Метод дискретных вихревых поясов для вычисления составляющих средней по времени индуктивной скорости тяжело нагруженного винта Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том /// " ^ 1972 ' "

№ 3

УДК 629.735.45.015.3.035.62

МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕВЫХ ПОЯСОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОСТАВЛЯЮЩИХ СРЕДНЕЙ ПО ВРЕМЕНИ ИНДУКТИВНОЙ СКОРОСТИ ТЯЖЕЛО НАГРУЖЕННОГО ВИНТА *

Э. Д. Сафронов

Излагается метод дискретных вихревых поясов для определения в произвольной точке пространства составляющих средней по времени индуктивной скорости тяжело нагруженного винта при работе его в осевом потоке. Показано, что значения скоростей, найденных по данному методу и с помощью теории тяжело нагруженного винта, практически совпадают. Приводится решение задачи о скорости движения свободного вихревого слоя винта НЕЖ.

Для определения аэродинамических нагрузок, действующих на крыло или какое-либо другое тело, находящееся в струе винта, а также для сопоставления расчетного и экспериментального полей скоростей, вызываемых винтом, необходимо знание средней по времени индуктивной скорости. Задача о средней скорости, вызываемой в произвольной точке пространства винтом, вихревая система которого имеет цилиндрическую форму, полностью решена Н. Е. Жуковским [2] и его учениками [1, 3]. Необходимо отметить, что задача об определении средней по времени индуктивной скорости при цилиндрической вихревой системе оказалась менее сложной, чем вычисление мгновенной индуктивной скорости, поэтому долгое время аэродинамический расчет винтов проводился по вихревой теории винта с бесконечным числом лопастей.

Задача об определении составляю-

* Доложено 21 мая 1970 г. на IX научно-технической конференции молодых специалистов ЦАГИ.

щих средней по времени скорости, вызываемой тяжело нагруженным винтом, существенно труднее, так как даже при использовании допущений, упрощающих физическую картину, необходимо вычислять двойные интегралы от сложных функций. Расчеты, проведенные на ЭЦВМ со средним быстродействием 2-104 операций в секунду, показали, что вычисление составляющих средней по времени индуктивной скорости путем осреднения мгновенных значений ее в данной точке представляет длительный трудоемкий процесс.

Рассмотрим приближенный метод расчета средних по времени индуктивных скоростей тяжело нагруженного винта. Заменим поверхность, на которой лежат свободные вихри, системой V (V = 1, 2, 3,... п) дискретных вихревых поясов (фиг. 1), на протяжении каждого из которых, равного Ау„, радиус свободных вихрей принимается постоянным и зависящим от среднего азимутального угла 0„ = (&,н-|-д„к)/2 вихревой линии этого пояса:

где г — радиус свободных вихрей в плоскости вращения винта;

V—скорость перемещения свободных вихрей.

Величина Ду» по мере удаления от плоскости вращения винта увеличивается, а последний (га-й) пояс простирается от уп до бесконечности. Найдем выражения для осевой и окружной составляющих средней по времени скорости, вызываемой такой вихревой системой в произвольной точке у пространства с координатами X = —~r} cos фу, у =yf, z=-7j sin fy.

Осевая составляющая. Мгновенная осевая скорость в точке у, вызываемая свободными вихрями, лежащими на поясе v, равна

Осредним мгновенную индуктивную скорость в точке j по времени:

Так как подынтегральная функция в этом выражении периодическая, то, используя соотношение

г„ = г

2 Voc+ (VVl + сг- l/„)(l + VbjV\ + I/2»?) ’

Voo + V Voo + Ct

К H

rl + Гу — 2 rvr;- cos(0<—ft—Vb]m

r\ — Гv fj COS (6, — ft — t])y)

rfft.

0

0

0

после преобразований получим

В этом выражении внутренний интеграл является табличным. Вычислив внутренний интеграл и преобразуя оставшийся интеграл к эллиптическим, найдем

-

= Ь’ /(а> Ь’ с’ а1)1> 0)’ 4 тс2 V

где

± [-2-1№) - £ (М Р(°2, К) - К(ля)£(сг, к\)

±^ + [Д'(^1)-£(А1)]/?(а1) к'д-К{К)Е(?ь к[)

а = /\ 6 = |г, —г;|; с = ]>, + Д;/, + 3;/ ^ =3/, + 5//;

К(^), Е^х), К(к2), Е(кг) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулями

к — 1 Г 0,2 ~ Ь2 ь — 1 f°L 1 V °8 + с2 ’ 2 |/ а:

Ч^3 ’

F(a„ ft;), £(a„ k[), F{ a2, ftg)- ^(°2. k’2)—неполные эллиптические интегралы первого и второго рода с параметрами

К = ут=к\, к\ - КП=£Г;

6 , /~ а2 4- с2 b , /" а2 + J2

а, = arcsln — |/ .„-arcsln-j-]/

Знак „плюс“ в выражениях функций f(a, b, d, о2) и /(а, 6, Oj) необходимо брать при г,>г;, а „минус1* — в противном случае.

