Математическая формализация методов иерархического управления эколого-экономическими системами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.7+330.46

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ИЕРАРХИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЭКОЛОГО-ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

Г.А. Угольницкий, А.Б. Усов Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону

Сформулированы общие подходы к управлению эколого-экономическими системами. Предложены методы иерархического управления (принуждение, побуждение, убеждение), позволяющие субъекту управления верхнего уровня добиться выполнения требований устойчивого развития системы. Приведены примеры применения указанных методов в системе контроля качеством речных вод и дан их сравнительный анализ.

ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия ускоренными темпами происходят концентрация производства, организация крупных промышленных объединений, глобализация экономики. Это приводит к усилению воздействия техногенных процессов на окружающую природу, создает реальную опасность истощения как невозобновляемых, так и возобновляемых ресурсов.

Рациональное использование природных ресурсов, внедрение новых ресурсосберегающих технологий требуют перехода на принципиально иные эколого-экономические отношения, в основе которых лежат сопряженность, соразмерность, сбалансированность природных и производственных потенциалов, эколого-экономический баланс. Окружающая среда должна быть включена в систему социально-экономических отношений как один из ее важнейших элементов.

Решение этих задач невозможно без комплексного подхода, предполагающего создание концепции управления эколого-экономическими системами, в которой должны быть сформулированы главные задачи управления, общая структура систем управления и принципы их организации. Актуальной проблемой является разработка новых подходов к управлению, которые исходят из требования устойчивого развития эколого-экономи-ческих систем и предполагают применение методов иерархического управления.

1. ИЕРАРХИЧЕСКИ УПРАВЛЯЕМАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Устойчивое развитие определяется как процесс, отвечающий потребностям настоящего, но не лишающий будущие поколения возможности удовлетворять свои потребности. В основе стратегии устойчивого развития лежит идея равновесия между окружающей средой, экономикой и населением Земли [1-3].

При анализе управления устойчивым развитием целесообразно трактовать эколого-экономи-ческую систему как иерархически управляемую динамическую систему [4]. Простейшая иерархически управляемая динамическая система имеет два уровня и включает в себя:

— источник воздействия верхнего уровня (Ведущий);

— источник воздействия нижнего уровня (Ведомый);

— собственно управляемую динамическую систему (УДС).

Взаимоотношения внутри такой иерархической системы устроены следующим образом: Ведущий воздействует на Ведомого и на УДС, Ведомый — только на УДС. Ведущего и Ведомого вместе можно рассматривать как совокупный источник воздействия на УДС, имеющий иерархическую структуру. В качестве Ведущего чаще всего выступают органы государственного власти, в роли ведомых — промышленные предприятия, а в качестве УДС может выступать как целиком вся экологическая

система некоторого региона, так и отдельные ее составляющие.

Предприятия забирают из окружающей среды природные ресурсы, перерабатывая которые они производят необходимый обществу конечный продукт. В окружающую среду при этом попадают продукты технологического процесса — различного вида отходы.

Основной смысл введения понятия иерархически управляемой динамической системы заключается в следующем. Воздействуя на эколого-экономичес-кую систему, предприятие преследует собственные цели, в общем случае не отвечающие требованиям устойчивого развития. Сама эколого-эко-номическая система, будучи неодушевленным объектом, не может целенаправленно «отстаивать свои интересы»; ее ответные реакции носят спонтанный, запаздывающий характер. Поэтому нужен Ведущий, способный, используя различные механизмы управления, воздействовать на Ведомого для достижения целей устойчивого развития всей системы.

В России в настоящее время формируется экономический механизм управления природопользованием, включающий в себя как поощрительные, так и принудительные элементы регулирования. Его основу составляют платежи за пользование природными ресурсами и экономические санкции за экологические правонарушения. Одна из основных научных задач при этом заключается в разработке методов регулирования (административных, экономических), в наибольшей степени отвечающих целям концепции устойчивого развития.

Рассмотрим математическую формализацию основных методов иерархического управления на примере модели контроля качества речных вод.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА РЕЧНЫХ ВОД

Для простоты в предлагаемой далее модели не учитываются платежи за водозабор и водосброс, в рассмотрение принимаются только платежи за сброс загрязнений. Исследуется случай только одного вида загрязнений, например, азотосодержащих загрязняющих веществ.

