CC BY
19
УДК 519.83+519.86
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ МАРКЕТИНГОВОЙ СИСТЕМЫ В СЛУЧАЕ БЕСКОРЫСТНОГО ПОСТАВЩИКА
© 2013 г. А.Э. Назиров, А.Б. Усов
Назиров Адалят Эльшанович - аспирант, кафедра прикладной математики и программирования, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, е-mail: carma@mail.ru.
Nazirov Adalyat Elshanovich - Post-Graduate Student, Department of the Applied Mathematics and Programming, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: carma@mail.ru.
Усов Анатолий Борисович - доктор технических наук, доцент, кафедра прикладной математики и программирования, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, е-mail: usov@math.sfedu. т.
Usov Anatoliy Borisovich - Doctor of Technical Science, Associate Professor, Department of the Applied Mathematics and Programming, Faculty of the Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: usov@math.sfedu.ru.
Построена математическая модель, описывающая деятельность различных субъектов вертикальной маркетинговой системы, включающая в себя поставщика, посредника и торговое предприятие. Модель построена на основе теоретико-игрового и иерархического подходов. Исследование модели проводится в случае бескорыстного поставщика. Строится равновесие по Шта-кельбергу с учетом требований поддержания системы в заданном состоянии. В качестве метода иерархического управления используется метод побуждения. Приведен ряд характерных примеров с последующей интерпретацией полученных результатов.
Ключевые слова: иерархия, трехуровневая система управления, метод побуждения, равновесие по Штакельбер-гу, бескорыстный ведущий.
The mathematical model describing activities of the different actors in the vertical marketing is designed. The model involves provider, mediator and enterprise. The system is based on game-theoretical and hierarchical approaches. A Stackelberg equilibrium in terms of sustainable development and unselfish provider is established. The method of impulsion is used as a method of hierarchical control to solve this model. A number of typical examples followed by an interpretation of the results obtained are presented.
Keywords: hierarchy, three-level control system, Stackelberg's equilibrium, method of impulsion, unselfish provider.
На функционирование организаций и предприятий оказывают влияние различные факторы. Работники, комплекс их взаимоотношений, используемые технологии, ресурсы организаций, их цели и задачи относятся к внутренней среде организации. Они определяют степень и возможность её интеграции во внешнюю среду. В условиях высокой конкуренции наблюдается увеличение влияния различных факторов внешней среды на функционирование организаций. При этом выделяют макроокружение - факторы, оказывающие косвенное воздействие на нее. К ним относятся, например, экономическая политика государства, общественные ценности, отношение населения к труду, научно-технический прогресс. Микроокружение организации составляют факторы, находящиеся за ее пределами, но оказывающие прямое воздействие на нее. Среди элементов микроокружения особую роль для большинства организаций играют поставщики и покупатели. Организации предпочитают заключать контракты о сотрудничестве для снижения последствий от наступления неблагоприятных событий, влекущих за собой различного рода потери.
В результате возникновения партнерских отношений организации образуют экономические системы. Для исследования процессов, протекающих в них, выявления основных закономерностей их устойчивого функционирования используют математические методы, основанные на средствах системного анализа, теории управления и теории моделирования сложных систем.
Математическое моделирование как инструмент исследования систем управления различной природы получило широкое распространение в ХХ в. Этому способствовали работы Ю.Б. Гермейера, Н.Н. Моисеева, Г. Штакельберга [1, 2]. Их идеи получили развитие в работах В.Н. Буркова, И.А. Вателя, В.А. Горелика, В.В. Захарова, А.Ф. Кононенко, В.Ф. Крапивина, В.В. Мазалова, Д.А. Новикова, Л.А. Петросяна, Г.А. Угольницкого и других [3 - 6], в том числе за рубежом, например, у T. Basar, G.J. Olsder [7]. Большинство проведенных исследований основано на исследовании равновесий по Нэшу и Штакельбергу [7].
