If-группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 1(9)

МАТЕМАТИКА

УДК 512.541

С.Я. Гриншпон, М.М. Никольская (Савинкова)

/^-ГРУППЫ1

В настоящей статье исследуются /Р-группы, то есть группы, содержащие собственные вполне характеристические подгруппы, изоморфные самой группе. Доказаны некоторые общие свойства /Р-групп, установлена связь между сепарабельными /Р-группами и их базисными подгруппами. Получено полное описание периодически полных /Р-групп.

Ключевые слова: Ш-группа, вполне характеристическая подгруппа, широкая подгруппа, инварианты Ульма - Капланского, периодически полная группа.

Исследованию абелевых групп, содержащих собственные подгруппы, изоморфные самой группе, посвящен ряд работ. Например, в [1] рассматривались следующие группы:

/-группы - группы, изоморфные собственной подгруппе;

/Р-группы - группы, изоморфные собственной сервантной подгруппе;

/О-группы - группы, изоморфные собственному прямому слагаемому.

В частности, в [1] доказано, что если О - редуцированная абелева группа, такая, что О/рО - конечная группа для любого простого числа р, то О не является /О-группой.

В [2] исследуются абелевы р-группы, не содержащие собственных сервантных плотных подгрупп, изоморфных самой группе.

В [3] рассматриваются квазиминимальные группы. (Абелева группа А называется квазиминимальной, если она изоморфна всем ее подгруппам той же мощности, что и сама группа А.) В [3] доказано, в частности, что если О - бесконечная абелева р-группа, то О - квазиминимальная группа тогда и только тогда, когда О = Z(p“) или О является прямой суммой циклических групп порядка р.

В настоящей статье исследуются абелевы группы, содержащие собственные вполне характеристические подгруппы, изоморфные самой группе.

Определение 1. Абелеву группу назовем /Р-группой, если она изоморфна некоторой собственной вполне характеристической подгруппе.

Всюду далее в этой статье под словом «группа» будем понимать аддитивно записанную абелеву группу.

Для исследования /Р-групп нам понадобятся следующие результаты.

Теорема 1 [4, теорема 2.8]. Пусть В = © Вк , где Вк = © Z(pk). Ь - вполне харак-

кчИ

теристическая подгруппа группы В тогда и только тогда, когда Ь = © рПкВк , где:

кЕМ

1 Авторы поддержаны ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы», Государственный контракт П 937 от 20 августа 2009 года.

1) пК < k для всех k е К;

2) пК < пК+г < пК+г для всех К е К, г е N.

Теорема 2. Если А = © А, и £ - вполне характеристическая подгруппа группы

2'еI

A, то £ = ©( £ п А), где £ п А, - вполне характеристическая подгруппа группы А,

1е1

для каждого / е I.

Эту теорему можно доказать, обобщая рассуждения, проведенные в [5] при доказательстве леммы 9.3.

Рассмотрим вначале случай ограниченных групп.

Теорема 3. Всякая ограниченная р-группа не является ТР-группой. Доказательство. Пусть В - ограниченная р-группа и рт - наибольший из

т

порядков элементов группы В. Тогда В = © ВК , где ВК = © Z(pk) [5, с. 107]. Пусть

К=1

Ь - вполне характеристическая подгруппа группы В. Тогда по теореме 1

Ь = р”1В1 © р”2В2 ©... © рптВт ,

где пк удовлетворяют неравенствам 1) и 2) этой теоремы. Если пт = 0, то из того, что п2 < п2 <...< пт = 0, получаем, что Ь = Вх © В2 ©...© Вт = В, а следовательно, Ь не является собственной подгруппой группы В. Значит, пт > 1. Имеем

р”тВт = ©Z (т-”т), откуда следует, что в группе Ь нет циклических прямых

слагаемых порядка рт и поэтому Ь не изоморфна В. ■

Лемма 4. Пусть А = © А, и пусть С = © С, = © С’, где С,■ и С- - подгруппы

геI iеI iеI

группы Аг для каждого г е I. Тогда С{ = С/ для каждого г е I.

