Анализ параллельной работы импульсных повышающих преобразователей напряжения постоянного тока Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Анатолий КОРШУНОВ, д. т. н.

A.I.Korshunov@mail.ru

Анализ параллельной работы

импульсных повышающих преобразователей напряжения постоянного тока

В статье рассмотрены импульсные повышающие преобразователи напряжения постоянного тока, работающие с одинаковым периодом коммутации и фазовым сдвигом на общую нагрузку. Получены нелинейные дифференциальные уравнения предельной непрерывной модели и соответствующая система нелинейных дифференциальных уравнений. Исследован установившийся режим работы. Определено необходимое количество преобразователей при допустимом разбросе сопротивлений параллельных ветвей. Получены выражения для размаха пульсаций токов дросселей и выходного напряжения.

Введение

Мощность нагрузки импульсного преобразователя ограничена допустимыми током и напряжением транзисторов, образующих управляемый ключ. Увеличение мощности путем использования параллельного и последовательного включения транзисторов ограничено. Причина этого в неравномерном распределении тока между параллельно соединенными транзисторами, а также напряжения между последовательно соединенными транзисторами. Использование силовых транзисторных модулей ослабляет остроту проблемы, но не снимает ее. Параллельная работа нескольких преобразователей на общую нагрузку исключает неравномерное распределение тока между транзисторами в переходных режимах их включения и выключения. Плата за это — увеличение количества дросселей. В ряде случаев этот недостаток оказывается даже благоприятным, поскольку сильноточный дроссель технологически может оказаться сложнее, чем несколько дросселей, рассчитанных на меньший ток.

Работа нескольких преобразователей с фазовым сдвигом на общую нагрузку позволяет увеличить частоту пульсаций выходного напряжения в соответствующее число раз. Следовательно, сглаживающий конденсатор может иметь во столько же раз меньшую емкость.

Поскольку повышающий преобразователь, который состоит из нескольких отдельных преобразователей, работающих с фазовым сдвигом на общую нагрузку, недостаточно изучен в литературе, задача данной статьи — построение непрерывной модели сложного преобразователя и исследование особенностей его работы.

Математическое описание преобразователя

На рис. 1. представлена расчетная схема рассматриваемого преобразователя. Суммар-

ное сопротивление дросселя и ключа учтены резисторами rk, г", к = 1, 2, m. Каждый из

m ключей: K1, К2, ., Кт в течение времени т находится в положении «1», а оставшуюся часть периода T- т — в положении «2». Ключи работают со сдвигом во времени на T/m. Ключ с номером к, к = 1, 2,., т, включается в положение «1» в момент t" = (к-1) T/m от начала периода коммутации и возвращается в положение «2» через время т:

т = qT/m+Дт, q — целое число,

0<Ax<T/m. (1)

Таким образом, на каждом отрезке периода Т коммутации ключей длительностью Т/m происходит переброс одного из m ключей из положения «1» в положение «2», то есть переход от накопления электромагнитной энергии к ее отдаче в нагрузку. На рис. 2 для частного случая m = 6, q = 2

представлены жирной линией отрезки временной оси, соответствующие нахождению каждого из ключей в положении «1», а тонкой линией — положению «2». Как видно из рис. 2, в первой части каждого отрезка периода коммутации q+1 ключ находится в положении «1», а m-q-1 ключей — в положении «2». В оставшейся части отрезка q ключей находятся в положении «1», а m-q — в положении «2». Таким образом, в течение периода коммутации преобразователь имеет 2m различных вариантов соединения его элементов. Следовательно, на интервале коммутации преобразователь описывается 2m различными системами дифференциальных уравнений. Для первой части К-го отрезка периода коммутации система дифференциальных уравнений преобразователя в векторно-матричной форме имеет вид:

dX/ dt = AкX+hкU + gкV, (К-1)Т/м <t ^Х-^Т/м+Дх, (2)

а для второй части -го отрезка:

dX/dt = A 'KX+h K U+g K V, (K-l) T/m+Ax< t< KT/m,

(3)

где Xу = [%!, X2, ..., Xm, Xm

х2, Лт, Ат+1, Хт+2

фазовых координат преобразователя; х^ = ^;

] =1, 2, т хт+1 = ін; хт+2 = ис; ЛК и Л-К

К =1, 2, ..., т — т+2хт+2 квадратные матрицы, элементы которых являются коэффициентами соответствующей системы дифференциальных уравнений; НТК = [К1К, К2К,

2] — вектор

h

(m+2), K

[h lK, h2k,

■ h '(m+2)K]

ленные (m+2)-мерные векторы, элементы которых являются коэффициентами при входном напряжении U в соответствующих системах дифференциальных уравнений,

gK = [g1K, g2K, '•', g(m+2), K], и g'K = [g1K, g2k, •••, g'(m+2)K] — (m+2)-мерные векторы, элементы которых равны коэффициентам при напряжении V.

