CC BY
42
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ РОМБОВИДНОЙ СТРУКТУРЫ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ РЕЧНЫХ ВОД
Угольницкий Г.А., Усов А.Б.
(Южный федеральный университет,Ростов-на-Дону) ougoln@math.rsu.ru, usov@math.rsu.ru
Предложены динамически устойчивые принципы оптимальности для ромбовидных структур управления. Изучены стационарный и динамический, коалиционный и бескоалиционный случаи. Разработаны алгоритмы построения равновесий, рассмотрены примеры, проведен анализ полученных в ходе имитации результатов, сделаны выводы о преимуществах и недостатках коалиционного случая.
Ключевые слова: методы иерархического управления, эколо-го-экономическая система, равновесие, устойчивое развитие.
Введение
Наряду с двух- и трехуровневыми иерархическими системами веерного типа [1-12] на практике часто встречаются системы управления ромбовидной структуры [2,5], простейшая из которых включает в себя:
• источник воздействия верхнего уровня (федеральный центр
ФЦ);
• несколько источников воздействия среднего уровня, например, органы регионального (ОРУ) и отраслевого (ООУ) управления;
• источник воздействия нижнего уровня (промышленные предприятия 1111);
• управляемую динамическую систему (УДС).
Общая схема трехуровневой ромбовидной системы изображена на рис.1.
Рис 1. Трехуровневая ромбовидная система управления
Взаимоотношения внутри такой иерархической системы устроены следующим образом: ФЦ воздействует на ОРУ и ООУ; ОРУ и ООУ независимы друг от друга и оба воздействуют на 1111; 1111 воздействует на УДС. ФЦ, ООУ, ОРУ, 1111 вместе можно рассматривать как совокупный источник воздействия на УДС, имеющий иерархическую структуру. ООУ определяют, например, величины платы за сброс 1111 загрязнений в УДС, ОРУ - минимально допустимые степени очистки сточных вод на ПП. ФЦ решает, какая доля получаемых от 1111 средств остается в распоряжении ООУ и ОРУ. Главной целью ФЦ является поддержание УДС в устойчивом состоянии, помимо этого он стремится к максимизации остающихся в его распоряжении средств.
Предполагается, что принята следующая совокупность правил относительно поведения и информированности различных субъектов управления:
1) ФЦ выбирает свою стратегию поведения первым (делает ход первым) и сообщает ее всем остальным субъектам управле-
ния; при этом он максимизирует свою целевую функцию на множестве тех стратегий, которые позволяют поддерживать УДС в устойчивом состоянии.
2) ООУ и ОРУ выбирают свои стратегии поведения, когда выбор ФЦ уже известен; они могут как образовывать коалицию, так и действовать независимо друг от друга; в последнем случае их оптимизационные задачи решаются при наличии неопределенных факторов и они действуют на основе принципа гарантированного результата, считая, что ПП стремится к максимизации своей прибыли.
3) ПП делают ход последними при известных стратегиях всех остальных субъектов управления и стремятся к максимизации своих целевых функций.
Цель ФЦ, реализуя различные механизмы управления иерархическими системами, добиться выполнения стоящих перед ним целей, главной из которых является выполнение условий, поддерживающих систему в устойчивом состоянии.
В работе исследование трехуровневых ромбовидных структур проводится на примере системы контроля качества речных вод, предлагаются различные методы управления такими системами, позволяющие поддерживать речную систему в заданном состоянии, приведены алгоритмы построения равновесий в различных случаях, примеры аналитических и численных расчетов.
1. Стационарный случай
В этом случае предполагается, что на всем рассматриваемом промежутке времени субъекты управления не меняют свои стратегии поведения, и концентрации загрязняющих веществ в речной системе также не претерпевают изменений.
1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДА ЧИ
Пусть вдоль реки расположено N предприятий, которые сбрасывают загрязняющие вещества (ЗВ) в реку вместе со сточными водами. Сбрасываемые ЗВ условно делятся на углерод- и
азотсодержащие. Для простоты в предлагаемой ниже модели платежи за водозабор и водосброс не принимаются во внимание, а платежи за сброс загрязнений учитываются в упрощенном виде.