Полная осевая индуктивная скорость от свободной вихревой поверхности равна

П

Ъ =

V—1

Окружная составляющая. Рассмотрим окружную индуктивную скорость от свободных вихрей. Мгновенная окружная скорость в точке /, вызываемая свободными вихрями, лежащими на поясе v, равна

. _ ^VK _ _ _ _ _

Г Г —rv Sin (0,— Vb)-\-V[r-t COS (0*—ft)—ГуСОЭ Ф;]

[rjJrr4Jry]-±2yJVb-г V2 &2 — 2r,rj cos (8^—ft—г^у)]3/2

db.

[r? , .2 , ..j , 0.. ■

VH

средних по времени скоростей. Из этого сопоставления следует, что расчет по приближенной схеме дает практически такие же результаты, как и лопастная теория тяжело нагруженного винта.

'0,5

-1,0

-------/f=S;sinji„= QJ} Г0= 0,2

-------у=о;-, Г„=0

0,5

У-0,5

-15,

1.0

Различие эпюр скоростей вблизи втулки винта обусловлено разными значениями г0. Как видно, изменение величины г0 в этих пределах даже в случае Г = const почти не влияет на величину индуктивной скорости на основной части лопасти. На фиг. 4 показаны эпюры

средних по времени осевых скоростей в плоскостях, отстоящих от диска на расстояниях ~у 0,5 R и — R при sin Р/?V = 0,1. В этих сечениях два существенно различных метода также дают практически одинаковые результаты.

Представляет интерес изменение скоростей по радиусу винта на данном режиме его работы в различных сечениях струи винта. Для мало нагруженного винта с бесконечным числом лопастей и постоянной по радиусу циркуляцией поле осевых скоростей было построено В. П. Ветчинкиным [1, 2] путем графического вычисления интеграла. Аналитический способ вычисления осевой скорости мало нагруженного винта, свободный от неточностей графического построения, был предложен С. А. Чаплыгиным. Рассмотренный выше метод вихревых поясов позволяет быстро и сдостаточной точностью вычислять поле средних по времени скоростей, вызываемых тяжело нагруженным винтом.

На фиг. 5 приведено поле осевых скоростей тяжело нагруженного винта при V=0,1. На этой же фигуре нанесено значение —62,8 осевой скорости при у = 0, которое получается по теории мало

Фиг. 4

нагруженного винта. У чет радиальной деформации вихрей приводит к существенному уменьшению индуктивной скорости в плоскости у = 0.

/=^/; г0= О

'"Г Фиг. 6 иллюстрирует расчетные эпюры окружных скоростей, вычисленных по лопастной теории (к = 5) и по схеме дискретных вихревых поясов (£ = оо). Видно, что окружные скорости также весьма близки. ,

, О скорости движения свободного вихревого слоя винта НЕЖ.

В вихревой теории гребного винта обычно принимается допущение о постоянстве скорости движения свободных вихрей вдоль его оси, причем она считается равной скорости движения вихрей на бесконечности за винтом. Как известно, в своей первой статье по вихревой теории гребного винта [4] Н. Е. Жуковский подошел к этому вопросу эмпирически, пользуясь опытными материалами О. Фламма. В. П. Ветчинкин [5] решил вопрос об определении угла наклона винтовых вихрей постоянного аксиального шага из условия отсутствия далеко за винтом скачка в среднем гидродинамическом давлении при переходе через вихревую поверхность. Однако ниже показано, что если свободные вихри имеют форму винтовых линий постоянного аксиального шага, то вихревой слой винта НЕЖ движется с переменной скоростью, достигая принимаемого обычно

значения лишь на бесконечности за винтом. Изложим более точное решение вопроса о скорости движения свободного вихревого слоя винта НЕЖ.