Успешное функционирование любых экономических объектов невозможно без комплексного подхода к проблеме управления и предполагает наличие отлаженной системы управления. Изучение различного рода систем управления проходит в рамках теории активных систем [8], теории иерархических игр [5, 6], а также теории контрактов [9, 10]. Ниже исследование проводится на основе теоретико-игрового и иерархического подходов [5, 6] в предположении, что вероятностные характеристики отдельных частей системы известны.
Современные системы управления являются многоуровневыми, отношения внутри них построены на принципах иерархии (начальник - подчиненный).
Простейшей иерархически организованной системой управления является двухуровневая, включающая в себя субъекты управления двух иерархически соподчиненных уровней управления (веду-
щий, ведомый), а также управляемую систему (УС) [5]. Наряду с двухуровневыми системами распространены трехуровневые, в состав которых входят субъекты управления верхнего, среднего и нижнего уровней. Такие системы управления более точно отражают структуру взаимоотношений между хозяйствующими субъектами.
В работе построена и исследована трехуровневая модель, описывающая взаимодействие нескольких субъектов управления: поставщика (ПС), посредника (ПР) и торгового предприятия (ТП), образующих канал распределения продукции. ПС производит некоторый товар, который реализуется через ПР торговому предприятию. Наличие иерархии в отношениях между субъектами управления обусловлено порядком принятия ими решений. Этот факт определяет инструментарий исследования построенной модели [5]. Взаимоотношения ПС и ПР происходят в соответствии с договором комиссии. Предполагается, что основной целью ПС является поддержание системы в заданном состоянии [5]. Предлагаемая модель с математической точки зрения представляет собой стационарную нелинейную задачу условной оптимизации. В качестве метода иерархического управления в ней используется метод побуждения [5, 6]. Строится равновесие Штакельберга с учетом требования поддержания системы в заданном состоянии.
Математическая постановка задачи
Предприятия, реализующие продукцию, заключают договор о сотрудничестве с поставщиками, образуя канал распределения продукции, который характеризуется тем, что субъекты в его составе принимают на себя или помогают передать другому право собственности на конкретный товар на пути от производителя к потребителю [1]. Выделяют традиционные каналы распределения, вертикальные и горизонтальные маркетинговые системы.
В работе рассматривается трехуровневая модель вертикальной маркетинговой системы, включающая ПС, ПР, ТП, управляемую систему (УС, потребители).
Взаимоотношения внутри иерархической системы устроены следующим образом: ПС воздействует на ПР, ПР - на ТП, ТП - на УС. Непосредственное воздействие ПС на УС отсутствует.
Деятельность ПС связана с производством строительных материалов из древесины. Для осуществления своей деятельности ПС нуждается в наличии разрешения на выброс загрязняющих веществ (ЗВ), в котором оговариваются класс опасности ЗВ и их объемы. Данное разрешение может быть отозвано по причине превышения объемов ЗВ или их класса опасности, а функционирование компании - приостановлено. Поэтому целью ПС является поддержание системы в заданном состоянии, которое заключается в выполнении экологических нормативов, в частности, норм сброса ЗВ в атмосферу, установленных государством.
ПС реализует произведенную продукцию через ПР, предоставляя ему товар по базовой цене, которой ПС может управлять. Взаимоотношения ПС и ПР осуществляются в соответствии с договором комиссии, регламентирующим права и обязанности сторон.
По договору ПС выступает в роли комитента, а ПР -комиссионера. ПР может менять (увеличивать или уменьшать) цену, установленную ПС, в пределах оговоренной договором комиссии, ПР управляет величиной собственной накрутки или скидки к цене ПС. Согласно договору комиссии, ПР за оказанные им услуги получает комиссионное вознаграждение, величина которого зависит от объема проданной им продукции.
ТП занимается розничной торговлей строительных материалов, приобретаемых у ПС через ПР, ТП стремится к максимизации своей прибыли, управляя размером своей наценки на стоимость продукции, по которой оно приобретает товар у ПР. С доходов всех субъектов управления государство взимает налог.
