Игры Гермейера при побуждении в трехуровневой системе контроля водяного балласта судов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51.76 : 504.4.054

ИГРЫ ГЕРМЕЙЕРА ПРИ ПОБУЖДЕНИИ В ТРЕХУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЕ КОНТРОЛЯ ВОДЯНОГО БАЛЛАСТА СУДОВ

© 2014 г. А.И. Рыжкин, А.Б. Усов

Рыжкин Артур Игоревич - аспирант, кафедра прикладной математики и программирования, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: veronik@aaanet. ru.

Усов Анатолий Борисович - доктор технических наук, профессор, кафедра прикладной математики и программирования, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: usov@math.sfedu.ru.

Ryzhkin Arthur Igorevich - Post-Graduate Student, Department of the Applied Mathematics and Programming, Faculty of the Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: veronik@aaanet.ru.

Usov Anatoliy Borisovich - Doctor of the Technical Science, Professor, Department of the Applied Mathematics and Programming, Faculty of the Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: usov@math.sfedu.ru.

Построена статическая трехуровневая теоретико-игровая модель системы контроля водяного балласта судов. Используются методы иерархического управления при одновременном учёте условий поддержания системы в заданном состоянии. Проводится сравнение результатов исследования модели с точки зрения игр Гермейера Г и Г. Приведены примеры численных расчетов в ряде характерных случаев.

Ключевые слова: иерархическая система управления, водяной балласт, побуждение, игры Гермейера, имитация.

The static three-level game-theoretic model of three-level control system of the ship's water ballast is built. The methods of hierarchical control in view of requirements of keeping the system in the given state are used. A comparison of the results of study of the model in terms of Г and Г2 Germeyer 's games is conducted. Numerical calculations for some typical cases are given.

Keywords: hierarchical control system, water ballast, compulsion, Germeyer's games, imitation.

Качество балластных вод оказывает существенное влияние на состояние речных и морских вод в акватории порта. Сброс большого количества загрязненных балластных вод может привести к существенному ухудшению состояния акватории порта. В России до сих пор не установлены стандарты, позволяющие реализовать эффективный экологический контроль качества сбрасываемых балластных вод. Проводимых в этом направлении математических исследований явно недостаточно. Ниже исследование проблемы проводится на основе иерархии и теоретико-игрового подхода.

Исследуется статическая трехуровневая теоретико-игровая модель системы контроля водяного балласта судов. Предполагается применение методов иерархического управления при одновременном учёте условий поддержания системы в заданном состоянии.

Система управления водяным балластом судов включает в себя [1]:

- источник воздействия верхнего уровня (федеральный центр (ФЦ));

- источник воздействия среднего уровня (начальник порта (НП));

- источник воздействия нижнего уровня (капитан судна (КС));

- управляемую систему (УС) (акватория порта).

Взаимоотношения внутри моделируемой системы

устроены следующим образом: ФЦ воздействует на НП, НП - на КС, КС - на УС, ФЦ, НП и КС вместе можно рассматривать как совокупный источник воздействия на УС, имеющий иерархическую структуру. Воздействуя на УС, КС преследует свои эгоистические цели, которые, вообще говоря, не совпадают с объективно существующими целями поддержания УС в заданном состоянии. Нужен ФЦ, который, применяя различные методы управления иерархической системой, был бы способен обеспечить поддержание УС в заданном состоянии.

Математическая постановка задачи

В порт прибывают речные и морские суда, перевозящие различные грузы. При загрузке судна в порту в акваторию сбрасываются балластные воды, содержащие загрязняющие вещества (ЗВ). Целью КС является максимизация прибыли, полученной от фрахта, за вычетом переменных издержек. Как следствие, КС экономически незаинтересован в очистке водяного балласта своего судна. НП определяет размер платы за сброс КС водяного балласта в акваторию порта и стремится к максимизации поступающих к нему от КС средств. ФЦ должен поддерживать УС в заданном состоянии, он определяет, какая часть средств, полученных с КС в виде платы за сброс водяного балласта в акваторию порта, остается у НП. Считается, что система находится в заданном состоянии, если выполнены стандарты качества морской воды, т.е. наблюдается непревышение предельно допустимых концентраций (ПДК) ЗВ в акватории порта.