Рассмотрим цилиндрический вихревой слой единичного радиуса. Представим этот слой в виде совокупности^п дискретных поясов, в пределах каждого из которых скорость V, движения свободных вихрей будем считать постоянной и равной скорости движения срединных точек данного пояса. Полагая в формуле (1) гу = г„ = 1, получим следующее выражение для скорости, вызываемой вихревым поясом V в точках цилиндра единичного радиуса:

- — &Г

-^-тг=- [сК К (ЛО - йк2 К (&2)], (2)

8 тс2 V,

где К{к1) и К(к2)— полные эллиптические интегралы первого рода с модулями кх = 2/Ус2 + 4, /г2 = 2/Уй2 + 4.

Скорость V, складывается из скорости набегающего потока 1/оо и скоростей, вызываемых самим поясом и другими вихревыми поясами, т. е.

1Л, = Уое — £ Д^, V, (3)

5 = 1

где

= + *(*,); д=~У] + 5>„; к, = 21УчЧ:^

ЪкУп О ^ уп

V определяются формулой (2). Заметим, что последний _(л-й) пояс простирается от уп до бесконечности и движется со скоростью Уп движения слоя вихрей на бесконечности.

Записав выражение (3) для каждого пояса, приходим к системе нелинейных алгебраических уравнений. Ввиду громоздкости этой системы удобнее искать скорости точек вихревого слоя методом итераций по выражению (3). Задавшись; например, постоянной скоростью движения вихревого СЛОя1^=СОП81=1/„, получим в случае К» — 0 кривую относительных скоростей, показанную на фиг. 7 пунктиром. Эта кривая описывается также формулой

где К (к) — полный эллиптический интеграл первого рода с модулем А = 2/У^ + 4. Во втором приближении вводим в расчет полусуммы заданной и полученных скоростей движения каждого пояса и находим-новое распределение скоростей и т. д. Процесс последовательных приближений сходится достаточно быстро. На фиг. 7 представлены результаты расчета скорости движения свободного вихревого слоя винта НЕЖ по параметру а = 1/оо/£Г (сплошные кривые). При расчете принималось 60 дискретных вихревых поясов переменной протяженности ДУч.

В приложениях удобно иметь аналитическое выражение скорости движения вихревого слоя. В случае, например, а = 0 закон изменения скорости движения вихревого слоя аппроксимируется алгебраическим многочленом 15-й степени на участке 0<!_у<;5,5 и экспонентой в интервале 5,5<;_у<!оо. Аппроксимирующая функция имеет вид V, = V, (0,614034512 + 0,963211511 у - 2,59564776_УЧ_ + 6,55273759 у — 12,0522057 у ^ + 15, 3309999 у 5 — 13 , 6492438 +

+ 8, 67643170 У з 3 , 99859623 у8 + 1, 34641927^® — 0, 330913082 у_10 + -Ь 0,0586637367уп_— 7,30090365 • 10_3у12 + 6,04994566 • 10“4У3 — - 2,99676554-10-5У4 + 6,71206714-Ю-7У5) при 0<у<5,5 и V, =

_ 5,5-у _

= Уп [0,9935 -Ь 0,0065(1 — е 3 )] при 5,5<^<оо.

Определение скорости, индуцируемой в произвольной точке у пространства вихревым слоем винта НЕЖ радиусом г, сводится к вычислению интеграла

2 тс оо _

- - кТ С Г_____________г*-гг; соз8______________

^ “ 8 *2 ) ] у, +у)2 + ^ + ^ _ 2 г гу сое 0]3/2 У

о о

кГ г к,4 / х4 + Х2 — 1 ,

-ут у К ( *2+о-х)2 (4 (4)]

1 тс Г

о

где Х = гу/г; х == {у 4- У])!г, К(кц) и Е(к^ — полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулем к4 — 2 ]А/]/х4+(1-|-4‘)2'

ЛИТЕРАТУРА

1. Ветчинкин В. П., Поляхов Н. Н. Теория и расчет воздушного гребного винта. М., Оборонгиз, 1940.

2. Жуковский Н. Е. Полное собрание сочинений, т. VI, М.—Л., ОНТИ, 1937.

3. Юрьев Б. Н. Избранные труды, т. 1, АН СССР, 1961.

4. Жуковский Н. Е. Вихревая теория гребного винта, статья 1. Труды физ. отд. общ. люб. ест., т. XVI, вып. 1, 1912.

5. Ветчинкин В. П. Расчет гребного винта. „Бюллетени политехнического общества при МВТУ*, 1913, № 5.

6. Сафронов Э. Д. Прикладная теория тяжело нагруженного винта для всех режимов его работы в осевом потоке. Сб. трудов по аэродинамике и динамике вертолетов. Труды ЦАГИ, вып. 1373, 1972.

Рукопись поступила ЩІХ 1971 г.