Для получения разностного уравнения преобразователя, связывающего значения его вектора фазовых координат в начале и конце n-го периода коммутации, необходимо решить 2m систем дифференциальных уравнений, используя метод припасовыва-ния. Решение дифференциальных уравнений (2), (3) на последовательных интервалах (0, Дт), (Дт, T/m), (T/m+Дт), (T/m+Дт, 2 T/m), ...((m-1)T/m+Дт, T) дает:

Х(пТ+Дт) = Н1Х(пТ)+

+л-\Ш1-Е)(Н^1п

Х(пТ+Т/т) = Н '1Н1Х(пТ)+

+Н 1Л-1(Н1-£)(/11 и+&у)+

+ (Л-1)(Н 1-Е)(й 1 и+£У), Х(пТ+Т/т+Дт) = Н2Н'1Н1Х(пТ)+

+Н2Н [л-кщ-тк ^+йУ)+

+Н2(Л1)-1(Н 1-Е)(й 1 1^ 1У)+

+л-2(Н2-£)(Й2 1+2 У); (4)

Х(пТ+2Т/т) = Н'2Н2Н'1Н1Х(пТ)+

+н 2н2н ,1л-;(Н1-£) (^ и+ g1 у)+

+н 2Н2(Л!)-1(Н 1-е)(й 1 и+^у)+

+н 2Л-2(Н2-Е)(к2 7+2 у)+ +(Л2)-1(Н 2-£)(й 2 2 У);

Х(пТ+тТ/т) = Х((п+1)Т) =

Н 'тНт-Н 2ЩН 1Н1Х(пТ)+

+Н 'тНт-Н 2ЩН 1Л-1(Н1-£)( Н1 и+^ У)+ +Н тНт.Н2Н2(Л1)-1(Н 1-£)(й 1 7^ 1 У)+ + НтНт.Н2Л-2(Н2-£)(Й27+й У) +

+н тНт.Нз(Л2)-1(н 2-£)(й 2 ^ 2У)+

+ ... + Н тЛ^Нт-ЕК^^УК

+(Лт)-1(н т-Е)(к т^ ту).

где НК = ехрЛКДт, НК = ехр(ЛК(Т/т-Дт)), Е — единичная (т+2)х(т+2)-матрица.

Дифференциальные уравнения предельной непрерывной модели

Для построения предельной непрерывной модели преобразователя воспользуемся методикой, изложенной в работе [4].

Вычислив отношение приращения вектора фазовых координат к периоду коммутации, получаем:

[Х((п+1)Т)-Х(пТ)]/Т =

[(Н тНт.Н 2Н2Н 1Н)/Т]Х„+ +НтНт.Н1Л-1[(Н1-Е)/Т](Й1и+йУ) + +Н тНт.Н2(Л1)-1[(Н 1-Е)/Т](К 17+^7)+ +н тнт.н 2Л-2[(Н 2-Е)/Т](Й2^2У)+

+н тНт.Нз(Л2)-1[(н 2-Е)/Т](к 2^ 2У) + ...+Н;Л1ЖНт-Е)/Т](Ьти^тУ + +(Лт)-1[(нт-Е)/Т](ът^тп (5)

Переход к пределу в выражении (5) дает (6), где Ду = Дт/Т.

Дифференциальное уравнение (6) описывает предельную непрерывную модель сложного повышающего преобразователя, к которой он неограниченно приближается при уменьшении периода коммутации до 0.

Для определения векторов и матриц, входящих в выражение (6), запишем системы дифференциальных уравнений рассматриваемого преобразователя (рис. 1). Для интервалов 0<Кх и т<кТ/м с учетом рис. 2 получаем:

dit

dt

L2 — + r2i2 — U—uc,

T ^m-q +1 , 1 . T j

m-q+\ ^ I" rm-q+llm-q+\ ~ U ~U С’

di,

m-q+2

m-q+2 dt

rm-q+2 І m-q+2 U,

di

di

L —— + ri = £/, dt

LH^ + RHiH-uc-V,

cjh±ç = i^+i^+'" + i -І =0, (7)

dt

L^ + Ù=U,

T di2 '.

L2-TT + r2h=U-UC’ dt

+ rm_qJm_q+l=U-uc,

j dim-q+1

m_i+1 dt

j dim_q+2 , . _ m-q+2 •" rm-q+2lm-q+2 ~ U MC>

r ^m-q +3 , • j j

m-q+3 ^m-q ■ ■ 3

di

Lm— + rJm=U, m dt

LH^- + RHiH=uc-V, H dt HH c

(8)

_ duc . . . . . n

C ~ 12+l3+-+lm-q+l+lm-q+2- lH~ 0’

dX = Hm X((n + \)T)~ X(nT)

dt t

-1[4 + 4г +... + Am ]Ay + [4 + +... + ] (— - Ay)|^ +

(h1 + h2 + ...+hm)Ay+ (fil + h2+...+fim)(-----Ay)

m

U+

1

(a+g2+... ■+ g2m )Ay+(g;+g2 +...+g2m)(— Ay)

m

V,

(6)

где = ''ЭÍK+rK2, гк = ^рк+Г^ гдрк — сопротивление к-го дросселя, гк1, гк2 — сопротивления к-го ключа в положениях «1» и «2» соответ-венно.