Цель /-го IIII - максимизация своей прибыли, то есть
(1) J/ = (1-V/)(r (сФ )-VKt -Ht Ф )-VSf (W,PC)-vsn (Wn,pn) )--FC(TC)(1-pcWc -F"(Tn)(1-pn)W” ®max (ptc’n), i = 1, ..., N.
Здесь, следуя [12], Tmi(F1m(Tni)) - размер (функция) платы за единицу сброшенных углерод- и азотсодержащих (m = с и m = n соответственно) ЗВ на i-м предприятии; Wi и (1 - Pml)Wmi
- количество ЗВ, сбрасываемых в реку i-м предприятием до и после очистки сточной воды (m = n, с); Pmi доля углерод- и азотсодержащих (m = с и m = n соответственно) ЗВ, удаляемых на i-м предприятии в процессе очистки сточных вод; vi - ставка налога на прибыль на i-м предприятии; Ri (Ci) - доход i-го предприятия от реализации произведенной продукции при величине производственных фондов Ci (они предполагаются постоянными и заданными); VKi (Ф1) - включаемые в себестоимость издержки основного производства; Hi (Ci) - суммарная заработная плата основного и природоохранного производств; VSmi (Wmi, pmi) - издержки природоохранной деятельности, зависящие от объема сбрасываемых загрязнений и степени очистки сточных вод.
Функции Fim(Tm1) (m = n, с) отражают плату за единицу углерод- и азотсодержащих ЗВ при сбросе как в установленных пределах, так и сверхнормативном и сверхлимитном сбросах загрязнений.
Функции VKi и Hi зависят от объема производства, т.е. от величины производственных фондов. Функция VSmi (Wmi, Pmi) (m = n, с) отражает затраты i-го предприятия на очистку сточных вод. Предполагается, что выполнены следующие соотношения:
VKi (Ci )+н(Ф/ ) = mi Ri (Фi); mi = const;
VSm(Wm, Pm) = Wtm Cmp (Pm); m=n,c ,
где Cmp (Pmi) - функции затрат i-го предприятия на очистку единицы сбрасываемых в водоток загрязнений от азот- и углеродсодержащих ЗВ.
Деятельность IIII контролируется ОРУ и ООУ, которые стремятся к максимизации поступающих к ним средств.
ОРУ назначают размер платы за единицы сброшенных загрязнений, их целевая функция имеет вид
(2) Jy = -Cy (Ус, yn) + £ (HCFC (Ttc )(1-PC )WC +
i=1
+Нп Fin(T" )(1 -pn) wn)® max ({тс,Ггп ^),
N
Ут =1 [1-РГ W ; m = П, С .
i=1
где Cy - функция затрат ОРУ на улучшение качества речной воды; Н’пг - доля платы IIII за сброс загрязнений в водоток, поступающая к ОРУ.
ООУ назначают минимально допустимые степени очистки сточных вод на предприятиях, их целевая функция имеет вид
(3) J0 = -C0 (Ус, Уп) + £ GCFC (ТС )(1-pc )WiC +
г=1
+G"Fin(Тп)(1-Р" Wiп)®max({qc,q" }==),
С’П
где q г - минимально допустимые степени очистки сточных вод на i-м предприятии; C0 - функция затрат ООУ на улучшение качества речной воды; Gcni - доля платы IIII за сброс загрязнений в водоток, поступающая к ООУ.
Целевая функция ФЦ имеет вид
(4) J0 = -C9(Ус,Уп) + £{(R-VKt -Нг-VSC-VSin ) •
г=1
• (1 -^.) + (1 - НС - GC) Fic (ТС )(1-PC )WC +
+ (1 -Нп -Gn)Fin(Тп)(1-pn)Win }®max(Н,НС,Gc,Gn ),
где C0 - функция затрат ФЦ на очистку речной воды.
Заметим, что функции C0, C0, Cy можно трактовать следующим образом: в этих функциях, например, отражаются материальные потери общества (ФЦ, ООУ, ОРУ) из-за загрязненной воды (затраты на устройство новых мест отдыха в других регионах, дополнительные расходы по очистке речной воды для потребительских нужд населения и т.п.).
