К теории нестационарного криволинейного движения несущей поверхности в газе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том I

1970

№ 2

УДК 533.6.011.55

К ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНОГО КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ НЕСУЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ В ГАЗЕ

Рассматривается общий случай нестационарного криволинейного движения несущей поверхности в газе (на базе линейной теории).

Для такой поверхности даются формулы, выражающие скорости газа через плотность распределения вихрей. Эти формулы обобщают обычный закон Био-Савара таким образом, что он становится пригодным для произвольных нестационарных вихрей в газе (в линейном приближении). Обобщение состоит в том, что обычная формула Био-Савара применяется к элементам вихря с учетом запаздывания в образовании скорости на время прохождения звукового сигнала, и появляются некоторые дополнительные «волновые» составляющие индуцируемых скоростей. '

Многочисленные методы решения прямой и обратной задач обтекания несущей поверхности газом [1]—[3] относятся к прямолинейному движению. Стационарное винтовое движение несущей нити в газе исследовано Франклем [4], а несущей поверхности — Майкапаром.

Скорости газа прц криволинейном движении несущей нити рассмотрены в [5].

1. Пусть безграничный газ до момента времени ^ = 0 покоился, а затем был возмущен движением в нем несущей поверхности. Скорости возмущений полагаем много меньшими скоростей движения точек несущей поверхности. При вычислении поля скоростей считаем допустимым перенос точек приложения сил к газу с несущей поверхности на некоторую близко расположенную к ней, проницаемую для газа поверхность. Вектор поверхностной плотности приложенных сил полагаем нормальным к указанной проницаемой поверхности, непрерывным в каждый момент времени внутри некоторой движущейся по поверхности области и равным нулю вне этой области. При этих условиях ставится задача — определить скорости течения газа, если движение несущей поверхности и силы на ней известны.

2. Возмущенные скорости V и давление р безграничного газа, приведенного в движение произвольным полем внешних объемных сил

РоД в линейном приближении определяется системой уравнений

В. Э. Баскин

(2.1)

и начальными условиями

^(^0 = 0, р\(=0 = 0 (2.2)

<(р0— плотность невозмущенного воздуха, с — скорость звука). Если представить скорости и давление в виде

-*• д®

V =И + grad ?,/? = — Ро

дЬ ’

то система (2.1) приводится к неоднородному волновому уравнению* для потенциала ср:

2 1 д2(? Я

І

тле О — § Рсіі—отнесенный к р0 вектор плотности импульса

о

внешних сил.

, Потенциал ср удобно искать в виде <р = гііу£', что приводит -«следующему уравнению для. вектора Е:

- і Е - ■

. *Е--?г-ЯГ = -1>- (2-3)

Решение уравнения (2.3) при нулевых начальных условиях, соответствующих (2.2), дается формулой Кирхгофа-

^(Г°’ *о) = Ш"4^Г^(Г’ *°------1'с')Лк' —Г1 (2-4)

((интеграл распространен по части пространства, где подынтегральная функция не равна нулю).

Вектор Е, согласно (2.4), строится как. запаздывающий потенциал стоков с векторной плотностью, равной плотности импульса. Поэтому будем именовать этот вектор импульс-потенциалом. Предельный переход к поверхностному полю сил преобразует (2.4) к виду

' *о)“ (2-5)

тде Г (г, І) — отнесенный к Ро вектор поверхностной плотности импульса внешних сил, подействовавших к моменту і на газ в точках поверхности №.

3. Рассмотрим безграничный покоящийся газ, в котором с некоторого момента времени начинает двигаться несущая поверхность. Как уже говорилось, будем считать, что точки несущей поверхности мало удалены от некоторой стационарной проницаемой по-/^ер^ности Обозначая через область на поверхности №’, на

которую проектируется (вдоль нормалей) в момент ^ несущая по-,.гр$рйщость, будем отождествлять эту область с самой несущей поверхностью, перенося на нее точки приложения к газу внешних сил.

Часть границы несущей поверхности, точки которой имеют отличную от нуля нормальную к границе составляющую скорости движения, направленную из области обозначим через Ь^), а внутрь области— £г(0 и будем соответственно называть эти крывые передней и задней кромками. Область №0 может ограничиваться и кусками кривых, не имеющими нормальной к ним составляющей скорости движения (боковыми кромками).

Будем описывать движение несущей поверхности параметрическим

уравнением г = г(и, и) поверхности № и положением кривых и Ь2 в различные моменты времени. Для удобства считаем и в начальный момент совпадающими, но чтобы не исключить случая мгновенного возникновения (или исчезновения) участка несущей поверхности, будем допускать движение этих линий с бесконечными скоростями. Пусть №\(0 и №2(0—области на поверхности №, описанные

кривыми /,1 и Ь2 к моменту времени I, а Т1(г), т2 (г) —моменты времени, когда кривые /,! и и проходят над точкой (г) на поверхности №.