Доказательство. Покажем, что С, с С/ . Пусть с, е С,-. Тогда с,- е С и, следовательно, с, е© С'. Имеем с, = с' + с,' +... + с' , где с' е С' , ь е I, / = 1, к . Так

? Ь ?2 ,к ^ ‘г 1^3 ’

,е! 1 2 К ] ]

как С{ и С' - подгруппы группы А,- для каждого , е I, то с,- е А,, с, е А . Учитывая, что А - прямая сумма групп А, (, е I), получаем, что для некоторого . (. = 1, к) . = , и с;. = с,, а для всех остальных . с\. = 0 . Значит, с, е С\. Аналогично, С с С, для каждого , е I. Следовательно, С, = С■ для каждого , е I. ■ Теорема 5. Пусть В = © В,, где В, - вполне характеристическая подгруппа

2'еI

группы В для каждого , е I. В является /^-группой тогда и только тогда, когда существует хотя бы один индекс I е I, для которого группа В, является №-группой.

Доказательство. Необходимость. Пусть £ - собственная вполне характеристическая подгруппа группы В, такая, что В = £. Имеем £ = © £,, где £ = £ п В, -

;еI

вполне характеристическая подгруппа группы В, для каждого I е I. Пусть ф - изоморфное отображение группы В на £. ф можно рассматривать как эндоморфизм группы В. Обозначим через ф,- (, е I) ограничение эндоморфизма ф на подгруппе

B,. Так как В, - вполне характеристическая подгруппа группы В, то ф, - эндоморфизм группы В, для каждого I е I. Пусть Ь е В, Ь = Ь^ + Ь^ +... + Ь^ , где Ь, е В, ,

] е I, ] = 1, к . Имеем

фЪ = ф ( + ь12 +... + ък) = ф) + фъ,2 +... + Фьгк = Фг1 ьч + фг2 ь2 +... + ф^ ък. Следовательно, фВ = ^фгВг- . Так как фВ с В, то ^фгВг- = © фВ [5, с. 50].

iеI геЛ ге1

Итак, 5 = фВ = © фгВг и 5 = © 5-, где фВ и Si - подгруппы группы Вг для каждо-

ге! ге!

го г е I. По лемме 4 ф,В,- = <%. Так как ф - изоморфизм, то Кег ф = 0 и, следовательно, Кег фг = 0 для каждого г е I. Значит, фг - изоморфное отображение Вг на <%. Учитывая, что 5 Ф В, получаем, что существует хотя бы один индекс г0 е I, такой, что Вг = 5 и Вг Ф 5 , т.е. группа Вг является ^Р-группой.

Достаточность. Пусть В = © Вг, где Вг является вполне характеристической

ге!

подгруппой группы В для каждого г е I. Пусть для некоторого г0 е I Вг0 является ^Р-группой. Докажем, что В является ^Р-группой. Так как Вг - ^Р-группа, то существует собственная вполне характеристическая подгруппа 5г группы Вг , такая, что = Вг . Пусть 5 = 5 +^ © В, Л . По свойствам прямых сумм [5, с. 50]

V ]Фг0 /

получаем, что 5 = 50 ©^ © В, Л. Так как 50 Ф Вг0 , то 5 - собственная подгруппа

0 ,0 У 0 0

группы В. Из того, что = Вг0, получаем, что

5 = 5, ©Г © В, Л = В, ©Г © В, Л = © В, = В ,

г0 I е 1 I г0 I 1 I геI г

V1 Фг0 У V1 Фг0 У

т.е. В. Пусть п - произвольный эндоморфизм группы В и «е 5. Тогда

5 = «г0 + Ъ + Ъг2 +... + Ъгк , где Ъг] е Д , г] е I, ] = 1 к , «г0 е 5г0 . Имеем

П« =П(«г0 + Ъ + Ъг2 + ... + Ъгк ) = П«г0 +ПЪг1 + ПЪг2 + ... + ПЪгк •

Так как В 1 - вполне характеристические подгруппы группы В для каждого ] = 1, к , то пЪ, е в, . 5^ является вполне характеристической подгруппой группы В , а В является вполне характеристической подгруппой группы В. Значит, 50 - вполне характеристическая подгруппа группы В, и поэтому п«0 е 50. Получили, что п« е 5 для произвольного элемента « е 5 и, следовательно, 5 - вполне характеристическая подгруппа группы В. Таким образом, В содержит собственную вполне характеристическую подгруппу 5, такую, что 5 = В, т.е. В - ^-группа. ■

Следствие 6. Периодическая группа является ^Р-группой тогда и только тогда, когда некоторая ее р-компонента является ^Р-группой.