Пусть общее количество сбрасываемых ЗВ (до очистки) линейно зависит от количества произведенной на предприятиях продукции:
(5) wc = p?R (Фг); W.n = Pi"Ri(Фг); i = 1,2,...,N; p?,ptn = const, а производственные функции предприятий имеют вид [5]
R. (Фг) = 7гФ05; г = 1,2,...,N; Гг = const.
В качестве основных характеристик качества речной воды берутся концентрации углеродного и азотного биохимического потребления кислорода Bc, Bn и концентрация растворенного в воде кислорода В°2, которые считаются постоянными величинами и находятся, например, по формулам
(6) Bm = B0m exp( - Km) + CmW (1-P); Bm, Cm, Km = const;
B°2 = B°2 exp (- K°2) - KcBc - KnBn; B°2, K°2 = const
где Kc, Kn - коэффициенты убыли кислорода, вызванной его потреблением из-за углеродного и азотного биохимического распада.
Оптимизационные задачи (1)-(6) решаются при следующих ограничениях на управления
(7) qc < Pc < 1-е; q* < Ptn < 1-е;
(8) 0 < Tc < Tmax; 0 < Tn < Tmax; 0 < qc < 1 -е; 0 < qc < 1-е;
(9) 0<Нс <1; 0<Нп <1; 0<Gc <1; 0<Gn <1
с известными стандартами на концентрации загрязняющих веществ в водотоке, на концентрацию растворенного в воде кислорода
(10) 0 < Bс < в^; 0 < Bn < Bmax; b^ < b°2 192
и качество сточной воды, сбрасываемой в водоток
(11) Nwn [1 - P.n ]+Wc [1 - P.c ] < Q
v / .-.0 —simax ’
i=1 Qi
где Q°i - расход воды на i-м промышленном предприятии; величины Bcnmax, Bmn , Qmax, Tmax заданы; 0 < £ < 1 - постоянная, оп-
ределяемая технологическими возможностями очистки сточных вод на предприятиях.
Считается, что задача поставлена корректно, то есть ФЦ имеет в своих руках достаточные экономические рычаги воздействия на ООУ и ОРУ, т.е. величины Н г = Gc г = Н г = Gnг = 1 делают для остальных субъектов управления экономически выгодными стратегии, позволяющие поддерживать систему в устойчивом состоянии.
Исследуется модель, описываемая системой уравнений и неравенств (1)-( 11). Рассматривается два случая. В первом -субъекты управления среднего уровня кооперируются и действуют в составе коалиции, во втором - независимо друг от друга.
1.2. СЛУЧАЙ КОАЛИЦИИ ОРУ И ООУ
Вместо критериев (2), (3) субъекты управления среднего уровня в этом случае имеют один критерий вида N (
(12) Jy =-Cy - Co +Х ((Gic + Нс) Fic (Тс )(1-P.c )Wic +
i = 1
+ (Нn + Gn) Fn (Tn )(1-Pn )W.n) ® max (fc, Tn, q, qn }= ). Итак, решается задача (1), (4)-(12). В этом случае алгоритм построения равновесия состоит в следующем:
1) В результате минимизации критериев (1) с ограничениями (7) определяются оптимальные стратегии II в зависимости от управлений ООУ и ОРУ: (Pc .*)(qc., T. ); (Pn.*)( qn., T. ); i = 1, ..., N.
2) Найденные в пункте 1 алгоритма оптимальные стратегии IIII подставляются в (12). !осле этого осуществляется максимизация критерия (12) по величинам {qm, Tim }N=1 (m = n, с) с ограни-
чениями (8). В результате определяются оптимальные управления ООУ и ОРУ в зависимости от стратегии ФЦ:
(д0,, Тт)*(Н0); (д",, Тт)*( НП).
3) Рассматривается критерий (4), в который подставляются найденные на предыдущих шагах алгоритма функции. Оптимальными для ФЦ являются величины, приносящие ему максимальный доход при выполненных условиях (10), (11). Обозначим их через (Н0’",)*, (С0'") .
4) Равновесие принуждения определим, как набор величин {НО )*,( Н" )*;(О,0 )*,(О," )*;( д‘ )*,( д" )*;
(ТО)*,(Т,")*;(Р,0)*,(Р")* }= ,
где
(дО)* = (д0)*( (Н )*); (д",)* = (д”)*( (Н)*); (Г,)* = (Г,)*( (Н)*); (Т> = (Т")*( (Н)*); (Р0,)* = (Р0,)*( (д0,)*, (Т0,)*, (О0,)*, (Н)*);
(Р",)* = (Р",)*( (д",)*, (Г,)*, (О",)*, (Н,)* ).