Пусть вдоль реки расположено N предприятий, которые сбрасывают загрязняющие вещества в реку вместе со сточными водами. Деятельность предприятий контролируется правительственным органом (центром). Центр, регулирующий качество речной и сточных вод, взимает с предприятий плату за сброс загрязнений. Основная цель центра состоит в поддержании речной системы в устойчивом состоянии. Добиться этого центр может не единственным образом, поэтому помимо основной цели он стремится к максимизации остающихся в его распоряжении средств, поступающих от предприятий.

Целевая функция центра имеет вид

А г N

Jo = {\-сАШ) + I НЧф) - уЧф)

0 \ I = 1

Н(ф) -^(Ж, Р) - FNІ) + +

+ FPІ + ЯУЛ ^ тах{ШП), КУ/1), дШ

N і = 1’

N

т, =

у(г) = I [1 -

I = 1

s( 1 - Р1 (г)) Щ( г), если (1 - Р.( Щ( ^ < W1, sW1, если (1 - Р.( г)) Щ( г)> W1;

рр.• =

0, если (1 - Р1 (г)) Щ( г) < W1,

sKNi(г)((1 - р.(г)) Wi(г) - W1),

если W1 < (1 - р.(г)) Wi(г) < W2,

\sKN1 (г)(W2 - W1), если W2 <( 1 - Р(г)) Щ(г);

FS. =

0, если (1 - р.(г)) Wi(г) < ^2, sKSi(г)((1 - р.(г)) wi(г) - W2), если (1 - р.(г)) Щ(г) > W2.

Здесь г — временная координата; W■(г) и (1 — Р.(г)) W■(г) — количество загрязнений, сбрасываемых в реку до и после очистки сточных вод в момент времени г; Р.(г) — доля загрязнений, удаляемых на 1-м предприятии в процессе очистки сточных вод; Р^.., FNІ и РР. — функции платежей (см. рисунок) предприятий за сброс загрязнений в пределах установленного норматива, а также за сверхнормативный и сверхлимитный сбросы соответственно, эти функции зависят от общего количества загрязнений, сбрасываемых в реку после очистки сточных вод, т. е. от величины г(1 — Р.(г)) W•(г); s, КN и КБ1 — размеры платы за единицу сброшенных загрязнений на 1-м предприятии в момент времени г при сбросе в установленных пределах, сверхнормативном и сверхлимитном сбросах соответственно; W1 и W2 — установленные законодательством нормативы сброса загрязнений; СА(у(г)) — функция, отражающая материальные потери общества из-за загрязненной воды (затраты на устройство новых мест отдыха в других регионах, дополнительные расходы по очистке речной воды для потребительских нужд населения и т. п.); у(г) — общее количество сброшенных в реку загрязнений; А — момент времени, до которого ведется рассмотрение; V . — ставка налога на прибыль на 1-м предприятии; р.(Ф.) — доход /-го предприятия от реализации произведен-

1 FNt

sW1 А .

О 1 ► r і

і ,Fp і

S * '"РТ".

О і і r

і i 1FS і і і і/ 1 1 *

О W1 W2 r

Графики функций платежей (штрафов); S* = sKN(W2 — W1)

ной продукции при размере производственных фондов ФVK(0 ) — включаемые в себестоимость издержки основного производства; Н(Ф) — суммарная заработная плата основного и природоохранного производств; VS( W, P) — издержки природоохранной деятельности, зависящие от объема сбрасываемых загрязнений и степени очистки сточных вод; q. — минимально допустимая степень очистки сточных вод на i-м предприятии.

Функции VKt и Н. зависят от объема производства, т. е. от размера производственных фондов. Функция VS(W, P) отражает затраты i-го предприятия на очистку сточных вод. Предполагается, что выполнены следующие соотношения:

\ЩФ) + Н(Ф) = цД.(Фг); ^ = const;

VS(W, P.) = WiCp(P),

где C (P) — функции затрат i-го предприятия на

p .

