Примарные if-группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика и механика № 3(15)

УДК 512.541

С.Я. Гриншпон, М.М. Никольская ПРИМАРНЫЕ /^-ГРУППЫ1,2

В статье исследуются примарные группы, содержащие собственные вполне характеристические подгруппы, изоморфные самой группе, так называемые /Е-группы. Вводится понятие допустимой последовательности инвариантов Ульма - Капланского для примарных групп, с помощью которого получено описание /Е-групп в некоторых важных классах />-групп.

Ключевые слова: /Е-группа, вполне характеристическая подгруппа, инварианты Ульма - Капланского, периодически полная группа, допустимая последовательность.

Одним из направлений исследований в теории абелевых групп является изучение групп, содержащих собственные подгруппы, изоморфные самой группе. Р. Бьюмонт и Р. Пирс в [1] рассматривали такие группы: /-группы - группы, изоморфные собственной подгруппе; /Р-группы - группы, изоморфные собственной сервантной подгруппе; /О-группы - группы, изоморфные собственному прямому слагаемому. Г. Монк в [2] исследовал абелевы />-группы, не содержащие собственные сервантные плотные подгруппы, изоморфные самой группе. В [3] рассматриваются группы, изоморфные подгруппам той же мощности, что и сама группа.

В настоящей статье исследуются /Е-группы, т.е. абелевы группы, изоморфные некоторой собственной вполне характеристической подгруппе.

Всюду далее в этой статье под словом «группа» будем понимать аддитивно записанную абелеву группу.

В [4] исследовались примарные группы с конечными инвариантами Ульма -Капланского. В настоящей статье рассматриваются примарные группы с произвольными инвариантами Ульма - Капланского.

Отметим некоторые результаты, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Теорема 1 [4]. Всякая ограниченная группа не является /Е-группой.

Теорема 2 [4]. Периодическая группа является /Е-группой тогда и только тогда, когда некоторая ее ^-компонента является /Е-группой.

Теорема 3 [4]. Делимая периодическая группа не является /Е-группой.

Теорема 4 [4]. Для нередуцированной периодической группы А следующие условия эквивалентны:

1) А является /Е-группой;

2) некоторая ^-компонента группы А не является делимой группой и имеет редуцированную часть, которая является /Е-группой;

3) редуцированная часть группы А является /Е-группой.

1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы». Государственный контракт П937 от 20 августа 2009 года.

2 Работа частично профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238 от 7 июля 2009 года.

Теорема 5 [5, теорема 2.8]. Пусть В = © Вк , где Вк = © Z(pk). Ь - вполне

кЕМ

характеристическая подгруппа группы В тогда и только тогда, когда

Ь = © р"к Вк , где

кЕМ

1) пк < к для всех к е К;

2) пк < пк+г < пк+г для всех к е К, г е N.

Заметим, что теоремы 1 - 4 сводят исследование периодических /Е-групп к исследованию редуцированных примарных /Е-групп.

Начнем исследование с прямых сумм циклических р-групп. Обозначим через N0 множество всех целых неотрицательных чисел, а через /А (к) - к-й инвариант Ульма - Капланского р-группы А, то есть ранг факторгруппы ркА[р] / рк+1А[р]. Рассмотрим сепарабельные р-группы.

Пусть В - р-группа, являющаяся прямой суммой циклических групп, т.е. В = © Вк , где Вк = © Z(pk). Тогда для инвариантов Ульма - Капланского группы

кЕИ

В справедливы равенства /В (т) = г(Вт+1) для всякого т е N0, где г(Вт+1) - ранг группы Вт+1.

Нам понадобится следующее определение.

Определение 1. Пусть А - сепарабельная р-группа. Строго возрастающую последовательность неотрицательных целых чисел г0, 1\,..., /„,... назовем допустимой для группы А, если для инвариантов Ульма - Капланского этой группы выполняется система равенств

г к +1- 1

/А (к)= Е /А ОI к Е М0. ()

г=1к

Теорема 6. Пусть В - неограниченная р-группа, являющаяся прямой суммой циклических групп. Группа В является /Е-группой тогда и только тогда, когда для нее существует допустимая последовательность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию.