Преобразовав системы дифференциальных уравнений (7) и (8) к виду, соответствующему уравнениям (2) и (3), получаем (9) и (10) (см. далее).

Сравнение векторов Ь1и Ь1, g1 и g 1 показывает их полное совпадение, то есть Ь1 = Ь1, g1 = g 1. Анализ следующих систем дифферен-

4 =

И »г 1 і 0 . . 0 0 0 . . 0 0 0 HkT і ' 0 '

0 Г2 А ■ . 0 0 0 . . 0 0 1 Ä і L2 0

0 0 . V m-q+1 0 0 . . 0 0 1 1 0

^m-q+l Ai-g+1 An -q +1

0 0 . . 0 ^m—q + 2 0 . у m-q+3 Ап-^+З . 0 0 0 1 0

Lm-q+2 A = Ai-g+2 1 .& = 0

0 0 . . 0 0 . 0 0 0 Lm-q+3

0 0 . . 0 0 0 . ' А, 0 0 1 A, 0

0 0 . • 0 0 0 . . 0 R„ LH 1 0 1 А/

0 1 с 1 ' с 0 0 . . 0 1 с 0 0 0

’ rl А 0 . . 0 0 0 . . 0 0 0 ' і ' А ' 0 '

0 r2 A ‘ . 0 0 0 . . 0 0 1 А l А 0

0 0 . г , m-q+1 0 0 . . 0 0 1 і 0

^m-q+l An-g+1 Ап-g+l

г „ m-q+2 1 1 0

0 0 . . 0 0 . f . 0 0

Ai-g+2 An-g+2 X= L m-q+2 1 >¿1 = 0

0 0 . . 0 0 m-q+3 An-g+3 . 0 0 0 An-g+3 1 0

0 0 . . 0 0 0 . rm ' A, 0 LH 0 1 A, 1

0 0 . . 0 0 0 . . 0 0 Ar

0 1 с ‘ 1 ' с 1 с 0 . . 0 1 с 0 0 0

(9)

(10)

циальных уравнений приводит к обобщающему выводу:

Нтк = Н'Т = Н = [1/1!, 1/12, ..., ИЬт, 0, 0], &С = £К = <? = [0, ..., 0 -1/LH, 0],

к = 1, 2, ..., т. (11)

Матрицы А1 и А1 отличаются только одним из первых т элементов последней строки, последнего столбца и главной диагонали. К m-q элементам, равным 1/С, в последней строке матрицы А\ справа вместо 0 добавля-

ется элемент 1/С. В последнем же столбце матрицы A'j к m-q элементам -1/L2, -1/L3, -1/Lm_q+1 снизу вместо 0 добавляется элемент

тов правого конца ряда в начало последней строки. Аналогично ведут себя и элементы 1/С в последней строке матриц А2, А'3, ..., Ат. 1/Ьт_я+2, а в главной диагонали вместо В последнем столбце матриц А2, А3, ..., Ат

rm-q+3/Lm-q+3 rm-q+3/Lm-q+3^

Дальнейший анализ показывает, что в последней строке матриц А2, А3, ., Ат ряд из m-q элементов, равных 1/С, смещается последовательно на одно деление вправо, пока т-й элемент последней строки не станет равным 1/С. Дальнейшее смещение элементов 1/С вправо приводит к перемещению элемен-

и A2, A'3, ..., A'm ряд из m-q (9) и m-q+1 (10) ненулевых элементов смещается последовательно на одно деление вниз. Элементы при этом не двигаются. Верхний элемент обращается в 0, а вместо ближайшего снизу 0 появляется элемент -1/Lj, где j — номер соответствующей строки. Смещение вниз прекращается, когда m-й элемент столбца становится

равным -1/1т. В дальнейшем первый элемент последнего столбца становится равным -1/!1, затем второй элемент равным -1/12 и так далее. При этом каждый раз становится равным 0 верхний из ненулевых элементов. В матрице Ат первые m-q элементов последнего столбца принимают значения -1/!1, -1/12, ..., -1/Ьт_я, апоследующие ^ элементов становятся нулями. В матрице же А'т к нулевым m-q ненулевым элементам добавляется еще один — (-1/!т-,+1).