Интересы ФЦ и НП, вообще говоря, различны. ФЦ должен создать условия, при которых поддержание речной системы в заданном состоянии будет экономически выгодно для НП. Добиться этого ФЦ может не единственным способом, поэтому, кроме того, он стремится к максимизации своего дохода.

Его целевая функция имеет вид

- F0

очистка

(V (m)) ^ max.

p

J ФЦ (a) = aV (m) p - rT1

Ц o.

^ max.

(1)

порта.

Целевая функция НП имеет вид

^Нп(р) = СПорт.расх. + (1 - a)V(m) p -

Здесь Сп

-портрасх = С°п!1{ - портовые сборы с судн^

направленные на покрытие расходов на содержание порта и его акватории; они включают в себя корабельный, лоцманский, маячный, навигационный и

экологический сборы; Ршдзо (р) - расходы на оплату надзорных за судами органов, зависящие от размера платы порту за единицу сброшенного балласта; РОчистка (V(т)) - расходы на очистку акватории порта от ЗВ, зависящие от объема водяного балласта;

Ршдзор(Р) > РОчистка (7(т)) - возрастающие функДии

своих аргументов.

Целевая функция КС имеет вид

JКС (m) F фрахт(m) Спортрасх.

-V(m) p -TIFO(m) -Тмао(т) -

- Т (m) - Т я (m) - С

опер.расх v s тех.обсл v s с

(3)

^ max.

Здесь m - масса перевозимого КС груза; V(m) -объем балластных вод, сбрасываемых в акваторию порта, зависящий от массы перевозимого судном груза m ; p - размер платы порту за единицу сброшенного балласта; V(m) p - плата за сброс водяного балласта объема V(m); а - доля отчислений от платы за сброс водяного балласта в федеральный бюджет; Tq j = const - затраты ФЦ на очистку акватории

(2)

Здесь Fф т(m) - функция платы владельцу судна за перевозку груза массы m ; Т^оОп), Тмао(^) -затраты судна на топливо марок IFO180 и MGO соответственно; Топеррах(ш) - операционные расходы

капитана судна, зависящие от массы груза, т.е. расходы, связанные с проведением производственно-хозяйственных и финансовых операций на судне; Ттех обсл (m) - отчисления на ремонт и техобслуживание, зависящие от массы груза; С ^ = const -расходы на страхование судна и груза; F (m) ,

Wm), Тмао(гп), Топер. расх

(m),

Ттех. обсл

(m) -

возрастающие функции своих аргументов.

Задача решается при следующих ограничениях на управления:

- КС

Mmin < m < Mmax; Mmin , Mmax = const ; (4)

- НП

Pmin < Р < Pmax; (5)

Pmin , Pmax = const ;

- ФЦ

0 < a < l, (6)

где Mmn, Mmax - минимально и максимально допустимые грузоподъемности судна; pmm, Pmax -максимально и минимально разрешенная плата порту за единицу сброшенного балласта в его акватории.

Пусть для поддержания УС в заданном состоянии достаточно, чтобы в акватории порта не были превышены ПДК ЗВ, определяемые государственными нормативными актами, например, [2], т.е.

B < Bmax; Bmax = const, (7)

где B есть концентрация ЗВ в акватории порта; Bmax -максимально допустимая концентрация ЗВ в акватории порта.

m

a

Пусть

B = B0 + V(m) W / A ;

A , B0 , W = const,

(8)

l y:>K, mK j, anee m Ф mS

(a), mS (a) j, anee m = mS (a).

где W - количество ЗВ, содержащихся в единице сбрасываемого балласта; A - объем внутренних портовых вод; B0 - некоторая постоянная.

Таким образом, решается трехуровневая задача (1)-(8), представляющая собой нелинейную задачу условной оптимизации, решаемую с учетом иерархии в отношениях между субъектами управления [3]. В качестве метода иерархического управления в модели (1)-(8) используется метод побуждения [1], при котором в каждой паре субъектов управления (ФЦ и НП, НП и КС) субъект более высокого уровня (Ведущий) создает субъекту более низкого уровня (Ведомому) такие условия, что последнему экономически выгодно способствовать достижению цели Ведущего и невыгодно обратное.

Предполагается, что в системе реализуются информационные регламенты игр Гермейера Г и Г с учетом требований поддержания системы в заданном состоянии [4].

Возможны следующие комбинации равновесий в играх Гермейера Г и Г2 между субъектами управления различных уровней [4] в модели (1)-(8):

1. Для ФЦ и НП строится равновесие в игре Гермейера rj, а для НП и КС - в Г2.