1.3. СЛУЧАЙ ОТСУТСТВИЯ КОАЛИЦИИ
В этом случае решается задача (1)-(11). Причем при рассмотрении субъектов управления среднего уровня получается двухкритериальная задача, которая исследуется на основе принципа гарантированного результата.
Алгоритм построения равновесия состоит в следующем:
1) В результате минимизации критериев (1) с ограничениями
(7) определяются оптимальные стратегии 1111 в зависимости от управлений ООУ и ОРУ
(Р0)*( д0,, Г,); (Р")*( д",, Г,);, = 1, ..., N.
2) Найденные в пункте 1 алгоритма оптимальные стратегии 1111 подставляются в (2), (3). После этого проводится максимизация критерия (2) с ограничениями (8) по величинам {д,т },= , а критерия (3) с (8) по {Т ™ },= (т=", е). Решается двухкритериальная задача. Ее решение проводится на основе принципа гарантированного результата. В итоге определяются оптимальные управления ОУ и РУ в зависимости от стратегии ФЦ (д0 ,) ( Н0 , О0); (Тт)*( Н", О",).
194
3) Рассматривается критерий (4), в который подставляются найденные на предыдущих шагах алгоритма функции. Оптимальными для ФЦ являются величины, приносящие ему максимальный доход при выполненных условиях (10), (11).
4) Равновесие принуждения определим, как набор величин
1.4. МОДЕЛЬНЫЕ РАСЧЕТЫ
Рассмотрим случай одного 1111 и только азотсодержащих загрязняющих веществ. Кроме того, пусть
Если Рс(Ттах) >А0 + А1 + А2 + 0.1 и стандарты качества выполнены при Р < Р0, то оптимальные стратегии всех субъектов управления в коалиционном случае определяются формулами
где
(13) Со(у) = А0 у; Су (у) = А у; Сф (у) = А2 у;
Сср(У)=В1Уу; ¥с(Т) = Аз Т; В,Ак = оатГ, к = 0,1,2,3.
В противных случаях
(15) д* =1-Є; Т * = Ттах; Н * + О * = е,; Р* =
Здесь е1 - произвольное сколь угодно малое положительное число.
В бескоалиционном случае получим, что
(16) д* = 1-е; О * = 0; Н * = е,; Т* = Ттах.
В случае входных функций общего вида равновесия находятся путем имитационного моделирования.
Пример 1 (коалиция). Для следующего набора входных данных (у.е. - стоимость в условных единицах; сут - сутки; м - метр; мг
- миллиграмм; л - литр):
N = 1; у1 = 0.24; у.\ = 0.5; Б = 16; Ттах = 100 у.е.; Вс0 = 7 мг/л;
Ф1 = 1010; А3 = 0.5; А0 = 10 (сут. у.е.)/мг; А! = 5 (сут. у.е.)/мг;
А2 = 0.5 (сут. у.е.)/мг ; Ь = 0.003 мг/(сут. у.е.); Qmax = 0.4;
Q10 =106 м3/сут.; Сс = 0.1 сут./л; уг = 0.2 у.е.; К°2 = 0.02 сут.-1;
Втах = 14 мг/л; е = 0.001; ВтП = 4 мг/л; В°2 = 7 мг/л;
Кс = 0.02 сут.-1 ; е = 0.001.
Оптимальные стратегии субъектов управления определяются формулами (14).
Пример 2 (коалиция). В случае входных данных примера 1 и Сс = 0.3 сут./л оптимальные стратегии субъектов управления определяются формулами (15).
Пример 3 (коалиция). Формулы (15) верны и в случае входных данных примера 1 и А0 =100 (сут. у.е.)/мг.
В бескоалиционном случае для примеров 1-3 равновесия определяются формулами (16).
В таблице 1 приведены значения доходов (в условных единицах) ФЦ (/Ф), ОРУ (1у), ООУ (Л0) и ПП (Л) в коалиционном (к1) и бескоалиционном (пк1) случаях для стационарной задачи и входных данных примеров 1-3.