В главной диагонали матриц А2, А3, ., Ат и А\, А2, ., А'т ряд из m-q и m-q+1 элементов вида гк'/1к также смещается вниз. Происходит это за счет того, что в верхнем элементе ряда исчезает штрих, а в ближайшем к ряду снизу появляется штрих на каждом шаге. Смещение прекращается, когда штрих появляется в т-м элементе диагонали. Далее штрих появляется в первом элементе диагонали, затем во втором и так далее. Одновременно исчезают штрихи верхних элементов ряда. В главных диагоналях матриц Ат и А'т штрих имеют первые m-q и т^+1 элементов соответственно.

Таким образом, в матрицах А1, А2, ..., Ат и А\, А2, ., А'т изменяются только первые т элементов последней строки, последнего столбца и главной диагонали. Остальные же элементы не изменяются, а остаются одинаковыми во всех матрицах.

Поэтому элементы суммарной матрицы из выражения (6):

А = (А1+А2+...+Ат)Ду+(А1+А2+...+Ат)х х(1/т-Ду) = II а^\\ 1”-2, (12)

кроме упомянутых выше элементов а(т+2);, а{(т+2), аг, г = 1, 2, ., т в силу тождества:

тДу+т(1/т-Ду) = 1, (13)

остаются такими же, как и в матрицах А1, А2, ..., Ат и А\, А2, ..., Ат.

Каждый из первых т элементов последней строки и последнего столбца отличны от нуля в т-к-1 из т матриц Ак, к =1, 2, ..., т и в т-к из т матриц А'к, к =1, 2, ., т. В силу тождества:

(т^-1)Ду+(т^)х(1/т-Ду) = 1-у, (14) для элементов а^т+2)1, а{(т+2) получаем:

а(т+2)1 = 1/С(1-у), г = 1, 2, ..., т, (15) аг(т+2) = 1/1г(1-у), г = 1, 2, ..., т. (16)

Каждый из первых т элементов главной диагонали матриц А1, А2, ., Ат в q+1 матрицах принимает значение без штриха, а в т^+1 матрицах — со штрихом. В матрицах же А\, А2, ., А'т эти же элементы в q матрицах принимают значения без штриха, в m-q матрицах — со штрихом. Следовательно, согласно (12) получаем:

аи = (ГД> Жз+1)Ду+з(1/т-Ду)] +

+ (r"/L i )[(m-q-1) Ду+(от-^)х(1/m-Ду)] = = 1/L Г Y+r"(1-y)] = R i/L i, (17)

где Rt = riy+r"(1-y), i = 1, к, ..., m. (18) Аналогично предыдущему с учетом формул (11) и (13) получаем суммарные векторы в формуле (6):

(h1+h2+...+hm)Ay+(h'1+h 2+...+h m)x

х(1/т-Ду) = h,

(19)

dt

k 1

IzI

k

k

uc + £/,

di:

R

1

Rm . —-L- 1-у 1 ■ Ur H

dt L m m К c L m

Іїн = ur - -±v,

dt L L H H с к ’

duc 1-у . 1-у .

: = —~h + ...+ — К +•

dt с 1 с K

1-у . 1 .

H-----lm-------1U-

С С

(21)

(гк = г, 1К = I, К = 1, 2, ..., т) число дифференциальных уравнений системы (21) можно уменьшить до 3, объединив т первых фазовых координат ц, г2, ..., гт в одну:

% = г1+ +г2+-" + гт.

(22)

В результате сложения первых т дифференциальных уравнений системы (21) получаем:

(й+й+-+йт)Ау+(£ \+Я 2+-+£ т)х

х(1/т-Ду) = (20)

Положим период коммутации преобразователей Т достаточно малым, чтобы пренебречь пульсациями фазовых координат, а их гладкие составляющие считать равными координатам предельной непрерывной модели сложного преобразователя (6).

С учетом формул (15-20) согласно (6) получаем предельную непрерывную модель сложного преобразователя в виде системы нелинейных в общем случае дифференциальных уравнений:

dt

»»(1-7) .. ,ттт

--------иГ н— и -

L CL

din R„ 1 1 т,

-s- = —и- + — ис------------------------V,

dt ^j} i ^j 11

duc _ 1-у 1 .

dt

С Сн'

(24)

Если начальные условия системы (21) отличны от нулевых, то для переменной г2 системы (24) начальное условие согласно (22) имеет вид:

гЕ(°) = г1(0) + г2(0) + . + гт (0). (25)

При неодинаковых начальных токах параллельных ветвей преобразователя неравномерное распределение тока нагрузки между ветвями с одинаковыми сопротивлениями будет сохраняться некоторое время, определяемое постоянной времени Т = 1/г дросселей. Действительно, записав дифференциальное уравнение для к-й ветви и первое из системы уравнений (24) относительно среднего тока параллельных ветвей:

гср = Чт (гср(0) = гЕ(0)/т) (26)

получаем:

dik _ г . 1— і■ ^г-

>cp

dt

di

____<v_

. dt

__r . _1

' Lcp L

' 1 rr

- Ur+ — U, 0 L

У 1

r uc+-U. c L

При известной функции y(t) (21) представляет собой линейную систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [2], поскольку управляющее воздействие у является не сигнальным, как входное напряжение U, а параметрическим, изменяющим коэффициенты дифференциальных уравнений. Если у зависит, например, от выходного напряжения, как в стабилизированных источниках питания, система (21) становится нелинейной. В этом отношении рассматриваемый преобразователь не отличается от обычного повышающего преобразователя [1].