ТП действует от собственного имени, но используя товары и товарные знаки ПС, ПР - от имени ПС, ПС в свою очередь контролирует деятельность ПР. Подобная организация взаимоотношений обусловила иерархию между субъектами управления системы, в соответствии с которой ПС выступает в качестве субъекта управления верхнего уровня, ПР - среднего, а ТП - нижнего.
В качестве метода иерархического управления используется метод побуждения [5, 6].
Пусть ПС производит и продает товары одного типа. Кроме того, имеется одно ТП, которому ПС через ПР продает свой товар.
ТП стремится к максимизации своей прибыли. При этом оно несет переменные и постоянные издержки. Величина переменных издержек изменяется в зависимости от увеличения или уменьшения объема производства, а постоянных - не меняется.
Целевая функция ТП имеет вид Jm = (1-v)((Стп -s ■ РТП -SRS)V(Pm) ~FCrn) ^ max ,
РТП — РПР + СТП , V(РТП ) _
(Ртп )а
СТП
(1)
где и - величина налога на прибыль; РПР, РТП - цена единицы продукции у ПР и ТП соответственно; сТП -наценка ТП; V(Pm) - объем продаваемой ТП продукции (убывает с ростом цены РТП с постоянным коэффициентом эластичности a); cmV(Pm) - доход ТП от реализации продукции (возрастает с ростом наценки ТП); FCm=const - постоянные издержки ТП; s=const -доля выручки ТП, выделяемая в фонд заработной платы (se (0,1)); SR^const - средства, которые ТП тратит на хранение единицы продукции (Sas>0). Предполагается, что товар, который продает ТП, является эластичным, т.е. | a |>1; A, a=const.
ПР получает от ТП заказ на товар в количестве V(Pth) и направляет его на исполнение ПС; ПС поставляет готовую продукцию ПР, тот в свою очередь - ТП. ПР тратит собственные средства на повышение своей квалификации, аренду офиса и использование средств связи. Целевая функция ПР имеет вид
J = (1 - v)(1 - cost пр ) • b • Рпс • V(Ргп ) ^ max, (2)
сПР
рпр — рпс ■ (1 + спр ) •
Здесь сПР - наценка ПР; Ь - величина комиссионных за единицу проданной продукции; РПС - цена единицы продукции у ПС; Ь ■РПС-У(РТП) - комиссионные, получаемые от ПС, за единицу проданного това-
ра; costnP - доля средств от общей выручки ПР, которую составляют переменные затраты.
Основной целью ПС, следуя [5] , является поддержание системы в гомеостазе. Будем считать, что система находится в гомеостазе, если выполнено неравенство
МП (V) < Мпмах , (3)
где Mп (V) = K (V)(1 -М); T(V) = t0 .V;
MnMax - максимальный возможный объем сброса ЗВ в окружающую среду, установленный государством; Mn(V(PTn)) - количество попадающих в окружающую среду загрязнений, зависящее от объема произведенной продукции (V(PTn)) (возрастает с ростом времени работы технологического оборудования); K0 - коэффициент эффективности местных отсосов; Y - удельный показатель пылеобразования на единицу оборудования; T - время работы технологического оборудования (возрастает с ростом объема производства V(Pm)); М - степень очистки воздуха пылеулавливающим оборудованием; t0 - время работы технологического оборудования для производства единицы продукции.
Выполнения условия (3) ПС может добиться разными способами, поэтому он стремится к увеличению собственного дохода. ПС управляет базовой стоимостью продукции РПС, расходует средства на оплату услуг связи, рекламу и аренду склада. Эти затраты не зависят от объема продаж. Кроме того, ПС тратит средства на выплату комиссионных ПР, аренду склада, зарплату сотрудникам, а также закупку и транспортировку сырья. Эти затраты зависят от объема проданной продукции.
Целевая функция ПС имеет вид
Jпс = (1- v)(( Рпр - FCпс -
-(cost пс + b) • Рпс - Zs)' V(Ртп)) ^ max.