Доказательство. Действительно, пусть А - периодическая группа. Тогда А = ©Ар [5, с. 55], где Ар - р-компоненты группы А. Ар являются вполне характер

ристическими подгруппами группы А. По теореме 5 получаем утверждение следствия. ■

Теорема 7. Всякая ограниченная группа не является /^-группой.

Доказательство. Пусть В - ограниченная группа. Тогда В - периодическая группа. Понятно, что любая р-компонента группы В - также ограниченная р-группа. Поскольку по теореме 3 ограниченные р-группы не являются №-группами, то в силу следствия 6 группа В не является /^-группой. ■

Рассмотрим нередуцированные и делимые р-группы.

Пусть А -р-группа. Через А[рк], где к - целое неотрицательное число, обозначим, как обычно [5, с. 15], следующую подгруппу группы А: {аєА| рка = 0}; если же к = да, то полагаем А[р“] = А. Если а - элемент порядка рк группы А, то через е(а) обозначим его экспоненту, то есть е(а) = к. Далее нам понадобится следующий результат, в котором мы используем то, что всякую абелеву группу А можно

представить в виде A = R Є DG Є , где R - редуцированная группа, DG -

делимая группа без кручения, Бр - делимые р-группы (р пробегает множество всех простых чисел; некоторые из групп Я, Бо, Бр могут быть нулевыми).

Теорема 8 [6]. Пусть А - абелева группа, А = Я © Б0 © I © Бр I, где Я - реду-

цированная группа, В0 - делимая группа без кручения, Вр - делимые р-группы. Подгруппа 5 группы А вполне характеристична в А тогда и только тогда, когда она имеет один из следующих двух видов:

стическая подгруппа группы Я (Яр' - р-компонента группы Я') и

кр > Бир{е (г) | г е Яр > (кр - целое неотрицательное число или символ да);

2) S = RЄDg ЄІ ЄDp I, гдеR' - вполне характеристическая подгруппа груп-

Теорема 9. Нередуцированная р-группа A является /F-группой тогда и только тогда, когда ее редуцированная часть является /F-группой.

Доказательство. Необходимость. Пусть A - нередуцированная р-группа. Тогда она имеет вид A = R©Dp, где Dp - делимая р-группа, R - редуцированная р-группа. Пусть A - /F-группа, тогда существует такая вполне характеристическая подгруппа S группы A, что S = A и S Ф A. По теореме 8 S имеет один из следующих двух видов:

1) S = R' © Dp pkp J, где kp > sup {e (r) | r e R'}, R' - вполне характеристическая подгруппа группы R;

2) S = R' © Dp, R' - вполне характеристическая подгруппа группы R.

Рассмотрим первый случай. Пусть kp Ф да, тогда Dp pkp J = {d e Dp | pkp d = o}

- ограниченная группа, а значит, она не содержит делимых подгрупп. Следовательно, S - редуцированная группа. Так как A - нередуцированная группа и S = A, то получаем противоречие.

Если kp = да, то первый случай совпадет со вторым.

p

i) S = R Є

, где R' = eRp ' - периодическая вполне характери-

p

p

пы R.

Рассмотрим второй случай. Пусть 5 = Я' © Бр, где Я' - вполне характеристическая подгруппа группы Я. Так как А = Я©Бр и 5 = А, то получаем, что Я' = Я и Я' - собственная подгруппа группы Я. Значит, Я - /^-группа.

