CC BY
22
УДК 512.541
С.Я. Гриншпон АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ,
ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ФУНКЦИЙ
Работа выполнена при финансовой государственной поддержке ведущих научных школ РФ, грант № 96-15-96095 «Исследования по комплексному анализу и алгебре» и РФФИ, грант № 97-01-00795.
Вводится понятие абелевой группы Л, вполне транзитивной относительно функции фl'A-*L, где L - нижняя полурешетка. С помощью этого понятия получены результаты о вполне характеристических подгруппах и их решетках.
Рассматриваются функции, отображающие абелеву группу в нижнюю полурешетку и обладающие рядом естественных свойств, обобщающих свойства индикаторов элементов /мрупп, характеристик элементов групп без кручения и высотных матриц элементов смешанных групп. С помощью введенных понятий (групп, вполне транзитивных относительно рассматриваемых функций и ф£-групп) получены результаты о строении вполне характеристических подгрупп и их решеток для ф£-групп. Применяя эти результаты к абелевым р-группам и группам без кручения, получаем информацию о вполне характеристических подгруппах и их решетках для исследуемых групп.
Пусть А - абелева группа, L - нижняя полурешетка и срliA-*L - функция со следующими свойствами:
1) ф£(ра)>ф^(а) для всякого аеА и любого эндоморфизма р группы А;
2) ф L(a + b)>(pi{a) л ф/.(6) для любых a, be А;
3) ф4(0) > / для всякого leL.
Пусть leL и А(Г) = {аеА \ ф£(я) > /}.
Лемма 1. A(J) - вполне характеристическая подгруппа группы А, и если существует
h = т^{ф£(а) | аеА{Г)}, то А(1) = А(1,).
Доказательство. Если а, ЬеА(Г), то -beA(f), так как существует уеЕ(А) такой, что yg = - g для всякого элемента geA. Поэтому ф£(- Ь) £ фL(b) > /. Имеем фda -b)Z ф/.(а)лфД— b) > ф£(а)лфг.(А) > I. Значит, А(!) - подгруппа группы А. Если т\еЕ(А), то фДра) > ф/,(а) > /, и поэтому цаеА(Г). Итак, А(1) - вполне характеристическая подгруппа группы А. Пусть существует 1Х - т^{ф/.(а) | аеА(/). Очевидно, A(tyzA{h). Покажем обратное включение. Так как для всякого аеА{1) фL(a) t /, то 1\ £ /. Пусть аеА{10, тогда щ(а) £ /] > /, и, значит, аеА(Г). Итак, А(1{)аА([), и поэтому А{1{)=A(f).
Пусть для абелевой группы А и нижней полурешетки L задана функция фl'.A-*L, удовлетворяющая свойствам 1)—3), и пусть для каждого непустого подмножества А' множества А существует элемент mAeL такой, что тл = т4{ф£(д') | а'еА'}.
Пусть Ml(A) = {тА | А'сА и А' * 0}.
Лемма 2. ML(A) - полная решетка.
Доказательство. Покажем, что всякое непустое подмножество множества ML(A) имеет точную нижнюю грань. Пусть M<zMl{A), М#0. Запишем М в ви-де М = {mAi}iei, где для всякого iel Af - непустое подмножество множества А.
Пусть А' = U Aj. Тогда
;е/
{фд(а')|я' е А'} = 11{ф£(Я/)к е ЛЬ /«/
причем
«л= т^{ф£(а,) | а,еА,}
и существует
m = ML{^L{cf)\deA'}.
Тогда m = inf£ {тА/ },е/ [1. С. 10, теорема 4], и так как meML(A), то m = infMl(A) {mAi }/е/. ML(A) имеет наибольший элемент ф£(0). Поэтому ML(A) - полная решетка [1, С. 37, теорема 1].
Определение 1. Назовем абелеву группу Л ф£-группой, если всякая ее вполне характеристическая подгруппа S имеет вид S=A(l), где leL.
Определение 2, Абелеву группу А назовем вполне транзитивной относительно функции ф£, если для любых двух ее элементов а, Ь, для которых фL{a) < фL{b), существует эндоморфизм л группы А такой, что г\а = Ь.
