Импульсное регулирование емкости конденсаторов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.314

DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-6-464-472

ИМПУЛЬСНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРОВ

А. И. Коршунов

Военно-морской политехнический институт ВУНЦВМФ „Военно-морская академия им. Н. Г. Кузнецова",

198514, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]

Рассмотрена схема высокочастотной коммутации конденсаторов, позволяющая плавно регулировать их эквивалентную емкость. Показано, что для плавного регулирования эквивалентной емкости необходимо на интервалах отключения коммутируемого конденсатора поддерживать на нем напряжение, равное напряжению на постоянно включенном конденсаторе. Получена предельная непрерывная модель схемы регулирования эквивалентной емкости, использующей для поддержания необходимого напряжения на отключенном конденсаторе генератор тока, управляемый разностью напряжений на конденсаторах. Путем моделирования показана ее практическая эквивалентность реальной схеме при достаточно высокой частоте коммутации. Приведены временные диаграммы переменного тока в цепи, содержащей конденсатор, емкость которого регулируется описанным способом, полученные на модели реального устройства и на его предельной непрерывной модели, и диаграмма разности этих токов.

Ключевые слова: емкость, регулирование, высокочастотная коммутация, предельная непрерывная модель.

Введение. Регулирование емкости конденсаторов требуется как в электротехнических, так и в радиотехнических устройствах. В радиотехнических устройствах, например в параметрических усилителях, регулирование емкости конденсатора, представляющего собой полупроводниковый переход, смещенный в обратном направлении, осуществляется регулированием напряжения смещения [1]. На радиочастотах вполне достаточно небольшой емкости перехода.

В электротехнике регулирование емкости возбуждающих конденсаторов асинхронного генератора используется, например, для изменения его выходного напряжения [2]. Поскольку частоты генерируемых напряжений на много порядков ниже, чем в радиотехнике, емкость полупроводникового перехода ничтожно мала. Поэтому используются нелинейные конденсаторы (вариконды) [2], емкость которых изменяется в зависимости от приложенного напряжения благодаря особым свойствам диэлектрика.

В электротехнике широко применяются импульсные методы регулирования не только тока и напряжения, но и частоты [3—5]. Благодаря успехам в развитии силовой электроники и микропроцессорной техники импульсные методы регулирования применяются уже в устройствах мощностью в десятки мегаватт. Следовательно, возможно использовать импульсное регулирование параметров элементов электротехнических устройств, например емкости конденсаторов; решению этой задачи и посвящена настоящая статья.

Импульсное регулирование емкости конденсатора. Рассмотрим конденсатор емкостью Q, к которому с помощью ключа К параллельно можно подключать второй конденсатор емкостью С2 (рис. 1, а).

При разомкнутом ключе емкость на зажимах a и b равна Q, а при замкнутом — Q + С2 . Можно предположить, что переключение с высокой частотой К из положения „1" в положение „2" позволит регулировать емкость на a и b. Чем больше часть периода, в течение кото-

рой ключ К находится в положении „1", тем больше эквивалентная емкость Сэкв. Очевидно, что при изменении от 0 до Т, а у = т/Т — от 0 до 1 значение Сэкв будет изменяться в пределах

от С до С1 + С2.

а) б)

2

Т-1

К

¿г

С2

С

Рис. 1

Рассмотрим вначале идеальный случай, когда ключ К обладает нулевым сопротивлением (г=0) в замкнутом состоянии и бесконечным (Л=о>) — в разомкнутом. Кроме того, положим, что существует устройство (на рис. 1, а не показано), поддерживающее при разомкнутом ключе напряжение на конденсаторе С2, равное напряжению на С. Благодаря этому в момент

замыкания ключа между конденсаторами С и С2 не возникают токи, выравнивающие их напряжения.

На временном интервале tn < I < 1п + т напряжение на ветви аЬ описывается уравнением

иаЬ О) =

1

откуда

иаЬ ^п + т) =

С + С2 I 1

| ¡Л + иаЬ (tn ),

(1)

I + иаЬ (tn ).

