Метод аэродинамического расчета несущего винта с учетом диффузии свободных вихрей для малых скоростей полета Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XЬ11

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011

№ 2

УДК 629.735.45.015.3.035.62

МЕТОД АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА НЕСУЩЕГО ВИНТА С УЧЕТОМ ДИФФУЗИИ СВОБОДНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ МАЛЫХ СКОРОСТЕЙ ПОЛЕТА

В. М. ЩЕГЛОВА

Объектом исследования является пятилопастная модель несущего винта вертолета.

Цель работы — построение приемлемой математической модели нелинейного диффузного вихревого следа несущего винта и сопряженных с индукцией такого следа нагрузок на лопастях винта. Учитывалось увеличение в процессе диффузии размера поперечного сечения сходяшдх с лопасти вихрей с одновременным уменьшением их циркуляции. В данном исследовании эти две величины являются взаимосвязанными.

Рассмотрено распределение завихренности в диффундирующих вихревых нитях с перемещающейся в заданном поле скоростей осью. Строятся формулы для расчета индуктивных скоростей, вызываемых вихревыми нитями. При этом скорости от рассматриваемых объемных вихревых трубок конечного поперечного сечения сводятся к линейному интегралу по оси трубки от выражения, представляющего собой некоторое обобщение закона Био — Савара.

Численно исследованы вопросы влияния диффузии вихрей на аэродинамические нагрузки, мгновенные индуктивные скорости по размаху лопасти и средние индуктивные скорости в некоторых точках свободного диффундирующего вихревого следа в условиях работы в системе совместного определения нагрузок и индуктивных скоростей.

Проведена серия расчетов для лопасти пятилопастного модельного несущего винта по определению формы вихревого следа и индуктивных скоростей на диске с учетом диффузии для скорости полета, соответствующей (а = 0.15.

В работе предпринята попытка определить толщину сходящих с лопасти вихрей, исходя из толщины пограничного слоя 5, с дальнейшим увеличением величины 5 в зависимости от времени.

Произведено сравнение расчета по данному методу с экспериментом как в части расположения пелены вихрей, так и в части определения величин средних индуктивных скоростей в следе за винтом.

Ключевые слова: индуктивные скорости, вертолет, несущий винт, лопасть, вихревой след, пелена, толщина вихрей.

При малых или нулевых скоростях перемещения обтекаемого тела или системы тел в одном направлении влияние индуктивного скоса на картину обтекания может стать весьма сильным. Характерный пример такого рода случая представляет винт вертолета при малых поступательных скоростях полета. Вид же системы вихрей главным образом определяется скоростью полета вертолета.

В случае сильного нагружения винта вертолета или малых скоростей полета, индуктивные скорости становятся того же порядка, что и скорости полета, и пренебрежение их влиянием становится недопустимым.

При решении этой задачи обычно применяемое допущение о том, что свободные вихри располагаются в виде бесконечно тонких вихревых слоев или нитей, сильно усложняет исследование вследствие того,

ЩЕГЛОВА Валентина Михайловна

ведущий инженер ЦАГИ

что индуктивные скорости на них имеют особенность. Переход же к объемным распределениям вихрей в следе упрощает принципиальную сторону дела, но увеличивает объем требуемой вычислительной работы. Строгое определение поля скоростей от диффундирующих свободных вихрей при трехмерном обтекании с помощью прямого решения уравнений Навье — Стокса, ос-редненных по Рейнольдсу, в нестационарной постановке также связано с очень большой трудоемкостью, что приводит к значительным временным затратам.

В настоящей работе произведено построение нелинейной вихревой теории на такой основе, когда форма системы свободных вихрей определяется линиями или поверхностями отмеченных частиц, а распределение вихрей около этих линий или поверхностей является объемным, т. е. вводится понятие вихрей конечного поперечного сечения. Этим учитывается реально существующая диффузия вихрей вблизи этих нитей и поверхностей, что существенно уточняет нелинейную невязкую вихревую теорию, и одновременно снимаются трудности, связанные с особым поведением индуктивных скоростей на бесконечно тонких вихревых поверхностях и нитях. В то же время весь математический аппарат построен таким образом, что переход к вихревым трубкам конечных поперечных размеров не приводит к увеличению расчетной работы, т. е. сохраняются все преимущества использования бесконечно тонких вихревых нитей и поверхностей при отсутствии особенностей. Начальное значение циркуляции свободных вихрей получается при линейной форме вихревого следа.

Для учета нелинейных эффектов взаимодействия вихревого следа с несущим винтом при определении обтекания несущего винта вертолета должны применяться более адекватные нелинейные методы расчета, например с учетом диффузии пелены по времени, т. е. с учетом вязкости

V Ф 0. Это описывает явление диффузии, при котором вихри должны размываться. Подход, основанный на приближенном учете влияния вязкости, является оправданным. Поправки от влияния турбулентной вязкости использовались только для более корректного описания вихревого следа.

Как известно, в реальной среде интенсивность вихрей со временем уменьшается. На режимах с переменной циркуляцией вихря могут возникнуть осложнения, связанные с возможностью потери устойчивости вычислительного процесса в целом.

