг. 4 видно, что значения индуктивных скоростей, полученные по теории тяжелонагруженного винта, близки результатам вычислений по теории малонагруженного винта. Расчет индуктивной мощности на основе приведенных распределений осевой индуктивной скорости показал, что значения индуктивных мощностей практически совпадают. Исключение составляют лишь режимы, близкие режиму полного торможения потока (С = — 0,5), при которых модель явления требует уточнения. На фиг. 4 пунктиром показано распределение индуктивной скорости по диску винта при работе его на месте, полученное по нелинейной расчетной схеме [4]. Как видно, теория [4] подтверждает найденный по изложенному методу характер изменения индуктивной скорости. Отличие в значениях скоростей составляет около 2% в центральной части диска и примерно 5% на концевой части. Вблизи самого края диска индуктивная скорость по нелинейной теории устремляется в бесконечность.

Обобщим изложенный метод вычисления индуктивной скорости на случай работы тяжелонагруженного винта в косом потоке при допущении постоянства циркуляции по радиусу и ■азимуту.

Рассмотрим результаты вычислений изменения отношения нормальной к диску винта индуктивной скорости %)у в точках оси вихревой колонны к среднему по диску значению скоро-

1

с=-0,45 1

-0,333

0,5 >■/ 1,0

-0, -А

I

С = о° I

, ■'}

I

I

иУ1 в зависимости от координаты точки

■Фиг. 4

для различных углов атаки винта (фиг. 5). Это отношение описывается формулой

vy'1 я ]/ a1 -f- г2 -j- 2 г | а | cos ctj

где a =yjl sing;, К (к) — полный эллиптический интеграл первого рода с модулем k = 2 V"r | a | cos a,l(a2 + r^-\- 2r \ a | cose^). Из этих результатов видно, что скорость Vy на оси вихревой колонны при косой обдувке винта увеличивается более интенсивно, чем в осевом потоке, причем с уменьшением угла атаки винта различие возрастает. При больших углах атаки закон изменения скорости vy по оси вихревой колонны достаточно близок к его виду в осевом потоке. Учитывая, что в образовании протекающей через диск винта массы жидкости участвует также и скорость невозмущенного потока, а также то, что радиальная

Фиг. 6

деформация вихревой системы пропорциональна корню квадратному изменения скорости, можно с достаточной точностью производить учет радиальной деформации на этих режимах по результатам, полученным при осевом обтекании винта. При средних углах атаки ах значения скоро'сти на оси вихревой колонны заметно отличаются от соответствующих величин при ^ = 90°. В случае же работы несущего винта при малых углах атаки, имеющих место при весьма малых значениях параметра нагруженности С, влияние деформации вихревой системы на величину индуктивной скорости пренебрежимо мало. Рассмотренные выше кривые скоростей можно представить также в зависимости от других

геометрических параметров, при которых эти кривые сближаются. Наиболее предпочтительным из таких параметров является (—yy/sin4'3 aj) (фиг. 6), который принимается за параметр подобия рассматриваемых отношений индуктивных скоростей.

Обобщение ТТНВ на случай работы его в косом потоке состоит в следующем. Будем определять среднюю по диску винта индуктивную скорость vy j обычным образом по известному коэффициенту силы тяги Cj и вектору невозмущенного потока на основе теоремы о количестве движения. Кроме того, введем некоторую фиктивную скорость невозмущенного потока У^ф, при которой винт в осевом потоке имеет те же значения коэффициента силы тяги сг

и индуктивной скорости vyU что и в косом потоке, т. е. полагаем

ф = М4*'* 1 Х) — (5)

По найденному из (5) значению Vx ф определяем параметр нагруженности

винта С = vу1/^00ф. Зная С, воспользуемся результатами расчетов радиальной и аксиальной деформаций свободных вихрей для осевого обтекания винта. Будем считать, что в рассматриваемом случае косого обтекания винта имеют место радиальная и аксиальная деформации, определенные для режима осевого обтекания, описанного выше. Аксиальная деформация считается направленной вдоль прямолинейной оси скошенного вихревого цилиндра. Направление этой оси принимается таким же, как в линейной теории. Под радиальной деформацией в косом потоке подразумевается перемещение вихрей по радиусам в плоскостях, параллельных плоскости диска винта.