Доказательство. Необходимость. Пусть группа В является /Е-группой. Заметим, что последовательность всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию, является допустимой для любой сепарабельной р-группы, так как система равенств (1), определяющих допустимую последовательность, имеет в этом случае тривиальный вид /А (к) = /А (к), к е К0. Предположим, что последовательность всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию, является единственной допустимой последовательностью для группы В. Если Ь -вполне характеристическая подгруппа группы В, то согласно теореме 5 она имеет вид

Ь = © рПкВк ,

кЕИ

где Пк удовлетворяет неравенствам 1) и 2) теоремы 5. Имеем

/ь (п ) = г ( © рПкВк\ рПк Вк = ©Z (рП+1) = г ( © рПкВк\к - пк = п +1) =

\пеМ ' ') \пеМ >

= Ер (р"кВк (\к - пк =п+!)= Е(г (Вк)|к - пк-1=п) =

кЕМ кЕМ

= Е(в (к - 1)\к - пк -1 = п).

кЕМ

Таким образом,

/ь (п )= ЕС/в (к -1) \ к - пк -1 = п). ()

кЕМ

Из теоремы 5 следуют такие соотношения:

(к+1) - пк+1 - 1 > (к+1) - (пк+1) - 1 = к - пк - 1; (3)

(к+1) - п.+1 - 1 < (к+1) - пк - 1 = (к - пк - 1) + 1. (4)

Пусть гп = шш {к -1\ к - пк -1 = п}. Тогда из (2) - (4) получаем

кЕМ

гп+1-1

/ь (п)= Е /в Р). (5)

1 =гп

Среди сумм правой части равенств (5) могут быть и вырожденные, т.е. состоящие из одного слагаемого (это получается в случае, когда гп+1 = гп+1). Пусть Ь = В. Тогда с учетом равенства (5) для всякого целого неотрицательного числа п

гп+1-1

/В (п) = /Ь (п)= Е /В р).

1=гп

Последовательность г0,1\,..., 1„,... является допустимой для группы В, и поэтому в силу условия теоремы следует, что 1п = п для всякого п. Учитывая, что

гп = шш {к -1 \ к - пк -1 = п}, получаем пк = 0 для всякого к, т.е. Ь = В. Это проти-

кЕМ

воречит тому, что В является /Е-группой.

Достаточность. Запишем группу В в виде В = © Вк , где Вк = © Z(pk). Пусть

кЕМ

для группы В существует допустимая последовательность г0, гь г2,., отличная от допустимой последовательности 0, 1, 2,. Тогда для всякого т е N0 имеем

гт+1-1

/В (т )= Е /В (г). ()

г=гт

Возможны два случая: 1) г0 Ф 0, 2) г0 = 0. Рассмотрим каждый из них.

1) Пусть г0 Ф 0.Построим подгруппу Ь группы В следующим образом:

Ь = рВх © р2В2 ©... © рг0 В0 © рг0 В0 +! © рг0 +'Вг0+2 © ...

... © рг1 -1 ВГ1 © рг1 -1Вп+! 95 рг1 Вл+2 © рг1+1 Вл+3 ©...

... © рг2-2Вг2 © рг2-2Вг2 +! © рг2-1Вг2+2 © рг2Вг2 +3 © ... © ргз-3Вгз © ...,

то есть

Ь = ^рпкВк ,

где пг, = пг.+1 = г^ - ] ( Е N0); пг, +к = г^ - ] + к -1 (1 < к < г+1 - г + 1). Ь - собственная подгруппа группы В. Используя теорему 5, получаем, что Ь - вполне характеристическая подгруппа группы В. Более того, Ь = В в силу равенства соответствующих инвариантов Ульма - Капланского. Действительно, из построения группы Ь и с учетом равенств (1) получаем для всякого т е N0

/Ь (т) = /В (гт) + /В (гт+1) + . + /В (гт+1 - 1) = /В (т).

Значит, Ь = В, но Ь Ф В. Следовательно, В является /Е-группой.

2) Пусть г0 = 0. Обозначим через к + 1 (к е N0) наименьшее натуральное число, для которого гк + 1 > к + 1. Тогда г0 = 0, г! = 1, ... , гк = к, и допустимая последовательность имеет вид 0, 1, ..., к, гк + 1, гк+2, ... Равенства (*) для такой последовательности запишутся так:

/в(0) = /в(0),

/в(1) = /в(1),

(**)

/в(к - 1) = /в(к - 1),

/В(к) = /В(к) + /В(к + 1) + ... + /В(гк + 1 - ^

/в(д) = /в(г^) + ... + /в (г9 + 1 - 1), для всякого д > к (д е N0).

Сумма, стоящая в правой части (к + 1)-го равенства в (**), является первой невырожденной суммой в (**), т.е. суммой, состоящей из более чем одного слагаемого.