С1 + С2 П

Аналогично на интервале tn +т< t < ^+1 = tn + Т получаем

1

1

и +Т

иаЬ (t) = С I Ш + иаЬ +T), иаЬ (tn+1) = С I Ш + иаЬ + т) . С1 ^ С1 Хп +т

Средняя скорость изменения напряжения иаЬ ^) на интервале tn < t < tn+1

tn +Т 1 ^ +т

| ¡Ж .

иаЬ (tn+1) " иаЬ Ю = ^ | ¡Ж + -

(2)

(3)

Т с1 ¡п+х с1 + с2 п

Если ¡(^=1=соп81;, то напряжение иаЬ ^) будет изменяться по закону ломаной линии с чередующимися прямолинейными отрезками (рис. 1, б). С уменьшением периода Т ломаная линия все меньше будет отличаться от прямой (рис. 1, б), имеющей наклон, равный средней скорости изменения иаЬ ^) :

иаЪ ^п+1^) - иаЬ )

1 -I (Т - т) + - 1

_1х=1Сх + (1 - УС

Т ТС, Т (С1 + С2) (С1 + С2)С1

Очевидно, что прямолинейный закон изменения, к которому реальный закон изменения напряжения иаЬ ^) приближается при Т ^ 0, имеет место при одном эквивалентном конденсаторе емкостью:

УС2

с = (С1 + С2)С1 = с Сэкв ^ . ^ Ч ^ С1

(

С1 + (1 - У)С2

Л

1 + -

С1 + (1 - уС

(4)

1

Ь

а

t

Таким образом, в идеальном случае при достаточно высокой частоте коммутации ключа К можно плавно изменять эквивалентную емкость на зажимах а и Ь, изменяя относительную продолжительность подключения конденсатора С2 т.е. у=т / Т . Эквивалентная емкость изменяется при этом в пределах от С, при у = 0 до С, + С2 при у = 1.

В реальных условиях ключ К, реализованный на силовых транзисторах типа МобГй или ЮВТ, имеет конечные сопротивления г Ф 0 в открытом состоянии и Я — в закрытом. Использование устройства, поддерживающего при разомкнутом ключе напряжение на конденсаторе С2 равным напряжению на конденсаторе С1 , несколько усложняет применение рассматриваемого метода. Кроме того, при достаточно высокой частоте коммутации различие напряжений на конденсаторах С1 и С2 в момент замыкания ключа К может оказаться вполне допустимым для ограничения уравнительного тока.

Анализ упрощенной схемы импульсного регулирования емкости конденсаторов. На временном интервале < t < + т эквивалентная схема, представленная на рис. 2, а, описывается системой уравнений

/ = /1 +/2 = С1<!ис^ / & + СгёиС2 / &,1 ис1 - гС2<ис2 / & - ис2 = 0.

(5)

а)

а

б)

с.

1 ' 11

Не,

Г

/ т ; О

1 ' II 1

я

"с,

с,

в)

'аю /

С'-,

"с,

с,

и^и^ь

Рис. 2

Приведение системы уравнений (5) к нормальной форме дает:

<ис

С,

1 _

и

С,

и

С2

л

гс, гс, с,

<и,

С2

С

С

л

гС2 гС2

В векторно-матричной форме уравнения (6) записываются в виде:

и = А1и + к,/,

где

и =

иС, иС

и =

1 1 1 1

Л <иС2 , А, = гс, 1 гс, 1 = 1 Г С, 1 С, 1 , к

Л _ [_ ГС2 ГС2 ] 1 С2 С2 ]

(6)

(7)

С 0

Аналогично на временном интервале tn + т < I < 1п+, = tn + Т эквивалентная схема, представленная на рис. 2, б, описывается системой дифференциальных уравнений в нормальной форме:

йи,

С

С

и

С2

йг

яс

йи,

С2

С

яс1 с1

иС2

или в векторно-матричной форме:

йг ЯС2 ЯС2

и = А2и + И2г.