Достаточность. Пусть А - нередуцированная р-группа вида А = Я©Бр. Пусть Я - /^-группа. Тогда существует вполне характеристическая подгруппа Я' группы Я, такая, что Я' = Я и Я' ф Я . Рассмотрим группу 5 = Я' © Бр . 5 - собственная вполне характеристическая подгруппа группы А и 5 = А. Следовательно, А -/^-группа. ■

Теорема 10. Делимая р-группа не является /^-группой.

Доказательство. Пусть А - делимая р-группа, тогда А = Др. Предположим противное, пусть А - /^-группа. Тогда существует такая вполне характеристическая подгруппа 5 группы А, что 5 = А и 5 фА. Тогда по теореме 8 имеют место следующие случаи:

1) 5 = Бр ркр ^, где кр- любое целое неотрицательное число или да;

2) 5 = Бр.

Рассмотрим первый случай. Если кр ф да, то 5 = Бр ркр ^ = {ё е Бр | ркр ё = о}

- ограниченная группа, а значит, она не является делимой группой. Так как А -делимая р-группа и 5 = А, то получаем противоречие.

Если кр = да, то 5 = Бр, и первый случай совпадет со вторым.

Рассмотрим второй случай. Пусть 5 = Бр. Так как А = Бр, то 5 не является собственной подгруппой группы А. Значит, А - не является /^-группой. ■

Теорема 11. Делимая периодическая группа не является /^-группой.

Доказательство. Пусть А - делимая периодическая группа. Тогда А =© Ар ,

р

где Ар - делимые р-группы. Применяя теорему 10 и следствие 6, получаем, что А не является /^-группой. ■

Теорема 12. Для нередуцированной периодической группы А следующие условия эквивалентны:

1) А является /^-группой;

2) некоторая р-компонента группы А не является делимой группой и имеет редуцированную часть, которая является /^-группой;

3) редуцированная часть группы А является /^-группой.

Доказательство.

1) ^ 2) Пусть А - нередуцированная периодическая группа, являющаяся №-группой. Тогда по следствию 6 некоторая ее р-компонента является /^-группой, причем по теореме 10 эта р-компонента не является делимой группой. Применяя теорему 9, получаем, что в этой р-компоненте ее редуцированная часть является /^-группой.

2) ^ 3) Каждую из р-компонент Ар группы А можно записать в виде Ар = Яр©Бр, где Яр - редуцированная р-группа, а Вр - делимая р-группа. Тогда редуцированная часть Я группы А может быть записана в виде Я = © Яр . Так как

р

хотя бы одна из групп Яр в силу условия 2 является /^-группой, то по следствию 6 группа Я является /^-группой.

3) ^ 1) Пусть Яр и Вр соответственно редуцированная и делимая части р-ком-поненты Ар группы А, то есть Ар = Яр©Бр. Тогда имеем А = (©Яр)©(©Бр).

Понятно, что ©Яр - редуцированная часть группы А. В силу следствия 6 для не-

р

которого простого числа р группа Яр является /^-группой. Применяя теорему 9, получаем, что для этого простого числа р группа Ар является /^-группой, а тогда по следствию 6 и группа А является /^-группой. ■

Теоремы 11 и 12 сводят исследование периодических /Р-групп к исследованию редуцированных примарных /Р-групп.

Перейдем теперь к рассмотрению сепарабельных р-групп. Рассмотрим вначале прямые суммы циклических р-групп. Так как любая ограниченная группа не является /Р-группой, то нам нужно рассмотреть неограниченные группы.

Обозначим через N множество всех целых неотрицательных чисел, а через /а (к) - к-й инвариант Ульма - Капланского р-группы А, то есть ранг факторгруппы ркА[р] / рк+1А[р]. Нам понадобится следующее определение.

Определение 2. Пусть А - сепарабельная р-группа. Строго возрастающую последовательность неотрицательных целых чисел г0, Л,..., гП,... назовем допустимой для группы А , если для инвариантов Ульма - Капланского этой группы выполняется система равенств

гк+1—

/А (к) = £ /А ОX к е М0 . ()

г =к

Теорема 13. Пусть В - неограниченная р-группа, являющаяся прямой суммой циклических групп и пусть все инварианты Ульма - Капланского группы В конечны. Группа В не является /Р-группой тогда и только тогда, когда для нее существует только одна допустимая последовательность и эта последовательность имеет вид 0, 1, 2,.

