Абелевы р-группы с конечными инвариантами Ульма-Капланского, почти изоморфные по вполне характеристическим подгруппам Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.541

А. И Шерстнева (Ботыгина), С.Я. Гриншпон

АБЕЛЕВЫ Р-ГРУППЫ

С КОНЕЧНЫМИ ИНВАРИАНТАМИ УЛЬМА-КАПЛАНСКОГО,

ПОЧТИ ИЗОМОРФНЫЕ

ПО ВПОЛНЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ ПОДГРУППАМ

Работа выполнена при финансовой государственной поддержке ведущих научных школ РФ, грант № 96-15-96095 * Исследования по комплексному анализу и алгебре»

Для некоторых классов абелевых р-групп выясняется, будет ли верен аналог известной теоретико-множественной теоремы Кантора - Шредера - Бернштейна в рассматриваемой ситуации или нет.

Две группы называются почти изоморфными по вполне характеристическим подгруппам, если каждая из них изоморфна вполне характеристической подгруппе другой группы [1]. Известно, что любая вполне характеристическая подгруппа редуцированной сепарабельной р-группы G однозначно задается некоторой [/-последовательностью а для группы G [2]; будем обозначать эту вполне характеристическую подгруппу через G(a).

Определение. Будем говорить, что пара последовательностей (а, Р) задает почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных /т-групп, если существуют такие группы G и С из данного класса, что аир являются [/-последовательностями для групп Си G соответственно, G = = С'(а), G' = G(p).

Возникают два вопроса:

' 1) какие пары последовательностей задают почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных /т-групп с конечными инвариантами Ульма - Капланского;

2) будет ли из этого почти изоморфизма следовать изоморфизм самих групп, т.е. будет ли верен аналог известной теоретико-множественной теормы Кантора -Шредера - Бернштейна?

В данной работе эта задача решается для пар последовательностей, имеющих конечное число скачков. Ответ на первый вопрос дает теорема 5. В теореме 7 показано, для каких пар последовательностей аналог теоремы Кантора -Шредера - Бернштейна всегда имеет место.

Приведем используемые в работе понятия и факты.

Пусть G - редуцированная сепарабельная /т-группа, ст - порядковое число. Через paG обозначается подгруппа группы G, определяемая по индукции: p°G = G, p°*xG = -pip°G) и p°G = П ppG, если о - предельное порядко-

JXO

вое число. Наименьшее порядковое число о, для которого p^G = p”G, называется длиной группы G [3], с-м инвариантом Ульма-Капланского группы G называется кардинальное число [4]

fdv) = r<p°G)\p]/(p°"G)lp}.

Будем обозначать множество целых неотрицательных чисел через Zq. Пусть а = (ао, аь ...) - возрастающая последовательность ординалов и символов оо (для любой пары индексов (/,/), где kj, а,<о^, еслиа /* оо, и а, = ес-

ли а/= оо). Если а,+1< а*!, то будем говорить, что последовательность имеет скачок в a*i. Длиной Ца) последовательности а называется M{ieZo I аоо}; причем Х(а)= = оо тогда и только тогда, когда а* < оо для всех ieZo [4].

Определение [2]. Возрастающая последовательность ординалов и символов оо a = (ao, аь ...) называется [/-последовательностью для группы G, если для любого а, *оо имеем а/< т (т- длина группы G) и кякий раз, когда существует скачок в am а„_гй инвариант Ульма-Капланского группы G отличен от нуля.

Пусть G - редуцированная сепарабельная ^группа, a = (ao, аь ...)- [/-последовательность для группы

G. Тогда вполне характеристическая подгруппа группы G, соответствующая данной последовательности, имеет следующий вид [2]:

G(a)={geG|(A* (*),/»* (pg),..X (p”g),...)Za.},

где h*(g) - обобщенная /7-высота элемента g.

Следующая теорема будет существенно использоваться в данной работе.

