Абелевы группы, вполне транзитивные относительно функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.541

С.Я. Гриншпон АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ,

ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ФУНКЦИЙ

Работа выполнена при финансовой государственной поддержке ведущих научных школ РФ, грант № 96-15-96095 «Исследования по комплексному анализу и алгебре» и РФФИ, грант № 97-01-00795.

Вводится понятие абелевой группы Л, вполне транзитивной относительно функции фl'A-*L, где L - нижняя полурешетка. С помощью этого понятия получены результаты о вполне характеристических подгруппах и их решетках.

Рассматриваются функции, отображающие абелеву группу в нижнюю полурешетку и обладающие рядом естественных свойств, обобщающих свойства индикаторов элементов /мрупп, характеристик элементов групп без кручения и высотных матриц элементов смешанных групп. С помощью введенных понятий (групп, вполне транзитивных относительно рассматриваемых функций и ф£-групп) получены результаты о строении вполне характеристических подгрупп и их решеток для ф£-групп. Применяя эти результаты к абелевым р-группам и группам без кручения, получаем информацию о вполне характеристических подгруппах и их решетках для исследуемых групп.

Пусть А - абелева группа, L - нижняя полурешетка и срliA-*L - функция со следующими свойствами:

1) ф£(ра)>ф^(а) для всякого аеА и любого эндоморфизма р группы А;

2) ф L(a + b)>(pi{a) л ф/.(6) для любых a, be А;

3) ф4(0) > / для всякого leL.

Пусть leL и А(Г) = {аеА \ ф£(я) > /}.

Лемма 1. A(J) - вполне характеристическая подгруппа группы А, и если существует

h = т^{ф£(а) | аеА{Г)}, то А(1) = А(1,).

Доказательство. Если а, ЬеА(Г), то -beA(f), так как существует уеЕ(А) такой, что yg = - g для всякого элемента geA. Поэтому ф£(- Ь) £ фL(b) > /. Имеем фda -b)Z ф/.(а)лфД— b) > ф£(а)лфг.(А) > I. Значит, А(!) - подгруппа группы А. Если т\еЕ(А), то фДра) > ф/,(а) > /, и поэтому цаеА(Г). Итак, А(1) - вполне характеристическая подгруппа группы А. Пусть существует 1Х - т^{ф/.(а) | аеА(/). Очевидно, A(tyzA{h). Покажем обратное включение. Так как для всякого аеА{1) фL(a) t /, то 1\ £ /. Пусть аеА{10, тогда щ(а) £ /] > /, и, значит, аеА(Г). Итак, А(1{)аА([), и поэтому А{1{)=A(f).

Пусть для абелевой группы А и нижней полурешетки L задана функция фl'.A-*L, удовлетворяющая свойствам 1)—3), и пусть для каждого непустого подмножества А' множества А существует элемент mAeL такой, что тл = т4{ф£(д') | а'еА'}.

Пусть Ml(A) = {тА | А'сА и А' * 0}.

Лемма 2. ML(A) - полная решетка.

Доказательство. Покажем, что всякое непустое подмножество множества ML(A) имеет точную нижнюю грань. Пусть M<zMl{A), М#0. Запишем М в ви-де М = {mAi}iei, где для всякого iel Af - непустое подмножество множества А.

Пусть А' = U Aj. Тогда

;е/

{фд(а')|я' е А'} = 11{ф£(Я/)к е ЛЬ /«/

причем

«л= т^{ф£(а,) | а,еА,}

и существует

m = ML{^L{cf)\deA'}.

Тогда m = inf£ {тА/ },е/ [1. С. 10, теорема 4], и так как meML(A), то m = infMl(A) {mAi }/е/. ML(A) имеет наибольший элемент ф£(0). Поэтому ML(A) - полная решетка [1, С. 37, теорема 1].

Определение 1. Назовем абелеву группу Л ф£-группой, если всякая ее вполне характеристическая подгруппа S имеет вид S=A(l), где leL.

Определение 2, Абелеву группу А назовем вполне транзитивной относительно функции ф£, если для любых двух ее элементов а, Ь, для которых фL{a) < фL{b), существует эндоморфизм л группы А такой, что г\а = Ь.

