CC BY
10
25. Пат. № 110742 UA. Вафлi солон без начинки «Креюси рибнi». МКП A21D 13/08 [Текст] / Притульська Н. В., Федорова Д. В.; заявник та патентовласник Кшвський нацiональний торговельно-економiчний ушверситет. -№ u201602770; заявл. 21.03.2016; опубл. 25.10.2016, Бюл. № 20. - 8 с.
Дата надходження рукопису 11.08.2017
Притульська Нататя Володимирiвна, доктор техтчних наук, професор, кафедра товарознавства, управ-лiння безпечнiстю та яшстю, Кшвський нац1ональний торговельно-економiчний ушверситет, вул. Кюто, 19, м. Ки1в, Укра1на, 02156 E-mail: [email protected]
Карпенко Петро Олександрович, доктор медичних наук, професор, кафедра технологи i оргашзаци ресторанного господарства, Кшвський нацюнальний торговельно-економiчний унiверситет, вул. Кiото, 19, м. Ки1в, Украша, 02156
Федорова Дша Володимирiвна, кандидат технiчних наук, доцент, кафедра технологи i оргашзаци ресторанного господарства, Кшвський нацюнальний торговельно-економiчний унiверситет, вул. Кiото, 19, м. Ки1в, Украша, 02156 E-mail: [email protected]
Мотузка ЮЮгая МиколаТвна, кандидат техтчних наук, доцент, кафедра товарознавства, управлшня безпе-чнiстю та яшстю, Кшвський нацiональний торговельно-економiчний унiверситет, вул. Кюто, 19, м. Ки1в, Укра1на, 02156 E-mail: [email protected]
Кравченко Михайло Федорович, доктор техтчних наук, професор, кафедра технологи i оргашзаци ресторанного господарства, Ктвський нацюнальний торговельно-економiчний ушверситет, вул. Кюто, 19, м. Ки1в, Украша, 02156
Гнщевич Викторы Альбертiвна, доктор технiчних наук, професор, кафедра технологи i оргашзаци ресторанного господарства, Ктвський нацюнальний торговельно-економiчний унiверситет. вул. Кюто, 19, м. Ки1в, Украша, 02156 E-mail: [email protected]
Юдiна Тетяна Главна, доктор технiчних наук, професор, кафедра технологи i оргашзаци ресторанного господарства, Ктвський нацюнальний торговельно-економiчний ушверситет, вул. Кюто, 19, м. Ки1в, Укра1на, 02156 E-mail: [email protected]
УДК 007.51: 519.8(075.8)
DOI: 10.15587/2313-8416.2017.113288
1М1ТАЦ1ЙНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМ1КИ ЕКОСИСТЕМ НА ПРИКЛАД1 СИСТЕМИ «ХИЖАК - ЖЕРТВА»
© Ю. Б. Бродський, О. В. Маевський, Ю. О. Тимошн
Представлет результати iмiтацiйного моделювання динамки популяцш для екосистеми «хижак - жертва» ЖитомирськоЧ областi на прикладi пари лис - заець. Обтрунтована можливкть застосування ймовiрнiсного пiдходу для розв 'язання задачi збшьшення термiну прогнозування динамiки екологiчних систем. Отриманi результати мають практичну цiннiсть для передбачення процеав взаемодИ в системi «хижак - жертва» з метою оцiнювання змiн чисельностi популяцш протягом п'яти роюв, що дозволить своечасно виявляти загрози екологiчноi безпеки
Ключовi слова: узагальнена модель «хижак - жертва», нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння, iмiтацiйна модель, екологiчна безпека
1. Вступ
Складшсть еколопчних систем, залежшсть 1х розвитку ввд багатьох чиннишв рiзноl фiзичноl при-роди, вщносна недосконалють методiв дослвдження механiзмiв 1х взаемоди, значний вплив кризових явищ, походження яких пов'язано зi змiною фiзико-
хiмiчних характеристик зовнiшнього середовища, ва-гоме антропогенне навантаження вносить фактор не-визначеносп в оцiнювання динамiки екосистем.