очистку единицы сбрасываемых в водоток загрязнений.

Цель предприятий состоит в максимизации прибыли, полученной в ходе производственной деятельности, т. е.

А

J = j{(1 - ч)(ЦФ) - ш(Ф) - Н(Ф) -0

- VS(W, P) -FN) - FPt - FS}dt ^ max{P.}. (2)

Динамика производственных фондов предприятия описывается уравнением

dФ!

= —кФ • + У, / = 1, 2, ..., N, (3)

где к. — коэффициент амортизации производственных фондов, У. — инвестиции в производство.

Пусть количество сбрасываемых загрязнений (до очистки) зависит от количества произведенной продукции линейно, а производственные функции имеют вид

г,0,5

W{ = в А(Ф), RW = Yi ФО’ i = 1, 2, ..., N, y {, в { = const.

(4)

Основные характеристики качества речной воды — концентрация загрязняющих веществ В(х, 1) и концентрация растворенного в воде кислорода 02

В (х, 1) описываются в случае пространственной неоднородности только вдоль русла реки уравнениями:

дВ(х, t) + v дВ(х, t) = 1 д_ ді x дx А дx

EA

дB(x, t)'

дx .

k B(x, t) + W0(x, t)(1 - P0(x, t))/A;

дБ 2 (x, t) + дB 2 (x, t) = 1 д_

дt

дx

A дt

о, -

еа^Х—^Б-Х)

дx

о

о

- ксВ(х, 1) + [ Втас - В \х, 1)] + F0 - Fl - F2, (6)

где х — пространственная координата; 0 < х < L; L — длина реки; Е — коэффициент дисперсии; А — площадь поперечного сечения реки; ух — скорость воды в реке; ксВ(х, 1) — изменение во времени биохимического потребления кислорода из-за

распада; K— (BH

о2 о2

- В (х, г)) — добавка раство-

о2

ренного кислорода вследствие реаэрации; Внас — концентрация насыщения кислорода; Р0 — добавка кислорода вследствие фотосинтеза; Рх — потребление растворенного кислорода на дыхание; Р2 — придонное потребление растворенного кислорода.

Функции W0 и Р0 отражают наличие источников загрязнений и определяются формулами

P0(x, t) =

W0(x, t) =

' W(t) в противном случае.

В точках x, i = 1, 2, , N, расположены предприятия.

О, если X Ф xi,

Pt(t) в противном случае; О, если X Ф X,,

x

Оптимизационные задачи (1) и (2) решаются при следующих ограничениях на управления

q m P(t) m 1 - s, 0 m t m a, (7)

0 m KN(t) m KNmax, 0 m KS(t) m KSmax,

0 m t m a, (8)

где значения величин KS^ и KNm„^ заданы;

max max

0 < s < 1 — постоянная, определяемая технологическими возможностями очистки сточных вод на предприятиях.

Требования устойчивого развития эколого-эко-номической системы, включающей в себя водоток, состоят в необходимости выполнения следующих неравенств:

о

о

О < B(X, t) m Bm^ Bmln m B ^ Ь

О m t m а, О m x m l, (9)

Wi(t)[ і - Pi(t)]

dl( t)

m Q

max

О m t m a,

i = і, 2,

N,

(іО)

где (г) — расход воды на /-м предприятии; ве-

02

Личины Втах, Втт и ^тах заданы.

Условия (9) связаны с государственными стандартами качества речной воды, а условия (10) — со стандартами поступления загрязнений с очищенной сточной водой для каждой точки сброса [5].

3. МЕТОДЫ ИЕРАРХИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Устойчивое развитие эколого-экономической системы может достигаться различными методами иерархического управления. В зависимости от степени свободы индивида как объекта управления можно выделить следующие методы управления: принуждение, побуждение и убеждение.

Метод принуждения предполагает воздействие Ведущего на множество допустимых управленческих стратегий Ведомого. Это воздействие носит административно-законодательный характер, т. е. Ведущий запрещает Ведомому применять стратегии, не удовлетворяющие требованиям устойчивого развития. Из множества возможных стратегий принуждения Ведущий выбирает ту, которая отвечает его критерию оптимальности.