Рассмотрим следующую подгруппу Ь группы В:

Ь = В1 © В2 © ... © Вк © Вк+1 © рВк+ 2 © ...

... © ргк+1 -к-1 в. +1 © ргк+1 -к-1 в.+1+1 © ргк+1 -кВгк+1+2 © ...

... © ргк+2-к-2В © ргк+2-к-2Вг + © ргк+2-к-1 Вг + 2 ©...

г гк + 2 г гк + 2 +1 г гк + 2 +2

... © ргк+3-к-3В ©...

г гк+3

Используя теорему 5, получаем, что Ь - вполне характеристическая подгруппа группы В. Учитывая строение группы В, имеем

/ь(0) = /в(0),

/ь(1) = /в(1),

/ь(к - 1) = /в(к - 1),

,/Ь(к) = ,/Б(к) + /в(к + 1) + . + /в(гк+1 - 1),

/ь(д) = /в(г^) + . + /в (гд + 1 - 1), для всякого д > к (д е N0).

Сравнивая (**) и (***), получаем, что Ь = В. Так как Ь Ф В, то В является /Е-группой. ■

Перейдем теперь к рассмотрению произвольных сепарабельных р-групп.

Теорема 7. Сепарабельная р-группа не является /Е-группой, если ее базисная подгруппа не является /Е-группой.

Доказательство. Пусть А - сепарабельная р-группа, у которой базисная подгруппа В не является /Е-группой. Не умаляя общности, можно считать, что А -редуцированная р-группа. Если А - ограниченная группа, то в силу теоремы 1 А не является /Е-группой (заметим, что в этом случае базисная подгруппа группы А совпадает с А). Пусть А - неограниченная группа. Предположим, что А -/Е-группа. Тогда существует собственная вполне характеристическая подгруппа £ группы А, такая, что £ = А. Так как А - редуцированная сепарабельная р-группа, то А не содержит элементов бесконечной высоты [6, с. 7]. £ - неограниченная вполне характеристическая подгруппа группы А и поэтому £ - широкая подгруппа группы А [5, с. 423]. Следовательно, £ п В - базисная подгруппа группы £ [5, с. 422].

Если £ п В = 0, то, учитывая, что факторгруппа любой р-группы по ее базисной подгруппе является делимой группой, получаем, что £ - делимая группа, чего быть не может, так как А - редуцированная группа.

Если £ п В = В, то £ содержит базисную подгруппу В группы А. Имеем £ + В = А, так как £ - широкая подгруппа группы А; а из того, что В с £, следует £ + В = £, чего быть не может, так как £ - собственная подгруппа группы А.

Итак, £ п В - собственная ненулевая подгруппа группы В. Так как £ = А, то базисные подгруппы групп £ и А также изоморфны, т.е. £ п В = В. Так как £ - широкая подгруппа группы А , то £ п В является широкой подгруппой группы В [7, следствие 2.8]. Итак, мы получили, что базисная подгруппа В группы А имеет собственную вполне характеристическую подгруппу £ п В, изоморфную В. Противоречие. ■

Теорема 8. Если неограниченная сепарабельная р-группа является /Е-группой, то для нее существует допустимая последовательность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию.

Доказательство. Пусть А - неограниченная сепарабельная р-группа, являющаяся /Е-группой и пусть В - ее базисная подгруппа. Тогда по теореме 7 В - /Е-группа. Применяя теорему 6, получаем, что для группы В существует допустимая последовательность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию. Так как /А (к) = /В (к) для всякого к е N [8, с. 186], то эта же последовательность будет допустимой и для группы А.^

Важную роль в теории абелевых р-групп играют периодически полные группы. Периодически полной р-группой называется периодическая часть Т (В) р-

адического пополнения В прямой суммы В циклических р-групп ([6], с. 22). Впервые эти группы стал изучать Л.Я. Куликов, он называл их замкнутыми группами [9].

Теорема 9. Для периодически полной р-группы А следующие условия эквивалентны:

1) А является /Е-группой;

2) базисная подгруппа группы А является /Е-группой;

3) А - неограниченная группа, для которой существует допустимая последовательность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию.