Предложение 1. Всякая ф£-группа вполне транзи-тивна относительно функции ф£.

Доказательство. Пусть А - ф£-группа. Предположим, что А не является вполне транзитивной относительно функции ф£. Тогда существуют элементы а, ЬеА такие, что ф/.(а) < фь но для всякого ц еЕ(А) т\а*Ь. Рассмотрим подгруппу 5 = {т)я | Г|е£(Л)}. Имеем btS. S - вполне характеристическая подгруппа группы А, и поэтому S=А{1) для некоторого leL. Тогда ф£>/, а, значит, фL(b) > I. Отсюда ЬеА([), и так как А([) = 5, то beS. Противоречие.

Напомним, что частично упорядоченные множества Р и F называются изоморфными (аигиизоморфными), если существует биективное отображение ф множества Р на множество Р\ такое, что а й Ь имеет место тогда и только тогда, когда ф(а) < ф(6) (ф(о) > ф(Ь)).

Рассмотрим понятие изоморфизма (антиизоморфизма) полных решеток.

Определение 3. Полные решетки L и V будем называть изоморфными (аигиизоморфными), если существует биективное отображение ф множества L на множество L' такое, что для всякого непустого подмножества А множества L имеем

ф(я1р/./4)= sup£. ф/4 и ф(шГ£ А) = inf£.ф А

(ф(вир£/4)=М£.ф/4 и ф(т££^4) = 8ир£.фу4).

Проводя рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 4 из [1. С. 53-54], получим лемму 3.

Лемма 3. Если ф - изоморфизм (антиизоморфизм) частично упорядоченного множества L на частично упорядоченное множество L и одно из этих множеств является полной решеткой, то другое множество - также полная решетка и ф является изоморфизмом (антиизоморфизмом) полных решеток.

Замечание 1. Пусть L и I' - полные решетки и Автоморфизм (антиизоморфизм) решетки L на V в обычном смысле, т.е. ф - биективное отображение L

23

на V такое, что для любых двух элементов a,beL (f>(avb) = ф (a)v9 (b) и ф (алЬ) - ф (а)лф(й) (ф (avb) = ф(а)лф (Ь) и ф(алЬ) = ф (а)уф (b)).

Используя то, что в любой решетке L следующие свойства элементов а, beL эквивалентны:

а)айЬ,б) avb = 6; в) алЬ = о, получаем, что ф - изоморфизм (антиизоморфизм) частично упорядоченных множеств L и L. Тогда по лемме 3 ф - изоморфизм (антиизоморфизм) полной решетки L на полную решетку V (в смысле определения 3 изоморфизма (антиизоморфизма) полных решеток).

Продолжим рассмотрение ф£-групп.

Обозначим через Ф(Л) решетку вполне характеристических подгрупп группы А. Для любой абелевой группы А Ф(Л) - полная решетка.

Теорема 1. Пусть А - фд-группа и для каждого непустого подмножества А' множества А существует элемент тлеЬ, такой, что тА = ш^{ф/.(а')\а'еА'}. Пусть Ml(A) = {тА \а'сА и А' * 0}. Тогда решетка вполне характеристических подгрупп группы А антиизоморфна решетке ML(A).

Доказательство. Рассмотрим отображение сгФ(4) ->ML(A\ где для всякой вполне характеристической подгруппы S группы A aS = ms (ms = inf^^s) | seS}). Покажем, что ст - биективное отображение. Пусть leML(A). Тогда существует непустое подмножество А' множества А такое, что / = тГд{ф(а) | cfeA'}. Рассмотрим элементы группы А вида \|/iai'+...+v|/4et'J где keN; а/, ..., at’eF(A) фь ..., ф*еЕ(А). Обозначим множество всех таких элементов через S. S' - вполне характеристическая подгруппа группы А. Учитывая условия 1) и 2) для функции Фд, получаем, что I = т^{ф/(5') Ь'бУ}. Итак, о S' = I, и, значит, ст - сюръективное отображение.