Представим, что точки областей 1^, и ^ в моменты прохождения над ними линий Ьх и Ь2 непрерывно испускают звуковые волны, сферически расходящиеся со скоростью с. Зафиксируем

некоторую точку пространства (г0), не находящуюся на поверхности ИР, и момент времени 10. Части областей и Ч72, от которых успели дойти до точки (г0) к моменту £0 звуковые волны, будем называть слышимыми образами этих областей и обозначать соответственно 1^1 и и?2.

Условием нахождения точки (г) в области (или №2) будет ¥1 (Г0, Г, *о)<0 (или Та-{го, г, *о)<°)> гДе ¥(^о. г> *0) = \г0 — г\ — — с [£0 — 'с (О] и ¥ = при т = х/(г=^1, 2). Область, дополняющую №2 до обозначим и^0- Область №2 может быть названа слышимым образом пелены вихрей, а область —слышимым образом несущей поверхности. Ограничимся регулярным случаем, когда в состав границ областей и, ИР2 входят линии, определяемые равенствами1

^(/-о, г, £0) = 0, 'М/'о, г, *0) = 0. (3.1)

Обозначим указанные линии соответственно /.*, IX и будем называть их слышимыми образами передней и задней кромок. Область и^1 может быть также ограничена участком границы области и^, который обозначим через Ь\ (фиг. 1). Поскольку линия 11 имеет отличную от нуля нормальную скорость движения пересечение ее с кривой Ь* для точек (г0), не лежащих на Ш, невозможно. Область \^о помимо линий Ь\ и Ь1 может ограничиваться участками границы области совокупность которых обозначим К* (см. фиг. 1).

А. Пусть о (г, /) —отнесенный к р0 вектор плотности поверхностных сил, действующих на газ со стороны точек области

1 В особых случаях, далее не рассматриваемых, равенства (3.1) могут иметь место для совокупности точек, образующих область.

в направлении нормали Л/ к поверхности По определению вектора поверхностной плотности импульса сил

і

Г (г, *) =/о(г, *)<#,'

о

а вектор ймпульс-потенциала течения, вызываемого этими силами, согласно (2.5) будет

Для нахождения потенциала скоростей <р нужно знать производные от вектора Е по координатам точки (г0).

Фиг. 1

Рассмотрим дифференциал ЬЕ вектора Е, вычисленный при условии, что точка (г0) смещается в направлении произвольного единичного вектора V на расстояние 8/г, а время возрастает на Так как область V?* получит при таком варьировании некоторый прирост 8Ц7-], то внося производные под знак интегралов, найдем

(т)^ г--т) +

1гТ

+Я^г^-т)(«-^)+Я

41-г (4.1)

Через Г{(г, () обозначена производная по времени, а -з— озна-

О^о

чает дифференцирование в направлении вектора V по координатам точки (г0).

Пусть —смещенное при варьировании положение линии а г + 8г и г—радиус-векторы произвольных бесконечно близ-

ких точек этих линий (фиг. 2). По определению линий 'Ь\ и Ь*ь имеем равенства

^*1 (г0, г 1 ^<0 = 0, (г0 + чЪЬ,, г + 8г, О,

разность которых в пределе при8г-»0, 8£-»0 дает следующее условие, налагаемое на 8г.

—> Д\1Г

чЩ0ЧГ1 + Ъгч'¥,+ ^-Ы = 0,

— ► - ►

где 7о и V — операторы Гамильтона по переменным г0 и г.

Так как

Уо^1 = (г0— г)/|г0—г|, уЧг1:=(г0 — г)/1 г0 — г | + еОга(1т)

это условие можно записать в виде

(е + ^ 8г — (е-Т) 8/г — с8£ = 0, (4.2)

пригодном как для кривой Ь*, так и для /,2, причем е = (г — г0)1\г — г01, ц=сОгас1т. В частном случае ЬН=Ы=0 равенство' (4.2) дает следующее условие, налагаемое на вектор <И элемента кривых Ь* или ЬI:

. сИ{е + р)= 0. (4.3)

Введем на кривых Ь* и семейства переменных векторов ту лежащих в касательной к поверхности ИР плоскости, но не касающихся этих кривых. Полагая, что касательная к поверхности ИГ

