Имитационное моделирование поведения иерархических систем контроля качества водных ресурсов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.711.3+519.677

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА ВОДНЫХ РЕСУРСОВ

© 2009 г. А.Б. Усов

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

344090, Ростов н/Д, ул. Мильчакова, 8а, 344090, Rostov-on-Don, Milchakov St., 8a,

dnjme@math.sfedu.ru dnjme@math.sfedu.ru

Построена двухуровневая модель контроля качества водных ресурсов. Сформулированы и обоснованы вычислительные методы ее имитационного исследования. Предложенный алгоритм имитационного моделирования позволяет исследовать нелинейные задачи оптимального управления при наличии фазовых ограничений, в которых для описания динамики загрязняющих веществ используются нелинейные уравнения в частных производных

Ключевые слова: центр, промышленные предприятия, стандарты качества, имитация, побуждение, целевая функция, управляемая динамическая система.

The two-level models of the water resources quality checking were built. For these models there are worded and motivated the computing methods of their simulation studies. The offered algorithm of the simulation modeling allows to research the nonlinear problems of the optimum management at presence of the phase restrictions.

Keywords: the center, industrial enterprises, standards of quality, the imitation, the impulsion, the target function, controlled dynamic system.

Модели контроля качества речных вод, адекватно описывающие протекающие в эколого-экономических системах процессы, представляют собой нелинейные задачи оптимального управления при наличии фазовых ограничений, записанные с учетом иерархии в отношениях между субъектами управления [1-3]. Для описания динамики изменения концентраций загрязняющих веществ (ЗВ) в таких моделях часто используются нелинейные уравнения в частных производных с известной скоростью руслового потока. Решение подобных задач требует проведения детального аналитического исследования и разработки специальных вычислительных методов. Их аналитическое решение возможно только для специального вида входных функций в стационарном случае.

В общем случае решение проводится численно методом конечных разностей на основе методологии имитационного моделирования [2, 4, 5]. При этом нелинейные уравнения в частных производных, описывающие изменение концентраций ЗВ в речной системе, решаются методом конечных разностей, а возникающие оптимизационные модели исследуются методами имитационного моделирования путем перебора различных возможных сценариев изменения состояния эколого-экономической системы.

Математическая постановка задачи

При анализе устойчивого развития эколого-эконо-мических систем целесообразно трактовать их как иерархически управляемые динамические системы [3-5], простейшей из которых является двухуровневая система, включающая в себя источник воздействия верхнего уровня (Ведущий или Центр), источник воздействия нижнего уровня (Ведомый или промышлен-

ные предприятия), управляемую динамическую систему (УДС).

Взаимоотношения внутри такой иерархической системы устроены следующим образом: Ведущий воздействует на Ведомого и на УДС, Ведомый - на УДС. Ведущего и Ведомого вместе можно рассматривать как совокупный источник воздействия на УДС, имеющий иерархическую структуру. Воздействуя на УДС, Ведомый преследует какие-то свои эгоистические цели (например, получение максимальной прибыли в результате производства). Эти цели, вообще говоря, не совпадают с объективно существующими целями поддержания УДС в устойчивом состоянии. УДС никак воздействовать на Ведомого не может и является пассивным объектом. Нужен Ведущий, который, воздействуя на Ведомого и УДС, способен обеспечить поддержание УДС в устойчивом состоянии.

Пусть вдоль реки расположено N предприятий, которые сбрасывают ЗВ в реку вместе со сточными водами. Сбрасываемые ЗВ условно делятся на углерод- и азотсодержащие.

Деятельность предприятий контролируется правительственным органом (центром). Предприятия хотят максимизировать свою прибыль и, следовательно, разместить отходы своих производств без затрат на их утилизацию. Однако неконтролируемый сброс сточных вод ухудшает состояние окружающей среды. Чтобы заставить каждое производство компенсировать убытки от сброса в водоток его отходов, центр, регулирующий качество речной и сточных вод, взимает с предприятий плату за сброс ЗВ. Цель центра -максимизация средств, находящихся в централизованном фонде, его целевая функция имеет вид

; о = к- с А (со, со)+ о

N

+ ![ РС (Г? (0)(1-РС (г (() +

2=1

+ Т7/7(ТР)(1 -РР)IV" ] } с11 —» тахч\с .4 )" (1)

N

Ут(0 = I [ 1 - /Г'(0| ,т = п,с.