Теорема 1 [5]. Пусть 5 = G(a}~ неограниченна! вполне характеристическая подгруппа редуцированной сепарабельной /т-группы G, где a - [/-последовательность для группы G. Тогда для всех ieZ0 М0=

к,

=Е/с («,+/). /eZ0, где k, = a)+1-l-a,.

Приступим к решению поставленной задачи.

Обозначим через W множество, состоящее из всех возрастающих последовательностей целых неотрицательных чисел и символов оо, имеющих конечное число скачков. Так как редуцированные сепарабельные р-груп-пы не содержат элементов бесконечной высоты, то легко показать, что пара последовательностей, из которых хотя бы одна не принадлежит множеству W, не задает почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных /т-групп с конечными инвариантами Ульма-Капланского.

Если пара (а, р) задает почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных /7-групп, то выполняется одно из двух следующих условий:

1) ^(a)=X(P)=w€Zo, ao=Po=0 и каждая последовательность имеет только один скачок;

2) X(a)=X.(P)=ao [6]. Случай, когда X(a)=X(P)=7i€Zo, cto=Po=0 и каждая последовательность имеет только один скачок, рассматривается в теореме 2. Случай, когда Ца)=/.(Р)=оо, - в теореме 3 (обе последовательности начинаются с нуля) и теореме 4 (только одна из последовательностей начинается с нуля). В оставшемся случае, т.е. когда обе последовательности начинаются с положительного числа, имеют бесконечную длину и конечное число скачков, всегда существуют такие неизоморфные редуцированные сепарабельные

32

р-группы СиС'с конечными инвариантами Ульма -Капланского, что а и (3 являются [/-последовательностями для групп G' и G соответственно, G=G'(а), C'aG(P) [7].

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных ситуаций, заметим, что если последовательности, задающие почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам, имеют бесконечную длину, то группы G и G' - неограниченные; если же они имеют конечную длину, то группы G и G' - ограниченные (следует из определения [/-последовательности).

Теорема 2. Пусть а, Ре W, Ца) = Afl3) = neZo, ао= Ро= О и каждая последовательность имеет только один скачок.

1. Пара (а, Р) задает почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных р-групп с конечными инвариантами Ульма-Капланского.

2. Если G и G - такие редуцированные сепарабельные р-группы с конечными инвариантами Ульма- Капланского, что аир являются (/-последовательнос-тя-ми для групп С и G соответственно, G = G'(a), G = =G(p), то G=G'.

Доказательство.

1. Пусть ти т2,..., т„ - произвольные натуральные числа. Обозначим через G и G' такие прямые суммы циклических р-групп, что -fa-(i) - m, для всех /< л. Очевидно, что аир являются [/-последовательностями для групп G' и G соответственно, G = G', G' = =G'(a), G = G(P), откуда G = G'(a), G' = G(P), т.е. пара (a, P) задает почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных р-групп с конечными инвариантами Ульма-Капланского.

2. Так как обе последовательности начинаются с нуля и имеют только по одному скачку, то G' “ G'(a), G= = G(P), откуда G = G'.

Теорема 3. Пусть a, fiefV, Ца) = X(P) = oo и ao= Po= 0.

1. Пара (a, Р)задает почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных р-групп с конечными инвариантами Ульма-Капланского тогда и только тогда, когда обе последовательности не имеют скачков.

2. Если G и G' - такие редуцированные сепарабельные р-группы с конечными инвариантами Ульма-Капланского, что аир являются [/-последовательностями для групп G' и G соответственно, G = G'(a), G' = G(P), то G s G'.

Доказательство.

1. Пусть в а и Р нет скачков. Обозначим через G' и G такие прямые суммы циклических р-групп, что f<jiiy= fcfi) = mh где m, - произвольное натуральное число для всех ieZa. Очевидно, что а и Р являются [/-последовательностями для групп G'hG соответственно, G = G,G = G(a), G = G(P), откуда G = G'(a), G = G(p), т.е. пара (a, P) задает почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных р-групп с конечными инвариантами Ульма-Капланского.

