М е т о д п р и н у ж д е н и я к а к м е т о д у п р а в л е н и я т р е х у р о в н е в ы м и и е р а р х и ч е с к и м и с и с т е м а м и Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 628.19:628.54

МЕТОД ПРИНУЖДЕНИЯ КАК МЕТОД УПРАВЛЕНИЯ

ТРЕХУРОВНЕВЫМИ ИЕРАРХИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

© 2004 г. Г.А. Угольницкий, А.Б. Усов

The method of management of three-level hierarchical monitoring systems of quality of river water is offered. The algorithm of construction of balance of system is specified, the characteristic examples are given.

Исследуются системы управления, включающие источники воздействия 3 уровней: верхнего - федеральный центр (ФЦ), среднего - местные органы управления (ОУ), нижнего - промышленные предприятия (ПП) и управляемую динамическую систему (УДС или водоток). Предполагается, что взаимоотношения между элементами исследуемой системы устроены следующим образом: ФЦ воздействует на ОУ, ОУ - на ПП, а ПП - на УДС. ФЦ и ОУ могут воздействовать на УДС непосредственно. ОУ определяют размеры и функции платы за сброс ПП загрязнений в водоток, минимально допустимые степени очистки сточных вод на ПП и стремятся к максимизации поступающих к ним от ПП средств. ФЦ поддерживает УДС в некотором устойчивом состоянии и выделяет средства на очистку речной воды от ЗВ. Опосредованное воздействие ФЦ на УДС осуществляется путем определения части средств, полученных с ПП в виде платы за сброс загрязнений в водоток, остающихся у ОУ. Приводится один из методов иерархического управления (метод принуждения), позволяющий ФЦ добиться выполнения установленных стандартов качества воды и получить в свое распоряжение максимально возможное количество средств.

1. Постановка задачи

Целевая функция ФЦ имеет вид

J о = 1

N

Cф (yc (t), Уп (0) + х HC (ОFc T (t))(1 - PC (t))WiC (t) + i=1

kn r= 1 ^

+ Fn(Tn(t))(1 - Pn(t))Wn(t) )]dt

где ґ - временная координата; Тт 1 (Еіт(Тті)) - размер (функция) платы за единицу сброшенных углерод- и азотсодержащих (т = с и т = п соответственно) ЗВ на і -м ПП в момент времени ґ; Wm 1 ((1-Рт 1) Wmi) - количество ЗВ, сбрасываемых в реку і-м ПП до (после) очистки сточной воды в единицу времени (т = п, с); Рт і (ґ) -доля углерод- и азотсодержащих ЗВ, удаляемых на і - м ПП в процессе очистки сточных вод; Д - момент времени,

до которого ведется рассмотрение;

Нс,пі (ґ) - доля платы ПП за сброс загрязнений в водоток, остающаяся у ФЦ в момент времени ґ; СФ - функция затрат ФЦ на очистку речной воды.

ОУ стремятся к максимизации

средств, поступающих к ним от предприятий в виде платы за сброс загрязнений, за вычетом расходов из местного бюджета на очистку речной воды. Целевая функция ОУ имеет вид Д~

Jy = 1

N

- Co (yc (t), Уп (t)) + X ((1 - HC (t))FC (TC )(1 -i=1

- PC)WiC + (1 - HП)Fn(Tn(t))(1 - Pn(t)Win (t) )]dt ^

(2)

где C0 - функция затрат ОУ на улучшение качества речной воды; qm,■ - минимально допустимые степени очистки сточных вод (m = n, c).

Цель ПП - максимизация своей прибыли, т. е.

АГ

J = j [zR (Ф) - Cp (PC) - Cnp (pn) - FC (TC )(1 - Pc )Wc -

0

- Fn (Tp )(1 - pp)wp )] dt ^ max (pc, pn ) i = 1,2,.., N (3)

Динамика изменения производственных фондов i-го предприятия описывается линейным дифференциальным уравнением с коэффициентом амортизации производственных фондов ki (вся получаемая предприятиями прибыль идет на расширение производства). Общее количество сбрасываемых ЗВ (до очистки) зависит от количества произведенной на предприятиях продукции линейно с коэффициентами пропорциональности J3™

(m = n, c). Производственные функции предприятий имеют вид

Ri (0i) = ^Ф0,5, i = 1, 2,..., N, Yi = const.