Здесь / - временная координата; Т"г (ЕГ(Т"^) - размер (функция) платы за единицу сброшенных углерод-и азотсодержащих (т=с и т=п соответственно) ЗВ на /-м предприятии в момент времени Wmi ((1-Рт)Шт) -количество ЗВ, сбрасываемых в реку /-м предприятием до (после) очистки сточной воды в единицу времени (т=п,с); Рт$) - доля углерод- и азотсодержащих (т=с и т=п соответственно) ЗВ, удаляемых на /-м предприятии в процессе очистки сточных вод; СА(у(/)) - функция, в которой отражены материальные потери общества из-за загрязненной воды (затраты на устройство новых мест отдыха в других регионах, дополнительные расходы по очистке речной воды для потребительских нужд населения и т.п.); у(1) - общее количество сброшенных в реку загрязнений; А - момент времени, до которого ведется рассмотрение.

Цель предприятий - максимизация прибыли, полученной в ходе своей хозяйственной деятельности, за вычетом затрат, связанных с очисткой сточных вод на предприятиях и платой за сброс ЗВ в водоток. Целевые функции предприятий записываются в виде

Jt= ¡{zR (Öi)-FC (Tñ (t))[1-Pñ (t)Wñ CO" (2) 0

- - pñtwñt) - F? (т? (/))[i - p? aw? сt) -

- Cnp (Рг" (0) w? (t)} dt max , P/1 ;j i = 1,...,N

где Стр(Рт1) - функции затрат /-го промышленного предприятия на очистку единицы сбрасываемых загрязнений от азот- и углеродсодержащих (т=п и т=с соответственно) ЗВ; Ф1 - производственные фонды; К(Ф) - производственная функция /-го предприятия;

- прибыль промышленного предприятия от реализации единицы произведенной продукции в момент времени t.

Динамика изменения производственных фондов /-го промышленного предприятия описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида

Л ..............(3)

dt

кХ). +Y-

i = 1,2,...,7V,

где к - коэффициент амортизации производственных фондов; У/ - инвестиции, задаваемые формулой (часть полученной предприятием прибыли идет на расширение производства, часть а, изымается из оборота)

¥г=2гКг(бг)-СЖ)ШГ-ЕГ(ТГ)(\-РГ)Шгй-

(4)

-Спр{P")W" -F?(7f )(1 -P?)W? -щ , /= 1,2,...,7V; at= const.

Пусть общее количество сбрасываемых ЗВ (до очистки) зависит от количества произведенной на предприятиях продукции линейно

W™ = {61); m = n,c\ Pi = const, (5) а производственные функции предприятий имеют

R1(61) = r16f-5- i = 1,2,...,7V; у, = const. (6) В качестве основных характеристик качества воды берутся концентрации углеродного и азотного биохимического потребления кислорода Bc(x,t), Bn(x,t) и концентрация растворенного в воде кислорода B"(x,t), изменение которых описывается нелинейными уравнениями переноса:

8Bm (x, t) дБ1 bvr

(x, t)

t

x

±JL

A dx

EA

8Bm (x, t)

x

-Km(Bm(x,t)) + Rm(x,t)

dB° (x, t) dB° (x, t) 1 д --—- + vx--—- =--

dt x dx A dt

EA

dB° (x, t) x

- К" В" (х,0 +К0 [В°йп (х,/) - В0 (х^)] - КСВС (х,^ + +^(х,0-^(х,0-^2(х,/) . (8)

Здесь координата х отсчитывается вдоль русла реки; 0 < х < Ь; Ь - длина исследуемого руслового участка; точки х,= х, соответствуют местоположению предприятий (/ = 1, 2, ..., Ы); Е - коэффициент дисперсии; А - площадь поперечного сечения реки; Q -расход воды в реке; ух - скорость руслового потока; Кп(Вп), Кс(Вс) - изменение во времени углеродного, азотного биохимического потребления кислорода из-за распада; Кс,Кп - коэффициенты убыли кислорода, вызванной его потреблением из-за углеродного и азотного биохимического распада; К0[ В°нас - В° ] -добавка растворенного кислорода вследствие реаэра-ции; В°нас - концентрация насыщения кислорода; Е0 -добавка вследствие фотосинтеза, ^ - потребление растворенного кислорода на дыхание; Е2 - придонное потребление растворенного кислорода. Функции Rc, К" определяются по формулам (т = п, с)

Rm{x,t) =

anee хфх^.

-ЩпЖЖ, Meé

А '■

т = п,с; / = \,...,Ы.