2. Рассмотрим случай, когда хотя бы одна из последовательностей имеет скачок. Предположим, что существуют такие редуцированные сепарабельные р-группы

СиС'с конечными инвариантами Ульма-Капланского, что аир являются (/-последовательностями для групп G и G' соответственно, G = G'(a), G' = G(P). Тогда возможны следующие два случая:

- в а и р скачок впервые встречается на разных местах;

- скачок впервые встречается на одном и том же месте.

а) Будем считать, что р имеет первый скачок в P*+i, а а не имеет скачков в а, для всех /:0 < / < А+1. Тогда аир имеют следующий вид: а = (0,..,А,1,£ + 2 + л, ,...,£ +/и + лж_!,...), P=(0,..,i,i+2+/| , к + 3 +12 ,..,^ + и + 1 + /и ,...), где 0 <. л, < п2 й... и 0 £/, й 1г й....

По теореме 1 инварианты Ульма-Капланского групп G и G' связаны следующими соотношениями:

/c(0)=/ff(0),

fp(k)=fG(k),

,Л(к+1)=/(у(к+1)+...+/с(к+1+п1),

fo(k+2)=fa(k+2+nl)+...+fa(k+2+n2), ^

fa(k+m)=fa(k+m+nm_})+.. .+fa(k+m+n„),

fa(0)=fG( 0),

/а(к-1)=Мк-\),

fa (k)=fa(k)+fc(*+!)+ ...+fc(*+1+/,),

' fa (*+l)=/c(*+2+/,)+...+fG(k+2+l2), 1 ;

fa (k+m)=fc (k+m+\+lm )+...+fa (k+m+Ul^ ),

Подставим (к + l)-e равенство из (1) в (к + 1)-е равенство из (2). Получаем, что/Цк) =fy(k) =ff№ 1)г-.. Л/Цк + 1+ + /,), т.е. (А+1)-е равенство из (2) имеет следующий вид:

0 = /о(* + 1)+... + /с(* + 1 + /,), (3)

откуда ffk + 1) = 0. Тогда (А+2)-е равенство из (1) принимает вид 0 =ffk + 1)+...+/&(*+ 1 + л0, откуда/? (* + 1) = 0. Таким образом,/с+ \) = dnfo{k + 1) = 0. Покажем, что /Цк + /л) = 0 vi fa {к + т) = 0 для всех натуральных т. Используем метод математической индукции. Допустим, что fc(k + i) = 0 и fG(k + i) = 0 (4)

для всех /: IS i <т. Покажем, что fG(k + т + 1) = 0и fG(k + т + 1) = 0. Запишем первые (к + т + 1) равенств из (2), учитывая (3) и (4):

/с(0) = /с(0),

fa(k-D = fc(k-\),

0 = /с(А + 1) + ... + /с(* + 1 + /,), (5)

0 = fG(k + 2 + ll) + ... + fG(k + 2 + l2),

0 = fc(k+m + l + lm) + ... + fG(k + m + l + l„+l).

fG(k + т + 1) входит в правую часть некоторого равенства из (5), имеющего нулевую левую часть, следовательно, fG(k + т + 1) = 0. Тогда первые (к + т + 2) равенств из (1) принимают вид, из которого следует, что/о(к + m + 1)= 0. Таким образом, доказано, чтоfG(k + m) = 0 и fG(k + m) = 0 для всех натуральных т. А это противоречит тому, что группы G и G'— неограниченные:

33

/с(0) = /с.(0),

fG(k) = fG(k),

. 0 = /с.(Л + 1) + ... + /с (А + 1 + л,),

О = folk + 2 + и,) +... + /С(А + 2 + и2),

О = /с-(* + т + + fG.(k + т + пя),

0 = fG(k + m + l + nm) + ... + fa.(k + m + \ + n„+l).