В настоящей работе в отличие от [1, 2] строится метод расчета индуктивных скоростей по нелинейной схеме свободного диффундирующего по времени вихревого слоя с учетом большого числа дискретных вихрей, сходящих с лопасти, интенсивность которых уменьшается со временем жизни вихрей. Поле индуктивных скоростей зависит от толщины вихрей. Параметр толщины вихря 8 выбран зависящим не только от времени, но от радиуса расчетных сечений лопасти.

При составлении математической модели был сделан ряд допущений. При определении аэродинамических характеристик не вводились поправки на концевой эффект, не учитывалось воздействие втулки на обтекание несущего винта и, в частности, на обтекание комлевых сечений лопасти. При определении истинных углов атаки расчетных сечений лопасти в каждый момент времени использовалась гипотеза плоских сечений. По этим углам атаки задавались профильные характеристики в виде су а, Я с. М и сх а, Яс, М . Не учитывался эффект нестационарности.

Поправки на удаленный след не производились.

Для замыкания задачи используется обычное уравнение связи, основанное на формуле Жуковского, в которой входящие величины берутся для рассматриваемого момента времени, т. е. в квазистационарной постановке. Задачу замыкает уравнение связи Г = 0.5сум)Ъ, являющееся

своего рода граничным условием задачи на лопасти. Здесь с — коэффициент подъемной силы аэродинамического профиля (из трубных продувок); м> — проекция на нормальную к оси лопасти плоскость скорости набегающего на сечение лопасти потока; Ь = Ь г — хорда лопасти в нормальном к оси лопасти сечении.

Приведенная в работе теория включает в себя механизмы, позволяющие применить ее для расчета как жесткого, так и упругого винта с любым количеством лопастей и любой заделкой. В частном случае в качестве примера рассматривалась жесткая лопасть пятилопастного несущего винта, который работает в косом потоке при характеристике режима ц = 0.15. с, =0.015, конструктивном угле атаки ав =0, углах 0,. 02 и коэффициенте регулятора взмаха, равными нулю. Развитие пелены прослеживается на протяжении пяти оборотов вращения винта. Расчет ведется до достижения установившегося режима.

Существующие методики численного расчета вихревого следа, в том числе и метод дискретных вихрей (МДВ), не могут полностью смоделировать любую экспериментально наблюдаемую ситуацию. Можно лишь говорить о близости расчета по той или иной модели к экспериментально полученным результатам. В данном случае полученные здесь результаты можно считать приемлемыми, особенно при расчетах ближнего следа.

1. Диффузия пространственной вихревой нити. Пусть в пространстве задана кривая Ь0, уравнения которой в декартовой системе координат ху2 имеют вид:

Рис. 1. Схема вихря конечного поперечного сечения

где 5 — дуга, отсчитываемая вдоль £0. Будем считать, что кривая £0 не имеет особых точек. Выберем на кривой Ь0 точку N £0, Г|0, ц0 проведем через нее плоскость, нормальную к кривой. Из этой плоскости вырежем диск радиуса 8 с центром в точке N (рис. 1). Перемещение диска площадью с вдоль кривой Ь0, при котором центр диска все время остается на 10, а нормаль к нему — параллельна касательной к Ь0, дает требуемую поверхность 5”.

Рассмотрим пространственную вихревую линию с циркуляцией Г, которая образовалась в несжимаемой жидкости в момент времени ? = 0 и далее диффундирует. На малых расстояниях от лопасти завихренность в основном концентрируется вблизи положения этой вихревой нити.

Процесс перемещения вихрей в вязкой несжимаемой жидкости без конвекции описывается уравнением Гельмгольца для вектора завихренности О в виде [3]:

¿Ю Л 2---= уД V.

Л

При решении этого уравнения для модуля вектора поля О получается выражение:

П = —е-г2/4у(,

4%vt

(1.1)

где V — кинематический коэффициент вязкости. Величина г в (1.1) обозначает расстояние от точки х, у, г, где определяется О до точки с. г|, С. по которой ведется интегрирование.

Основываясь на физическом содержании формулы (1.1), принята следующая схема описания диффузии и переноса вихрей трубки Ь0 (рис. 2, а):

Рис. 2. Схема приближенного представления диффузии (а). Отрезок вихревой трубки (б)

х

г

а) как и в идеальной жидкости, элемент вихревой нити переносится с полем скоростей в течение какого-то промежутка времени г;

б) этот элемент подвергается чистой диффузии в течение того же промежутка времени ^

превращаясь из бесконечно тонкого элемента Л с циркуляцией Г в окружающее Л объемное поле вихрей, и первоначально бесконечно тонкая вихревая нить превращается в вихревую трубку конечного поперечного сечения.

Таким образом, для промежутка времени г можно порознь произвести сначала перенос элемента вихря вдоль его оси в положение, которое он займет к этому времени, а затем, не двигая его, заставить элемент диффундировать в течение времени г, равного времени с момента образования этого элемента.

Векторы поля (1.1) направлены параллельно с!1. а величина их быстро убывает с увеличением этого расстояния. Поэтому диффундирующее поле элементов Л отлично от нуля лишь внутри некоторой сферы диаметра 5, зависящего от времени. Уже на расстоянии 5* = 2-\/у7 от Л векторы диффузного поля элемента вихря падают в несколько раз по сравнению с центром

поля, а величину 8 = 38* можно принять за практическую границу поля.