Основные характеристики качества воды описываются уравнениями изменения концентраций углеродного (m = c) и азотного (m =n) биохимического потребления кислорода и изменения концентрации растворенного в воде кислорода

о

д Bm (x, t) д Bm (x, t) 1 д

+v

д t

- KmBm (x, t) +

EA

д x A д x Wm (x, t) (1 - Pm (x,t))

д Bm (x, t)

д x

A

(4)

д B0 (x, t) д B0 (x, t) 1 д

- + vx -

д t

д x

A д t

EA

д B0 (x, t) д x

- Kn Bn (x, t) + ^^с (x, t) -

- 5° (X, г)] - КСВС (X, /) + ¥0 (X, г) - ¥ (X, г) - Г2 (X, /) .

Здесь пространственная координата х отсчитывается вдоль русла реки (0 < X < Ь), Ь - длина реки; точки X=X1 соответствуют местоположениям предприятий (I =1,2,...,М); Е - коэффициент дисперсии; А - площадь поперечного сечения реки; Q - расход воды в реке; vx - скорость воды в реке; КпВп, КСВс - изменение во времени углеродного, азотного биохимического потребления кислорода из-за распада (КС,т=соп81); постоянные КС,Кп - коэффициенты убыли кислорода вследствие углеродного, азотного биохимического распада; К° [В°нас-В0] - добавка кислорода вследствие реаэрации;

B0

- концентрация насыщения кисло -

рода; К0=сопБ1; ¥0 - добавка вследствие фотосинтеза, ¥: - потребление растворенного кислорода на дыхание; Г2 -

придонное потребление растворенного кислорода. Функции Wc, ^,РС,Рп отличны от нуля только в точках X,

(I =1,2,...,:ы).

Уравнения (4) рассматриваются с начальными и граничными условиями

(0< г <Д)

Вт (x,0) = В" (X), т = с, п, °, 0 < X < Ь,

Вт (0, г) = Вт (г), Вт (Ь, г) = В3т (г), т = п, с, °, Функции ВС1, Вп,, В°, (I =1,2,3) заданы.

Оптимизационные задачи (1)-(3) решаются при ограничениях

0 < ТС < Тс 0 < Тп < Т" 0 < г <Д I = 1 2 N

и — 1г — 1г — 2шах> и — 1 — 1 ^

дС <РС <1 -е; д” < Р,п <1 -е; 0 < дС <1 -е; 0 < дС <1 -е; 0 < НС < 1; 0 < ЕС < 1

(значения Tcmax, Tnmax заданы) с известными стандартами качества речной и сточных вод (0<г<Д)

0<Вс <ВШах, 0<Вп <ВШах, вШ 1п <В° (0<г<Д)

N Win (t) [l - p; (t)]+wc (t) [l - pc (t)]

Qi (t)

— Qm

2

,=1

где Q01( г) - расход воды на , - м предприятии в момент времени г.

2. Принуждение

В случае принуждения [1] ОУ выбирают минимально допустимые степени очистки сточных вод на ПП. Величины

платы за сброс загрязнений в этом методе управления остаются постоянными.

Алгоритм построения равновесия принуждения

1. В результате минимизации критериев (3) с ограничениями (5) определяются оптимальные стратегии ПП в зависимости от управлений ОУ -(РС’п,)*(дС’п„ ТС,п1 ); г = 1,2,...^.

2. Найденные в п.1 алгоритма опти-

мальные стратегии ПП подставляются в (2). После этого осуществляется максимизация критерия (2) по { дт (т = п,

с) при фиксированных Тт 1 (г =1, 2,...^; т=п, С). В результате определяются оптимальные управления ОУ в зависимости от стратегии ФЦ - (дС’пг)*( НС п1 ).

3. Максимизируется критерий (1), в который подставляются найденные на предыдущих шагах алгоритма функции. Оптимальными для ФЦ являются величины, приносящие ему максимальный доход при выполненных условиях (6).