Предложение 1. Всякая ф£-группа вполне транзи-тивна относительно функции ф£.
Доказательство. Пусть А - ф£-группа. Предположим, что А не является вполне транзитивной относительно функции ф£. Тогда существуют элементы а, ЬеА такие, что ф/.(а) < фь но для всякого ц еЕ(А) т\а*Ь. Рассмотрим подгруппу 5 = {т)я | Г|е£(Л)}. Имеем btS. S - вполне характеристическая подгруппа группы А, и поэтому S=А{1) для некоторого leL. Тогда ф£>/, а, значит, фL(b) > I. Отсюда ЬеА([), и так как А([) = 5, то beS. Противоречие.
Напомним, что частично упорядоченные множества Р и F называются изоморфными (аигиизоморфными), если существует биективное отображение ф множества Р на множество Р\ такое, что а й Ь имеет место тогда и только тогда, когда ф(а) < ф(6) (ф(о) > ф(Ь)).
Рассмотрим понятие изоморфизма (антиизоморфизма) полных решеток.
Определение 3. Полные решетки L и V будем называть изоморфными (аигиизоморфными), если существует биективное отображение ф множества L на множество L' такое, что для всякого непустого подмножества А множества L имеем
ф(я1р/./4)= sup£. ф/4 и ф(шГ£ А) = inf£.ф А
(ф(вир£/4)=М£.ф/4 и ф(т££^4) = 8ир£.фу4).
Проводя рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 4 из [1. С. 53-54], получим лемму 3.
Лемма 3. Если ф - изоморфизм (антиизоморфизм) частично упорядоченного множества L на частично упорядоченное множество L и одно из этих множеств является полной решеткой, то другое множество - также полная решетка и ф является изоморфизмом (антиизоморфизмом) полных решеток.
Замечание 1. Пусть L и I' - полные решетки и Автоморфизм (антиизоморфизм) решетки L на V в обычном смысле, т.е. ф - биективное отображение L
23
на V такое, что для любых двух элементов a,beL (f>(avb) = ф (a)v9 (b) и ф (алЬ) - ф (а)лф(й) (ф (avb) = ф(а)лф (Ь) и ф(алЬ) = ф (а)уф (b)).
Используя то, что в любой решетке L следующие свойства элементов а, beL эквивалентны:
а)айЬ,б) avb = 6; в) алЬ = о, получаем, что ф - изоморфизм (антиизоморфизм) частично упорядоченных множеств L и L. Тогда по лемме 3 ф - изоморфизм (антиизоморфизм) полной решетки L на полную решетку V (в смысле определения 3 изоморфизма (антиизоморфизма) полных решеток).
Продолжим рассмотрение ф£-групп.
Обозначим через Ф(Л) решетку вполне характеристических подгрупп группы А. Для любой абелевой группы А Ф(Л) - полная решетка.
Теорема 1. Пусть А - фд-группа и для каждого непустого подмножества А' множества А существует элемент тлеЬ, такой, что тА = ш^{ф/.(а')\а'еА'}. Пусть Ml(A) = {тА \а'сА и А' * 0}. Тогда решетка вполне характеристических подгрупп группы А антиизоморфна решетке ML(A).
Доказательство. Рассмотрим отображение сгФ(4) ->ML(A\ где для всякой вполне характеристической подгруппы S группы A aS = ms (ms = inf^^s) | seS}). Покажем, что ст - биективное отображение. Пусть leML(A). Тогда существует непустое подмножество А' множества А такое, что / = тГд{ф(а) | cfeA'}. Рассмотрим элементы группы А вида \|/iai'+...+v|/4et'J где keN; а/, ..., at’eF(A) фь ..., ф*еЕ(А). Обозначим множество всех таких элементов через S. S' - вполне характеристическая подгруппа группы А. Учитывая условия 1) и 2) для функции Фд, получаем, что I = т^{ф/(5') Ь'бУ}. Итак, о S' = I, и, значит, ст - сюръективное отображение.
Покажем, что о - инъективное отображение. Пусть Si, Sj- вполне характеристические подгруппы группы А, oS, = mSi, aS2 = mSi и mSi - mSj. Учитывая, что A -
фд-группа, и используя лемму 1, получаем 5, = A(mS)), 52 = A(mS}). Отсюда S) = S2.