б) Рассмотрим случай, когда в а и (3 скачок впервые встречается на одном и том же месте, будем считать, что в а*ц и (W Тогда аир имеют следующий вид:

а = (0....М + 2 + и,....к + т + п„_„...),

Р=(0,..,А,Л+2+/, ,..,*+т+/„_, где 0 < «1 < п2< ... и 0 < /| < /2 й ....

По теореме 1 инварианты Ульма-Капланского групп G и G' связаны следующими соотношениями:

f/o(0)=/ff(0),

fc(k-l)=fa(k-l),

, /с(*)=/с7 (*)+/<7 (.k+l)+...+fa (*+1+л,),

/с (*+0=/<7 (*+2+и,)+ ...+fG (к+2+п),

fo (*+»)=/(7 (Л+/я+ия)+. ..+/(7 ),

f/c-(0)=/G(0),

fc(k-\)=fG(k-l),

U (*)=/« (*)+/g (*+»+ - +/g (*+!+', )-• fa- (* + D=/g (*+2+/, )+ ... +/G (* + 2+/2 ), (7)

fo- (k + m)=fa (k + m + l + lm )+ ... +

+ /g(* + ot + 1 + /jb+1 ).

Подставим (к + l)-e равенство из (6) в (к + 1)-е равенство из (7). Получаем, что 0 -fc-{k + 1) + ... +fa(k+ 1 +ni) + +fa(k+ 1) + ... +fc(k+ 1 + /,), откуда^ (к + 1)=0,...,fa(k +

+1 +и1) = 0и7с(^+1)=0..fo(k+1 +/0=0. Тогда (i+ 1)-е

равенство из (6) и (к + 1)-е равенство из (7) имеют следующий вид:

/g(*) = /g(*). (8)

Итак, получено, что fG{k + 1) = 0 и fa (к + 1) = 0. Покажем, что fo (к + т) = 0 и/с? (к + т) = 0 для всех натуральных т. Для этого воспользуемся методом математической ин-дукции. Допустим, что

/с(* + 0 = 0 и fa(k + /) = 0 (9)

для всех /:1 <, i < т. Покажем, что fc(k + т + 1) = 0 и fa(k + т + 1) = 0. Запишем первые (к + т+ 1) равенства из (6), учитывая (8) и (9):

Г/с(0)=/с-(0),

/g(*-1)=/g'(*-1).

• 0=fa■ (А + 1)+...+/е- (i+1+л, ), (10)

0=/о- (*+2+и, )+...+/G. (А+2+и2 ),

0=fa- (к+т+1+пя )+...+/с. (к+т+1+п,^ ).

fa (к + т + 1) входит в правую часть некоторого равенства из (10), имеющего нулевую левую часть, следовательно,^ (к + т + 1) = 0. Рассматривая (7), аналогично полу-

34

чаем, что fa (к + т + 1) = 0. Таким образом, fG(k + т) = 0 и fa{k + т)-0 для всех натуральных т. А это противоречит тому, что группы G и G - неограниченные.

2) Так как обе последовательности начинаются с нуля и не имеют скачков, то G' = G'(a), G = G(Р), откуда G = G'.

Теорема 4. Пусть а, Р eW, Ца) = Аф) = а>, ао* 0 и Ро=0.

1. Пара (а, Р) задает почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных />-групп с конечными инвариантами Ульма-Капланского.

2. Если G и <7 - такие редуцированные сепарабельные /^-группы с конечными инвариантами Ульма-Капланского, что а и Р являются //-последовательностями для групп G и G соответственно, G = G'(a), G = G(P), то G = С’тогда и только тогда, когда в Р нет скачков.

Доказательство.