Уравнения (7), (8) рассматриваются с начальными Вт(х,0) =5™(х); т = с,п,о; 0<х<1 (9) и граничными (0 < / <А)

Вт <$,?) = В? 5т(1,/) = 53т(0; т = п,с,о (10) условиями. Здесь функции В°1, Вп1, В°1 (/ = 1, 2, 3) заданы.

Если функции Q, Е, А, ух считаются константами, не зависящими от х и (, то решение задачи (7) - (10) с использованием функции Грина записывается в виде

B'= expl - v

2E

2 t

v2~

-v2-+ ф

4E

L iL

+1 G(x, y/,t)rm (if/)d\// + J J G(x, y/,t-r)Hm (i//, t) di//dr

0 00 J

r m (X) = exp££)sr (X) + V? (0) + ^ У (0) - V? (0) LE L

vf = exp(v¡^/(4£) - C%t)B% (t)-,m= n,c,o; = exp(v^/(4i?) - C^t + vxL/(2E))B3m (¡f);

3

(11)

o

x

Щ = к0ВЪй (x,t) -КпВп- КСВС +Fq-f1-f2-,

Hm (x,t) = exp(vxx /(2E) + v2xt /(4E) - C™t)Rm (x,t)-

G(x, i//,t) = —< X exp L

]

Et

71 Yt . ЯП

sm, —хШ—у

С| = ка,я = с,п, С3° = -к0,ж = ЗД415.

Вычисление концентраций ЗВ в русловом потоке возможно или по формулам (11), или на основе (7) -(10) с использованием численных методов, например, метода конечных разностей.

Оптимизационные задачи (1), (2) решаются при следующих ограничениях на функции Pci Pni:

0<Р/* <1-е, т=п,с- г=1,2,...,ЛГ; 0</<А; (12)

0 < Тр < Т^х; т=п,с\ 0</<Л; г = 1,2,., (13)

где значения 7С|П(|,:. 7"П|(|;, заданы; значение величины 8 определяется технологическими возможностями очистки сточных вод на предприятиях.

Кроме того, известны предельно допустимые концентрации (ПДК), т.е. государственные стандарты на концентрации ЗВ в водотоке, на концентрацию растворенного в воде кислорода (0 < / < А)

(14)

и качество сточной воды, сбрасываемой в водоток (0 < I < А)

£ (0 [1 - Р," (01 + (0 [1 - Р,с (01

X i=1

Q0(t)

^ßmax ,(15)

ния всех параметров входных функций и параметров модели; вектора управляющих воздействий [6-8].

Совокупность перечисленных величин называется сценарием имитации. Каждому сценарию соответствует своя траектория динамической системы. Проблема заключается в том, что каждой из предложенных имитационных моделей можно сопоставить бесконечное множество сценариев, описывающих гипотетические варианты поведения системы. Поэтому при проведении имитационных расчетов величины варьировались поэтапно, и имитация проводилась в несколько шагов. Для проведения имитационных расчетов вначале строился дискретный аналог модели.

Построение дискретного аналога иерархической модели проведем на примере модели (1) - (15). Заметим, что дискретные аналоги уравнений (7), (8) и методы их решения рассматривались в [4, 5].

Введем разбиение временной координаты, т.е. точки 4= к А/; Д/ = А / Ы2; к = 0,1,2,...Д2-1, где 4- моменты времени, в которые центр и предприятия принимают решения о своих стратегиях на следующий временной период. Тогда критерий (1) запишется в виде

Ы2-1 N

Jо= £* I {-Са (ус (гк ), уп (гк))+![ (ТС (гк ))х (16) к=0 1= 1

X (1 - рс^шс^о + 1 - рр^шр^о ]}

-^шах^ ТС«к),Тп) 2к = 0,1,...,22 .

Критерий (2) записывается аналогично и принимает вид

ы2-\

J=At 2 {zR (Ог (tk ))-CP (PP)WP (tk )-

(17)

k = Q

- FC (TP (tk ))[1 - PP ]WP (tk)- F P (TP (tk ))[1 - PP ] W P (tk) -

где Q - расход воды на /-м промышленном предприятии в некоторый момент времени 4 значение Qmax задано.

Ниже предлагается алгоритм исследования динамической иерархической двухуровневой модели управления качеством речной воды, описываемой системой нелинейных уравнений и неравенств (1) - (15). В этом случае решается нелинейная задача оптимального управления при наличии фазовых ограничений с учетом иерархии в отношениях между субъектами управления.