Покажем, что о - инъективное отображение. Пусть Si, Sj- вполне характеристические подгруппы группы А, oS, = mSi, aS2 = mSi и mSi - mSj. Учитывая, что A -

фд-группа, и используя лемму 1, получаем 5, = A(mS)), 52 = A(mS}). Отсюда S) = S2.

Если Si и S2 - вполне характеристические подгруппы группы А, то SicS2 тогда и только тогда, когда aSi>aS2 (учитываем, что Sx = A(oSi)', S2 = A(oS2)). Значит, полные решетки Ф(А) и ML антиизоморфны.

Замечание 2. Пусть р = а-1, где о - отображение Ф(И) на Мд(И), рассмотренное в доказательстве теоремы 1 и являющееся решеточным антиизоморфизмом. Из доказательства теоремы вытекает, что если leML(A), то р/ = А([).

Частично упорядоченное множество назовем полной нижней полурешеткой, если всякое его непустое подмножество имеет точную нижнюю грань.

Если L - полная нижняя полурешетка, то всякой фд-группе А, для которой задана функция фд, удовлетворяющая свойствам 1)—3), можно поставить в соответствие полную решетку ML(A)={mA \А'сА и А'*0}, где /й/= =mfL{(pL(d)\a'eA'}.

Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. Пусть А - фд-группа, где L - полная нижняя полурешетка. Тогда решетки Ф(Л) и ML(A) антиизоморфны.

24

Определение 4. Пусть L - полная нижняя полурешетка. Будем говорить, что множество M<zL обладает свойством конечной сравнимости в L, если для всякого бесконечного подмножества МхаМ из того, что иеМ и u>infLMi, следует существование в Mi такого конечного подмножества М2, для которого и > inf,A/2-

Пусть А - абелева группа, L - нижняя полурешетка и фд:Л-»1 - функция со свойствами 1)-3). Если М -некоторое подмножество множества L, то обозначим через А(М’) подгруппу группы А, порожденную всеми такими элементами аеА, для которых существует теМ, что фд(а) > т. Понятно, что А(М) - вполне характеристическая подгруппа группы А. Пусть фд(Л) = ={фд(а)|аеЛ}.

Теорема 2. Если абелева группа А является фд-труп-пой, где L - полная нижняя полурешетка, то множество Фд (А) обладает свойством конечной сравнимости в L.

Доказательство. Пусть А - фд-группа, М = фд(A), MtcM,

I Mi | >N, иеА/и и > mfiMi- Существует элемент ЬеА, такой, что фд(Ь) = и. Рассмотрим вполне характеристическую подгруппу A(Mt) группы А. Так как А - фд-группа, то А{М\)= =A(v), где veL, причем по лемме 1 в качестве v можно взял. тРд{фд(у) | sea(Mi)}. Имеем т4{фд(^) I seA(Mi)} = in^M- Тогда A(Mi) =A(infi№i). Так как (pL(b)>infLMi, то ЬеА(М{), и поэтому Ь = bi+... bn где фд(6,)>ув v,eA/b / = 1,..., л. Отсюда получаем и=фд (/>)£ in£ {ф1 (А, )}^~ >. Значит, в Mi есть

конечное подмножествоМ2= (v,) т такое, что и>юШ2.

Рассмотрим абелевы р-группы. Пусть А - абелева р-группа. Обозначим через НА множество всех возрастающих последовательностей порядковых чисел, меньших длины группы А и символов оо, полагая, что оо больше любого порядкового числа (если а = (oto, ср.с^

.. .)еНА и оо, то а„< min{On+1, X}, где X-длина группы

А; если же а„ = оо, то а„ + ] = оо). На множестве НА введем отношение частичного порядка естественным образом: (do, oil,..., On ...) < (Ро, Pi.pm...) тогда и только тогда, ко-

гда для каждого keN0 (N0 - множество всех целых неотрицательных чисел) а* < Р*. Относительно этого порядка НА является полной нижней полурешеткой (так как в НА есть наибольший элемент (оо, оо, оо, ..., оо, ...), то НА является даже полной решеткой).