составляющая вектора 8г направлена вдоль соответствующего век-►

тора /га, получим из (4;2) с точностью до бесконечно малых первого порядка “

(е^)ЬЬ + си - •

ог = 1.,——т. (4.4)

т (е + и-)

Элемент площади йБ’, построенный на векторах Ьг и сИ, считаем положительным, если 8г направлен из области и^*(г = 1,2)„ —> —► * а сИ при взгляде вдоль нормали N имеет область слева от своего направления. Тогда йБ = — [УУЗ/чЯ.] и по (4.4) найдем

а5, = --\NmdJA 8А + СЩ' т(е + р)

При замене кривой /.* на ломаную из элементов сИ соответствующие плоЩаДи йБ' образуют область 8' НТь отличающуюся от 811^1 нafвеличину второго порядка малости относительно 8Л и 8£.

Производя в (4.1) замену области 81^ на 8' Ц?1 (что не повлияет —

на дифференциал оЕ), получим

, (т)?(;- («“т)+

. гг аэ , I \/.. 8л а/

+ Ят^Т^)г

• - - - Г [^”5]--г(Я *0--^)[(П)8Л + сЭД.

^ 4гс//га (е + ^) \ У

; ^

гайКоэффициент при 8/г в этом выражении дает производную от ;вектора Е по положению точки (г0) в направлении V, т. е.

дЕ Г Г ая д ( 1 \ - (-* , 1\ Г Г с?5 ~*(~ , / \ 1 д1

дч }] 4тс *»„ ( / ) (Г’ 0 с) ^ 4тт/ а(Г’ 0 с)с дч0

/

Г (4.5)

Поскольку а (г, £) = 0 при £ < т1 (г), величина г|г, г^о —1 на кривой Ь* равна нулю и третий интеграл в (4.5) отсутствует. Вычисляя при помощи (4.5) производные вдоль координатных осей и определяя (Ну Е, получим потенциал скоростей

::?г ’(;-«=Л^-ж(т)г(;-^-т)+

■я

йБ д ( 1 \, (-* I >

Ь г, 1й-------------— ; (4.6)

4тгс I / Г V ’ 0 с

здесь Г и а —проекции векторов Г и о на идущую вдоль них нормаль IV, а ддг означает дифференцирование по положению точки

(г0) в направлении N. >■

Согласно (4.6) во всех точках пространства, за исключением находящихся на поверхности №\, потенциал ср существует и непрерывен, а градиент <р определяет скорости течения газа. Скачок потенциала ср при подходе с разных сторон поверхности к находящейся на ней точке (г) на основании предельных свойств потен-

Цйала двойного слоя равен Г(г, £); значит, Г (г, Ь) — циркуляция по контуру б, прокалывающему поверхность IV в этой точке (положительные Г соответствуют пересечению поверхности У7 при

■ ' —^

обходе контура б в направлении нормали Щ. В случае с-* оо равенство (4.6) переходит в известное выражение для потенциала скоростей несущей поверхности в несжимаемой жидкости.

5. Предполагая, что функция о (г, £) дифференцируема во всех точках несущей поверхности и конечна на ее границах, определим производные потенциала 9 по координатам и времени. Для этого предварительно найдем дифференциал 8? при условии, что точка

(г0) смещается на вектор у8/г, а время растет на и. Обозначая через и 8ИЯ приросты областей ЦТ? и №2 при таком варьировании, можем написать

Зсо

Г г, і0

+ Т31Г’ V

+

г0=сопз1

о/г

с

+

Я

+я

*0

+я

4тсс (?Д^П

' 4тс

«В'*

/

аж г/

"Г Г г»

+

о Г,

8А + /«>;[Г, ^)(8;- ^

8/г_ д/_ с

+

аїр,

Я

Иг, и

Г

Входящие сюда интегралы по областям 8Ц7? и ЪУ)Р\ преобразуются в интегралы по линиям Ь* и £2 аналогично тому, как это делалось при вычислении 8Е. Выполняя это преобразование и учитывая, что на кривой I* величина Г^г, £0-----обращается в нуль,

получаем д

4=84ты Я

и?

" +я

4тс

1 \

№'1=сопв1

дли /

1

аэ д

4те І I

ГК, І0

г, ^о~

с

с

+ -Г°(Г’^7

+

Г„ = СОПЗІ

и

1 а/

С

8А +

«'л

+ а г, «‘о

8*

] ■-1 к М'гїШЇА7’

где Ь*о — часть границы области идущая вдоль линий Ь1 и Ь*2,

причём положительный обход при взгляде вдоль N долкён

оставлять область слева.