Таблица 1. Сравнение коалиционного и бескоалиционного случаев в стационарной задаче___________________________________
№ к1 пк1
Тф Т0 + Ту •Л Тф То Л •Л
1 1169 1.7 397562 3.0 -0.297 -0.6 -59143
2 2.97 -0.9 -559143 3.0 -0.297 -0.6 -59143
3 2.97 -6.28 -559143 3.0 -5.677 -0.6 -59143
2. Динамический случай
Предполагается, что на рассматриваемом промежутке времени субъекты управления меняют свои стратегии поведения как минимум один раз.
2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Целевые функции субъектов управления принимают вид:
- промышленных предприятий (ПП) (i = 1,2,..., N):
(17) Jt = |[ (1 -уг) ( Rt - VK - Hi - VSC (WC, PC) - vsn (Wn, pn) )
0
-Fc (Tc)(1 - Pc) Wc -Fn (Tn )(1 - pn )Wn ]dt® max(p c,Pn ) .
- органов отраслевого управления (ООУ)
+
^ N /
(18) Ja =J -Ca(yc(t),yn(t)) + X(GC(t)FC(Tc)(1-P c)W
о L i=1
+Gn(t) Fn(Tn(t))(1-РП(t))Wn (t))]dt®max({qf,q* }= ).
- органов регионального управления (ОРУ)
АГ N i
(19) Jy =J -Cy(yc(t),yn(t)) + X(Hc(t) FC(Tc)(1-pc)WC
о L ¿=1
\t) Fn (ТП (t ))(1-РП (t ))W n (t ))]dt ® max T , Ttn ).
+
- федерального центра (ФЦ)
(20) J0 = J
-Сф + £{(1-v,) (
-V,. ) R, -VK, - H -
vsc-vs,n)
+
+(1 -Hc -Gc) Fc(Ttc) (1 -Pc) Wc +
+ (1 -H n -Gn)Fn (Tn) (1 -Pn) Wn }dt
(H, H", GC, G,“,=„.
I =1
Здесь сохранены обозначения предыдущего пункта. Все входящие в (17)-(20) функции зависят от временной координаты А -момент времени, до которого ведется рассмотрение.
Динамика изменения производственных фондов / -го промышленного предприятия описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида
(21)
dt
=-k, Ф, + Y,;
, = 1,2,..., N.
где ki - коэффициент амортизации производственных фондов; Yi
- инвестиции, задаваемые формулой
(22) ¥г = zR (ф) -Cnp (Pn )Wn -Fc (Tс)(1-Pс)Wс -Ccp(Pc)WiC -Fn(Tn)(1-P")Win-a; i = 1,2,...,N; a = const .
Изменение концентраций углеродного и азотного биохимического потребления кислорода Bc(x, y, t), Bn(x, y, t) и концентрация растворенного в воде кислорода B°2 (x, y, t) описываются нелинейными уравнениями переноса, которые в случае пространственной неоднородности по двум направлениям имеют следующий вид.
- уравнения изменения концентраций углеродного (т = с) и азотного (т = n) биохимического потребления кислорода:
д B”
(23)
д t
_д_ д у
д Bm д B
-+vx-----------+vy---------
х д х у
ду
1 д " дBm"
EA +
A д х д х
EA
д Bm д у
- KmBm +
Wm (1-Pm)
- уравнение изменения концентрации растворенного в воде кислорода:
(24)
д B°2 д t
-+vx
д B°2 д х
-+vy
д B°2 д у
1 А
- Р(х, у, X) - *2(х, у, X) - Кп (В) - Кс (В) + *0(х, у, X),
где х, у - пространственные координаты; координата х отсчитывается вдоль русла реки, у - в глубину; 0 < х < Ь; 0 < у < Н; Ь, Н
- длина и глубина реки соответственно; точки (х, у) = (хь уг) соответствуют местоположению предприятий (/ = 1, 2, ..., Ы); Е -коэффициент дисперсии; А - площадь поперечного сечения реки; Q - расход воды в реке; V = (ух , уу) - скорость воды в реке; Кс, Кп - коэффициенты убыли кислорода, вызванной его потреблением из-за углеродного и азотного биохимического распада; К02 (в°а2с - В°2) - добавка растворенного кислорода вследствие реаэрации; В°2с - концентрация насыщения кислорода; ^0
- добавка вследствие фотосинтеза, - потребление растворен-
ного кислорода на дыхание; ¥2 - придонное потребление растворенного кислорода.