При у = const система дифференциальных уравнений превращается в линейную и может быть решена аналитически известными методами [2].

В идеальном случае равенства сопротивлений и индуктивностей параллельных ветвей

Вычитая из первого уравнения второе, имеем:

dД гк /dt=

-r /ЬДІк

(27)

где Дгк = гк-гр, Дгк = гк (0)-гср(0).

Решение однородного дифференциального уравнения (27):

Дг'кМ = Дг'к(0)е -»т

затухает до 5% от начального за время 3Т.

При значительной мощности дроссели имеют большие постоянные времени, и равномерное распределение токов восстанавливается сравнительно долго, что может вызвать в переходном процессе недопустимую перегрузку ключа в одной из ветвей преобразователя.

Установившийся режим работы преобразователя

Приняв при у = const производные фазовых координат в системе дифференциальных уравнений (21) равными 0, получаем систему линейных уравнений относительно установившихся значений фазовых координат. Система весьма просто решается, если ввести промежуточную переменную г2.

Обозначив установившиеся значения фазовых координат прописными буквами, получаем решение в виде:

ис =

я

н

Rh+bjx-iT

XV—""”2

х_С^+ Я2(1-у)

1-у RH + RT( 1-у)-2

J _ U{\-j)-'-V н RH+R^l-i)-2’

(28)

(29)

1 R

^=^_x77Jh"/ff’,c=1’2’-’"2’ (30)

RK (1—Y>

где

Vі

(31)

Из формулы (30) следует, что токи в работающих параллельно ключах обратно пропорциональны сопротивлениям ветвей. С учетом (8) и (18) получаем:

Для оценки максимально возможного тока транзисторного ключа положим, что известны максимальные и минимальные значения активного сопротивления дросселя и сопротивлений открытого ключа. Это позволяет определить:

Лкши = ЛС (1+8) и Лкшп = ЛкО(1-8), (33)

где ЛО — среднее значение активного сопротивления параллельных ветвей, равное полусумме предельных значений (Л^+Л^ = 2ЛО),

0 < § = (Лшах-Лшт)/(Лшах+Лшт) < l, (34)

8 — относительный разброс сопротивлений ветвей.

Из физических соображений понятно, что наиболее неблагоприятная по распределению тока между параллельными ветвями ситуация сложится, когда в одной из ветвей активное сопротивление дросселя и сопротивление открытого ключа в обоих его положениях будут минимальны, а во всех остальных ветвях эти же сопротивления максимальны. Ток нагрузки считаем заданным. В такой ситуации при изменении у распределение токов между ветвями меняться не будет, оставаясь наиболее неблагоприятным.

Максимальный ток в ветви определим по формулам (30) и (31), считая:

Я, = Ло (1-8), Лк = Ло (1+8), к = 1, 2, ..., г-1, г+1, ..., т,

Лк = гдрк + гк2 У +Гк1(1-У). (32) что дает:

Из выражений (30), (31) и (32) видно, что при одинаковом токе в нагрузке изменение у ^ _

вызывает некоторое перераспределение токов между ветвями.

При выборе количества необходимых параллельных ветвей следует учитывать возможную неравномерность распределения тока нагрузки между ветвями.

Я0(1-5)

т — \

R0i 1+8) 1+8

1

R0{ 1-8)

1-у

1_(1_18) гп{ 1-у)

(35)

Рис. 3

В идеальном случае при отсутствии разброса сопротивлений (8 = 0) токи в параллельных ветвях одинаковые и имеют согласно (35) значение:

4 = ^тЧ. (36)

т(1-у)

Максимальная относительная перегрузка ключа составляет:

р = 1т*

2(1-1 8)

_____т

h 1-(1-— 8) т

1о _

(37)

При m = 2 p (8)=8, апри p(8)=28/(1-8).

На рис. 3 представлена зависимость максимальной относительной перегрузки отдельной ветви p, а следовательно, и транзисторного ключа, от относительного разброса параметров 8 при различном числе параллельных ветвей m. Из рис. 3 видно, что максимальная перегрузка возрастает не только с ростом разброса параметров 8, но и с увеличением числа параллельных ветвей m.

Для практики большее значение имеет ответ на следующий вопрос: «Сколько же следует выбирать параллельных ветвей при известных: максимальной величине I 'Н = 1Н/(1-у), предельно допустимом токе транзисторного ключа в длительном режиме 1доп и известном относительном разбросе параметров 8?»