(^Ф

Коэффициенты при Ък и Ы в (5.1) суть производные дф

и -щ- сортветственно. Вычисляя при помощи (5.1) скорость газа

V и давление р, получим

1 д I 1 \Г11/- , 1\ , I ; I

г0—сог^

Ь ж(т)[г('’ '• - т) + *•

К'1 = сопз1

ж(~г) [•(* •*- т)+-й (г~ '• - 4)

+

! Г(вЛ0[МшЛ| /- /\

+ Ро ;% • а г, ; „ — — ■ (5.3)

' 4к1т (е + ^) V с )

£о

Первый интеграл в формуле (5.2) может быть истолкован как скорость в точке (г0) течения несжимаемой жидкости, вызванного диполями, распределенными по поверхности с плотностью

Г* (г) = Г |г, -^ а (Г’ -----с" ^ И °РиентиРованными п0

нормали. Такие диполи вызывают те же скорости, что и покрывающие эту поверхность вихри с циркуляцией Г* (г) [функция Г* (г) зависит помимо г от момента времени £0 и положения точки

(г0)]. Будем далее называть Г* слышимой циркуляцией. Соответствующая слышимой циркуляции система вихрей состоит из слоя на

поверхности с вектором поверхностной интенсивности 7* = = — Л^ Х Огас1Г* и идущих вдоль линий Ь[* и Ьо дискретных вихрей, интенсивность ДГ* которых равна —Г* на Ь'* и — о |г, £0 — -1 с~х

на Го. Используя для вычисления первого слагаемого (5.2) формулу Био-Савара, получим следующее окончательное выражение для скорости газа через интенсивности вихрей:

г“Ят57?Х1*‘г5+ /-тй^дг*+

' ! ! I.. ■ * * ' *

(( «<*«> Г ЩфтЛ1\ (5.4)

Лз 4тс 1с \ ) ^ 4к1ст (е' '

ЯГ6 . ^0

Выражая элемент площади dS, нормаль N и поверхностный градиент от Г* посредством криволинейных координат и, v

dS = xdudv, TV = [ra X rv\ x-1 (x = |ги X rv |),

Grad Г* = x-i {[ru XЛГ] Г; - \rv X N] rj),

можем представить полученное выражение для скорости также в следующем виде:

W* Ll+L*

ГГ e{Ne) ,Г~ 1\ Г е {Ne) х [adv — bdu\ Н , l\

+ JJ J Ыс{Аа+Щ Y’ 0 7j’ (5'5)

здесь A = ra e -j- c*a, B = rve + civ> а величины а и b суть коэффи-—► —► —► ^ циенты вектора m на базисе ru, rv. Вследствие (4.3) на кривой Lо имеет место равенство Adu + Bdv = 0, обеспечивающее независимость определяемых формулой (5.5) скоростей от выбора коэффициентов а и Ь. Входящий в (5.5) якобиан от вектора г (и, v) и скаляра Г* (и, v) легко определяется непосредственным дифференцированием функции Г* (и, v);

д(7, г*) д(7, г(7, t))

д(и, v) д(и, v)

, I д{г, а (г, £))

"1--------------5*7-------\-----

с д (и, v)

С2 ^ -и с

В выражениях (5.4) и (5.5) можно переходить к пределу, устремляя точку (го) к поверхности №. «Прямое» значение скорости, равное

• —>

полусумме предельных значений при подходе к точке (г0) с разных сторон №, определится этими же выражениями (несобственные интегралы берутся в смысле главных значений). В наиболее важном для

практики случае, когда № есть плоскость и точка (го) лежит на ней, третий и четвертый интегралы в (5.4) исчезают.

Формула (5.4) решает поставленную задачу о скоростях течения газа, вызванных произвольно движущейся в нем несущей поверхностью с заданной конечной поверхностной нагрузкой. Она выражает закон Био-Савара, обобщенный на случай сжимаемой среды. Согласно этому закону при нестационарном движении несущей поверхности в газе формулу Био-Савара требуется применять только к тем элементам вихрей, от которых успели дойти до точки приложения звуковые сигналы. Кроме этого появляются дополнительные «волновые» составляющие скоростей, убывающие как первая степень расстояния до вихрей.

6. Пример 1. На покоящийся газ с момента времени т = 0 в точках плоскости г = 0 начинает действовать поле направленных вдоль оси Ог сил с постоянной поверхностной плотностью а=р. Найдем скорость газа в момент t0

в точке оси Ог с координатой г0. Область слышимости определится неравенством ЧГ с<0 <; О и будет представлять собой круг радиусом Я — у с С центром в начале координат. Вектор плотности импульса направлен вдоль оси Ог и по величине равен T(t)=pt. Отсюда

Г.-Г(,0—£.)+Ао(,Л-4-),„0.