Доказательство. Необходимость. Запишем группу В в виде В = © Вк, где

кеМ

Вк = © Z(рk). Заметим, что для инвариантов Ульма - Капланского группы В справедливы равенства: /в (т) = г(Вт+1) для всякого т е ^, где г(Вт+1) - ранг группы Вт+\. Пусть группа В не является /Р-группой. Предположим, что для группы В существует допустимая последовательность г0, г1, г2,., отличная от допустимой последовательности 0, 1, 2,. В силу конечности инвариантов Ульма - Капланского неограниченной р-группы В имеем г0 ф 0.

Построим подгруппу Ь группы В следующим образом:

Ь = рВг © р2В2 ©... © рг0 В0 © рг0 В0 +1 © рг0 +1Вг0+2 ©...

... © рг -1Вп © рг -1Вп+1 © рг ВГ1+2 © рг1+1 Вп+3 ©...

... © рг2-2Вг2 © рг2-2Вг2 +1 © рг2-1Вг2+2 © рг2Вг2 +3 © ... © ргз-3Вгз © ...,

то есть

Ь = ©рПкВк ,

где Пг, = п = г, - у ( е N0); п, +к = г, - у + к -1 (1 < к < у - гу + 1). Ь - собст-у у+1 ■> у ■> венная подгруппа группы В. Используя теорему 1, получим, что Ь - вполне характеристическая подгруппа группы В. Более того, Ь = В в силу равенства соответст-

вующих инвариантов Ульма - Капланского. Действительно, из построения группы Ь и с учетом равенств (*) получаем для всякого т е N

/ь (т) = /в (гт) + /в (гт+1) + • + /в (г^н - 1) = /в (т).

Значит Ь = В, но Ь ф В. Это противоречит тому, что В не является /Р-группой.

Достаточность. Если Ь - вполне характеристическая подгруппа группы В, то согласно теореме 1 она имеет вид

Ь = © рПкВк ,

кеМ

где Пк удовлетворяет неравенствам 1) и 2) теоремы 1. Имеем

/ь (п) = г (© рПк Вк | рПк Вк = ©г (рП+1)) = г ( © рПкВк\к -1 = П+1) =

\иеМ ' Ч \иеМ )

= £(г (рПкВк )|к - пк = п+!)= £(г (Вк)| к - пк-1 = п) =

кеМ кеМ

= £(в (к - !)|к - Пк -1 = П).

кеЫ

Таким образом,

/ь (П)=£(fв (к -1) | к - Пк -1 = П). (2)

кеМ

Из теоремы 1 следуют такие соотношения:

(к+1) - Пк+1 - 1 > (к+1) - (пк+1) - 1 = к - Пк - 1; (3)

(к+1) - Пк+1 - 1 < (к+1) - пк - 1 = (к - пк - 1) + 1. (4)

Пусть гП = шш {к -1| к - пк -1 = и}. Тогда из (2) - (4) получаем

кеЫ

ги+1-1

/ь (и)= £ /в (г). (5)

г =П

Среди сумм правой части равенств (5) могут быть и вырожденные, т.е. состоящие из одного слагаемого (это получается в случае, когда /и+1 = /п+1). Пусть Ь = В. Тогда с учетом равенства (5) для всякого целого неотрицательного числа и

ги+1-1

/в (п ) = /ь (п )= £ /в (г).

г =ги

Последовательность /0, /'1,., /п,... является допустимой для группы В, и поэтому в силу условия теоремы следует, что гП = П для всякого П. Учитывая, что /п = шш {к -11 к - ик -1 = и}, получаем ик = 0 для всякого к, т.е. Ь = В. Значит, В не

кеЫ

является /Р-группой. ■

Рассмотрим произвольные сепарабельные р-группы.

Теорема 14. Сепарабельная р-группа не является /Р-группой, если ее базисная подгруппа не является /Р-группой.