Если Si и S2 - вполне характеристические подгруппы группы А, то SicS2 тогда и только тогда, когда aSi>aS2 (учитываем, что Sx = A(oSi)', S2 = A(oS2)). Значит, полные решетки Ф(А) и ML антиизоморфны.
Замечание 2. Пусть р = а-1, где о - отображение Ф(И) на Мд(И), рассмотренное в доказательстве теоремы 1 и являющееся решеточным антиизоморфизмом. Из доказательства теоремы вытекает, что если leML(A), то р/ = А([).
Частично упорядоченное множество назовем полной нижней полурешеткой, если всякое его непустое подмножество имеет точную нижнюю грань.
Если L - полная нижняя полурешетка, то всякой фд-группе А, для которой задана функция фд, удовлетворяющая свойствам 1)—3), можно поставить в соответствие полную решетку ML(A)={mA \А'сА и А'*0}, где /й/= =mfL{(pL(d)\a'eA'}.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Пусть А - фд-группа, где L - полная нижняя полурешетка. Тогда решетки Ф(Л) и ML(A) антиизоморфны.
24
Определение 4. Пусть L - полная нижняя полурешетка. Будем говорить, что множество M<zL обладает свойством конечной сравнимости в L, если для всякого бесконечного подмножества МхаМ из того, что иеМ и u>infLMi, следует существование в Mi такого конечного подмножества М2, для которого и > inf,A/2-
Пусть А - абелева группа, L - нижняя полурешетка и фд:Л-»1 - функция со свойствами 1)-3). Если М -некоторое подмножество множества L, то обозначим через А(М’) подгруппу группы А, порожденную всеми такими элементами аеА, для которых существует теМ, что фд(а) > т. Понятно, что А(М) - вполне характеристическая подгруппа группы А. Пусть фд(Л) = ={фд(а)|аеЛ}.
Теорема 2. Если абелева группа А является фд-труп-пой, где L - полная нижняя полурешетка, то множество Фд (А) обладает свойством конечной сравнимости в L.
Доказательство. Пусть А - фд-группа, М = фд(A), MtcM,
I Mi | >N, иеА/и и > mfiMi- Существует элемент ЬеА, такой, что фд(Ь) = и. Рассмотрим вполне характеристическую подгруппу A(Mt) группы А. Так как А - фд-группа, то А{М\)= =A(v), где veL, причем по лемме 1 в качестве v можно взял. тРд{фд(у) | sea(Mi)}. Имеем т4{фд(^) I seA(Mi)} = in^M- Тогда A(Mi) =A(infi№i). Так как (pL(b)>infLMi, то ЬеА(М{), и поэтому Ь = bi+... bn где фд(6,)>ув v,eA/b / = 1,..., л. Отсюда получаем и=фд (/>)£ in£ {ф1 (А, )}^~ >. Значит, в Mi есть
конечное подмножествоМ2= (v,) т такое, что и>юШ2.
Рассмотрим абелевы р-группы. Пусть А - абелева р-группа. Обозначим через НА множество всех возрастающих последовательностей порядковых чисел, меньших длины группы А и символов оо, полагая, что оо больше любого порядкового числа (если а = (oto, ср.с^
.. .)еНА и оо, то а„< min{On+1, X}, где X-длина группы
А; если же а„ = оо, то а„ + ] = оо). На множестве НА введем отношение частичного порядка естественным образом: (do, oil,..., On ...) < (Ро, Pi.pm...) тогда и только тогда, ко-
гда для каждого keN0 (N0 - множество всех целых неотрицательных чисел) а* < Р*. Относительно этого порядка НА является полной нижней полурешеткой (так как в НА есть наибольший элемент (оо, оо, оо, ..., оо, ...), то НА является даже полной решеткой).