; 'I и- ‘ЧН-: /■

: ад к кфмой 'Циркуляции соответствует кольцевой вихрь радиусом Я с интенсив-нрад^М-в-^р^иОн возбудит в точке (г0) направленную вдоль оси Ог скорость г Г* 7?

\>г — д/в • Кроме того, в выражение скорости газа согласно (5.4) будет входить слагаемое

( Шпышц ; (6Л)

J 4к1ст (е 4- ц) '

где интегрирование ведется по окружности радиусом Я, ограничивающей бб^сть слЛРшймости. Вводя полярный угол 0 между радиус-вектором точек

этой окружности и осью Ох и полагая, что векторы т направлены радиально, получим

V п V [Мя<Я.] = #с№, Ме = — сова, те = вта, (6-2)

\Ы, , ;:-

где о — полуугол раствора конуса с кругом в качестве основания и вершиной в точке (г0). С учетом (6.2) интеграл (6.1) элементарно интегрируется и дает

* р4 =-^р °ТКуДа

' , • Нг при

(о при

Этот результат можно получить и другим путем, например решением одномерной задачи.

Пример 2. По плоскости г — 0 декартовой системы координат равномерно движется из бесконечности несущая полоса конечной ширины. Со стороны полосы на газ действует поле направленных обратно оси Ог сил, имеющих постоянную поверхностную плотность р|ор. Требуется определить скорость газа в некоторый момент времени и в точке (), находящейся на полосе. Расположим оси таким образом, чтобы к моменту и передний край полосы совпадал с осью Оу, а положительная часть оси Ох прошла через точку (). Функции х1 и т2, показывающие время прохождения передней и задней кромок полосы над точкой плоскости 2 = 0 с координатой х > 0, будут

х (х — Ь)

Т] = <0 у к 12 = (0 у ,

где Ь — ширина полосы, V—скорость ее движения.

Вектор плотности импульса для данного течения будет Г = & (<'—Т]) р (Г=£ при т2, Ґ = т2 при <>т2). Области У?! и \У2 суть полуплоскости 2 = 0,

дс>0 и г = 0, х^>Ь. Линии Ь* и Ь*2 определяются равенствами ^ — I — ^у- = 0 с(х— Ь)

К> —-------у— = 0; т. е. представляют собой конические сечения с фокусом

в точке Q, эксцентриситетом ц = с/К и директрисами * = 0 и х = Ь.

Рассмотрим случай сверхзвуковой скорости движения, когда 1, линия эллипс, а линия отсутствует. Области и совпадают и представляют

собой внутренность эллипса (фиг. 3). Слышимая внутри эллипса циркуляция рх

Г* = . Соответствующая этой Циркуляции система вихрей состоит из слоя

покрывающих внутренность эллипса параллельных оси Оу вихрей с плотностью

рх

р1У и сосредоточенного вихря интенсивностью —у— , идущего по эллипсу. По-

скольку (е N)

О для точки <3, скорости течения газа согласно (5.4) целиком определяются формулой Био-Савара, примененной к вышеуказанной системе вихрей. Вводя полярный угол между фокальным радиусом и осью Ох для направленных вдоль оси Ог скоростей от прямолинейных и эллиптического вихря, получим

■и

р sin в dx 2тс V (х — х0)

9=0

6=я

рх

2kVP (cos9 аУ ~~ sin 9 dx)'

(6.3)

где х0—координата точки Q.

' Первый из интегралов взят 6 смысле главного значения. Координаты х и у точек эллипса и длина фокального радиуса / связаны с 0 соотношениями х=Ш,

у = I sin 0, / = м _^пс-т , где М = —— . Вычисление интегралов (6.3) дает

(М — cos 0)

, р (М — У М2—l) .

vz — 2 V ’ Vz

рІЛ

2у , откуда уг = —----------2\Г

тат хорошо известен из теории тонкого профиля в сверхзвуковом потоке.

рут—\

. Этот резуль-

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоцерковский С. М. Тонкая поверхность в дозвуковом потоке газа. М., «Наука», 1965.

2. Красильщикова Е. А. Крыло конечного размаха в сжимаемом потоке. Гостехиздат, 1952.

3. Ward G. N. Linearized theory о! steady high-speed flow. Camb-ride University Press, 1955.

4. Ф p а н к л ь Ф. И. Теория винта с конечным числом лопастей при больших поступательных и окружных скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 540, 1942.

5. Баскин В. Э. К линейной теории нестационарного движения газа под действием непотенциальных внешних сил. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4.

Рукопись поступила 26/VI 1969 г.