Метод побуждения заключается в стимулировании Ведомого путем воздействия Ведущего на его целевую функцию. Смысл метода заключается в том, чтобы сделать управления устойчивого развития экономически наиболее выгодными для Ведомого. Для этого применяется экономический механизм с обратной связью, предусматривающий поощрение Ведомого в случае выполнения им условий устойчивого развития и наказание в

противном случае. В отличие от метода принуждения, Ведомому явно не запрещается выбирать стратегии, нарушающие условия устойчивого развития. Поэтому, если возможностей Ведущего недостаточно для стимулирования Ведомого, то стратегия побуждения может оказаться неэффективной по отношению к «браконьерскому» поведению Ведомого.

Метод убеждения подразумевает добровольную кооперацию Ведущего и Ведомого для совместного обеспечения условий устойчивого развития и максимизации суммарной целевой функции, с последующим дележом полученной коалицией Ведущего и Ведомого суммарной прибыли между ними. Суть метода убеждения заключается в преобразовании иерархических отношений в кооперативные.

Подробная характеристика методов принуждения, побуждения и убеждения дана в работе [6]. Формализуем указанные методы управления для случаев, описываемых выражениями (1)—(10).

4. ФОРМАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ИЕРАРХИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Основная цель центра состоит в выполнении неравенств (9) и (10), что позволяет поддерживать систему в устойчивом состоянии. Гарантировать выполнение этих условий центр может не единственным образом, поэтому, помимо основной цели, он стремится к оптимизации функции (1). При этом используются следующие методы управления.

4.1. Принуждение

В случае принуждения центр воздействует на область допустимых управлений предприятий и заставляет их выполнять стандарты качества речной и сточных вод, не оставляя им других возможностей, путем выбора значений qi — минимально допустимых степеней очистки сточных вод.

Алгоритм построения равновесия принуждения состоит в следующем.

1. В результате максимизации критериев (2) при ограничениях (7) и соотношениях (3) и (4) определяются оптимальные стратегии предприятий в зависимости от управлений центра (Р)*(К^ КБ, q) / = 1, 2, ..., N.

2. Метод принуждения предполагает, что размеры платы за единицы сброшенных загрязнений (К^, КБ) при решении оптимизационных задач остаются неизменными и функция (1) максимизируется только по значениям qi, / = 1, 2, ..., N. Оптимальными для центра являются значения ^)*, которые доставляют максимум его целевой функции и позволяют выполнить стандарты качества реч-

ной и сточных вод. Таким образом, решается задача (1), (8) с учетом требований (9) и (10).

3. Равновесие принуждения имеет вид {^)*, N

(Р.)*}. = 1, где (Р.)* — оптимальные реакции предприятий на выбранную центром стратегию: (Р.)* = = (р.)*^.)*, т{, КБ)

4.2. Побуждение

Метод побуждения предполагает, что центр воздействует на целевые функции предприятий. Он назначает размер платы за единицы сброшенных загрязняющих веществ (значения qi, / = 1, 2, ..., N остаются постоянными) и создает условия, при которых предприятиям выгодно придерживаться стандартов качества вод.

Алгоритм построения равновесия побуждения состоит в следующим.

1. Аналогично методу принуждения определяются оптимальные стратегии предприятий в зависимости от стратегии центра.

2. В методе побуждения критерий (1) центра, в котором значения Р{ определяются на первом шаге алгоритма, максимизируется по KNj, КБ, / = 1, 2, ..., N (значения qi(г) не меняются) при условиях (8)—(10).

Оптимальными для центра являются размеры платы за сброс загрязнений, позволяющие выполнить стандарты качества и доставляющие максимум его целевой функции.

3. Равновесие побуждения имеет вид {(КЛ^)*,

(КБ)*, (Р{)* }^= 1, где (KЛi.)*, (КБ)* — оптимальная стратегия центра, (Р{)* = (Pi.)*((KN■)*, (КБ{)*) — оптимальные реакции предприятий на выбранную центром стратегию.