Пусть фя^ - функция, отображающая А в НА, такая, что <рНм (а) = Н(а) для всякого аеА (Ща) - индикатор
элемента а). Из свойств обобщенных р-высот [2. Р. 182] вытекает: <рНл (т)а) > фя^ (а) для всякого аеА и любого
ре ДЛ); (рНл (а + Ь)> <рНл (а) л ц>На (Ь) для любых а, ЬеА', ц>На (0) > а для всякой последовательности аеНА. Поэтому в рассматриваемой ситуации мы можем использовать результаты, полученные ранее в этой статье.
Говорят, что последовательность а = (do, аь ..., ат...) из НА имеет скачок между а* и а* +1, если а* + 1<а* + i [3. С. 58]. Последовательность аеНА называется {/-последовательностью (для группы А), если каждый раз, когда существует скачок между а* и а* +1 а*-й инвариант Уль-ма-Капланского группы A f (А) отличен от нуля.
Если А' - непустое подмножество множества А, то через аА(к) обозначим inf^ {H(d) \ а'еА'} (индикаторы
элементов рассматриваются в группе А) и пусть М^А)г ={аА\А'сА иА’*0}.
Лемма 4. Для любой абелевой р-группы А Мн(А) совпадает с множеством всех [/-последовательностей для группы А.
Доказательство. Пусть аеМц(А). Существует непустое подмножество А' множества А такое, что а = аА = = inf{Н(а') | а'еА'}. Каждый индикатор Щс() является [/-последовательностью [3. Р. 59]. Так как inf произвольного множества последовательностей в Нл берется почленно (покоординатно), то аА(к) - (/-последовательность. Пусть теперь а является [/-последовательностью, а = (ао, аь ..., а„ ...) и Щ={пеЩ\ |а„+1<а^,}. Для всякого rteN\ существует элемент а„ порядка р"*\ индикатор которого имеет единственный скачок между а„иоо, т.е. Н(а„) = (а„- п,а„-п+ 1,..., ат со, оо,...) [4. С. 9, лемма 65.3].
Пусть А' = {4,}пбМ Имеем аА. = infff< {Н(а)\п е /V,} =
= (do, а.... а„,...) = а. Значит, аеМ^А).
Обозначим множество всех (/-последовательностей для группы А через ЩА). Из лемм 2 и 4 следует, что ЩА) является полной решеткой. Напомним, что редуцированная абелева р-группа называется вполне транзитивной, если для любых двух ее элементов а, Ъ, для которых Н(а) < Нф), существует эндоморфизм ц этой группы такой, что ц(а) = b [4. С. 11]. Класс вполне транзитивных абелевых р-групп включает в себя такие важные классы групп, как класс сепарабельных р-групп и класс тотально проективных р-групп.
Пусть Н(А) = {Н(а) \ аеА}. Если аеНА, то обозначим через А(а) следующую подгруппу группы А: А (а) = = {аеА |Я(а)>а}. Л(а) - вполне характеристическая подгруппа группы А.
Определение 5. Редуцированную абелеву р-группу А назовем //-группой, если всякая ее вполне характеристическая подгруппа S имеет вид S = А(а), где аеНА.
Всякая вполне транзитивная абелева р-группа А является //-группой (причем в представлении любой вполне характеристической подгруппы S этой группы в виде А(а) можно выбрать а, принадлежащим ЩА) [4. С. 17, теорема 67.1]).
Из предложения 1 (полагая L = НА, (р£ = фя ) вытекает, что справедливо и обратное утверждение. Используя также лемму 4, теорему 1 и теорему 2, получаем результат.
Теорема 3. Пусть А - абелева р-группа.
1. А является Я-группой тогда и только тогда, когда А - вполне транзитивная группа.
2. Возрастающая последовательность а ординальных чисел, меньших длины группы А, и символов оо является (/-последовательностью для группы А тогда и только тогда, когда а = infw {H{a')\deA'}, где А' - некоторое
непустое подмножество множества Л.
3. Если А - Я-группа, то решетка вполне характеристических подгрупп этой группы антиизоморфна решетке ЩА).
4. Если А - Я-группа, то множество Н{А) обладает свойством конечной сравнимости в НА.
Перейдем теперь к рассмотрению абелевых групп без кручения.
Прежде чем формулировать дальнейшие результаты, приведем необходимые обозначения и термины, используемые в [5].