Як наслщок виникае проблема оптимального використання природних ресурсiв i прийняття ефек-тивних управлiнських рiшень з метою забезпечення
еколопчно! безпеки, що суттево шдвищуе прiоритет задачi пошуку шляхiв збшьшення термiну прогнозу-вання розвитку екосистем та процеав 1х взаемодii.
В статп запропоновано пiдхiд, який дозволяе розв'язати поставлену задачу збiльшення термшу про-гнозування динамiки екосистем на приклада системи «хижак - жертва» (для пари лис - заець на територп Житомирськох' областi ), що дозволить в по^бний момент прийняти рiшення щодо оргамзацп заходiв уник-нення можливих насладив попршення екологiчноi си-туацii' в регют, або навiть екологiчноi катастрофи.
2. Аналiз лiтературних даних
Розв'язок задачi короткострокового прогнозу-вання процесу взаемоди в системi «хижак - жертва» реалiзовано шляхом розробки математичнох' моделi побудованоi на основi узагальненоi моделi еволюцii систем [1], проведений обчислювальний експеримент i доведено адекватшсть отримано1' моделi [2]. Однак, необхшно зазначити, що короткострокове прогнозу-вання не завжди вiдображае повну картину можливо-го стану дослвджуванох' системи.
Аналiзуючи результати проведеного обчислюва-льного експерименту при збiльшеннi термiну прогнозу-вання, запропонована математична модель взаемоди «хижак - жертвам» для розрахованого дiапазону робочих параметрiв [6] втрачае стiйкiсть [3, 4], що унеможлив-люе довгострокове адекватне прогнозування динамши в екосистемах взаемодii «хижак - жертва».
Одним з ефективних методiв прогнозування поведшки нелiнiйних систем е побудова 1х фазових портретiв [5]. Але у випадку апрiорi неввдомих робочих параметрiв математично1' модел^ неможливо по-будувати фазовий портрет системи. Зокрема необидно враховувати, що для кожного набору параметрiв кнуе своя фазова траекторiя розвитку процесу. О^м цього, розрахований дiапазон робочих параметрiв передбачае короткостроковий термш прогнозування, для якого побудова фазових портрепв недоцiльна.
Для розв'язку задачi прогнозування динамiки взаемодii «хижак - жертва» можна запропонувати два пвдходи: перший базуеться на феноменолiзацii [7] запропонованих математичних моделей, з подаль-шою органiзацiею обчислювального експерименту для них; другш основуеться на оцшках ймовiрностi чисельностi популяцiй.
Перший шдхвд потребуе аналiтичного обгрун-тування запропонованих математичних моделей i вь дповшних комп'ютерних ресурсiв, а також час для розробки нових моделей, який може виявитися не ре-гламентованим.
Використання ймовiрнiсного пiдходу дозволяе зб№шити термiн прогнозування динамiки взаемоди «хижак - жертва» без побудови фазових портрепв нелшшних систем та феноменолiзацii запропонова-них математичних моделей.
3. Мета та задачi дослiджень
Метою дослiдження е пошук способу збшь-шення термшу прогнозування динамки системи «хижак - жертва» в припущенш, що щшьшсть сумiс
ного розподiлу чисельностi жертви та хижака може вважатися рiвномiрною [8] у визначеному дiапазонi значень.
Для досягнення мети були поставленi наступш
задачi:
1. Розв'язати задачу збшьшення терм^ прогнозування динамiки системи «хижак - жертва».
2. Обгрунтувати iмiтацiйну модель динамiки взаемоди «хижак - жертва» в екосистем^
3. Розробити алгоритм обчислення випадкових значень чисельносп хижака та жертви i розрахувати вiдповiднi ймовiрностi 1'х сумюного розподiлу.