Доказательство. Пусть А - сепарабельная р-группа, у которой базисная подгруппа В не является /Р-группой. Не умаляя общности, можно считать, что А -редуцированная р-группа. Если А - ограниченная группа, то в силу теоремы 3 А не является /Р-группой (заметим, что в этом случае базисная подгруппа группы А совпадает с А). Пусть А - неограниченная группа. Предположим, что А - /Р-группа. Тогда существует собственная вполне характеристическая подгруппа £

группы А, такая, что £ = А. Так как А - редуцированная сепарабельная р-группа, то А не содержит элементов бесконечной высоты [7, с. 7]. £ - неограниченная вполне характеристическая подгруппа группы А, и поэтому £ - широкая подгруппа группы А [4, с. 423]. Следовательно, £ п В - базисная подгруппа группы £ [4, с. 422].

Если £ п В = 0, то, учитывая, что факто-ргруппа любой р-группы по ее базисной подгруппе является делимой группой, получаем, что £ - делимая группа, чего быть не может, так как А - редуцированная группа.

Если £ п В = В, то £ содержит базисную подгруппу В группы А. Имеем £ + В = А, так как £ - широкая подгруппа группы А; а из того, что В с £, следует £ + В = £, чего быть не может, так как £ - собственная подгруппа группы А.

Итак, £ п В - собственная ненулевая подгруппа группы В. Так как £ = А, то базисные подгруппы групп £ и А также изоморфны, т.е. £ п В = В. Так как £ - широкая подгруппа группы А , то £ п В является широкой подгруппой группы В [8, следствие 2.8]. Итак, мы получили, что базисная подгруппа В группы А имеет собственную вполне характеристическую подгруппу £ п В, изоморфную В. Противоречие. ■

Теорема 15. Неограниченная сепарабельная р-группа с конечными инвариантами Ульма - Капланского не является /Р-группой, если для нее существует только одна допустимая последовательность и эта последовательность имеет вид 0, 1, 2,.

Доказательство. Пусть А - неограниченная сепарабельная р-группа с конечными инвариантами Ульма - Капланского и пусть В - ее базисная подгруппа. Пусть 0, 1, 2,. - единственная допустимая последовательность для группы А. В силу теоремы 14 достаточно показать, что В не является /Р-группой. Так как В является прямой суммой циклических групп и/а (к) = /в (к) [5, с. 186], то по теореме 13 В - не /Р-группа. ■

Следствие 16. Неограниченная сепарабельная р-группа не является /Р-группой, если ее инварианты Ульма - Капланского конечны и образуют возрастающую последовательность.

Доказательство. Пусть А - неограниченная сепарабельная р-группа. Пусть последовательность инвариантов Ульма - Капланского группы А является возрастающей и все эти инварианты являются конечными. Рассмотрим допустимую последовательность /0, /1,..., /п,... Тогда выполняются равенства (1). Рассмотрим равенство

г к + 1-1

/а (к)= £ /а (/) = /а О'к ) + /а О'к +1) +... + /а О'к+1 -1),

где к - произвольное неотрицательное целое число. Поскольку последовательность инвариантов Ульма - Капланского группы А возрастающая, то каждое такое равенство будет вырожденным, т.е. для каждого к е N/а (к) = /а (/к), причем гк = к. Таким образом, допустимая последовательность /0, /ь--, /»••• совпадает с последовательностью 0, 1, 2,., а значит, по теореме 15 группа А не является /Р-группой. ■

Периодически полной р-группой называется периодическая часть Т (В) р-ади-

ческого пополнения В прямой суммы В циклических р-групп [7. С. 22]. Впервые эти группы стал изучать Л.Я. Куликов, он называл их замкнутыми группами [9].

Теорема 17. Периодическая полная р-группа является IF-группой тогда и только тогда, когда ее базисная подгруппа является IF-группой.