2. Для ФЦ и НП - равновесие в игре Гермейера Г2, для НП и КС - в игре Г .

3. Для обеих пар субъектов управления строится равновесие в игре Гермейера Г .

4. Для обеих пар субъектов - в игре Гермейера Г1.

Алгоритмы построения равновесий в играх Гермейера Г1 и Г2 приведены в [4].

Применим эти алгоритмы для модели (1)-(8).

Алгоритм нахождения равновесия Штакельберга в игре Гермейера Г1 (для ФЦ и НП) и Г2 (для НП и КС) в модели (1)-(8) состоит в следующем.

1. Решается игра Гермейера Г2 для НП и КС. Находится величина L2 - значение выигрыша КС с учетом (4), (5), если он отказывается сотрудничать с НП:

L2 = sup inf J¿ft (p, m).

m P

Стратегии НП и КС, реализующие величину L2,

к K

обозначим p , m .

2. Решается задача условной оптимизации (2), (4), (5) с дополнительным условием L2 < J¿ft (p, m). Максимум (2) ищется сразу по двум параметрам: p, m . Стратегии, доставляющие максимум, парамет-

S S

рически зависят от a; обозначим их p (a), m (a).

Для НП оптимальные с точки зрения игры Г2 стратегии определяются формулой

/ * * * \ (р (а), т (р (а)) ) =

(РК, тК ),

При экономически разумном КС получим, что (р * (а), т* (а))= (р5 (а), т5 (а) ) .

3. Определенные на шаге 2 оптимальные стратегии НП и КС - величины р (а), т (а) подставляются в (1), (8). Проводится максимизация целевой функции (1) с учетом (6), (8) по а. Величину, являющуюся

решением этой задачи, обозначим а .

4. Равновесие в игре Г! (для ФЦ и НП) и Г2 (для НП и КС) имеет вид

*** / * с * с

(а ,р ,т ) = (а ,р5 (а ),т5 (р5 (а ))). Алгоритм нахождения равновесия Штакельберга в игре Гермейера Г2 (для ФЦ и НП) и Г! (для НП и КС) состоит в следующем.

1. Решается параметрическая задача условной оптимизации (3), (4). Определяются оптимальные стратегии КС в зависимости от стратегий НП, т.е. величи-

*

ны т (р) .

*

2. Величины т (р), найденные на первом шаге алгоритма, подставляются в (2), (8).

3. Решается игра Г2 для ФЦ и НП. Находится величина ¿2 - значение выигрыша НП с учетом (5, 6),

если он отказывается сотрудничать с ФЦ:

*

¿2 = 8иршГ3ц (а, р, т (р)).

р а

Стратегии ФЦ и НП, реализующие величину ¿2 ,

К К

обозначим а , р .

4. Решается задача условной оптимизации (1), (6)-(8) с дополнительным условием ¿2 < 3ц (а, р, т (р)). Максимум (1) ищется сразу по двум параметрам: р,

а, оптимальные стратегии обозначим а , р .

5. Равновесие в игре Гермейера Г2 (для ФЦ и НП) и Г (для НП и КС) имеет вид

(а *, р * (а *), т * (р * (а *))) = |(аК, рК, т* (рК )) апёе р * р5

I I 5 5 * 5 I 5

|1а , р ,т (р )) апёе р = р .

При экономически разумном НП получим, что

*** / с с * с \

(а , р , т ) = (а5, р5, т (р5)).

Алгоритм нахождения равновесия Штакельберга в игре Гермейера Г2 как для ФЦ и НП, так и НП и КС:

1. Решается игра Гермейера Г2 для ФЦ и НП. Находится величина (¿2)5 - значение выигрыша НП с учетом (4)-(6), если он отказывается сотрудничать с ФЦ:

(L2)s = sup inf Jjj (a, p, m) .

Ттех.обсл(т) Стех.обслт , где C\ , CÖ .O., Cнадзор,

m, p

Стратегии, реализующие величину (¿2)s , обозна-

K K K

чим a ,p ,m

2. Решается задача условной оптимизации (1), (6), (8) с дополнительным условием (Ь2) 5 < JНП (а, к, т).

Максимум (1) ищется по трем параметрам: а, р, т . Оптимальные стратегии обозначим

a S, pS,mS.