ртп
Здесь ^Спс=сош1 - фиксированные затраты ПС; cos^c - размер переменных затрат; zs - стоимость хранения одной единицы продукции у ПС.
Описанная выше модель решается при следующих ограничениях:
Рпсmin - Рпс - Рпсmax ' (4)
СпР min - СпР - СпР max ' СТп min - СТп - СТп max
(5)
где Рпспип Рпсшах - размеры минимальной и максимальной цены единицы продукции у ПС; сПРп1П с^^ (сТптт, сТП„^0Х) - размеры минимальной и максимальной наценки ПР (ТП) на единицу продукции.
Далее исследуется случай бескорыстного ПС. В этом случае единственной целью ПС является поддержание системы в заданном состоянии, т.е. в выполнении неравенства (3). Таким образом, исследуемая модель описывается системой уравнений и неравенств (1) - (3), (4), (5). Исследование модели предполагает решение пары нелинейных параметрических задач условной оптимизации, рассматриваемых с учетом иерархии в отношениях между субъектами управления.
Исследование математической модели
Функционирование системы происходит по правилам: ПР первым сообщает о своей стратегии ТП; с учетом полученной информации ТП выбирает свою оптимальную стратегию.
Алгоритм нахождения равновесия побуждения заключается в следующем: решается задача (1), (5). Определяется оптимальная для ТП наценка, которая зависит от стоимости единицы продукции у ПР, т.е. от сПР. Обозначим ее через сТП (сПР).
Решается задача (2), (4) при сТП =сТП (сПР). Определяется оптимальное управление ПР (сПР ).
Подставим найденные на первом и втором шагах алгоритма величины сТП (сПР ) и сПР в (3). Определяется выполнение системой заданного состояния.
Решение модели (1) - (3), (4), (5) имеет вид
{сПР , сТП (сПР )}.
В общем случае равновесие строится численно путем прямого перебора областей допустимых управлений субъектов управления с некоторым шагом [5, 6].
Пусть на значения входных параметров наложены следующие ограничения: 0 < s < 1; 0 < S^;
0 < A; а> 1, 0 < b < 1; 0 < costПР < 1; -1 < сШт;п,
(1 + СПРтт ) > c0st ПС + b .
Тогда равновесие по Штакельбергу с учетом требований поддержания системы в заданном состоянии строится аналитически методом множителей Лагран-жа [3]. Оптимальное управление ТП выглядит следующим образом:
-тп
где c01 =
Стп min , если С пр 0
?тп , есл Стпmax ,
< С
01
Спр е [c01, С02)
Стп min(a-1)(1- s) -aSRS
(1 - s + as) • Pnc
-1 ;
n _ Стпmax (a - 1)(1 - s) - aSRS , .
С02 =--1 •
(1 - s + as) • Pnc
0 (1 - s + as) • Рпс (1 + Спр) + aS
}RS
Стп
(a-1)(1 - s)
При этом ПР выгодно предоставлять максимальную скидку на цену ПС. Оптимальное управление ПР
*
имеет вид сПР =
Результаты расчетов
Приведем несколько примеров аналитического исследования модели (1) - (3), (4), (5).
Пример 1. Для набора входных параметров: А = = 10000; а = 1,35; с^т = 2 у.е.; с^ох = 50 у.е.; ¥Ст = =50 у.е.; 5 = 0,1; = 0,3 у.е.; спРmт = -0,2; спрmax=1,5; РПС= 105 у.е.; costПР=0,3; Ь=0,3; МПМох=10 т; costпс=0,2; ЕСПС = 100 у.е.; г, = 0,5 у.е.; и = 0,15; К0 = 0,9; 7=1 кг/ч; Л = 90; ^ = 1 ч оптимальные стратегии субъектов управления имеют вид сТП* = ст^ = 50 у.е.;
СПР* = сПРmin = -0,2-
Доход субъектов управления в равновесии системы JПР= 251,9 у.е.; 3ТП= 372,2 у.е.