(8)

(9)

где

1 1 1 1

и = иС1 иС2 , и = йг йиС2 , А2 = яс1 яс1 1 1 1 =я с1 1 с1 1

_ йг _ яс2 яс2 с2 с2

¿2 =

_1_

С о

= И

Согласно основам теории систем с периодическим высокочастотным изменением структуры [6], предельная непрерывная модель системы описывается векторно-матричным уравнением:

и = Аи + Ы,

(10)

где

А = уА + (1 - у)А2 =

2__1-у

яс1

_ 1 - У

тС2^ яс2

с

У ,

у ^ 1-у

яс1

1 - У

с

У

гС2 яс2

-1/ с1 .1/с2

1/с1

-1/с2

. = 1+1-х.

г я

И = уИ + (1 - у)И =

с1

о

Используя описание предельной непрерывной модели системы (10), можно представить ее электрическую схему (рис. 2, в).

Таким образом, из рис. 2, в видно, что без поддержания при разомкнутом ключе напряжения на конденсаторе С2 равным напряжению на конденсаторе С1 за счет изменения у изменяется только величина эквивалентного сопротивления гэкв = г / у. Поэтому при реально

малом значении г замкнутого ключа и у, заметно превышающем нулевое значение, ветвь ав в цепи с сопротивлением, многократно превышающим сопротивление замкнутого ключа (это всегда имеет место на практике), является практически конденсатором емкостью С1+С2. Экспериментально этот вывод подтверждается исследованием процесса подключения ветви ав через сопротивление я, всего на два порядка превышающее сопротивление замкнутого ключа г, к источнику постоянного напряжения. Ток в цепи уменьшался практически по экспоненте с постоянной времени Я(С1+С2). Физически это объясняется тем, что более быстрое увеличение напряжения на конденсаторе С1 при разомкнутом ключе компенсируется уменьшением его за счет перераспределения зарядов при подключении конденсатора С2 в момент замыкания ключа.

Таким образом, без поддержания напряжения на конденсаторе С2 равным при разомкнутом ключе К напряжению на конденсаторе С1 эффективное импульсное управление величиной емкости осуществить невозможно. Следовательно, необходимо ввести в схему устройство, поддерживающее при разомкнутом ключе напряжение на отключенном конденсаторе С2 равным напряжению на включенном конденсаторе С1.

1

Предельная непрерывная модель схемы импульсного регулирования емкости конденсаторов. Рассмотрим схему с управляемым генератором тока (ГТ), представленную на рис. 3, а.

2 Т-1 К,

б)

С

^экв!

V

Ч[

Сэ эк

и,

и2

иС1=иаЬ

иаЬ

Рис. 3

Уравнение (7) описывает первую часть периода переключений К и К, tn < t < ^ + т. Для второй части периода tn + х<Х < tn+l +Т справедлива система дифференциальных уравнений (ДУ):

Су

Ши,

С,

1 _

= С = г,

С

Ши,

С9

2-<- = /С2, С = /Г = к/(иС, -иС2),

где кг — коэффициент преобразования ГТ [кг] =А/В = Ом 1.

Представим эту систему уравнений в векторно-матричной форме:

и = А2и + к2г,

(11)

" 0 0

где А2 = кг кг

_ С2 С2

С2

0 0 1 -1

к2 = к =

_1_

С 0

Предельная непрерывная модель схемы (рис. 3, а) описывается уравнением

и = Аи + кг,

где А = уА, + (1 - у)А2, к = ук, + (1 - у)к2, у=т / Т,

у у

(12)

А =

гс,

гс,

У _ + (1 - У)к/ У (1 - У)к/

к=

_ гс2 с2 гс2 с2 Приведем систему ДУ предельной непрерывной модели:

С 0

&и

ж

с у г

1 ---(иС - иС ) +--

гс, С 4 С,

&и

С = ( У , (1- У)к/ ^

ж

v гс2

С

2 ^

(ис1 - иС2Х

подставив (иС1 - иС2), выраженное из второго уравнения, в первое и учитывая

ЛиС Ши,

с9

Ж

с приемлемой точностью получим:

С = г

^экв ,, ' • Ш

(13)

С-

Ь

а

г

экв

с = с

экв 1

Г. с

1+

у

л

(14)

с1 У + (1 - У)кгг, При кг г = 1 получаем

Сэкв = С1+ уС2. (15)

Переходя к изображениям по Лапласу в векторно-матричном уравнении (12) при нулевых начальных условиях, получаем:

иаь (Р) = ис1 (р) = ст [рЕ - А]-1 И1 (р), (16)

где иаЬ (р) = ис (р) = Ь{ис (г)}, I (р) = Ь[г(г)} — преобразование Лапласа иС1(г) и ¡(г) соответ-

т

ственно, Е — единичная (2 х 2 )-матрица, с = [1,0] — вектор-строка.

Из уравнения (16) получаем передаточную функцию предельной непрерывной модели цепи рис. 3, а.

Т!Г, Ч иаЬ (р) иСх(р) ТГ „ .,-1,

Ж(р) = аЬ =—1-= ст [рЕ - А] 1И = ■

1(р) 1(р)

у (1 - у)к,-

р + -:— + - г

гс

2

с

2

с1р

Г

У У (1 - у)к,-

(17)

гс1 гс2

Разложение Ж(р) на сумму двух простейших дробей дает:

Ж(р) = А1 ■ А2 р = Г У ■ ? , (1 - У)к* Л

с2

- + -р р - р1

р1 =

V гс1 гс2

с7

(18)

где

У .+ _(1 - У)кг

А1 = рЖ (р)| р=о =■

гс2

с2

Г У , У , (1 - У)кг Л

с1

А2 = (р - А)Ж (р )|

гс1 гс2 с2 у

У

гС

с1(1 +

с2

с1 У + (1 - У)кгг

с

.) ^экв

У

р=р У , У , (1 - У)ку Л

с1

V гс1 гс2

с2

с

с

У + ст(у + (1 - У)кгг с1

Согласно формуле (18) можно построить эквивалентную электрическую схему предельной непрерывной модели, представленную на рис. 3, б, где иаЬ = и1 + и2, сэквйи2 /йг = ¡,

¡с + ¡г = сЭКВ1йщ / йг+и1 / гэкв = ¡.

Переходя к изображениям по Лапласу, получаем:

(19)

и (р) = I(р), и2 (р) = , иаЬ (р) = и (р) + и2 (р), Тэкв = гэквсэкв1.

Тэквр + 1 сэквр

Проанализировав выражения (18) и (19), получим:

г = 'экв

У

с

У + с1(у + (1- У)к,г) с2

Т = г с = -

экв экв ^ экв 1

г с = с

' ' ^экв1 М

1

1+01 и+от „„

с1 V у

гс!

+ + (1 - У)к у + °1(у + (1 - у)кгг)

с

гс1 гс2 с2 ^2 Экспериментальная проверка полученных результатов. С целью экспериментальной проверки полученных результатов моделировалось подключение яс-цепи к генератору

синусоидального напряжения частотойf=50 Гц, амплитудой Um=100 В и нулевой начальной фазой ф=0; Я=10 Ом, а величина С устанавливалась равной 1,2-10-4 и 1,8-10-4 Ф путем импульсного регулирования по схеме рис. 3, а; С1 = С2 =1-10-4 Ф, Г=10-5 с, r = 0,1 Ом, k r = 1. В соответствии с формулой (15) принималось у = 0,2 и 0,8 соответственно при Сэкв = 1,2-10-4 и 1,8-10-4 Ф.

Одновременно моделировалось подключение к тому же напряжению ЯС-цепи, в которой импульсно регулируемый конденсатор представлялся его предельной моделью (рис. 3, б). Схема моделирования в системе моделирования Matlab 6.5 Simulink 5 Sim Power System приведена на рис. 4 [7].