Пусть фя^ - функция, отображающая А в НА, такая, что <рНм (а) = Н(а) для всякого аеА (Ща) - индикатор

элемента а). Из свойств обобщенных р-высот [2. Р. 182] вытекает: <рНл (т)а) > фя^ (а) для всякого аеА и любого

ре ДЛ); (рНл (а + Ь)> <рНл (а) л ц>На (Ь) для любых а, ЬеА', ц>На (0) > а для всякой последовательности аеНА. Поэтому в рассматриваемой ситуации мы можем использовать результаты, полученные ранее в этой статье.

Говорят, что последовательность а = (do, аь ..., ат...) из НА имеет скачок между а* и а* +1, если а* + 1<а* + i [3. С. 58]. Последовательность аеНА называется {/-последовательностью (для группы А), если каждый раз, когда существует скачок между а* и а* +1 а*-й инвариант Уль-ма-Капланского группы A f (А) отличен от нуля.

Если А' - непустое подмножество множества А, то через аА(к) обозначим inf^ {H(d) \ а'еА'} (индикаторы

элементов рассматриваются в группе А) и пусть М^А)г ={аА\А'сА иА’*0}.

Лемма 4. Для любой абелевой р-группы А Мн(А) совпадает с множеством всех [/-последовательностей для группы А.

Доказательство. Пусть аеМц(А). Существует непустое подмножество А' множества А такое, что а = аА = = inf{Н(а') | а'еА'}. Каждый индикатор Щс() является [/-последовательностью [3. Р. 59]. Так как inf произвольного множества последовательностей в Нл берется почленно (покоординатно), то аА(к) - (/-последовательность. Пусть теперь а является [/-последовательностью, а = (ао, аь ..., а„ ...) и Щ={пеЩ\ |а„+1<а^,}. Для всякого rteN\ существует элемент а„ порядка р"*\ индикатор которого имеет единственный скачок между а„иоо, т.е. Н(а„) = (а„- п,а„-п+ 1,..., ат со, оо,...) [4. С. 9, лемма 65.3].

Пусть А' = {4,}пбМ Имеем аА. = infff< {Н(а)\п е /V,} =

= (do, а.... а„,...) = а. Значит, аеМ^А).

Обозначим множество всех (/-последовательностей для группы А через ЩА). Из лемм 2 и 4 следует, что ЩА) является полной решеткой. Напомним, что редуцированная абелева р-группа называется вполне транзитивной, если для любых двух ее элементов а, Ъ, для которых Н(а) < Нф), существует эндоморфизм ц этой группы такой, что ц(а) = b [4. С. 11]. Класс вполне транзитивных абелевых р-групп включает в себя такие важные классы групп, как класс сепарабельных р-групп и класс тотально проективных р-групп.

Пусть Н(А) = {Н(а) \ аеА}. Если аеНА, то обозначим через А(а) следующую подгруппу группы А: А (а) = = {аеА |Я(а)>а}. Л(а) - вполне характеристическая подгруппа группы А.

Определение 5. Редуцированную абелеву р-группу А назовем //-группой, если всякая ее вполне характеристическая подгруппа S имеет вид S = А(а), где аеНА.

Всякая вполне транзитивная абелева р-группа А является //-группой (причем в представлении любой вполне характеристической подгруппы S этой группы в виде А(а) можно выбрать а, принадлежащим ЩА) [4. С. 17, теорема 67.1]).

Из предложения 1 (полагая L = НА, (р£ = фя ) вытекает, что справедливо и обратное утверждение. Используя также лемму 4, теорему 1 и теорему 2, получаем результат.

Теорема 3. Пусть А - абелева р-группа.

1. А является Я-группой тогда и только тогда, когда А - вполне транзитивная группа.

2. Возрастающая последовательность а ординальных чисел, меньших длины группы А, и символов оо является (/-последовательностью для группы А тогда и только тогда, когда а = infw {H{a')\deA'}, где А' - некоторое

непустое подмножество множества Л.

3. Если А - Я-группа, то решетка вполне характеристических подгрупп этой группы антиизоморфна решетке ЩА).

4. Если А - Я-группа, то множество Н{А) обладает свойством конечной сравнимости в НА.

Перейдем теперь к рассмотрению абелевых групп без кручения.

Прежде чем формулировать дальнейшие результаты, приведем необходимые обозначения и термины, используемые в [5].