Задача переноса и диффузии по вышеприведенной схеме рассматривалась для случая теории несущей линии.

2. Поле скоростей диффундирующей вихревой нити. При определении скоростей от объемных распределений вихрей, каким и является вихревой след за несущим винтом вертолета, требуется вычисление тройного интеграла по всем имеющимся вихрям, что является затруднительным.

Индуктивные скорости от вихрей в объеме т определяются по следующему выражению:

Преодолеть эти трудности в практически важном случае «слабого» рассредоточения вихрей от исходных линий или поверхностей можно путем введения не бесконечно тонких вихрей, а имеющих конечные поперечные размеры вихревых трубок. Они будут характеризоваться таким важным свойством, что для получения индуктивных скоростей от пространственного распределения вихрей трубки Ь достаточно вычислить лишь линейный интеграл вдоль ее оси. Поэтому при вычислении скоростей от пространственных вихревых объемов, получающихся наложением полей вихрей и трубок этого класса, сохраняются преимущества простоты вычислений скоростей от бесконечно тонких нитей или слоев вихрей и исчезают недостатки типа появления особенностей. Этот интеграл подлежит определению.

Для тонкой вихревой линии ¿о ее элемент сН имеет то же направление, что и О. К приведенному выше уравнению можно применить цепочку соотношений £Ых = £Ы<зс11 — Гс11, где Г = Ос1а — поток завихренности. В результате имеем:

Если взять от этого выражения операцию ротор, то получим закон Био — Савара.

В формуле (2.2) величина г — это расстояние от расчетной точки М х, у, х до точки

N г|, С, в области, занятой вихрями (см. рис. 1), определяемое выражением:

(2.1)

(2.2)

ь

г = ^-х i + г|-у 7+ С,-г к.

Рассмотрим поле скоростей, определяемое формулой, являющейся обобщением закона (2.2) и переходящей в него при / г = 1/г, где функция / г подлежит определению

V = rot

(2.3)

Встречающаяся операция rot выполняется по координатам x, y, z. В данном случае интересен такой закон для f r , который для прямолинейной бесконечной вихревой нити давал бы

распределение вихрей, как при ламинарной диффузии. Для этого образуем от уравнения (2.3) ротор.

После раскрытия двойного векторного произведения с операторами V приходим к следующему выражению для вектора поля скоростей Q:

где А — оператор Лапласа. Заменяя с переменой знака один из входящих в (2.4) операторов V взятый по х,у, г, на оператор V взятый по с. г), С. и пользуясь соотношением

можем проинтегрировать первый член (2.4) и записать после выполнения над / г операции Д эту формулу в следующем виде:

Здесь а и Ь — начало и конец отрезка нити а, Ь , (рис. 2, б).

Рассмотрим функцию / г , которая, являясь гладкой с производными до второй, обладает тем свойством, что при г >8 / имеет место / г = 1/г. Пусть точка Р находится вне трубки. Тогда / г = 1/г и Ар / г =0.

рости такого источника. Как видим, вектор вихря за пределами трубки складывается из радиально расходящегося поля вихревых нитей, выходящих из Ь с расходом Г, и входящих вас тем же расходом. Других вихревых нитей вне трубки нет. Значит, они идут внутри трубки конечного поперечного сечения и суммарный расход их также равен Г, а формула (2.5) определяет поле внутри этой трубки.

Так как внеинтегральный член в выражении (2.5) пропадает, его можно переписать следующим образом:

(2.4)

'0

(2.5)

Величина

есть потенциал источника с расходом Г, a grad Т/4пг — вектор ско-

(2.6)

Подставляя выражение ряда преобразований получим:

неизвестная постоянная, после

П = -—Ae-r2/4vt44^t.

4ж

Для совпадения с законом (1.1) надо потребовать, чтобы А2\1т1\>1 = —1/ vt , откуда А = -\/ V/ 3 2 2-у/л. Сделав замену / г — 1/г % г и раскрыв оператор Лапласа, получим выражение А/ г = —у". Откуда приходим к уравнению для у г :

г

-1

— у" =--------------------<

г V* 3/2 2>/л

Проинтегрировав его дважды, находим:

1 Г

Х = (¥ + с2+-= е ■чпуі І

После обратного перехода к / получим

сіг.

о

При г —>оо имеем г2!^йг = \Jnvl. Как видно, при г —> оо интегральный член совпадает

о

с 1/ г, что и надо по условию от функции / г . Так как член с2/г соответствует сосредоточенному вихрю, то с2= 0, а С| = () из условия того, что / г убывает, как 1/г. Окончательно имеем:

/■ 1 1 / г =-

е-г/^СІГ.

(2.7)

Итак, выражение

- Г Г 1 ,7

V = «Л------------у г ш

¡4м г

(2.8)

при функции

X г =-^= \е

сіг

дает для прямого вихря закон убывания ротора скорости Г2 = го1;у такой же, как при диффузии плоского вихря (1.1). Обобщенная формула для завихренности при этом:

Г2 = - ¡———у г ей.