Имитационное моделирование иерархических задач контроля качества речных вод

При исследовании моделей контроля качества речных вод аналитические методы находят лишь весьма ограниченное применение. С другой стороны, предложенные модели в дискретной форме представляют собой готовую вычислительную схему, и идея использовать для ее анализа вычислительную технику естественна - нужно только правильно организовать процесс.

Суть имитационного моделирования заключается в использовании модели и ЭВМ для ответа на вопрос: «Что будет с иерархической системой, если ...».

Для проведения имитационных расчетов по предложенным моделям необходимо задать вид и значе-

-cp(pp) wп(tk)}->max

Я 2-l

\tk),PP (tk) ¿0

Соотношения и уравнения (3) - (15) в разностной форме выписываются аналогично. В качестве метода иерархического управления используем метод побуждения [4, 9].

Алгоритм имитационного моделирования для двухуровневой модели (1) - (15) при побуждении состоит в следующем:

1. Задаются вид и значения всех входных функций и параметров исследуемой модели.

2. Зная рельеф дна речной системы, другие гидродинамические показатели, можно решить уравнения Навье-Стокса движения вязкой сжимаемой жидкости и определить скорость движения воды в речной системе.

3. Задается текущая стратегия центра, т.е. текущие значения функций Т™(/к); / = 1, 2, ... ,Ы; к = 0, 1, ... , N2-1; т = п, с.

4. Путем перебора возможных ответов предприятий с некоторым шагом осуществляется выбор их оптимальных значений, т.е. осуществляется построение функций

0=

N - 1; т = п, с, максимизирующих критерии (17).

<Г(/Л)>= 4Г«к)У?«к)1 i= 1,2,...,N;£=0,1, ...

2

лп

L

5. Проводится проверка выполнения стандартов качества речных и сточных вод (14), (15). При этом используются соотношения (11) или задача (7)-(10), которая решается методом конечных разностей [5]. Если условия (14), (15) не выполнены, то осуществляется переход на п. 6 алгоритма. В противном случае проводится сравнение текущей стратегии центра с оптимальной на данный момент выполнения алгоритма и определение очередного приближения к равновесию в системе, т.е. пары сеточных функций

; т = и,с,

im(tk)Ar(tk)

k=0(i=\)

где

а

6. Если число итераций не исчерпано, то проводится выбор новой стратегии центра путем возмущения текущей стратегии. После этого осуществляется переход на п. 4 алгоритма.

Таким образом, за конечное число итераций предложенный алгоритм имитационного моделирования позволяет построить приближенное решение модели (1)—(15), т.е. найти равновесие иерархической системы контроля качества речной воды.

После нахождения приближенного равновесия системы возможно его последующее уточнение путем изменения границ допустимых управлений всех субъектов управления.

Таким образом, предложены и обоснованы вычислительные методы имитационного исследования систем контроля качества речных вод, описываемых многоуровневыми моделями, построенными на основе иерархического подхода к организации систем управле-

ния эколого-экономическими объектами, применения методов иерархического управления, учета требования устойчивого развития системы. Описанный алгоритм имитационного моделирования позволяет исследовать различные нелинейные многоуровневые модели контроля качества речной воды, в которых, в частности, изменение концентраций ЗВ описывается нелинейными уравнениями в частных производных.

Литература

1. Лаукс Д., Стединжер Дж., Хейт Д. Планирование и

анализ водохозяйственных систем. М., 1984. 400 с.

2. Системный подход к управлению водными ресурсами

/ под ред. А.М. Бисваса М., 1985. 392 с.

3. Угольницкий Г. А. Управление эколого-экономическими

системами. М., 1999. 132 с.

4. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Методы иерархического

управления качеством воды с учетом манипуляции центра и контригры предприятий // Водные ресурсы. 2004. Т. 3, № 3. C. 375-382.

5. Усов А.Б. Модели иерархического управления качест-

вом водных ресурсов. Ростов н/Д, 2006. 291 с.

6. Меншуткин В.В. Имитационное моделирование водных

экологических систем. СПб., 1993. 160 с.

7. Цвиркун А.Д., Акинфиев В.К., Филиппов В.А. Имитаци-

онное моделирование в задачах синтеза структуры сложных систем (оптимизационно-имитационный подход). М., 1985. 174 с.

8. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - ис-

кусство и наука. М., 1978. 424 с.

9. Фатхутдинов Р., Сивкова Л. Принуждение, побужде-

ние, убеждение: новый подход к методам управления // Управление персоналом. 1999. № 2. С. 32-40.

Поступила в редакцию

18 января 2008 г.