4. Прогнозування динамжи популяцш на прикладi системи «хижак - жертва» в Житомир-ськш област
Математична модель взаемодii «хижак - жертва» на основi узагальнено! моделi еволюци систем [1] представлена системою нелшшних диференщальних рiвнянь першого порядку
(1 + ax)+ а0х2 -фх = —yz\ (1 + bpc) d~ + b0z2 — уx = yx,
(1)
де х i г - чисельнiсть жертв i хижашв вiдповiдно, ф та ^ - потеншали зростання, а , К, ао , К - пара-метри, якi стримують розвиток природних систем [6].
Для ймовiрнiсноi оцiнки результатiв моделю-вання отриманих за допомогою математичног' моделi (1) пропонуеться iмiтацiйний пiдхiд, що базуеться на геометричнш iнтерпретацii динамiки взаемоди «хи-жак - жертва».
Нехай в деякий момент часу, чисельшсть жертв становить х особин, а чисельшсть хижамв г особин. Введемо пптацшну модель у вигляд1 вектора г , квадрат модуля якого дор1внюе сум1 квадратов чи-сельностi жертви та хижака в заданий момент часу
г
2 2 2 r2 = x + z
звiдки
rmax ^VxL+ZL )> Рис.°!.
(r < r
V m:
Рис.°1. Схематичне зображення чисельносп жертви та хижака для довшьних значень г
Модуль випадкового вектора г , що показуе чисельнiсть хижак1в та жертв в довiльний момент часу, дозволяе визначити ввдповщну iмовiрнiсть.
Задача полягае в знаходженш сумiсного роз-подiлу для величин х та г, елемент ймовiрностi якого можна записати у виглядi
dP = /(х, z)dxdz. (2)
Оскшьки кшець випадкового вектора г може знаходитись в довiльнiй точцi обмежено! областi гтах, то елемент ймовiрностi dP пропорцшний еле-менту площi ще! областi dS = dxdz
/ (х, z)dxdz = В ■ dS, (3)
де В - коефщент пропорцiйностi, який тдлягае ви-значенню.
Умову нормування можна записати у виглядi [9]:
Xт
I (х, z)dxdz = 1. (4)
0 0
Перепишемо (4) в полярнiй системi координат, враховуючи (3):
ж/2 сш,1
I | ВЫЫф = 1. (5)
0 0
Звщки знаходимо коефщент В :
В = / (x, z) = 4/жг^. (6)
Тодi, для заданих границь областi (в полярнiй системi координат) можна оцiнити ймовiрнiсть чисе-льностi хижака та жертви
Р((г,ф) е Я2) =
ф2 т2
= (4 / жт^) || Мф = (2 / жт^ )(г2 - т?)(ф2 - ф1 ), (7)
ф1 т
де кут ф визначаеться в радiанах.
Для градусно! мiри, вiдповiдно, отримаемо:
Р((т,а) е Я2) = (1/90^)^ -т,2)« -«1). (8)
Функцiя розпод^ для шукано! ймовiрностi матиме вигляд:
р((т < Тпах, а < ж / 2) =
а т
= (4 / жт^) 11 тdтdа = (1 / 90тп2ах )(т2 )а, (9)
0 0
де а = ат^(x / z).
У випадку трьохкомпонентно! системи взае-модп «хижак - жертва» (наприклад, додатково хижак для одного компонента i одночасно жертва для шшо-го), розрахунки аналогiчнi. Радiус-вектор, який хара-
ктеризуе точку тривимiрного простору ÎHTepnpeTye загальний стан чисельностi взаемодшчих компонен-TiB у конкретний момент часу
г = 7 (х1)2 + (х2)2 + ( х3)2, (10)
де (х1 ),...,(х3) - к1льк1сть взаeмодiючих елеменлв в дослiджyванiй системi.
Елемент простору dV в декартових координатах виражасться як
dV = siH скТ' •...• dr'3, (11)
де еш - абсолютно антисиметричний об'ект (тензор-на щiльнiсть Левi-Чивiти).