J 4п г

ь

Рассмотренные выше вихревые трубки образуют класс, зависящий от произвольной функции у г , различный выбор которой дает разные распределения вихрей внутри трубки.

Операцию взятия ротора при вычислениях можно выполнить до интегрирования. Это дает

1 л

го!;—х г ш =Д

г

X г

[X г г г].

г

Є

г

О

Значит, скорость от нашего вихря может быть вычислена в виде:

■Г

V =

X г

К г .

(2.9)

Последний сомножитель в формуле (2.9) является единственным отличием диффундирующих вихрей конечного поперечного сечения от обычных бесконечно тонких. Эта формула отличается от формулы Био — Савара наличием скалярной функции К г = 0, если г = О, и К г = 1, если г > у, где у — радиус окружности с центром на линии Ь, у * 36.

Подынтегральное выражение (2.9) еще можно трактовать как скорости от сферически симметричного поля «элементов» вихрей трубки конечного поперечного сечения. Это поле согласно (2.5)

состоит из параллельно направленных вихревых нитей сН, распределенных по шару с радиусом 8 элемента с циркуляциями g г , зависящими от расстояния каждой такой нити до центра (см. рис. 1).

г = -

Гх" г

4 пг

Из этой формулы следует, что суммарная циркуляция таких нитей с циркуляцией g г , как и следует ожидать, равна общей интенсивности Г в данном сечении.

3. Г рафик функции Кг и подбор є (параметра толщины вихря). Для расчетных целей желательно заменить трансцендентную функцию более простой ее аппроксимацией. Имеем:

К г =% г г г =

1

•х/тгу?

• -ге

-г2 4уґ

Введем параметры толщины вихря. За толщину вихря примем величину 82 = 4\;/, 8 = 2\[\Н. Отнеся г к 8 I] = г/8 , получим точное выражение для К:

Кт гх =

»2 2 |е Гі<іг-ге Гі

40

= егі" х -ге Г\

(3.1)

з

г

-г /4уґ

0

2

Здесь х = гД/у7.

Если детали распределения вихрей внутри трубки не имеют большого значения, при проведении вычислительных работ можно аппроксимировать функцию (3.1) более простым выражением. Удобно пользоваться для функции К г выражением вида:

Г2+82

3/2 '

(3.2)

3

г

Построим ряд кривых Кпр I] в зависимости от разных значений 8* и сопоставим в и 8

(рис. 3). Подберем число 8 = 8*, при котором получится хорошее согласование приближенной функции Кпр г и точной К л I] . Далее будем брать 8 = 8*8 = г* V4\7. Сращивание кривых Кл

и Кпр происходит при в' = 0.9. При этом величина 8 равна 0.65, а величина в будет равна « 0.58. Это значение и будем брать в дальнейшем для величины в.

K(r)- — 0.6; ^0.5; — 0.4;*0.7; — 0.2;^0.1;^0.8;— 0.9;

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Рис. 3. Графики функции K(r) для точного и приближенного решений при определении параметра толщины вихрей s

Для определения величины 8 можно использовать выражение

82 =8д +4уэ ?-т , (3.3)

которое позволяет приближенно учесть диффузию за счет влияния вязкости [1]. В этом выражении уэ — эквивалентный кинематический коэффициент вязкости турбулентной диффузии, вводимый с поправкой на влияние пульсаций в течении внутри вихря; 1 — т — время жизни элемента свободного вихря; — квадрат половины толщины пограничного слоя в момент схода

свободных вихрей с задней кромки лопасти.

Для Бо имеем соотношение

8д = 0.682 0.15^ , (3.4)

где сх — коэффициент сопротивления профиля сечения лопасти [4].

Для дозвуковых потоков в работе [5] обобщен достаточно обширный материал по экспериментальному исследованию турбулентного поверхностного трения в широком диапазоне чисел МиЯев том числе и тех, при которых работает лопасть (Яе < 105 — для малых характеристик режима работы несущего винта). Сопоставляя все исследования, с достаточной для практического применения точностью в [5] получены эмпирические формулы. Лучшими из этой серии являются формулы Кармана — Шенера. Существует удобное выражение, хорошо совпадающее с экспериментальными данными формулы Кармана — Шенера (расхождение примерно в 1.5%).

% =0.085-°-29+°-°11ёКе. (3.5)

5 8

В диапазоне 5-10 <Яе<5-10 можно предложить следующую степенную зависимость:

схр =Ке~0'15. (3.6)

Известна формула для определения индуктивных скоростей для бесконечно тонкого отрезка вихря сП, произвольно расположенного в пространстве:

Г dl х г

dv = -

471

2

С учетом функции К г , данной выражением (3.2) для индуктивной скорости от бесконечно малого элемента (И вихревого жгута конечного поперечного сечения, с определенным уже радиусом г2 имеем после преобразований скорость:

Г сИ у. г Г

ау =

4п

X г

ХГа Ш X Г,

в_

\ - - ( - ~ Л Г (II х г (Я у, г л (Их г,

К г =

4 я Г ^7.. г!2 , л712

х г

+ а/ в

в

фл +е2 ф

(3.7)

где гл и гв — радиус-векторы, соединяющие точки А х1, у1, г1 и В х2, >’2, г2 , начала и конца отрезка вихря соответственно, с точкой приложения скорости с координатами х, у, г. Координаты точек А и В определяются из расчета переноса вихрей [1], где вычисляется траектория движения вихрей.