4. Равновесие принуждения определим как набор величин

{(ИС1)*,(ИП1)*; иС1Кип0,; (РС1),,(РП1), >1 = 1М

где иСЛ). = иСЛ)*( (Ис,п1)* ); (Рс,п1), = (Рс,п1)*( иСЛК тС,п1 ).

Если при любом управлении ОУ (Рш1)* = 1 - е ; ш=п,с то равновесие принуждения определяется равенствами (1=1,2,...,М)

(Рш1). = иш0. = 1 - е; (Иш1)* = 1;

ш=п,с(7)

Если при любом управлении ФЦ ^ш0* = 1 - е; 1=1,2,...,М; ш=п,с

то справедливы формулы (7). В противных случаях равновесия принуждения определяются в результате имитации.

Пусть Бс1( Т ) = Ас Т; Бп1( Т ) = Ап

Т.

ССр(У) = Бс У / (1-У); Спр(У) = Бп У / (1-У); Бс,Бп=соп81;

С Ф (х,у) = Сс! х + Сп! у; Со(х,у) = СС2

х + Сп2 у;(8)

Если Бш < Бш1( ТШ1 ); 1=1,2,...,М;

ш=п,с

---!------- ТГт (ТтЛ— Ст —Ст

вт /рт (Тт) ¥ (Т ) с1-----^, = 1,2,..., N и

¥т (Т,т) - с"' стандарты качества выполняются при

Рт = 1 -д/Бт/г" (Т, т); т = п, с; г= 1,2,..., N; г е [0, Д],

то равновесие принуждения определяется равенствами

/и"\* 1 п" I т?" (т"\ / "\ /г>"\ 1

(Н, ) = 1 - с2 / ¥ (Т, ) -е (д, )* = (Р, )* = 1 -

(9)

В противных случаях, по крайней мере в какой-то момент времени выполняются равенства

нас

(Hm) = 1; (q™ )* = (pm )* = 1 -e; m = n,c

(10)

Если Dm > Fm1( Tm1 ); m = n,c; i=1,2,...,N,

- f™ (Tlm)+cm + с m

e < ----- -1--^; i = 1,2,..., N

f™ (Tlm) - Cl*

и стандарты качества выполняются при РШ1 = 0; 1=1, 2,...,:ы; I е [0, Д];

ш = п, с,

то равновесие принуждения определяется равенствами

(Н" )* = 1 - с2" / Г" (Т,т) - е1; (д" )* = (Р" )* = 0

В противных случаях по крайней мере, в некоторый момент времени выполняются равенства (10).

Пример 1. Исследуем модель (1) - (6) в случае (8) и

N = 2; Тс10 = 50 у. е.; Тп1>:1 = 20 у. е.; 1=1,2,...,:Ы; ] = 0,1,...^2; 72 = 20’ сут-1; Бс = 30;

Бп = 5; Рп1>2(Т) = 2*Т; Тшахс,п = 1000 у. е.; РС1>2(Т) = 0,5 * Т; кс = 0,03 сут;

Р С1 = 0,004 мг / (сут у. е.); р С1 = 0,003 мг / (сут у. е.); кп = 0,01 сут-1;

А= 100 м2; 001 = 106 м3/сут; Ь=100 м;

Е = 24000 м2/сут; Б1 = 0 мг / (л сут);

Вп1 = 5 мг/л; Во1 =10 мг/л; ВС1 =7 мг/л;

1 = 0,1,2; х! = =20 м; х2 = 60 м;

Сс 1 = 40 (сут у. е.) / мг; Сп1 = 60 (сут у. е.) / мг; ух = 0,1м / с; у 1 = 0,2 у. е.;

к1= 0,001 сут-1; 1 = 1,2; е = 0,001; 71 =

25 сут-1; Ф0 = -=1015; Д = 365 сут;

ко = 0,2сут-1; Ошах = 0,4; Вонас = 18 мг/л; Вшах = 14 мг/л; ВоШ1п = 4 мг/л;

Кп = 0,04 сут-1; Кс = 0,06 сут-1; Сс2 = 30 (сут у.е.)/мг; Сп2 = 70(сут у.е.)/мг.