Перейдемо до узагальнено1 системи координат ( q1,..., q3 ) замiною
х1 = f\q\....q3) , .. ,х3 = f 3(q1,....q3) , вщповщно (11) перепишемо у виглядi
dV = 4gdql •... • dq3, (12)
dfs dfs
де g» - фундаментальний об'ект [10],
dq' dqk
s,',k = 1,2,3 .
1з умови нормування знайдемо сумюну щшь-нiсть розподiлy
«'max
Î •...• j f(q',..q3)dV = 1. (13)
0 0
Тодi, вiдповiднy ймовiрнiсть чисельностi по-пyляцiй (х'),...,(х3) знаходитись у визначених гра-ницях можна оцшити за формулою:
q\ ql
P((q\..q3) е R3) = j...j f (q^.q^dq1 •.. • dq3. (14)
q a3
При розрахунках були використанi вiдомi стати-стичш данi чисельностi хижака (лис) i жертви (заець) в Житомирськiй обласп за 2006 рiк та результати моде-лювання для математично1 моделi (1): статистичнi данi чисельносп хижака становлять 7345,8±1049,4 особин, а результати моделювання 6530±2199 особин; статистика для жертви становить 66484,95±9497,85 особин, а ре-зультати моделювання, вщповщно, 69750±8272 особин. Имовiрнiсть чисельностi популяцш хижака та жертви для статистичних даних при рiвномiрнiй щiльностi гх сyмiсного розподiлy становить: Pmax=0,846, Pmin=0,461.
Розроблений алгоритм обчислюе 300 випадко-вих значень чисельносп хижака та жертви з встанов-леного дiапазонy статистичних i модельних даних та будуе поверхню з 90000 точок розрахованих ймовiр-ностей. Результати обчислювального експерименту представленi на рис. 2-5.
Рис.°2. Сумюна ймовiрнiсть для значень статистично1 чиcельноcтi хижака та жертви
б
Рис.°5. Мaргiнaльнi розподiли результапв моделюван-ня з використанням математично1 моделi (1): а - для жертви; б - для хижака
б
Рис. 3. Марпнальт розподши для значень статистич-но1 чиcельноcтi жертви та хижака: а - для жертви; б -для хижака
Рис.°4. Сумюна ймовiрнicть чиcельноcтi хижака та же-ртви за результатами моделювання з використанням математично! моделi (1)
Рис.°6. Сумюний розподiл ймовiрноcтей для прогнозування чисельносп хижака ( 0 - z^ ) та жертви ( 0 - *тах ), при yмовi х^ = 80000 особин i zmax = 10000 особин. Шдльшсть cyмicного розподiлy рiвномiрнa
5. Результата дослiджень
За результатами дослщжень встановлено, що прогнозування динaмiки попyляцiй для системи «хижак - жертва» можна виконувати з урахуванням вi-
а
домо1 величини верхньо! гранищ модуля випадково-го вектору гта.:. Для визначення величини гшах необ-хiднi апрiорнi статистичнi дан про чисельнiсть попу-ляцiй та результати моделювання на основi матема-тично! моделi (1) при умов^ що верхня границя величини тшах е повiльно змiнюваною функщею часу про-тягом перiоду прогнозування.
Так, для т^ = 6,5 х 109 особин2, а вщповвдно хтах = 80000 особин (жертва - заець) i = 10000 особин (хижак - лис), сумюна ймовiрнiсть чисельностi лежить в дiапазонi вiд 0,535 до 0,906.
Розрахована матриця ймовiрностей (300*300 еле-ментiв - поверхня 90000 точок) для рiзних значень чисельносп хижака та жертви за визначений перюд.
ОIриманi результати мають практичну цiннiсть для передбачення процесiв взаемоди в системi «хижак -жертва» з метою ощнювання змiн чисельносп популя-цiй протягом п'яти роюв, що дозволить ефективнiше використовувати природт ресурси та дасть можливiсть своечасно виявляти загрози екологiчноi безпеки.
6. Висновки
1. Розв'язано задачу збшьшення терм^ прогнозування динамiки системи «хижак - жертва» на перюд до 5 рошв. В основу задачi покладено iмiта-цiйну модель чисельносп хижака та жертви.