Пусть X - множество, состоящее из всех последовательностей v = (v(1), v®,..., v®,...), где v» - целое неотрицательное число или символ оо QeN). Такие последовательности будем называть характеристиками.

Во множестве X естественным образом вводится частичный порядок, а именно v<w тогда и только тогда, когда для каждого ieN v(,)<w(,\ Относительно этого частичного порядка X является полной решеткой. Пусть П = {р\, рг, ..., р„, ...} - множество всех простых чисел, перенумерованных в порядке возрастания. Если А - абелева группа без кручения; хеА, то характеристика х(*) элемента х в группе А - это такая характеристика v = (v(l), v®,..., v®,...), в которой каждое vw есть /?,-высота h Pl (х) элемента х в группе А (согласно определению характеристика нулевого элемента есть последовательность (со, оо,..., да,...)).

Пусть <р* - функция, отображающая А в X такая, что фjda) = %(а) для всякого аеА. Из свойств -высот вытекает: ф^ца) > фх(а) для всякого аеА и любого т)б£(Л); <рх(а+Ь) > ф*(а)лфл(6) для любых а, ЬеА; Фл(0) > v для всякой veX. Поэтому в рассматриваемой ситуации мы можем использовать результаты этой статьи, полагая L=Xwv?l~ ф.*-.

Определение 6. Редуцированная абелева группа А без кручения называется вполне транзитивной, если для любых двух ее элементов а и Ь, для которых Х(а)^х(/>), существует эндоморфизм ф этой группы такой, что ф(а) = Ь.

В [5] такие группы были названы транзитивными.

Вполне транзитивными группами без кручения являются алгебраически компактные, квазисервантно инъективные [6], сильно однородные [7, 8] и другие абелевы группы без кручения.

Пусть А - абелева группа без кручения. Если veX, то обозначим через А(у) следующую подгруппу группы А: А(у) = {аеА | x(a)^v}. A(v) - вполне характеристическая подгруппа группы А.

Определение 7. Редуцированную абелеву группу А без кручения назовем х-группой, если всякая ее вполне характеристическая подгруппа S имеет вид S = A(v), где veX.

Из предложения 1 вытекает

Предложение 2. Всякая х-фуппа является вполне транзитивной группой.

Х-группы в некоторых классах абелевых групп без кручения были охарактеризованы в [5, 9, 10]. Если А -абелева группа без кручения, то для всякого непустого подмножества А' множества А через \Ащ обозначим infr{x(a')l а'еА'), и пусть

MrfA) = {va\A'cA и А'* 0}, х(Л) = (х(а) I <*еА).

Так как X - полная решетка, то из леммы 2, следствия 1 и теоремы 2 вытекает такой результат.

Теорема 4. Пусть А - абелева группа без кручения. Тогда

25

1) МХ(А) - полная решетка;

2) если А - х-группа, то решетки Ф(А) и Мх(А) антиизоморфны;

3) если А - х-группа, то множество х(А) обладает свойством конечной сравнимости в X.

Рассмотрим теперь однородные абелевы группы без кручения.

Тип / (класс эквивалентных характеристик) будем называть ргделимым (р*еП), если для всякой характеристики V, принадлежащей этому типу, имеем vw = оо. Пусть / - некоторый тип. Рассмотрим характеристики v, удовлетворяющие следующим условиям:

а) v = (v(1>, v<2),..., Vм, для некоторой wet,

б) v(*> = оо, если тип t />*-делим.

Обозначим через F(/) множество, состоящее из всех характеристик, удовлетворяющих свойствам а), б), и характеристики, членами которой являются только символы оо.

Лемма 5. Для любой однородной абелевой группы без кручения А типа t Му(А) совпадает с F(t).

Доказательство. Пусть veMx(A). Существует непустое подмножество А' множества А, что v = v/)= =infr{x(a') I a'eA'}. Если A' - {0}, то v(*)=oo для всех keN, и поэтому veF(/). Пусть А' ф {0}. Имеем v <х(а') для всякого а'еА', и если а' ф 0, то x{a)et. Так как для любого элемента а'еу^к\а’) = оо для всех к, для которых ркА = А, то vw = оо для всех к, для которых тип I />*-делим. Значит, veF(/).