Пусть X - множество, состоящее из всех последовательностей v = (v(1), v®,..., v®,...), где v» - целое неотрицательное число или символ оо QeN). Такие последовательности будем называть характеристиками.
Во множестве X естественным образом вводится частичный порядок, а именно v<w тогда и только тогда, когда для каждого ieN v(,)<w(,\ Относительно этого частичного порядка X является полной решеткой. Пусть П = {р\, рг, ..., р„, ...} - множество всех простых чисел, перенумерованных в порядке возрастания. Если А - абелева группа без кручения; хеА, то характеристика х(*) элемента х в группе А - это такая характеристика v = (v(l), v®,..., v®,...), в которой каждое vw есть /?,-высота h Pl (х) элемента х в группе А (согласно определению характеристика нулевого элемента есть последовательность (со, оо,..., да,...)).
Пусть <р* - функция, отображающая А в X такая, что фjda) = %(а) для всякого аеА. Из свойств -высот вытекает: ф^ца) > фх(а) для всякого аеА и любого т)б£(Л); <рх(а+Ь) > ф*(а)лфл(6) для любых а, ЬеА; Фл(0) > v для всякой veX. Поэтому в рассматриваемой ситуации мы можем использовать результаты этой статьи, полагая L=Xwv?l~ ф.*-.
Определение 6. Редуцированная абелева группа А без кручения называется вполне транзитивной, если для любых двух ее элементов а и Ь, для которых Х(а)^х(/>), существует эндоморфизм ф этой группы такой, что ф(а) = Ь.
В [5] такие группы были названы транзитивными.
Вполне транзитивными группами без кручения являются алгебраически компактные, квазисервантно инъективные [6], сильно однородные [7, 8] и другие абелевы группы без кручения.
Пусть А - абелева группа без кручения. Если veX, то обозначим через А(у) следующую подгруппу группы А: А(у) = {аеА | x(a)^v}. A(v) - вполне характеристическая подгруппа группы А.
Определение 7. Редуцированную абелеву группу А без кручения назовем х-группой, если всякая ее вполне характеристическая подгруппа S имеет вид S = A(v), где veX.
Из предложения 1 вытекает
Предложение 2. Всякая х-фуппа является вполне транзитивной группой.
Х-группы в некоторых классах абелевых групп без кручения были охарактеризованы в [5, 9, 10]. Если А -абелева группа без кручения, то для всякого непустого подмножества А' множества А через \Ащ обозначим infr{x(a')l а'еА'), и пусть
MrfA) = {va\A'cA и А'* 0}, х(Л) = (х(а) I <*еА).
Так как X - полная решетка, то из леммы 2, следствия 1 и теоремы 2 вытекает такой результат.
Теорема 4. Пусть А - абелева группа без кручения. Тогда
25
1) МХ(А) - полная решетка;
2) если А - х-группа, то решетки Ф(А) и Мх(А) антиизоморфны;
3) если А - х-группа, то множество х(А) обладает свойством конечной сравнимости в X.
Рассмотрим теперь однородные абелевы группы без кручения.
Тип / (класс эквивалентных характеристик) будем называть ргделимым (р*еП), если для всякой характеристики V, принадлежащей этому типу, имеем vw = оо. Пусть / - некоторый тип. Рассмотрим характеристики v, удовлетворяющие следующим условиям:
а) v = (v(1>, v<2),..., Vм, для некоторой wet,
б) v(*> = оо, если тип t />*-делим.
Обозначим через F(/) множество, состоящее из всех характеристик, удовлетворяющих свойствам а), б), и характеристики, членами которой являются только символы оо.
Лемма 5. Для любой однородной абелевой группы без кручения А типа t Му(А) совпадает с F(t).
Доказательство. Пусть veMx(A). Существует непустое подмножество А' множества А, что v = v/)= =infr{x(a') I a'eA'}. Если A' - {0}, то v(*)=oo для всех keN, и поэтому veF(/). Пусть А' ф {0}. Имеем v <х(а') для всякого а'еА', и если а' ф 0, то x{a)et. Так как для любого элемента а'еу^к\а’) = оо для всех к, для которых ркА = А, то vw = оо для всех к, для которых тип I />*-делим. Значит, veF(/).