Ideal Swltch3

Stepl

Рис. 4

Результаты моделирования представлены на рис. 5 (/ — ток ЯС-цепи с импульсным регулированием емкости конденсатора, /м — ток ЯС-цепи, в которой импульсно регулируемый конденсатор представлен его предельной непрерывной моделью, л/ = /м - г).

Моделирование проводилось методом оёе15Б, максимальный шаг интегрирования составил 10-6.

Анализ результатов моделирования показал очень хорошее приближение предельно непрерывной модели к реальному импульсно регулируемому конденсатору. С возрастанием Т точность приближения снижается.

Следует подчеркнуть, что рассмотренный импульсный способ регулирования емкости конденсаторов относится к схемным решениям. Емкости конденсаторов в действительности не изменяются. В момент уменьшения емкости ветви аЬ (в момент отключения С2) напряжение на ветви не изменяется, хотя при мгновенном уменьшении емкости конденсатора напряжение на нем (ис = ц/С) возрастает.

а) I А

3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

Д/х100

0,01 0,02 0,03

0,04 А, с

б)

I, А

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

ДХ100

0

0,01

0,03

0,04

А с

0,02 Рис. 5

Проанализировав результаты работы, можно сделать следующие выводы:

1) изменение относительной продолжительности периодического подключения дополнительного конденсатора параллельно основному при поддержании на отключенном конденсаторе напряжения, равного напряжению на основном, позволяет плавно регулировать эквивалентную емкость;

2) при достаточно высокой частоте переключений схему импульсного регулирования емкости можно с необходимой точностью заменить ее эквивалентной предельной непрерывной моделью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. школа, 2003. 462 с.

2. Торопцев Н. Д. Авиационные асинхронные генераторы. М.: Транспорт, 1970. 204 с.

м

0

м

3. Зиновьев Г. С. Основы силовой электроники. Ч. 1. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000.

4. Зиновьев Г. С. Основы силовой электроники. Ч. 2. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000.

5. Дмитриев Б. Д., Рябенький В. М., Черевко А. И. и др. Судовые полупроводниковые преобразователи. СПб: СПбГМТУ, 2011. 526 с.

6. Коршунов А. И. Предельная непрерывная модель системы с высокочастотным периодическим изменением структуры // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 9. С. 42—48.

7. Дьяконов В. П. MATLAB 6/6.1/6.5 Simulink4/5. Основы применения: Справочник. М.: Солон Р, 2002.

Сведения об авторе

Анатолий Иванович Коршунов — д-р техн. наук, профессор; Военно-морской политехнический институт ВУНЦ ВМФ „Военно-морская академия им. Н. Г. Кузнецова", кафедра радиоэлектроники; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

радиоэлектроники 01.04.14 г.

Ссылка для цитирования: Коршунов А. И. Импульсное регулирование емкости конденсаторов // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 6. С. 463—472.

PULSED CONTROL OVER CAPACITOR CAPACITANCE

A. I. Korshunov

N. G. Kuznetsov Navy Academy, Navy Polytechnic Institute, 198514, Saint Petersburg, Russia E-mail: [email protected]

A circuit of high-frequency commutation of capacitors allowing for smooth variation of their equivalent capacitance is studied. A limiting continuous model of equivalent capacitance regulation circuit is developed. Results of digital modeling demonstrate practical equivalence of the model and actual circuit for the case of high enough commutation frequency.

Keywords: capacitance, control, high-frequency commutation, limiting continuous model.

Data on author

Anatoly I. Korshunov — Dr. Sci, Professor; N. G. Kuznetsov Navy Academy, Navy Polytechnic

Institute, Department of Radio-Electronics; E-mail: [email protected]

Reference for citation: Korshunov A. I. Pulsed control over capacitor capacitance // Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Priborostroenie. 2015. Vol. 58, N 6. P. 463—472 (in Russian).

DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-6-464-472