Пусть veF(r). Если vw = оо для всякого keN, то, полагая А' = {0}, получаем v = v* Пусть существует keN такое, что v(i) * оо. Если vet, то выбираем в группе А элемент а такой, что \(а) = v. Тогда, полагая А' = - {а}, получаем v = v. Пусть et. Зафиксируем некоторую характеристику wet такую, что v<w, и пусть М = ={keN\pkA Ф А]. Для всякого кеМ существует элемент акеА такой, что (x(a))w = vw и (х(а*))<г> = ww для любого г ф к (reN). Пусть А' = Имеем vA=

=Ых{х(ак) | keM)=v.

Замечание 3. Так как Му(А) - полная решетка, то и F(t) - полная решетка. Пусть F\ - некоторое множество характеристик из F(t\ Рассмотрим характеристики wb w2e еХтакие, что w^- inf{v№ | veFfi, Wj^supfv^ | veFJ (эти inf и sup рассматриваются во множестве N(j {0,оо}, упорядоченном естественным образом). Учитывая свойства характеристик, из F(t) имеем w^eF(t), а если Ft - конечное множество, то и w2eF(t). Отсюда wj = inf/^Fi, а если | Fi | <Ко, то w2 = sup/^Fi. Итак, inf любого множества характеристик в F(t) берется почленно, а в случае, когда множество характеристик из F\t) конечно, то и его sup в /•(/) берется почленно. Покажем, что в случае бесконечного множества Ft характеристик из Р(А) sap^i может не совпадать с характеристикой w2.

Пусть t - тип, которому принадлежит характеристика, состоящая только из нулей. Для каждого neN рассмотрим следующие характеристики 1, v„(m)= 0 для всякого

тФп. Для всякого neN имеем v„et, и поэтому v„eF{t). Пусть Fi = {v„}neW. Беря почленно sup характеристик из

множества^, получим характеристику w£ 1,1...... 1, ...X

так как не существует характеристики wet такой, что w2<w, то w2eF{t). Итак, н>2 Ф sup^^F,. В нашем примере имеем sup^/jF,=(оо, оо,..., оо,...).

Учитывая, что однородная редуцированная абелева группа А без кручения является х-группой тогда и только тогда, когда А - вполне транзитивная группа [5. следствие 3.14], лемму 5, следствие 1, замечание 2 и предложение 2, получаем такой результат.

Теорема 5. Пусть А - однородная абелева группа без кручения типа t.

1) А является х-группой тогда и только тогда, когда А - вполне транзитивная группа.

2) Mx(A) = F(t).

3) Если А - вполне транзитивная группа, то соответствие p:vi->/l(v), где veF(t), определяет антиизоморфизм решеток F(/) и Ф(Л).

Если А - вполне транзитивная группа, то множество Х(А) обладает свойством конечной сравнимости вX.

ЛИТЕРАТУРА

1. СкорняковЛ.А. Элементы теории структур. М.: Наука, 1970. 147 с.

2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1. 335 с.

3. Kaplansky I. Infinite abelian groups. Michigan: Ann. Arbor, 1954. 90 p.

4. ФуксЛ. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2.414 с.

5. Гринитон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения //Абелевы группы и модули. 1982. С. 56-92.

6. ReidJ.D. Quasi-pure-injectivity and quasi-pure-projectivity // Lect. Notes Math. 1977. V. 616. P. 219-227.

7. Arnold DM.. Strongly homogenevus torsion free abelian groups of finite rank // Proc. Amer. Math. Soc. 1967. V. 56. P. 67-72.

8. Крылов П.А. Сильно однородные абелевы группы без кручения // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24, № 2. С. 77-84.

9. Гринитон С.Я. Вполне характеристические подгруппы АГ-прямых сумм абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. 1996. Вып. 13-14. С. 54-61.

10. Гринитон СЯ. Вполне транзитивные однородно сепарабельные абелевы группы // Матем. заметки. 1997. Т. 62, вып. 3. С. 471-474.

Статья представлена кафедрой алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила ■ научную редакцию «Математика» 23 ноября 1998 г.

26