'фрахт(m) = C2m ; TIFo(m) = CIFo m;

C.

C.

фрахт,

Cr

то, Смоо , с 0 р , - стоимость очистки единиц^! объема сбрасываемых балластных вод; Сфрахт -

плата владельцу судна за перевозку единицы груза (ставка фрахта); С1Ро, Смоо - стоимость топлива марок №0180 и МвО, необходимого для перевозки единицы груза; Сор - операционные расходы (зарплата команде и т.п.); Стех обсл - отчисления на ремонт и техобслуживание в расчете на единицу груза.

Численные расчеты проводились методом прямого упорядоченного перебора на основе методологии имитационного моделирования в случае Спортрасх =

=48000 у.е.; С = 1 м^т; Сц о= = 10-9; Снайзор = 1000 м3; % = 2; СОШСтш = 2 у.е./м3; С2 = 170 у.е./т; ц = 0,85; сшо = 8,4 у.е./т; Сыоо = 2,13 у.е./т; Сор = = 4,17 у.е./т; С^^ = 1,3 у.е./т; С^ = 14000 у.е.;

Мтт = 1000 т; Мтах = 12000 т; рт[а = 1 у.е./м3; ртах = 10 у.е./м3; Втах = 50 мг/м3; Б0 = 20 мг/м3; Ж = 50 мг/м3; А = 107 м3 (у.е. - стоимость в условных единицах).

Результаты численных расчетов представлены в табл. 1-4.

Таблица 1

C„

C = con st * Í

тех.обсл ' очистка

3. При экономически разумных КС и НП равновесие в игре Гермейера Г2 как для ФЦ и НП, так и НП и

КС: (а*, р*, т*)= (а5,р5, т5).

Алгоритм нахождения равновесия в игре Гермейера Г как для ФЦ и НП, так и НП и КС:

1. Решается параметрическая задача условной оптимизации (3, 4). Определяются оптимальные стратегии КС в зависимости от стратегий НП, т.е. величины

*

т (р) .

*

2. Величины т (р), найденные на первом шаге алгоритма, подставляются в (2), (8).

3. Решается задача условной оптимизации (2), (5).

Определяются оптимальные управления НП в зави-

*

симости от стратегий ФЦ, т.е. величины р (а).

4. Найденные на предыдущем шаге величины р* (а) подставляются в (1).

5. Решается задача условной оптимизации (1), (6)-(8). Находятся оптимальные управления ФЦ, позволяющие поддерживать систему в заданном состоянии

(7, 8).

6. Равновесие с учетом требования поддержания системы (1)-(8) в заданном состоянии при побуждении имеет вид (а , р (а ), т (р (а ))) .

В случае входных функций частного вида сформулированные в алгоритмах оптимизационные задачи решаются методом множителей Лагранжа. В общем случае модель (1)-(8) исследуется путем имитации и прямого упорядоченного перебора областей допустимых управлений субъектов управления [1].

Примеры расчетов

Приведем результаты нескольких модельных расчетов по предложенной модели (1)-(8). Входные данные для примеров были взяты из [5-7].

Пример 1. Пусть входные функции модели (1)-(8) имеют следующий вид:

V(т) = С1т ; Т01 . = С01 . АрштМшах; Рнайзор(Р) = ~ С найзор р ; ^очистка (т)) ~ Сочистка V (т) ;

Тмоо(т) = Смоот ;

ИР a* p*, у.е./м3 m*, Т J*kc, у.е. J*m, у.е. 3*фц, у.е.

Г1-Г1 0,5 3 12000 208601 33000 16800

Г1-Г2 0,3 4,18 12000 194419 41640 13855

Г2-Г1 1 2,91 8267 144924 23003 22850

Г2-Г2 0,2 6,18 12000 170419 45131 13636

Примечание. Здесь и далее ИР - информационный регламент.

Пример 2. В случае входных данных примера 1 и C2 = 100 у.е./т; CIFO = 3,6 у.е./т; CMGO = 0,84 у.е./т;

= 50 у.е./м получим

Таблица 2

ИР a* p*, у.е./м3 m*, Т J*kc, у.е. J*rn, у.е. J*фц, у.е.