1. Так как в а и Р конечное число скачков, они имеют следующий вид:

a=(s+rt0 ,5+1+л, ,..,s+k+nt ,s+k+l+nk,...),

Р = (0 + /о ,1 + /, ,...,т + 1я ,т + 1+1т ,т + 2 + 1я ,...),

где s > 0, ло = 0 < щ < ... пк, /0= 0 < 1Х й ... 1т.

Найдем такие группы G и G' с конечными инвариантами Ульма-Капланского, разложимые в прямую сумму циклических групп, что аир являются //-последовательностями для групп G и G' соответственно, G = =G'(a), G' = G(P). Для этого достаточно найти все инварианты Ульма - Капланского этих групп. По теореме 1 имеем следующие системы уравнений для нахождения инвариантов Ульма-Капланского: /о(0)=/о-М+- • -+fo(s+n\)>

fa(k-l)=Ms+k-l+nkJ+...+fa(s+k-\+nt),(n)

fc(k) = fa(s+k + nk),

f0(k+l)=fe(s+k+\+nk);

/g(0) = /g(0)+...+/g(/,),

/0.(/и+1) = /0(т+1+/я).

Обозначим через t = шах{m, Л}. Запишем системы (11) и (12), отбросив первые t уравнений:

fa 0)=fa- (s+t+n„ ),

. ••• (13)

fa G+t'hfo- (J+/+<’+n* );

/о(0 = /с('+и

■/ff(' + 0«/o('+ '' + /.)• (14)

Рассмотрим первые (/ + 1) уравнений системы (11), учитывая (12), (/ + 1)-м уравнением полученной системы будет/с(/) =fG (s +1 + щ + /т). Решим эту систему относительно fo (0), ...,fG(t), полагая остальные неизвестные свободными. Так как каждое /-е уравнение данной системы не содержит справа слагаемых fG (J) для всех j < /, матрица этой системы является верхнетреугольной причем на главной диагонали находятся только единицы, т.е. ее определитель отличен от нуля. Таким образом, дгагная система имеет решение. Легко показать, что сущеспует такое реше-

ние, что fo(i) - нпуральное число для всех i:0<i<s + t +

+щ+ L

Найдем оспльные инварианты Ульма-Капланского группы G, т.е. f (г) для всех i > s + t + пк + 1^ Запишем систему (13), учлывая (14):

/о 0+l)=fa lt+l+J(s+nt+lK )),/> 0;

. /с 0+2)=fG t+2+j(s+nk+lm )),j>0;

/а (t+s+n„+lm )=/c (/+5+л4+/Я1+/(*+л*+/я, )),/>0.

Из этой системы находим fG (/) Для всех г > s +1 + nk + lm. Очевидно, что они также все натуральные. Инварианты Ульма-Кагаанского группы G' находим из системы (12).

Все инварианты Ульма-Капланского групп G и G -натуральные числа, следовательно а является [/-последовательностью дш группы (7, а р - для группы G.

2. Пусть G vG' - такие редуцированные сепарабельные /мруппы с конечными инвариантами Ульма-Капланского, что аир являются [/-последовательностями для групп GhG соответственно, G = G'(a), G' = G(P). Если в Р нетскачков, то G = G(P), откуда G = G'. Если в Р есть скачок, то существует такое наименьшее j(0<j <т), что lj *). Покажем, что существует / > 0, что /с (0 *■ fa (0, этим будет доказано, что группы G и G'- неизоморфные.

Допустим, чтоfG (/)-fa (0 для всех / > 0. Тогда инварианты Ульма-Капланского группы G связаны следующими соотношениями (следует из теоремы 1):

7с(0) = /с«0),

fa (j~2) = fa (/ -2),

fa U-V = fa U-l) + ... + /c U-l + lj ),

. /g(/) = /g j + lj ) + ••■ +fa U + lj*\ )>

fG (w-l)=/c(m-l + /„_, )+ • •. +fа (т-\ + 1я ), fc(m) = fc(m + lm )>

fa (wj + 1)=/c(ot + 1 + /m ).