2. Обгрунтовано iмiтацiйну модель, яка базу-еться на геометричнiй iнтерпретацii динамши взаемоди «хижак - жертва» в екосистемг Модуль вве-деного вектору г , що показуе чисельшсть хижашв та жертв в довшьний момент часу, дозволяе визна-чити вiдповiдну ймовiрнiсть сумiсного розпод^ хижакiв та жертв.
Задача розв'язана для двокомпонентнох' та трикомпонентнох' системи взаемоди «хижак - жертва» з використанням принцитв iмiтацiйного моделювання та математичноi моделi, яка враховуе вплив зовшшнього середовища.
3. Розроблено алгоритм, який дозволяе обчис-лити 300 випадкових значень чисельносп хижака та жертви i на основi розрахованоi матрицi побудувати поверхню вiдповiдних ймовiрностей.
Лiтература
1. Маевський, О. В. Моделювання природних процесш взаемоди з урахуванням невизначенностi в початкових умо-вах задачi Кошi [Текст] / О. В. Маевський, Ю. Б. Бродський // ScienceRise. - 2016. - Т. 9, № 2 (26). - С. 24-30. (М: 10.15587/2313-8416.2016.77853
2. Маевський, О. В. Математична модель взаемоди хижак-жертва з врахуванням просторових факторгв та фактору впливу середовища юнування поиулящй [Текст] / А. В. Маевський, И. А. Пшькевич, Ю. Б. Бродський // ScienceRise. - 2015. -Т. 4, № 2 (9). - С. 23-27. аог 10.15587/2313-8416.2015.40445
3. Хозяинова, М. Г. К вопросу о применении методов регуляризации для идентификации технологических систем [Текст] / М. Г. Хозяинова // Фундаментальные исследования. - 2007. - № 8. - С. 45-47.
4. Еругин, Н. П. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / Н. П. Еругин, И. З.Штокало, П. С. Бон-даренко и др. - М.: Высшая школа, 1974. - 472 с.
5. Бродський, Ю. Б. Аналiз фазових траекторш при моделювант динамжи розвитку екосистеми «хижак - жертва» [Текст] / Ю. Б. Бродський, О. В. Маевський, С. М. Васько // Вюник Житомирського национального агроеколопчного утвер-ситету. - 2017. - № 1 (1). - С. 185-194.
6. Бусленко, Н. П. Моделирование сложных систем [Текст] / Н. П. Бусленко. - М.: Наука, 1978. - 400 с.
7. Самарский, А. А. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику с позиций математического моделирования [Текст] / А. А. Самарский. - М.: Наука, 1988. - 176 с.
8. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложение. Т. 1 [Текст] / В. Феллер. - М.: Мир, 1984. - 527 с.
9. Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей [Текст] / Б. В. Гнеденко. - М.: Москва, 1961. - 406 с.
10. Победря, Б. Е. Лекции по тензорному анализу [Текст] / Б. Е. Победря. - М.: Москва, 1986. - 256 с.
Рекомендовано до публгкацИ д-р техн. наук Грищук С. В.
Дата надходженнярукопису 22.08.2017
Бродський Юрш Борисович, кандидат техшчних наук, доцент, кафедра комп'ютерних технологш i моделювання систем, Житомирський нацюнальний агроеколопчний ушверситет, Старий бульвар, 7, м. Житомир, Украша, 10008 E-mail: [email protected]
Маевський Олександр Володимирович, старший викладач, кафедра комп'ютерних технологш i моделювання систем, Житомирський нацюнальний агроеколопчний ушверситет, Старий бульвар, 7, м. Житомир, Украша, 10008 E-mail: [email protected]
Тимонш Юрш Олександрович, кандидат технчних наук, доцент, кафедра комп'ютерних технологш i моделювання систем, Житомирський нацюнальний агроеколопчний ушверситет, Старий бульвар, 7, м. Житомир, Украша, 10008 E-mail: [email protected]