4.3. Убеждение

Если предприятия сами стремятся поддерживать систему в устойчивом состоянии, то вместо критериев (1) и (2) у всех субъектов управления будет один общий критерий

А N

J = |[-СаОО) + I Щф) — УК(Ф) — Н(Ф) — 0

І = 1

Р))

N

сСі ^ тах({Р{}і = і)

рассматриваемый при ограничениях (7), (9) и (10).

5. МОДЕЛЬНЫЕ РАСЧЕТЫ

Все расчеты проводились для случая, когда У

Пример 1 (побуждение). Для следующего набора входных данных N = 1; Б = 1; KNmax = 8 КБшах = 10; в! = 0,01 мгДсуту. е.); = 0,2! у. е.

к1 = 10-5сут-1; 01=106 м3 / сут; А = 700 м2; Ь = 100 м Е = 24 000 м2/сут; е = 0,01; v1 = 0,24; ц1 = 0,5 Ф0 = 5 • 109 у. е.; q1 = 0; С1 = 1; Б1 = 1; У1 = 0

W1 = 0,25в1У1(Ф0)1/2; W2 = 0,5 Р^)172; Ошах = 60 о2

В = В = 12 мг/л (при г = 0; при х = 0, Ь)

О,

О,

х1 = 30 м; Внас = 22 мг/л; Вшах = 35 мг/л; Вш1п =

= 3 мг/л; Р0 = Р1 = Р2 = 0 мг/(лхут); ух = 100 м/сут; А = 360 сут; Ко2 = 5 сут 1; кс = 2,5 сут 1 метод

побуждения реализуется, для предприятия выгодно, чтобы объемы сброса загрязнений не превышали величины W2 и (KN1(г))* = 8; (КБ1(г))* = 1,25;

(Р1(г))* = 0,7425; J0 = 5,75Ч05 у. е.; J1 = 1,81-106 у. е.

Пример 2 (побуждение). В случае входных данных примера 1 и Б1 = 0,1 или Б = 5 метод побуждения не реализуется. В распоряжении центра оказываются недостаточные экономические рычаги воздействия на предприятие.

Пример 3 (побуждение). В случае W1 = = 0,15р1у1(Ф0)1/2; W2 = 0,35р1у1(Ф0)1/2 и данных примера 1 происходит уменьшение значений допустимых объемов нормативного и сверхнормативного сброса загрязнений. Предприятие своей стратегии не меняет, центр получает дополнительную прибыль по сравнению с примером 1:

(К^)* = 8; (КБ1)* = 7,5; (Р1)* = 0,7425;

J0 = 6,12-105 у. е.; J1 = 1,77Ч06 у. е.

Пример 4 (побуждение). Для данных примера 1 и Б = 0,001 наблюдается уменьшение затрат на очистку сточных вод на предприятии. В результате на предприятии выбирается максимально возможная степень очистки сточных вод, и (К^)* = 0;

(КБ1)* = 0; (Р1)* = 0,99; J0 = 6,09*105 у. е.; J1 =

= 1,93-106 у. е.

Пример 5 (побуждение). При Б = 4, Б1 = 20 и входных данных примера 1 получим, что (К^)* = 8; (КБ1)* = 0; (Р1)* = 0,7425; J0 = 7,1-105 у. е.; J1 =

= 1,234Ч06 у. е.

Пример 6 (принуждение). В случае данных примера 1 и Б1 = 0,1 (значения qi. переменные и подлежат определению) и КN = 6; КБ1 = 8 метод принуждения (в отличие от примера 2) реализуется и выполняются равенства ^)* = 0,7425; (Р1)* = 0,7425;

J0 = 7,63Ч05 у. е.; J1 = 1,62Ч06 у. е.

Пример 7 (принуждение). Для данных примера 1 и KN1 = 6; КБ1 = 8 прибыль предприятия уменьшилась, центра — незначительно выросла: J0 = = 5,81-105 у. е.; J1 = 1,57*106 у. е.

Пример 8 (принуждение). В случае данных примера 3 и KN1 = 6; КБ1 = 8 получим

^)* = 0,7425; (Р1)* = 0,7425.

Прибыль центра уменьшилась, а прибыль предприятия немного выросла:

J0 = 6,05-105 у. е.; J1 = 1,8*106 у. е.