4. Определение коэффициента турбулентной вязкости. Сильная турбулизация потока в случае винта происходит в результате потери устойчивости, смешения и взаимного касания сходящих с лопасти вихрей. Но турбулентность может быть проявлена и сразу после схода вихрей с лопасти, что эквивалентно привнесению турбулентности извне, т. е. сами лопасти могут являться источником турбулентности. Методы расчетов турбулентных течений из-за большой их сложности и недоступности чисто теоретического подхода носят полуэмпирический характер, поэтому при изучении турбулентных течений в большой степени опираются на экспериментальные результаты. При определении интенсивности диффундирующих свободных вихрей и индуктивных скоростей от них может быть оправдан подход с приближенным учетом влияния вязкости.

Эмпирический подход в первую очередь касается такого важного параметра, каким является коэффициент турбулентной вязкости. Именно относительно него делаются эмпирические упрощающие предположения, тем более, что турбулентность потока под винтом учитывается посредством коэффициента турбулентной вязкости уэ, который и нуждается в определении.

В работе [6] приводятся экспериментальные данные, позволяющие оценить коэффициент уэ . По результатам эксперимента полученным при испытаниях крыла в аэродинамической трубе, для средней турбулентности потока вблизи вихря была определена величина для \’э = 1.46• 10 4, При этом в аэродинамической трубе число Яс было в пределах 103 -И О5, приемлемых для лопасти.

В практических расчетах турбулентный характер течения внутри вихря достигается путем замены ламинарной вязкости на турбулентную увеличением коэффициента атмосферной вязкости в значительное число раз, как в работе [3]. Но для несущего винта, как показала практика, вряд ли стоит умножать коэффициент атмосферной вязкости в такое число раз. Так, В. Э. Баскин в своих исследованиях рекомендовал увеличивать этот коэффициент не более, чем в 1000 раз. А в работе [1] согласно полученной формуле

(гУ/4

уэ =0.0037 - у*100у. (4.1)

Э

V

Турбулентный коэффициент кинематической вязкости является постоянной величиной вдоль вихря (не зависит в данном случае от времени) и для всех радиусов вихрей. Начальная турбулентность потока может быть учтена посредством турбулентной вязкости V окружающей среды. Коэффициент диффузии V зависит от атмосферных условий и может быть как молекулярным, так и турбулентным. Рассеяние вихря может определяться молекулярным перемешиванием, пока время жизни вихря мало. А затем с увеличением времени из-за различных потоков воздуха и их перемешивания, скорости ветра и степени устойчивости появляется турбулентность. Следовательно, величина V может быть функцией времени, но в данном случае этот вопрос не рассматривается.

5. Результаты. Был проведен расчет модельного жесткого винта радиусом Я —2.5 м, хордой 0.0865 м. Определялись интенсивности, сходящих с лопасти вихрей, закон изменения цирку-

ляции по радиусу лопасти и вихревой след. Коэффициент тяги составлял ct = 0.015 при (.1 = 0.15. Эти характеристики соответствуют и эксперименту, результат которого используется для сравнения с расчетными результатами.

Введем безразмерные величины. За базовые величины были приняты радиус винта i? и скорость a>R.

В п. 4 дана приблизительная оценка области изменения v3, которая может применяться для несущего винта. Расчетные исследования проводились при значениях v3, равных 0.0000146,

0.000146, 0.00146, 0.0146 м2/с. Третье значение в этом ряду соответствует формуле (4.1), а четвертое — по рекомендации В. Э. Баскина.

Для вышеперечисленных значений коэффициента вязкости на рис. 4 представлены формы вихревых жгутов, сходящих со всех расчетных сечений лопасти, находящейся на азимуте 1|/ = 0.

Рис. 4. Форма вихревых диффундирующих следов для сечений, сошедших с лопасти № 1 на азимуте \|/ = 0, для различных значений коэффициента вязкости уэ

Рис. 5. Форма вихревого диффундирующего следа для концевого сечения одной из лопастей для разных значений уэ, равных 0.0000146 (пунктир), 0.000146 (штрихпунктир), 0.00146 (сплошная линия)

Как следует из рисунка, течение в спутном следе за винтом также является нестационарным (турбулентным), как и в экспериментах. Из-за хаотичности движения вихрей внутри пелены они могут очень близко подходить друг к другу, сталкиваться, взаимодействовать и размываться (рис. 4, а).

С постепенным ростом \\> из-за того, что происходит более интенсивное размывание вихря, течение за винтом стабилизируется (рис. 4, б, в, г). На рисунках можно заметить явления первичного и вторичного сворачивания вихрей, что особенно проявляется в движении концевых вихрей, которые сходят с лопасти близко друг от друга. С ростом коэффициента вязкости первичное сворачивание происходит интенсивнее, и при уэ =0.0146 м2/с это практически уже один жгут, идущий почти от лопасти. Также прослеживается к концу заданной длины вихрей меньшее размывание пелены, и она сильнее поджимается к продольной оси вертолета (сравнить рис. 4, а и г).