Функции Ж, Ж1, Рс, Рп зависят от интенсивности источников загрязняющих веществ. Если в точке пространства расположено предприятие, то есть (х, у) = (хг-, уг) для некоторого значения / = 1, 2, ..., Ы, то
Рт (х, у, X) = рт (X); Жт (х, у, X) = ЖГ (X).
В противном случае эти функции равны нулю.
Уравнения (23), (24) рассматриваются с соответствующими начальными и граничными условиями. Вектор скорости частиц жидкости V предполагается известным. Стандарты качества речной и сточных вод имеют вид (10), (11) и должны выполняться для всех значений 0 < X < А .
В динамическом случае исследуется модель, описываемая системой уравнений и неравенств (17) - (24), (5) - (11). Алгоритмы построения равновесий подобны сформулированным в статическом случае. Критерий субъектов управления среднего звена в случае кооперации выписывается аналогично стацио-
_д_ д х
ЕА
д В°2 д х
д у
ЕА
д В°2 д у
+К0\в°2с -в°2 ] -
д
+
нарному случаю. Предложенные принципы оптимальности ромбовидных систем управления являются динамически устойчивым [8] в том смысле, что они являются содержательными в любом текущем состоянии (в любой момент времени) вплоть до конца динамического процесса. Равновесия строятся путем имитационного моделирования.
2.2. МОДЕЛЬНЫЕ РАСЧЕТЫ
Рассмотрим, как и ранее, случай только углеродсодержащих загрязняющих веществ. Пусть субъекты управления меняют свои стратегии два раза за исследуемый интервал времени. Пример 4. В случае (13) для следующего набора входных данных:
N = 1; А0 = 40 (сут. у.е.)/мг; А1 = 60 (сут. у.е.)/мг; ai = 0 у.е.; А2 = 30 (сут. у.е.)/мг; Аз = 2; Vi = 0.24; ^ = 0.5; Гтах = 1000 у.е.; Кс =
0.01 сут.-1; рс1 = 0.003 мг/(сут. у.е.); А = 100 м2; Dc = 5; Q10 = 106 м3 /сут.; E = 24000 м2 /сут.; Fi = 0 мг/(л сут.); i = 0, 1, 2; L = 100 м; H = 10 м; Б°2 (0, х, у) = 10 мг/л; vx = 0.1 м/сек; Bc(0, х, y) = 5 мг/л; х1 = 20 м; у1 = 0 м; vy = 0 м/сек; g1 = 0.2 у.е.; k1 = 0.001 сут.-1; Фо = 1015; А = 365 сут.; К°2 = 0.2 сут-1; S = 0.01; Qmax = 0.4; B°C =
18мг/л; Bcmax = 14 мг/л; Bт°П = 4 мг/л;
при образовании коалиции ООУ и ОРУ равновесие имеет вид
(25) q* = 0.33; G* + H* = 0.34; T* = Tmax =1000у.е.; P* = 0.77 , в бескоалиционном случае:
(26)q* = 0.99; G* = 0; H* = 0.01; T* = 1000 у.е.; P* = 0.99. Пример 5. В коалиционном случае для входных данных примера 4 и Ф0 = 1020 получим, что
q* = 0.99; G* + H* = 0.01; T* = Tmax = 1000у.е.; P* = 0.99.
В бескоалиционном случае верны формулы (26).
Пример 6. Для входных данных примера 4 и рс1 = 0.06 мг/(сут. у.е.) оптимальные стратегии для коалиционного и бескоалиционного случаев определяются формулами (25), (26) соответственно.
Пример 7. В случае входных данных примера 4 и Л\ = А0 = 1 (сут. у.е.)/мг при образовании ООУ и ОРУ коалиции получим
д * = 0.33; О * + Н * = 0.01; Т * = Ттах = 1000 у.е.; Р * = 0.77.
В бескоалиционном случае остаются верными формулы (26). Пример 8. Для входных данных примера 4 и Вс = 0.01 равновесия в коалиционном и бескоалиционном случаях совпадают и определяются формулами (26).