Доказательство. 1) ~ 2) Учитывая теорему 7, нужно доказать, только 2) ^ 1). Пусть А - периодически полная р-группа и В - ее базисная подгруппа, являющаяся /Е-группой. В силу теоремы 1 В - неограниченная группа, и поэтому А - также неограниченная группа. Так как В - /Е-группа, то существует собственная вполне характеристическая подгруппа £ группы В, такая, что В = £. Понятно, что £ является собственной широкой подгруппой группы В. Существует собственная широкая подгруппа £ группы А, такая, что £ п В = £ [5, теорема 2.9], причем £ - базисная подгруппа группы £ [5, с. 422]. £ как широкая подгруппа периодически полной группы является периодически полной группой [10]. Итак, получили, что в группе А есть собственная вполне характеристическая подгруппа £*, такая, что базисная подгруппа В группы А изоморфна базисной подгруппе £ группы £*. Так как А и £ - периодически полные группы, то А = £, то есть А является /Е-группой.

2) ^ 3) Пусть В - базисная подгруппа группы А, причем В является /Е-груп-пой. Если А - ограниченная группа, то А = В. Следовательно, В - ограниченная

IF-группа, что противоречит теореме 1. Если же A - неограниченная группа, то B - неограниченная группа. Учитывая теорему 6 и то, что для каждого k е No fA (k) = fB (k), получаем, что для группы A существует допустимая последовательность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию.

3) ^ 1) Пусть A - неограниченная группа, для которой существует допустимая последовательность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию, то ее базисная подгруппа B обладает тем же свойством. Тогда по теореме 6 B является IF-группой, и с учетом эквивалентности 2) ~ 1) группа A также является IF-группой. ■

Будем говорить, что последовательность инвариантов Ульма - Капланского неограниченной сепарабельной р-группы A является периодической, если существует такое к е N, что для всех n е N0 выполняется равенство fA (n) = fA (n + k).

Следствие 10. Пусть A - периодически полная р-группа. Если последовательность инвариантов Ульма - Капланского группы A является периодической, то A - IF-группа.

Доказательство. Пусть A - периодически полная р-группа и существует такое к е N, что для всех n е N0 выполняется равенство fA (n) = fA (n + k). Тогда для такой группы последовательность k, k + 1, k + 2, ... является допустимой, и поэтому по теореме 9 A является IF-группой. ■

Следствие 11. Если для периодически полной р-группы A существует такое кардинальное число у, что fA (n) = у для каждого n е N0, то A является IF-группой.

Доказательство. Пусть A - периодически полная р-группа и пусть для каждого n е N0 fA (n) = у, где у - некоторое кардинальное число. Тогда такая последовательность инвариантов Ульма - Капланского является периодической, так как fA (n) = fA (n +1) для каждого n е N0. Применяя следствие 10, получаем, что A является IF-группой. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Beaumont R.A., Pierce R.S. Isomorphic direct summands of abelian groups // Math. Annalen. 1964. V. 153. P. 21-37.

2. Monk G.S. Abelian p-groups without proper isomorphic pure dense subgroups // Ill. J. Math. 1970. V. 14. No. 1. P. 164-177.

3. Goldsmith B., Ohogain S., Wallutis S. Quasi-minimal groups // Proc. Amer. Math. Soc. 2004. V. 132. No. 8. P. 2185-2195.

4. Гриншпон С.Я., Никольская (Савинкова) М.М. IF-группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 1(9). С. 5-14.

5. Benabdallah K.M., Eisenstadt B.J., Irwin J.M. and Poluianov E.W. The structure of large subgroups of primary Abelian groups // Acta Math. Acad. Scient. Hung. 1970. V. 21. No. 3-4. P. 421-435.

6. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2. 416 с.

7. Pierce R.S. Homomorphisms of primary Abelian groups // Topics in Abelian Groups. Chicago, 1963. P. 215-310.

8. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1. 336 с.

9. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности. // Мат. сб. 1945. № 16. С. 129-162.

10. Гриншпон С.Я. О некоторых классах примарных абелевых групп почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам // Изв. вузов. Математика. 1976. № 2. С. 23-30.

Статья поступила 10.03.2011 г.

nptuMapHbrn IF-rpynnb

31

Grinshpon S.Ya., Nikolskaya M.M. PRIMARY IF-GROUPS. In this work, we study primary groups containing proper fully invariant subgroups isomorphic to the group, the so-called /F-groups. We define the admissible sequence of Ulm-Kaplansky invariants for primary groups. Using these sequences, /F-groups are described in some important classes of p-groups.

Keywords: /F-group, fully invariant subgroup, Ulm-Kaplansky invariants, torsion complete group, admissible sequence.

GRINSHPON Samuil Yakovlevich (Tomsk State University)

E-mail: grinshpon@math.tsu.ru

NIKOLSKAYA Maria Mikhailovna (Tomsk State University of Architecture and Building)

E-mail: mary_s83@mail.ru