То же можно заметить и в боковой проекции пелены. На рис. 5 приведена боковая проекция формы следа концевого вихря для трех значений коэффициента турбулентной вязкости уэ, равных 0.0000146, 0.000146, 0.00146 м2/с. Можно увидеть, как пелена с ростом уэ, например при

уэ =0.00146 м2/с, ближе поджимается к продольной оси винта. На рис. 6, а, б, в даны вертикальные скорости, индуцированные приведенными выше формами следов. Учет изменения циркуляции по времени в сторону уменьшения позволяет получить устойчивость не только форм следов, но и скоростей вертикального перемещения вихрей, что показывают графики этого рисунка. Постепенно стабилизируется характер поведения кривых индуктивных скоростей по оси у

для всех коэффициентов вязкости, в первую очередь для уэ, равных 0.00146 и 0.0146 м2/с.

Рис. 6. Индуктивные скорости в сечениях лопасти г/К = 0.9925 (а), г/К = 0.725 (б) и г/К = 0.26 (в) в сравнении по разным значениям уэ

а)

0.04 - СШЭ—

.2 \ чЗ *8 ^0 О 4 □ у-о^Ц 04 / / / 0 8 1

1 а у у. ич / _0\ЛЙ -

“U.'UlD —0.08-

-1

б)

-1

в)

■экс;

-0.000146;

wvc

-0.00146

"экс;

■0.000146;

VI'ZC

-0.00146

z/R

и. IV -п 1 .

U. 1 Ж) П*> -

2 Vo -П OS ■ _ 0 8 / —1

и .ио -0 1-

-О 1е»-

0 9-

L/.t -0.25 -

z/R

и.ин - 0.02 -

-0 _П 04 - ) 0 4 о

\ 1

_П 0R - XJ

и.ии ■ п ПЯ - V

и.ио -О 1 - ш

U. 1 о 19 .

U. 1 £. -0.14 -

i z/R

Рис. 7. Расчетные средние индуктивные скорости в сравнении с экспериментальными данными для значений коэффициентов вязкости v3 = 0.000146 м2/с и v3 = 0.00146 м2/с для сечения пелены

x/R = - 0.778 и уровня v/R = - 0.078:

а — средняя индуктивная скорость по оси х — wxc; б — средняя индуктивная скорость вдоль оси у — wyc; в — средняя индуктивная скорость по оси z — wzc

На рис. 7 представлено сравнение средних индуктивных скоростей, полученных из расчета и данных эксперимента Н. Н. Тарасова. Расчетные средние индуктивные скорости по направлениям осей х, у, г определялись с учетом того, что интенсивность вихрей также уменьшается со временем.

Экспериментальные средние индуктивные скорости определялись в широком диапазоне точек замера, расположенных по оси у от у/Я = —0.234 до 0.234, по оси х от х/Л = -0.7 до -1.4 и по оси г от 2 = —0.54 до 0.54. Проанализировав все полученные данные по замерам средних индуктивных скоростей, для иллюстрации были выбраны экспериментальные данные при х\К- -0.778 и у ¡11 = -0.078. При у/Я- -0.078 все точки замера уже вошли в зону действия вихревой пелены и расположены в области под винтом. Расчетные и экспериментальные характеристики будут в хорошем согласовании, если за величину коэффициента вязкости взять значение, равное уэ =0.00146 м2/с и редко уэ =0.000146 м2/с. Исходя из вышеизложенного, в дальнейших расчетах выбрано значение уэ = 0.00146 м2/с.

Рис. 8. Сравнение визуализированной дымом вихревой пелены в летном эксперименте (а) с расчетными вихревыми

следами работы [1] (б) и полученными в данной работе (в)

Для качественного сравнения экспериментального и расчетного вихревых следов за несущим винтом вертолета на рис. 8, а, б, в представлена визуализированная дымом вихревая пелена в летном эксперименте В. П. Бутова на ц = 0.112 (а), расчетной — для ц = 0.097, полученной по данной методике, но без учета изменения циркуляции вихрей во времени (б) и расчетной на режиме ц = 0.15 с учетом этого изменения (в). Сравнение следов между собой показывает, что они имеют практически один и тот же вид, с той лишь разницей, что в случае (в) вихревой след по своей форме точнее повторяет форму экспериментального следа. Вихревые следы определялись примерно при одном и том же коэффициенте кинематической вязкости.

В ходе вычислений определялся размер турбулентного ядра вихрей вихревой пелены 8“, вычисляемого для любого момента времени с учетом диффузии по формулам (3.3) — (3.6).

На рис. 9, а, в показано изменение расчетных ядер вихревых трубок в зависимости от их расположения по размаху лопасти для у = 0 (/ = 0. обозначение — ♦) и для последнего сечения вихревой нити, которое находится на азимуте 1[/ = 28.65 (I — 28.65/со, обозначение — ■). Разница между этими кривыми возрастает с ростом величины вязкости почти на порядок, характеризуя тем самым изменение толщины ядра вихря в зависимости от вязкости.