Пример 9. Для входных данных примера 5 и А1 = А0 = 10-5 (сут. у.е.)/мг добиться выполнения стандартов качества речных вод ФЦ не удается в случае образования коалиции ООУ и ОРУ, в бескоалиционном случае верны формулы (26).
В таблице 2 указаны значения доходов (в условных единицах) ФЦ (/ф), ОРУ (/у), ООУ (/0) и ПП (/ в коалиционном (к1) и бескоалиционном (пк1) случаях для динамической задачи и входных данных примеров 4-9.
Таблица 2. Сравнение коалиционного и бескоалиционного случаев в нестационарной задаче._______________________
№ к1 пк1
•ф •О + Ту •Л •ф •у •о •Л
4 1.13 107 4.92 106 5.4 1010 7.36 105 - 1.45 104 - 1.5 104 5.2 1010
5 2.33 108 - 9.55 106 1.7 1013 2.33 108 - 4.75 106 - 4.8 104 1.7 1013
6 2.24 108 1.00 108 1.5 1011 1.47 107 - 2.98 105 - 3 105 1.3 1011
7 1.69 107 1.56 105 5.4 1010 7.36 105 7177. 7 - 378 5.2 1010
8 7.36 105 - 3.0 104 5.7 1010 7.36 105 - 1.5 104 - 1.5 104 5.7 1010
9 - - - 2.3 108 2.34 106 - 1.2 1.7 1013
Заключение
Образование коалиции позволяет субъектам управления среднего уровня получить не меньший доход, чем в бескоалиционном случае, а в ряде примеров значительно его увеличить (примеры 1, 4, 6, 7). В коалиционном случае, как правило, наблюдается увеличение дохода и остальных субъектов управления. Ухудшение экологической ситуации приводит к уменьшению дохода всех субъектов управления.
Если ООУ не образуют коалиции с ОРУ, то для них в любом случае оптимальной является максимально допустимая степень очистки сточных вод на предприятиях. В большинстве случаев равновесие в бескоалиционном случае определяется по формулам (26).
Имеются стратегии, приносящие ООУ и ОРУ больший доход, чем те, которые строятся на основе принципа гарантированного результата.
Возможна ситуация, когда, образование ООУ и ОРУ коалиции не позволяет ФЦ добиться выполнения стандартов качества речных и сточных вод, в то время как в бескоалиционном случае они могут быть выполнены.
Таким образом, образование коалиции в силу неантагонистичного характера исследуемой игры часто выгодно не только для сторон, в нее входящих, но и для остальных субъектов управления.
ЛИТЕРАТУРА
1. ВЕСЕЛОВ Г.Е. Иерархическое управление многосвязными динамическими системами: синергетический подход. Таганрог.: Изд-во ТРТУ. 2003. 72 с.
2. ГОРЕЛИК В.А., КОНОНЕНКО А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М.: Радио и связь, 1982. 144 с.
3. ГЕРМЕЙЕР Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.
4. ЗЕНКЕВИЧ Н А., МАРЧЕНКО ИВ. Теоретико-игровые модели согласованного поведения // Известия МАН ВШ. 2006. №3 (37). С. 162-171.
5. МОИСЕЕВ Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. 488 с.
6. НОВИКОВ Д.А. Механизмы стимулирования в организационных структурах. М.: ИПУ РАН. 2003.
7. НОВИКОВ Д.А. Механизмы функционирования организационных систем с распределенным контролем. М.: ИПУ РАН. 2001. 118 с.
8. ПЕТРОСЯН Л.А., ДАНИЛОВ Н.Н. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Томск.: Изд-во ТГУ. 1985.
9. ПЕТРОСЯН Л.А., ШИРЯЕВ В.Д. Иерархические игры. Изд-во Мордовск. ун-та. 1986. 92 с.
10. УГОЛЬНИЦКИЙ Г. А. Управление экологоэкономическими системами. М.: Вузовская книга, 1999. 132с.
11. УГОЛЬНИЦКИЙ Г.А., УСОВ А.Б. Структурная организация систем управления и методы управления // Проблемы теории и практики управления. №2 2007. с. 33-39.
12. УГОЛЬНИЦКИЙ Г.А., УСОВ А.Б. Математическая формализация методов иерархического управления экологоэкономическими системами // Проблемы управления. 2007. №4. с.64-69.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии М.В. Губко