Пусть veF(r). Если vw = оо для всякого keN, то, полагая А' = {0}, получаем v = v* Пусть существует keN такое, что v(i) * оо. Если vet, то выбираем в группе А элемент а такой, что \(а) = v. Тогда, полагая А' = - {а}, получаем v = v. Пусть et. Зафиксируем некоторую характеристику wet такую, что v<w, и пусть М = ={keN\pkA Ф А]. Для всякого кеМ существует элемент акеА такой, что (x(a))w = vw и (х(а*))<г> = ww для любого г ф к (reN). Пусть А' = Имеем vA=
=Ых{х(ак) | keM)=v.
Замечание 3. Так как Му(А) - полная решетка, то и F(t) - полная решетка. Пусть F\ - некоторое множество характеристик из F(t\ Рассмотрим характеристики wb w2e еХтакие, что w^- inf{v№ | veFfi, Wj^supfv^ | veFJ (эти inf и sup рассматриваются во множестве N(j {0,оо}, упорядоченном естественным образом). Учитывая свойства характеристик, из F(t) имеем w^eF(t), а если Ft - конечное множество, то и w2eF(t). Отсюда wj = inf/^Fi, а если | Fi | <Ко, то w2 = sup/^Fi. Итак, inf любого множества характеристик в F(t) берется почленно, а в случае, когда множество характеристик из F\t) конечно, то и его sup в /•(/) берется почленно. Покажем, что в случае бесконечного множества Ft характеристик из Р(А) sap^i может не совпадать с характеристикой w2.
Пусть t - тип, которому принадлежит характеристика, состоящая только из нулей. Для каждого neN рассмотрим следующие характеристики 1, v„(m)= 0 для всякого
тФп. Для всякого neN имеем v„et, и поэтому v„eF{t). Пусть Fi = {v„}neW. Беря почленно sup характеристик из
множества^, получим характеристику w£ 1,1...... 1, ...X
так как не существует характеристики wet такой, что w2<w, то w2eF{t). Итак, н>2 Ф sup^^F,. В нашем примере имеем sup^/jF,=(оо, оо,..., оо,...).
Учитывая, что однородная редуцированная абелева группа А без кручения является х-группой тогда и только тогда, когда А - вполне транзитивная группа [5. следствие 3.14], лемму 5, следствие 1, замечание 2 и предложение 2, получаем такой результат.
Теорема 5. Пусть А - однородная абелева группа без кручения типа t.
1) А является х-группой тогда и только тогда, когда А - вполне транзитивная группа.
2) Mx(A) = F(t).
3) Если А - вполне транзитивная группа, то соответствие p:vi->/l(v), где veF(t), определяет антиизоморфизм решеток F(/) и Ф(Л).
Если А - вполне транзитивная группа, то множество Х(А) обладает свойством конечной сравнимости вX.
ЛИТЕРАТУРА
1. СкорняковЛ.А. Элементы теории структур. М.: Наука, 1970. 147 с.
2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1. 335 с.
3. Kaplansky I. Infinite abelian groups. Michigan: Ann. Arbor, 1954. 90 p.
4. ФуксЛ. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2.414 с.
5. Гринитон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения //Абелевы группы и модули. 1982. С. 56-92.
6. ReidJ.D. Quasi-pure-injectivity and quasi-pure-projectivity // Lect. Notes Math. 1977. V. 616. P. 219-227.
7. Arnold DM.. Strongly homogenevus torsion free abelian groups of finite rank // Proc. Amer. Math. Soc. 1967. V. 56. P. 67-72.
8. Крылов П.А. Сильно однородные абелевы группы без кручения // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24, № 2. С. 77-84.
9. Гринитон С.Я. Вполне характеристические подгруппы АГ-прямых сумм абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. 1996. Вып. 13-14. С. 54-61.
10. Гринитон СЯ. Вполне транзитивные однородно сепарабельные абелевы группы // Матем. заметки. 1997. Т. 62, вып. 3. С. 471-474.
Статья представлена кафедрой алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила ■ научную редакцию «Математика» 23 ноября 1998 г.
26