Г,-Г, 0,6 2,48 12000 82556 29753 16691

Г1-Г2 0,2 4,96 12000 52859 47015 10703

Г2-Г. 1 2,98 8058 43205 23005 22811

Г2-Г2 0,2 5,95 12000 40981 45719 13079

опер. расх

(m) = Со.р. m ;

Пример 3. В случае входных данных примера 1 и СНадзор = 9000 м3; % = 1,5; C2 = 2800 у.е./т; л = 0,5;

pmax = 15 у.е./м3 получим

a

Таблица 3

ИР a* p*, у.е./м3 m*, Т J*kc, у.е. J*m, у-е. у.е.

Г,-Г, 1 1 6781 53294 25438 5581

Г,-Г2 0 15 2035 1226 -448397 -1200

Г2-Г. 1 1,28 9952 45329 15019 11567

Г2-Г2 0,9 1 1044 10724 37016 -260

Пример 4. В случае входных данных примера 3 и Со— = 4 у.е./м3; C2 = 2000 у.е./т; С1т = 3,6

у.е./т; CMGO = 0,84 у.е./т; Pmax = 2 У.е./м3; CÖ.О. = 10-10 получим

Таблица 4

В примерах 1-4 концентрация ЗВ в акватории порта не превышает предельно допустимых концентраций, стандарты качества (7) выполняются.

Авторы благодарят сотрудников Южного УГМРН Ространснадзора за обсуждение предложенных математических моделей.

Выводы

Предложенный механизм исследования статической трехуровневой теоретико-игровой модели системы контроля водяного балласта судов, основанный на комбинации равновесий в играх Гермейера Г! и Г2, позволяет сделать следующие выводы:

1. Как показывают примеры 1-4, в случае построения равновесия в комбинации игр Гермейера Г!-Г2 ФЦ принимает решение оставить в федеральном бюджете все средства, поступающие от КС в виде платы за сброс водяного балласта. При этом ФЦ получает наибольшую прибыль.

Поступила в редакцию_

2. По сравнению с другими комбинациями равновесий в играх Гермейера в случае игры Г - Г КС получает максимальный доход (примеры 1-4).

3. В примере 4 (регламент Г2 - Г2) НП не имеет достаточных экономических рычагов воздействия на КС для выполнения условий сотрудничества с ФЦ, поэтому КС принимает решение не сотрудничать с НП, однако деятельность КС остается убыточной.

4. ФЦ не всегда выгодно изымать в федеральный бюджет всю плату за сброс водяного балласта, полученную от КС (примеры 1-2: регламенты Г - Г , Г -Г2, Г2 - Г2 ; пример 3: регламенты Г - Г2, Г2 - Г2).

Литература

1. Угольницкий Г.А. Иерархическое управление устойчи-

вым развитием. М., 2010. 336 с.

2. Приказ Росрыболовства № 20 «Об утверждении норма-

тивов качества воды водных объектов рыбохозяйствен-ного значения, в том числе нормативов предельно допустимых концентраций вредных веществ в водах водных объектов рыбохозяйственного значения» от 18.01.2010. URL: http://fish.gov.ru/lawbase/Documents/ ИзданныеЛ00020а.р(И" (дата обращения: 20.12.2013).

3. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимиза-

ции. М., 1998. 344 с.

4. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Исследование дифференци-

альных моделей иерархических систем управления посредством их дискретизации // Автоматика и телемеханика. 2013. № 2. С. 109-123.

5. Винников В.В. Экономика предприятия морского транс-

порта (экономика морских перевозок): уч. для вузов водного транспорта. 2-е изд., перераб. и доп. Одесса; Л., 2001. 416 с.

6. Винников В.В., Крушкин Е.Д., Быкова Е.Д. Системы тех-

нологий на морском транспорте (перевозка и перегрузка) М., 2010. 576 с.

7. Иванов С.Е. Морская индустрия и глобальный кризис -

наблюдения судоброкера. URL: http://www.korabel.ru/ news/comments/morskaya_industriya_i_globalniy_krizis_-_nablyudeniya_sudobrokera.html (дата обращения: 11.12.2013).

_18 февраля 2014 г.

ИР a* p*, у.е./м3 m*, Т J*kc, у.е. J*m, у.е. у.е.

Г1-Г1 1 1 8399 29659 5402 8279

г.-г2 1 1 4248 22009 22007 4128

Г2-Г. 1 1,88 8454 22228 -8995 15764

Г2-Г2 1 1 1000 -9664 35000 880