Если направление проекции вектора скорости невозмущенного потока на плоскость винта совпадает с направлением положительной оси х системы координат, связанной с винтом, то уравнения вихревой линии тяжелонагруженного винта для косого потока запишутся в виде

ь

I— — r(ft)cos(0„— 8) + -ricosaj; tj = — sin 04 j* Vv (8-) dft; £ = r (8) sin (0„ — ft).

0

Проделав выкладки, аналогичные изложенным выше, получим следующие выражения для составляющих средней по времени индуктивной скорости:

- £ Г Г 1 Г Ьса + а.к COS7 4- «„sin 7) -

= 2^2J ьУтЩ --------------------~^-ь-------------Е{к) -{d«0087 + sin7)К{k)

rfft,

о

где

а = х, у, г,

a = /-2 (ft) + rj + 7)2 (ft) + у? + 2 у;- т[(») sin «1 + 2 ry cos фу r, (ft) cos c^; b = 2 "\f \r (9) 7) (ft) cos ajp -4- r2 (ft) r'j -j- 2 (ft) ry 7) (ft) cos at cos фу; cx = — sin oj V (ft) rj sin фу; Cy ~ — r2 (ft) — V (ft) ry sin фу cos at; dx = r (9) q; dy = r(ft) ^T(ft) cosaj+7(ft) r,• cos фу + г» ry sin фу;

ex = 7(ft) sin <*! V (ft) — r’b q; ey = r (ft) тj sin фу — rj cos фу — Гд’т] (ft) cos dj + r (ft) V (ft) cos ot;

сг = V(ft) (cos a, yj — rj cos фу sin № = 2b/(a + b); dz = V (ft) r (ft) sin a1 — r$q;

г,- sin фj — „ _ ~

7 = arctg—----------1------L--------- ; ez = — r (ft) q; q = y} + t) (ft) sin аг;

7) (ft) cos 04 + ry cos фу

. ^(ft)==—^(ftJ/sinaj.

Таким образом, и в косом потоке ядра подынтегральных выражений скоростей представляют собой полные эллиптические интегралы. Если в найденных выражениях положить величины V и г постоянными, получим формулы теории малонагруженного винта в косом потоке.

Для сопоставления изложенной теории с теорией малонагруженного винта в косом потоке были проведены вычисления осевой индуктивной скорости В ПЛОСКОСТИ диска винта, применительно к переходному режиму СВВП. Рассматривался случай косой обдувки винта при Коо=0,05; « = 45°; С = 2; г0 = 0,2. На фиг. 7 воспроизведены расчетные вихревые системы тяжелонагруженного и малонагруженного винтов, на основе которых вычислено поле осевых индуктивных скоростей на основных азимутах в плоскости диска винта. Результаты представлены в виде отношения индуктивной скорости в данной точке диска к величине средней по диску винта индуктивной скорости г/у1. Пунктиром показаны расчеты при постоянных V и г. Соотношение полей скоростей оказалось весьма

Фиг. 7

сходным с тем, которое получилось в осевом потоке—на основной части диска значение индуктивной скорости, найденной по данному методу, несколько больше, а на периферийной части—меньше индуктивной скорости, полученной по теории малонагруженного винта. В среднем по диску винта рассмотренный метод и теория малонагруженного винта дают достаточно близкие результаты.

Приведенные выше формулы были использованы для определения поля скоростей потока, набегающего на крыло применительно к исследованию динамики переходных режимов СВВП. Решение данной задачи с помощью этих формул вполне возможно выполнить на ЭЦВМ со средним быстродействием 20 тыс. опе-

раций в секунду. Изложенная ТТНВ может быть использована также для решения многих других задач интерференции, перечисленных вначале. Кроме того, она может быть пригодна для описания мгновенных состояний неустановившихся

режимов работы винта, если выполняется условие (—_!_Л <; С <; со .

ч 2 /

Автор благодарит Г. И. Майкапара за полезные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Майкапар Г. И. Приложения вихревой теории винта. Труды ЦАГИ, вып. 613, 1947.

2. С а ф р о н о в Э. Д. Прикладная теория тяжелонагруженного винта для всех режимов его работы в осевом потоке. Сборник трудов по аэродинамике и динамике вертолетов. Труды ЦАГИ, вып. 1373, 1972.

3. С а ф р о н о в Э. Д. Метод дискретных вихревых поясов для вычисления составляющих средней по времени индуктивной скорости тяжелонагруженного винта. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 111, № 3, 1972.

4. Greenberg М. D. Nonlinear actuator disk theory. Z. Flugwiss, 20 (1972), Hf. 3.

Рукопись поступила 28jl 1972 г.