Необходимое число ветвей дает выражение:

m > [f (m0, 8)], (38)

где f (m0, 8) = ((1+8)m0-28)/(1-8), (39)

m0 = 1Н/1доп, [.] — означает округление до ближайшего большего целого числа (например, [6, 4] = 7), [m0] — необходимое число параллельных ветвей при отсутствии разброса параметров.

Формула (38) получена при подстановке в левую часть выражения (35) максимального тока ветви Imax, равного допустимому току ключа 1Доп.

Анализ формул (38) и (39) показывает, что с увеличением относительного разброса сопротивлений ветвей резко увеличивается их необходимое количество, то есть растет стоимость преобразователя. В мощных преобразователях, очевидно, более эффективен подбор элементов ветви (дросселей и транзисторных ключей), обеспечивающих минимальный относительный разброс сопротивлений, следовательно, меньшее число ветвей.

Выходное напряжение преобразователя Uc (28) зависит от входного напряжения U, ЭДС нагрузки У и от регулируемого параметра у = т/Т. При у = const с увеличением U и У линейно возрастает и выходное напряжение. При U = const и У = const зависимость выходного напряжения Ugux = Uc от у имеет максимум при:

Рис. 4

rlv+JrZv2+rlrhu2

у =у =1—5-------------5-5— =

т RHU

= \-{ху + ^х2уг+х), (40)

где % = Л£/Лн, У = У/и.

На рис. 4а, б представлена регулировочная характеристика преобразователя в относительных единицах:

ивых(у) ис(у)

и и

1-у + ху

(1-у) +jc (1-у) +JC

(41)

Если U> У, то энергия может передаваться только от источника входного напряжения U к нагрузке, и рекуперация энергии в источнике входного напряжения невозможна.

Исследование зависимости тока нагрузки 1Нот у = т/Т(29) при U = const и У = const показывает, что она имеет экстремум при у, определяемой выражением (40). Совпадение максимумов тока нагрузки и выходного напряжения вытекает и из эквивалентной схемы рис. 5. Действительно, согласно второму закону Кирхгофа:

U,

&ых

(42)

построенная при различных значениях х = Л2/Лн, у = У/и.

Из формулы (41) ирис. 4а, б видно, что при малых у значительное увеличение У вызывает лишь незначительное повышение выходного напряжения. При больших у влияние У на величину выходного напряжения резко возрастает и при у я 1 выходное напряжение становится практически равным У. Как и у обычного повышающего преобразователя, увеличение х снижает выходное напряжение и увеличивает значение ут.

Уравнения (28) и (29) позволяют изобразить эквивалентную схему преобразователя для установившегося режима работы, представленную на рис. 5.

Поскольку расчетная схема преобразователя (рис. 1) предполагает двустороннюю проводимость ключей К1^Кт, в эквивалентной схеме для установившегося режима (рис. 5) возможно изменение направления тока нагрузки 1Н, а следовательно, и направление передачи энергии. При и/(1-у)>У ток 1Н протекает в положительном направлении, а энергия передается от источника входного напряжения и к нагрузке. В противном случае (И/(1-у)<У) ток 1Н меняет направление, а энергия передается от нагрузки (источника напряжения У) к источнику входного напряжения и.

IH = UebJRH V/RH.

(43)

V и

__ вых

и_ и и и

Rv

■У =

. (1—Y)x(l— (1-рху) (і-і)2+х

(44)

При У = const очевидно, что максимуму тока 1Н соответствует максимум выходного напряжения Uf^lx.

Рассчитав ток нагрузки 1Н из формулы (42), получаем:

Формула (43) означает, что зависимость тока нагрузки 1Н от регулируемого параметра у = т/Т совпадает по форме с регулировочной характеристикой преобразователя (41), смещенной вниз на величину У/ЛН. В относительных единицах зависимость тока нагрузки от у имеет следующий вид:

На рис. 6а, б представлены графики зависимостей (44) при тех же значениях параметров х и У, что и графики на рис. 4а, б.

Из зависимостей, представленных на рис. 4 и 6, следует важный вывод о необходимости ограничения величины у(у<ут) при использовании преобразователя в замкнутых систе-

мах управления. Действительно, превышение значения ут (40) приводит не к увеличению выходного напряжения или тока, а к их уменьшению. Обратная связь, стремясь увеличить выходное напряжение или ток нагрузки, будет продолжать увеличивать у, что приведет к уменьшению регулируемого напряжения или тока до нуля.

Пульсации фазовых координат преобразователя

Для оценки величины пульсаций токов в дросселях параллельных ветвей преобразователя пренебрежем пульсациями выходного напряжения иС и активным сопротивлением дросселя. Указанные допущения не вызывают существенных ошибок, поскольку у преобразователя должны быть весьма небольшие пульсации выходного напряжения, а дроссель по своему назначению должен иметь малое активное сопротивление, чтобы не снижать КПД преобразователя.