Доказательство. Учитывая теорему 14, надо доказать только достаточность. Пусть A - периодически полная р-группа и B - ее базисная подгруппа, являющаяся IF-группой. В силу теоремы 3 B - неограниченная группа, и поэтому A - также неограниченная группа. Так как B - IF-группа, то существует собственная вполне характеристическая подгруппа S группы B, такая, что B = S. Понятно, что S является собственной широкой подгруппой группы B. Существует собственная широкая подгруппа S группы A, такая, что S n B = S [4, теорема 2.9], причем S - базисная подгруппа группы S [4, с. 422]. S как широкая подгруппа периодически полной группы является периодически полной группой [10]. Итак, получили, что в группе A есть собственная вполне характеристическая подгруппа S , такая, что базисная подгруппа B группы A изоморфна базисной подгруппе S группы S . Так как A и S

- периодически полные группы, то A = S , то есть A является IF-группой. ■

Теорема 18. Для периодически полной р-группы A с конечными инвариантами Ульма - Капланского следующие условия эквивалентны:

1) A не является IF-группой;

2) базисная подгруппа группы A не является IF-группой;

3) A - ограниченная группа или A - неограниченная группа, для которой существует только одна допустимая последовательность и эта последовательность имеет вид 0, 1, 2,...

Доказательство.

1) ~ 2) Эквивалентность условий 1) и 2) непосредственно следует из теоремы 17.

2) ^ 3) Пусть B - базисная подгруппа группы A, причем B не является IF-группой. Если A - ограниченная группа, то A = B. Если же A - неограниченная группа, то B - неограниченная группа. Учитывая теорему 13 и то, что для каждого k е N0 fA (k) = fB (k) [5, с. 186], получаем, что для группы A существует только одна допустимая последовательность и эта последовательность имеет вид 0, 1, 2,.

3) ^ 1) Если A - ограниченная группа, то по теореме 3 A не является IF-группой. Если A - неограниченная группа, для которой существует только одна допустимая последовательность и эта последовательность имеет вид 0, 1, 2,., то ее базисная подгруппа B обладает теми же свойствами. Тогда по теореме 13 B не является IF-группой, но тогда с учетом эквивалентности 2) ~ 1) и группа A не является IF-группой. ■

Следствие 19. Если для периодически полной р-группы A существует такое натуральное число m, что fA (n) = m для каждого n е N0, то A является IF-группой.

Доказательство. Пусть A - периодически полная р-группа и пусть для каждого n е N0 fA (n) = m, где m - некоторое натуральное число. Понятно, что A неограниченная группа. Рассмотрим последовательность 1, 2, 3,. Эта последовательность допустима для группы A, так какfA (n) = fA (n+1) для каждого n е N0. Следовательно, по теореме 18 группа A является IF-группой. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Beaumont R.A., Pierce R.S. Isomorphic direct summands of abelian groups // Math. Annalen.

1964. V. 153. P. 21 - 37.

2. Monk G.S. Abelian p-groups without proper isomorphic pure dense subgroups // Ill. J. Math.

1970. V. 14. No. 1. P. 164 - 177.

3. Goldsmith B., Ohogain S., Wallutis S. Quasi-minimal groups // Proc. Amer. Math. Soc. 2004.

V. 132. No. 8. P. 2185 - 2195.

4. Benabdallah K.M., Eisenstadt B.J., Irwin J.M., and Poluianov E.W. The structure of large subgroups of primary Abelian groups // Acta Math. Acad. Scient. Hung. 1970. V. 21. No. 3 -

4. P. 421 - 435.

5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1. 336 с.

6. Гриншпон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. 1982. С. 56 - 92.

7. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2. 416 с.

8. Pierce R.S. Homomorphisms of primary Abelian groups // Topics in Abelian Groups. Chicago, 1963. P. 215 - 310.

9. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности // Мат. сб. 1945. № 16. С. 129 - 162.

10. Гриншпон С.Я. О некоторых классах примарных абелевых групп почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам // Изв. вузов. Математика. 1976. № 2.

С. 23 - 30.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

ГРИНШПОН Самуил Яковлевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: grinshpon@math.tsu.ru

НИКОЛЬСКАЯ (Савинкова) Мария Михайловна - ассистент кафедры высшей математики Томского государственного архитектурно-строительного университета, аспирант кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: mary_s83@mail.ru

Статья принята в печать 10.02.2010 г.