Пример 9 (принуждение). Для данных примера 4 и КЫ1 = 6; КБ1= 8 получим, что

^)* = 0,866; (Р1)* = 0,9745;

J0 = 6,5-105 у. е.; J1 = 1,65*106 у. е.

Пример 10 (принуждение). Для данных примера 5 и КИ-1 = 6; КБ1 = 8 получим

(q1)* = 0,2475; (Р1)* = 0,7115;

J0 = 8,56*105 у. е.; J1 = 9,5-105 у. е.

Пример 11 (убеждение). В случае данных примеров 1—3, получим, что (Р1)* = 0,812. Совместная прибыль центра и предприятия ^с) значительно возросла, по сравнению с побуждением и принуждением; Jc = 1,84*10 у. е.

Пример 12 (убеждение). Для данных примера 4 также наблюдается значительный рост совместной прибыли субъектов управления, а именно

(Р1)* = 0,866; Jc = 6,278*106 у. е.

Пример 13 (убеждение). В случае данных примера 5 имеем (Р1)* = 0,6834; Jc = 4,85*106 у. е.

Все примеры исследовались методом сценариев путем имитационного моделирования [7]. Уравнения (5) и (6) решались численно по явной схеме метода конечных разностей с первым порядком аппроксимации по пространственной переменной и по времени по аналогии с работой [7].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обеспечение устойчивого развития экологоэкономических систем требует применения механизмов иерархического управления, содержащих административные, экономические и психологические составляющие и предполагающих применение методов иерархического управления—принуждения, побуждения и убеждения.

Метод принуждения позволяет поддерживать систему в устойчивом состоянии независимо от стратегий субъектов управления более низких уровней. Экономически такой подход к управле-

нию чаще всего оказывается невыгодным по сравнению с методом побуждения, который предоставляет всем субъектам управления большую свободу действий при принятии управленческих решений. С другой стороны, если у субъекта управления верхнего уровня недостаточно экономических рычагов воздействия на остальных субъектов управления, то метод побуждения может не работать, в то время как метод принуждения позволяет поддерживать систему в устойчивом состоянии.

Наиболее эффективным методом управления устойчивым развитием системы является метод убеждения, подразумевающий добровольную кооперацию субъектов управления для достижения цели, объективно отвечающей их общим интересам. В этом случае устойчивое развитие эколо-го-экономической системы достигается наиболее экономически выгодным для обоих субъектов управления способом.

Выбор метода управления в конкретной системе зависит от объективных (имеющихся у Ведущего возможностей воздействия на Ведомого, преследуемых им целей) и субъективных условий (уровня культуры субъектов управления).

Математические модели, разработанные в соответствии с приведенными принципами организации систем управления, применяются в системе Ростовского областного комитета по охране окружающей среды и природным ресурсам для решения задач, связанных с контролем качества речных вод.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рюмина Е.В. Анализ эколого-экономических взаимодействий. — М.: Наука, 2000. — 158 с.

2. Данилов-Данильян В.И., Лосев К.С. Экологический вызов и устойчивое развитие. — М.: Прогресс-Традиция, 2000. — 415 с.

3. Новая парадигма развития России. Комплексные исследования проблем устойчивого развития / Под ред. В.А. Коп-тюга, В.М. Матросова, В.К. Левашова. — М.: Academia; Изд-во МГУК, 1999. — 459 с.

4. Угольницкий Г.А. Управление эколого-экономическими системами. — М.: Вузовская книга, 1999. — 132 с.

5. Лаукс Д., Стединжер Дж., Хейт Д. Планирование и анализ водохозяйственных систем. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 400 с.

6. Фатхутдинов Р., Сивкова Л. Принуждение, побуждение, убеждение: новый подход к методам управления // Управление персоналом. — 1999. — № 2. — С. 32—40.

7. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Методы иерархического управления качеством воды с учетом манипуляции центра и контригры предприятий // Водные ресурсы. — 2004. — Т. 3, № 3. — C. 375—382.

е-mail: ougoln@mail.ru, usov@math.rsu.ru

Статья представлена к публикации членом редколлегии

Д.А. Новиковым. □