Из ко равенства следует, 4TofGQ') = 0,...,fa{j-l+ljy=0. Тогда fa (j + If = 0, так как входит в правую часть (/+1)-го равенства, afG(f) = 0. Покажем, применяя метод математической индукции, что fG(/) = 0 для всех /> >j + lj. Пусть fG(i) - 0 для всех i :j + lj<i <т - \.fG (т) входит в правую часть некоторого 1-го равенства, где j + 1 < к < т. Это равенство имеет нулевую левую часть,

следовательно, fG (т) = 0. Таким образом, fG (0 = 0 для всех i>j + lj, а это противоречит тому, что группа G -неограниченная.

Из вышеизложенного вытекают такие результаты.

Теорема 5. Пара последовательностей (a, Р), где a, PefV, задает почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных р-групп с конечными инвариантами Ульма-Капланского тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех следующих условий:

1) oto+ Ро* 0, 1(a) = 1(Р) = оо;

2) cto + Ро = 0,1(a) = 1(Р) = да и каждая последовательность не имеет скачков;

3) cto + Ро = 0,1(a) = 1(р) = neZ0 и каждая последовательность имеет только один скачок.

Теорема 6. Пусть пара последовательностей (a, Р), где а, Р eW, задает почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных р-групп с конечными инвариантами Ульма-Капланского.

1. Если одна из последовательностей начинается с нуля и имеет конечную длину, то группы G и G' - ограниченные и G = G'.

.2. Если одна из последовательностей начинается с нуля и в ней нет скачков, то группы G и G' - неограниченные и G = С.

3. Если одна из последовательностей начинается с нуля, имеет бесконечную длину и хотя бы один скачок, то группы G и G'- неограниченные и неизоморфные.

4. Если же каждая из последовательностей a, Р не удовлетворяет условиям 1), 2) и 3), то

а) группы G и G'- неограниченные;

б) существуют неизоморфные редуцированные сепарабельные /мруппы G и G'c конечными инвариантами Ульма-Капланского, такие, что аир являются (/-последовательностями для групп Си G соответственно, G = G'(a), G' = G(P).

Теорема 7. Пусть G и G' - редуцированные сепарабельные />-группы с конечными инвариантами Ульма- Капланского, почти изоморфные по вполне характеристическим подгруппам, т.е. G = G'(a), G' г G(P), где a, р eW - (/-по-следовательности для групп G' и G соответственно. Если хотя бы одна из последовательностей начинается с нуля, то G = G' тогда и только тогда, когда эта последовательность не имеет скачков или имеет конечную длину.

ЛИТЕРАТУРА

1. Jonson В. On direct decomposition of torsion free abelian groups // Math. Scand. 1959. №2. P. 361-371.

2. Kaplanskyl. Infinite abelian groups. Michigan: Ann. Arbor, 1954. 90 p.

3. ФуксЛ. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1. 335 с.

4. Moor D.J., Hewett LJ. On fully invariant subgroups of abelian p-groups // Comment, math. Univ. St. Pauli. 1972. № 2. P. 97-106.

5. Шерстнева (Бопыгина) А.И., Гриншпон С.Я. Об инвариантах Ульма-Капланского вполне характеристических подгрупп абелевых р-групп II Исслеаопания по математическому анализу и алгебре. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998. С. 227-231.

6. Ботыгина А.И., Гриншпон С.Я. Абелевы группы, почти изоморфные по вполне характеристическим подгруппам // Тезисы докладов Международной апебраической конференции, посвященной памяти Д.К. Фаддеева. СПб. 1997. С. 171-172.

7. Гриншпон С.Я. Прямарные абелевы группы, эквивалентные по вполне характеристическим подгруппам // Абелевы группы и модули. Томск, 1979. С. 29-36.

Статья представлена гафедрой алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 23 ноября 1998 г.

35