На рис. 9, б, г дано распределение толщин вихрей в зависимости от азимутального положения для концевого вихря г/Я — 0.995 и комлевого г/Я = 0.17 для тех же моментов времени. Вследствие диффузии с увеличением азимута и времени радиус вихря возрастает. С увеличением времени \|/ возрастает и время существования сечений вихря после их схода с лопасти. На этом

рисунке видна хоть и небольшая, но явная волнистость в кривых изменения є2 от азимута. Число волн равно числу лопастей за вычетом номера расчетной лопасти (№ 1). С увеличением V., эта волнистость становится все меньше.

Рис. 9. Параметр толщины вихря е2 для уэ = 0.000146 м2/с (а, в) и уэ = 0.00146 м2/с (б, г), где я, б — зависимость от радиуса лопасти; в, г — зависимость от азимута

Рис. 10. Интенсивность концевого вихря в зависимости от времени для разных значений \'э (а) и ослабление интенсивности концевого вихря в зависимости от времени для тех же коэффициентов вязкости (б)

Рис. 11. Интенсивность концевого вихря в зависимости от времени для ц = 0.0917, с, = 0.0104 для разных значений v3

Динамику развития циркуляции концевого вихря в зависимости от времени позволяет проследить рис. 10, а, а на рис. 10, б представлен график ослабления интенсивности концевого вихря

со временем. Циркуляция вихря при V., =0.00146 м2/с по сравнению с циркуляцией в начальный момент времени Г0/соЛ2 уменьшается к моменту времени t = \\j/a) = 28.65 рад/со примерно

на 35%. Объяснением может служить зависимость циркуляции от толщин вихрей, определенных по формуле (3.3), которые возрастают всего на порядок.

На рис. 11 приведены значения циркуляции в зависимости от времени для режима работы винта |а = 0.0917 и разных значений уэ, полученных по данной методике.

6. Учет изменения циркуляции вихрей по времени. Вихревая пелена складывается из отдельных одиночных диффундирующих вихрей, составляющих эту пелену. Приближенный учет вязких эффектов производится на основе решений, учитывающих только локальные эффекты. Сделано предположение, что силы вязкости существенны только в небольшой области, примыкающей непосредственно к центральной линии вихря. С коэффициентом вязкости уэ =0.00146 м2/с была рассмотрена диффундирующая прямолинейная нить, как характерный пример нестационарного плоского движения вязкой жидкости. В п. 2 было показано, что как для плоского вихря, так и для прямого правомерно выражение (1.1). Поэтому в данном случае циркуляция отрезков

с11 вихревых линий с учетом процесса диффузии в течение времени от t до / |ск может быть найдена по формуле для бесконечного одиночного вихря, приведенной в [3]:

Гтек=Го(1-е"4к/4Л), (6.1)

при этом

у = £текЛ_е-4к/^\ (62)

2 кг V. )

Г “ “ 2

где I о — интенсивность вихреи в момент схода их с сечении лопасти; 5 — параметр толщины вихря в момент времени ¿гек, определенного по выражению (3.3). Следует обратить внимание на

обстоятельство, что время диффузии t для каждого элемента с11 вихревой трубки может браться различным, оставляя все сказанное выше в силе. В данной работе этот вопрос не рассматривался.

Характер изменения интенсивности и радиуса ядра вихря в этой постановке по времени представлен на рис. 12. Значения этих величин в каждый момент времени послужат в дальнейшем исходными данными при вычислениях.

На рис. 13, а представлены кривые распределения скоростей в ядре вихря в зависимости от г/гтвк для концентрированного вихря в различные последовательные моменты времени t

/| </2 </:> </4 . Расчет скоростей, порядок которых сопоставим со скоростями на лопасти, производился по формуле (6.2). При тех же исходных данных определялась завихренность, об общем характере которой в зависимости от времени можно судить по кривым рис. 13, б. Определение ее происходило в точках, находящихся на разных расстояниях от центра. Величина t, отложенная по оси абцисс, равнялась / = 0.002083«. Здесь / — время, за которое жидкая частица проходит

расстояние с момента схода с лопасти до точки п\п — номер участка на вихре длиной сП ; посто-

Рис. 12. Распределение циркуляции и радиуса є" в зависимости от времени по результатам, полученным в данной работе

Рис. 13. Распределение индуктивных скоростей в ядре бесконечно тонкого вихря в зависимости от радиуса (а) и распределение завихренности в зависимости от времени для того же вихря (б)

янная 0.002083 — время, за которое частица проходит длину этого элемента. На рис. 13, б приведено распределение завихренности, определяемой функцией (1.1) и быстро убывающей с возрастанием времени t. График показывает, что сосредоточенный в начальный момент времени в начале координат вихрь имеет наибольшую завихренность, а затем, по мере удаления от этого места, очень быстро падающую. Это означает быстрое расплывание вихря. После быстрого падения далее завихренность убывает очень медленно и приближается асимптотически к какому-то постоянному значению (см. рис. 13, б).