В установившемся режиме на дроссель действует переменное прямоугольное напряжение ы(^, представленное на рис. 7. Ток дросселя 1(£) пульсирует вокруг среднего значения 1СР. В установившемся режиме принятые допущения позволяют считать:

ихт = (ис-и)х(Т-т), (45)

или ис = и/(1-т).

Рис. 6

и—иг

0 т

ВД

1

Рис. 7

Размах пульсаций тока Д1 определяется выражением:

Д1 = ¡шах-1шш = (и/1)т = (Ш7!)у. (46)

В действительности Д1 оказывается несколько меньше, поскольку падение напряжения на активном сопротивлении дросселя г уменьшает напряжение, приложенное к его индуктивности I.

При фиксированном входном напряжении и Д1 увеличивается с ростом у, то есть с увеличением ис. Если же необходимо поддерживать постоянным выходное напряжение иС при изменяющемся входном напряжении и, то следует изменять у. Пренебрегая активным сопротивлением дросселя, из выражения (45) получаем у = 1-и/ ис и, подставляя в формулу (46), имеем:

Д1 = (ит/1)(1-и/ис).

Последнее выражение при и = ис /2 (у =1/2) имеет максимум:

Д1т

UCT/4L.

Для оценки пульсаций выходного напряжения пренебрежем пульсациями токов па-

раллельных ветвей преобразователя и тока нагрузки. Постоянные составляющие токов параллельных ветвей, пренебрегая разбросом их сопротивлений, примем одинаковыми и равными 1О (36).

В установившемся режиме при постоянных и, У и у в каждом из т интервалов периода коммутации (рис. 2) ток I (рис. 1), протекающий от параллельных ветвей преобразователя к конденсатору фильтра С ив нагрузку (г = гс + гН), складывается в начале из токов (m-q-1) ветвей (0<КДт), а затем из токов (m-q) ветвей (Дт<кТ/т). Таким образом, ток г представляет собой последовательность прямоугольных однополярных колебаний вокруг постоянной составляющей, равной току нагрузки 1н (рис. 8). Считая, что переменная составляющая тока г, выделенная на рис. 8 штриховкой, замыкается через емкостной фильтр, можно найти размах пульсаций выходного напряжения Ди:

ьи=иСт^-иСа^ =

= 1„-{т-д-\)10 Дт = С

I Т

н -а-ъм,

(1-у) m С

(48)

(47)

где у1 = ДтДТ/m) = [yT-q(T/m)]xm/T = ym-q.

Анализ формулы (48) показывает, что при IH = const на каждом интервале изменения у:

q/m<y<(q+1)/m, q = 0, 1, ..., m-1 (49)

размах пульсаций имеет при:

Yi=m(<7+Yli)’Yl^7

(50)

1+. 1

m-q

экстремум (максимум):

Уїд (1 Уі^) mC m—q—ylq

(51)

увеличивающийся с ростом q.

Из формулы (48) следует, что при у1 = 0 или у1 = 1, то есть на граничащих интервалах (49), выходное напряжение не имеет пульсаций, что для импульсного преобразователя достаточно странно.

Парадокс этот объясняется пренебрежением пульсациями токов параллельных ветвей. Поэтому в случае Дт = 0 или Дт = т/т ток г в каждом из т интервалов складывается из токов одинакового числа параллельных ветвей и является, по существу, постоянным и равным току 1Н/(1-у).

В действительности вследствие пульсаций токов параллельных ветвей с размахом Д1 (46) ток г при Дт = 0, т = qх(T/m) линейно убывает со скоростью (т^)х(ис -и)/1 на каждом интервале Т/т, скачком увеличиваясь на Д1 в конце каждого интервала (рис. 9), так как на место ветви с минимальным током включается ветвь с максимальным током. Переменная составляющая тока г (¿), выделенная на рис. 9 штриховкой, протекает через сглаживающий конденсатор и вызывает пульсации выходного напряжения ис (¿). Размах пульсаций Ди определяется выражением:

Рис. 9

л Т12 т Ат

AUC = Uс -Uс = - Í ---------------tdt =

^max umin ^ J 'J4

mM t2 .ram MT UyT2

=--------n =----------=--------• (52)

T 2 10 8 mC %mLC

Сравнивая выражения (48) и (52) видим, что при Дт = 0 пульсации выходного напряжения имеют второй порядок малости относительно периода коммутации Т, то есть становятся во много раз меньше, но полностью не исчезают.

Экспериментальная проверка полученных результатов

Проверка проводилась на модели преобразователя с тремя параллельными ветвями, построенной в среде Matlab 6.5, Simulink 5, Sim Power Systems (рис. 10). В качестве моделей транзисторных ключей использовались Ideal Switch ... Ideal Switch 5. Параметры снаб-берных цепей выбраны так, чтобы они не оказывали существенного влияния на количественную оценку процессов, поскольку проверяются соотношения, полученные без учета их влияния. Ideal Switch позволяет учесть сопротивление реальных транзисторных ключей.