В этом случае равновесие принуждения определяется формулами (10) и

Яф = 473 у.е.; Яу = -1,6■ 104 у.е.;

Я = -2,3-1011 у. е.; Я2 = -2,5-Ю11 у. е. где ЯФ, Яу, Яь Я2 - величины средств, оставшихся у ФЦ, ОУ и ПП соответственно, после учета всех их расходов.

Пример 2. В случае входных данных примера 1 и

Тп1 = 3 33 у. е.; ТС1 = 100 у. е.;

1=1,2

равновесие принуждения определяется формулами (10) для величин, связанных с углеродсодержащими ЗВ, и (9) для величин, связанных с азотсодержащими ЗВ (1=1,2)

(Ис1)* = 1; (Ип1)*= 0,89; ^с0. = (Рс0-

= 0,999; ^п1)* = (Рп1). = 0,91;

ЯФ = 6,47-106 у. е.; Яу= 1,2-105 у. е.; Я = -2,0-1011 у.е.; Я2= -2,1-1011 у. е.

Пример 3. В случае входных данных примера 2 и ТС1 = 390 у. е. (1=1,2)

равновесие принуждения определяется формулами (9) (1=1,2)

(ИС1)* = 0,85; (Ип1)*= 0,895; ^с0. =

(РС1). = 0,61; ^п0. = (Рп1). = 0,91;

ЯФ = 1,65-107 у. е.; Яу = -6.17-105 у. е.; Я!= 5,16-1010 у.е.; Я2= 4,1-1010 у. е.

Пример 4. В случае входных данных примера 3 и РС1 2 = 0,08 мг/(сут у.е.) получим (ИС1)* = 1; (Ип1)*= 0,89; ^с0. = (Рс0. =

0,999;

ип0. = (Рп1). = 0,91;

ЯФ = 7,09-106 у.е.; Яу= -2,76-106 у.е.;

Я1= -5,06-1012 у.е.; Я2 = -5,11012 у.е.

Все рассмотренные примеры исследовались методами имитационного моделирования. Имитация осуществлялась перебором возможных сценариев развития динамической системы. Строился дискретный аналог модели, функционалы расписывались с использованием формул численного интегрирования [2]. Уравнения [4] решались численно - методом конечных разностей (МКР) со вторым порядком аппроксимации по пространственной переменной и первым по времени.

Выводы

Для (ПП) выгодно, чтобы размер платы за сброс загрязнений был, с одной стороны, больше некоторой величины СШ1п (для ФЦ, а следовательно, и для ОУ должна стать экономически невыгодной максимально возможная степень очистки сточных вод на предприятиях), с другой

- меньше величины Сшах (плата не должна быть " слишком большой" с точки зрения ПП). В примерах 1-3 увеличение величины платы за сброс загрязнений привело к росту (!) прибыли ПП, дальнейшее увеличение платы за сброс загрязнений уменьшает прибыль ПП. В примере 3 рост величин Тс1; 1=1,2, по сравнению с примерами 1,2 приводит к изменению оптимальной для ФЦ стратегии управления (переход от стратегии ( 1 0) к стратегии (9)). Рост величин ТШ1 (1=1,2; ш = п,с) может привести к увеличению объема средств, остающихся у ФЦ, и одновременно к уменьшению объема средств, поступающих к ОУ. Последний факт иллюстрирует прямую противоположность в ряде случаев интересов ОУ и ФЦ.

Ухудшение экологической обстановки (пример 4) заставляет ФЦ вспомнить о его основной цели (необходимости выполнения условий (6) и приводит к изменению оптимальных стратегий (воз-

врат к стратегии (10), хотя она и приносит ФЦ меньше прибыли, чем (9)).

Наличие трех уровней управления делает процесс управления менее гибким и эффективным по сравнению с двухуровневыми системами. В примерах 2, 4 это приводит к уменьшению совместного дохода ФЦ, ОУ и ПП по сравнению с двухуровневыми моделями [3].

Ростовский государственный университет

Литература

1. Угольницкий Г. А. Управление эколого-экономическими системами. М., 1999.

2. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.. 1989.

3. Угольницкий Г. А., Усов А. Б. //

Водные ресурсы. 2003. Т. 30. № 2. С. 250-256.

__________________21 октября 2003 г.

2б