Предположим, что начальное распределение вихрей в вихревой трубке задано бесчисленным множеством отдельных сосредоточенных вихорьков (см. рис. 1). В работе [3] даются некоторые соотношения для такого случая. Здесь они приведены без вывода. Примем, что в начальный момент времени завихренность всюду равна нулю, кроме круга радиуса s с центром, лежащим на линии L0, в точках которого завихренность имеет постоянное значение Q0. Таким образом:

для 0<г<8тек Ц, г - const = Q0, для г > sICK. Q0 г =0.

В этом случае имеем задачу о диффузии вихря (трубки) конечных размеров, при этом Q0 = Г0/л s2eK, где Г0 — суммарная циркуляция вихря в момент его схода с лопасти. Для определения величин завихренностей в сечениях вихрей [3] даются формулы:

при Г> 8Т

Q г, t = Q0 exp

f r2 + s2 ^

' ' ТЄІ

4 vt

I

A-=l

при r < єтек Q r,t = Q0 - Q0 exp

r +8

2

p і ( F Г тек I J I тек

4 vt

I

2 vt

F V J І °тек'

k=Q V тек J

2 vt

(6.3)

где Ік — бесселевы функции разного порядка; єтек — радиус поперечного сечения вихря в данный момент времени.

к

к

Q/Q0

1.2

0.6

О 4

0.2

?) -0.2

Q/Q0

50 100 150 200

Рис. 14. Характеристика быстроты расплывания вихря

/>:

1Г^ *— Ж VI

0 5 1 5 2 5 3

0.7-

t~ 1 ж

б)

Рис. 15. Зависимости О./О.0 от значений г/етек для различных моментов времени Г < Г2 < ?з): а — по расчетам данной работы; б — для сравнения по данным работы [6]

Из второй формулы (6.3) можно получить соотношение т!; ~ ().36с2/\'., для определения промежутка времени, по которому можно найти значение завихренности в центре вихря, равное 0()/2. где тЕ — количественная характеристика быстроты расплывания вихря (рис. 14,

I = 0.002083/7). Из рисунка следует, что для достижения толщины вихря е2ек = 0.002 в конце пятой спирали вихря потребуется время т£ »0.5 с. Такое же время получается и в расчете данной работы при прохождении частиц вдоль вихря от момента их схода до величины ¡ = \\>/(о, равной 28.65/со.

Пользуясь таблицами бесселевых функций, вычисляются значения величины О. г, t для различных значений г, t. Рис. 15,а показывает зависимость О,/О,0 от г/етек в различные моменты времени t tl<t1 <t1| для безразмерных исходных величин данной работы. А на рис. 15,6 для

сравнения представлены подобные же распределения для моментов времени, предложенных в работе [3], но при исходных величинах данной работы. Четко видно, как вихрь в обоих случаях расплывается по всему пространству, и на малых вихрях диффузия проявляется гораздо сильнее, чем на больших. Предполагается, что в процессе диффузии та часть завихренности, которая выходит за рамки радиуса Бтек, считается потерянной.

Сравнение расчетных результатов, полученных для одиночного вихря конечного поперечного сечения в этом пункте данной работы, не противоречит общепринятому поведению при диффузии подобного вихря в классических работах [3].

Выводы. 1. Представленный здесь метод дискретных вихрей охватывает основные явления поведения вихревой системы за винтом несущего винта вертолета и хорошо зарекомендовал себя при численном эксперименте.

2. В основе метода расчета формы диффундирующего свободного вихревого следа за винтом лежит учет влияния толщины диффундирующих вихрей и связанного с ней уменьшения интенсивности вихрей с течением времени.

3. Математическая модель, описывающая МДВ, и программа, составленная для этой модели, могут рассматриваться как удовлетворительные. Их можно использовать для дальнейших исследований в этой области.

4. Работа может быть использована как для уточнения самого метода, так и для уточнения расчета нагрузок на лопастях винта и других элементах вертолета. Метод расчета, приведенный в работе, также может быть использован и для других режимов полета (разные скорости, разные маневры).

Работа была выполнена при частичной поддержке РФФИ, грант № 08-08-00984а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Щеглова В. М. К расчету индуктивных скоростей за несущим винтом по нелинейной модели с учетом диффузии вихрей // Ученые записки ЦАГИ. 2007. Т. XXXVIII,

№ 3 —4, с. 57—71.

2. Баскин В. Э. О движении пространственной диффундирующей вихревой трубки в несжимаемой жидкости // ДАН. 1965. Т. 165, № 6, с. 1261 —1264.

3. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. —

М.: Физматлит, 1963, с. 450 —460.

4. Аэродинамика частей самолета при больших скоростях / Под ред. А. Ф. Донована,

Г. Р. Лондренса. — М.: Изд. иностр. лит., 1959, с. 249.

5. Козлов Л. В. Экспериментальное исследование поверхностного трения на плоской пластине в сверхзвуковом потоке при наличии теплообмена // Труды № 15, 1962, с. 9—12.

6. Letnikov Victor B. Helicopter aerodynamics research techniques and rotor-fuselage interaction analysis. — Mil Moscow, Russia // American Helicopter Society 78th Annual Forum Proceedings. — Washington, 1992, p. 463.

Рукопись поступила 10/VI 2010 г.