Здесь JПР, 3ТП - доходы ПР и ТП соответственно.
В данном случае ТП выгодно назначать максимально возможную наценку к цене ПР, а ПР - предоставлять максимальную скидку.
Пример 2. В случае входных данных примера 1 и «=1,55 получим, что ст*=стптах=50 у.е.; Спр*=Спртт= = -0,2; JПР = 94,5 у.е.; JтП = 113,2 у.е. Следовательно, с ростом коэффициента эластичности прибыль ТП и ПР падает.
Пример 3. В случае входных данных примера 1 и A = 5000 Стп*= стпmax= 50 у.е.; Спр*= СпРтт= -0,2; JПР = 125,9 у.е.; JТП = 164,8 у.е. Снижение объема продаж у ТП влечет за собой снижение прибыли всех субъектов УС.
Пример 4. В случае входных данных примера 1 и СтПтах=5 у.е. получим Стп*=СтПтах=5 у.е.; СпР*=СпРтт= = -0,2; JПР = 437,6 у.е.; JТП = -148 у.е. Снижение величины максимально допустимой наценки ТП влечет увеличение ПР и снижение прибыли ТП.
Пример 5. В случае входных данных примера 1 и СпРтт= -0,4 получим Стп*=СтПтах = 50 у.е.; Спр* = СпРтт= = -0,4; JПР = 317,1 у.е.; JТП = 509,7 у.е. Снижение величины максимально допустимой скидки ПР влечет увеличение прибыли ТП и ПР.
Пример 6. В случае входных данных примера 1 и Ь = 0,15 получим Стп* = СтПтах = 50 у.е.; Спр* = СпРтт= = -0,2; JПР = 126 у.е.; JТП = 372,2 у.е. Снижение размера комиссионных влечет снижение прибыли ПР и никак не сказывается на прибыли ТП.
Выводы
В работе на основе теоретико-игрового и иерархического подходов построена математическая модель маркетинговой системы. Выявлены основные закономерности ее функционирования, часть из которых представлена ниже.
1. Увеличение объема продаж влечет за собой увеличение прибыли всех субъектов управления. С ростом коэффициента эластичности (а) происходит снижение прибыли ПС и ПР.
Поступила в редакцию
2. Увеличение максимально допустимой наценки ТП влечет увеличение его прибыли, но снижение прибыли ПР.
3. Уменьшение максимально допустимой скидки, предоставляемой посредником, приводит к увеличению прибыли ПС. ПР выгодно предоставить ТП максимально возможную скидку.
4. При увеличении размера комиссионных прибыль ПР увеличивается, ПС - снижается.
5. ПС выгоднее платить комиссионные ПР исходя не из собственной цены, а из цены ПР; ТП выгодно, чтобы комиссионные рассчитывались исходя из цены ПС. При низкой эластичности товара суммарная прибыль всех субъектов управления выше при расчете комиссионных исходя из цены ПР.
Литература
1. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М., 1971. 384 с.
2. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М., 1979. 224 с.
3. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М., 1982. 144 с.
4. Зенкевич Н.А. Петросян Л.А., Янг Д.В.К. Динамические игры и их приложение в менеджменте. СПб., 2009. 415 с.
5. Угольницкий Г.А. Иерархическое управление устойчивым развитием. М., 2010. 336 с.
6. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Статические модели коррупции в системах контроля качества водных ресурсов // Проблемы управления. 2012. № 4. С. 38-44.
7. Basar T., Olsder G.J. Dynamic Noncooperative Game Theory. Philadelphia, 1999. 118 р.
8. Новиков Д.А. Теория управления организационными системами. М., 2012. 604 с.
9. Тамбовцев В.Л. Введение в экономическую теорию контрактов: учеб. пос. М., 2004. 144 с.
10. Юдкевич М.М., Подколизина Е.А., Рябинина А.Ю. Основы теории контрактов: модели и задачи : учеб. пос. М., 2002. 352 с.
27 августа 2013 г.