Управляют ключами блоки, состоящие из генератора Pulse Generator, настроенного на заданный период коммутации T, фазовый сдвиг и величину у, и схемы, выполняющей

логическую функцию «НЕ» над единичными прямоугольными импульсами генератора. Последовательность импульсов генератора управляет ключом, замыкающим дроссель на источник входного напряжения, а инвертированные импульсы подключают «подзаряженный» дроссель к нагрузке.

Моделирование проводилось при следующих параметрах преобразователя и его нагрузки: г1 = г2 = г3 = г = 0,06 Ом, 11 = 12 = 13 = I = = 2х 10-3 Гн, ЛН =1 Ом, у = 0,72,1Н = 5х 10-3 Гн, С = 20х10-4Ф, У = 600 В, и = 200 В, Т = 2,5х10-4 с. Решение выполнялось методом ode15s с максимальным шагом 1е-7.

Установившиеся значения гладкой составляющей выходного напряжения, тока нагрузки и параллельных ветвей, определенные по формулам (28-30), имеют значения: иС = 691,0569 В, 1Н =91,0569 А, 1К = 108,4011 А, к =1, 2, 3. Размах пульсаций тока в параллельных ветвях Д1 и выходного напряжения Ди, вычисленные по формулам (46) и (48), имеют значения: Д1 = 18 А, Ди = 6 В. Использованное при вычислениях Ди значение У] определено следующим образом:

q = [ДТ/(Т/т)] = [ут] = [0,72х3] = 2,16, у1 = ту^ = 3х0,72-2 = 0,16.

Результаты моделирования установившегося режима, представленные на рис. 11, 12, позволяют определить соответствующие значения иС = 690,5 В, 1Н = 90,94 А, 1К = 108,26 А, Д1 = 17,3 А. Хорошее совпадение результатов расчета установившегося режима по предельной непрерывной модели с результатами моделирования реальной системы служит подтверждением корректности построенной модели.

Расхождение результатов расчета и моделирования можно объяснить наличием снаббер-ных цепей у ключей в модели, а также погрешностями определения средних значений пульсирующих величин по временным диаграммам. Так, например, иС определено как полусумма максимального и минимального значений пульсирующей величины иС (¿) (рис. 12), хотя на самом деле иС несколько больше.

Кроме того, формулы для вычисления размаха пульсаций выведены при упрощающих допущениях, что и объясняет наиболее существенную ошибку в определении ДТ (18 А и 17,3 А).

Рис. 11

Рис. 13

Для оценки точности предельной непрерывной модели в динамике проведено моделирование переходного процесса включения преобразователя по этой модели, представленной на рис. 10 как subsystem, и по модели реальной системы. На рис. 13 представлены выходной сигнал предельной непрерывной модели иСН (t) и реальной модели uc (t), которые практически совпадают. Для возможности заметить различия между кривыми — гладкой иСН (t) и пульсирующей uc (t) — на рис. 13 представлены только один период колебаний слабо затухающего переходного процесса.

Выводы

1. Предельная непрерывная модель нескольких повышающих преобразователей, работающих параллельно на общую нагрузку, и свойства этого сложного преобразователя принципиально не отличаются от модели и свойств одиночного повышающего преобразователя.

2. Неравномерная нагрузка параллельных ветвей сложного преобразователя в установившемся режиме, вызываемая различием их активных сопротивлений, требует использования числа параллельных ветвей, больше необходимого при равномерной нагрузке, или подбора дросселей и транзисторных ключей по сопротивлению.

3. Различие начальных токов параллельных ветвей вызывает неравномерную их нагрузку в переходном режиме, затухающую с постоянной времени ветви.

4. Наличие в нагрузке противоЭДС увеличивает выходное напряжение преобразовате-

ля тем сильнее, чем больше у, а при у, близких к 1, выходное напряжение совпадает с противоЭДС.

5. При двусторонней проводимости ключей и противоЭДС в нагрузке, большей входного напряжения преобразователя, возможна рекуперация энергии от нагрузки к источнику входного напряжения.

6. Размах пульсаций тока дросселей параллельных ветвей при постоянном входном напряжении пропорционален у, а при поддержании постоянным выходного напряжения при изменении входного размах пульсаций максимален при у = 1/2.

7. Частота пульсаций выходного напряжения выше частоты коммутации ключей во столько раз, каково число параллельных ветвей.

Размах пульсаций выходного напряжения пропорционален току нагрузки и сложным образом зависит от величины у.

8. При значениях у, кратных обратной величине числа ветвей, размах пульсаций выходного напряжения принимает минимальное значение, пропорциональное квадрату периода коммутации. ■

Литература

1. Коршунов А. И. Методика построения непрерывных моделей импульсных преобразователей напряжения постоянного тока // Компоненты и технологии. 2006. № 8.

2. Потрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1965.