Обобщение свойства вполне транзитивности абелевых групп без кручения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012

Математика и механика

№ 2(18)

УДК 512.541

Д.С. Чистяков

ОБОБЩЕНИЕ СВОЙСТВА ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНОСТИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ

В данной работе изучаются однородные отображения абелевых групп без кручения конечного ранга; в частности обобщается понятие вполне транзитивности.

Ключевые слова: вполне транзитивная абелева группа без кручения, однородное отображение, pfi-подгруппа, псевдоцоколь.

Пусть Я - ассоциативное кольцо с единицей, G - унитарный левый Я-модуль, £д^) - кольцо эндоморфизмов модуля G. Множество

является почтикольцом относительно операций сложения и композиции отображений. Элементы данного почтикольца называют однородными (Я-однородными) отображениями.

Если Мд^) = £д^), то модуль G называется эндоморфным. Абелеву группу будем называть эндоморфной, если она является эндоморфным модулем над своим кольцом эндоморфизмов.

Для построения однородных отображений нам потребуются понятия замкнутости и сильной сервантности модуля. Множество А называется Я-замкнутым, если для любых геЯ, аеА справедливо гае А. Непустое подмножество А левого Я-модуля V называется сильно Я-сервантным, если О^гуеА влечет уеА для всех геЯ, vеV ([1]).

Лемма 1 ([1]). Пусть Н - Я-замкнутое и сильно Я-сервантное подмножество Я-модуля G и А: Н ^ G - Я-однородное отображение.

Отображение / G ^ G, определяемое по правилу:

является Я-однородным.

В [2, гл. 4.] дается определение подпочтикольца N почтикольца М(С) = = {/ G ^ G}, удовлетворяющего условию конечной интерполяции: для любых различных £Ь £2, •••, а е G и любых А2, Нк е G существует п е N такой, что

п(^) = ^1, п(я2) = ^2, ..., п(як) = Ак.

В теории абелевых групп хорошо изучен класс вполне транзитивных групп без кручения (см. [3, гл. 7], а также [5, 6]). Группа G называется вполне транзитивной, если она удовлетворяет условию: для любых а, Ь е G, таких, что х(а) ^ х(Ь) (х(£) - характеристика элемента £ е G), существует f е £(С) со свойством /(а) = Ь.

В данной работе изучаются абелевы группы без кручения G конечного ранга, обладающие следующим свойством: для любых а, Ь е G, таких, что х(а) ^ х(Ь), существует / е МЕ(0)^) со свойством /(а) = Ь.

Группы с таким свойством будем называть МЕ-вполне транзитивными.

Мд^) = ДО ^ G | /х) = /(гх), г е Я}

Прежде чем перейти к изложению основных результатов, напомним понятия с приставкой «квази», поскольку данная терминология часто используется при работе с абелевыми группами без кручения конечного ранга.

Пусть А и В - абелевы группы без кручения. Говорят, что А квазисодержится в В, если пА с В для некоторого натурального числа п. Г оворят, что А квазиравна В (А « В), если А квазисодержится в В и В квазисодержится в А. Квазиравенство А « ®;-Е/А,-, где I - конечное множество, называется квазиразложением (квазипрямым разложением) группы А. Подгруппы А, называются квазислагаемыми группы А. Абелева группа без кручения А называется сильно неразложимой, если она не обладает нетривиальными квазиразложениями.

Абелеву группу без кручения А можно естественным образом вложить в ^-пространство Q0A, которое является делимой оболочкой группы А (элемент а е А отождествляется с элементом 1<8>ае2®А). Каждый эндоморфизм а е Д(А) единственным образом продолжается до линейного преобразования 1<8>а 2-пространства Q0A. Кольцо Д(А) содержится в £п^е(2®А). Таким образом, Д(А)={а е £п^е(2®А)| аАсА}.

2-алгебра 2<8>£(А) называется кольцом квазиэндоморфизмов группы А.

Неопределяемые нами понятия можно найти в [3].

Теорема 2. Однородная МЕ-вполне транзитивная группа G является циклическим модулем над центром С£^) своего кольца эндоморфизмов.

Доказательство. Пусть Н - сервантная подгруппа группы G, инвариантная относительно всех £^)-однородных отображений, и 0 Ф а е Н, 0 Ф Ь е G. Однородность группы G позволяет выбрать натуральное число п таким образом, что х(а) < х(пЬ). Существует / е Мде^) со свойством /(а) = пЬ. Поскольку подгруппа Н инвариантна относительно всех Д^)-однородных отображений, то пЬ е Н. На основании сервантности Н заключаем Ь е Н. Поэтому Н = G. Отсюда, в частности, следует, что группа G неразложима.

Покажем, что группа G сильно неразложима. Пусть G « А = В ® С - некоторое нетривиальное квазиразложение группы G. В работе [4] доказано, что Мвд(С) ~ ~ Мад(А). Поскольку

Ме(а)(А)В = М£(А)(А)евВ = евМ£(А)(А) В с В (ев А^ В - проекция), то для некоторого натурального числа п справедливо Мвд^пВ с пВ с G. По доказанному выше пВ = G. Поэтому С = 0.

Пусть Н - минимальная _р/г-подгруппа группы G и х,у е Н. Тогда существуют такие ф е Дб) к е N, что ф(х) = ку. Для / е Мвд^) имеем

/х + У = /кх + ку) = /(кх + ф(х)) = /((к + ф)(х)) =

= (к + ф/(х) = к/(х) + ф/(х) = к/(х) + к/(у).

Следовательно, /х + у) = /х) + /(у). Получили, что каждое Д^)-однородное отображение действует аддитивно на каждой минимальной /т/г-подгруппе группы G. Поэтому /Н) с Н. Тогда Н = G и группа G неприводима. Сильно неразложимые неприводимые группы эндоморфны [4]. Откуда следует, что Мвд(С) = С£(С). Заключаем, что G - неприводимый СД^)-модуль. Теорема доказана.

Теорема 3. Абелева группа без кручения с сильно однородным кольцом эндоморфизмов МЕ-вполне транзитивна.

Доказательство. Пусть G - группа из условия теоремы, а, Ь е G, такие, что х(а) < х(Ь), и А - подгруппа группы G, сервантно порожденная циклическим модулем £^)а. Понятно, что А - вполне характеристическая подгруппа группы G. Докажем ее сильную сервантность. Если ф(х) = у для некоторых ф е £^), у е А.

54

Д.С. Чистяков

На основании сильной однородности кольца Е(О) эндоморфизм ф есть целое кратное обратимого элемента, то есть иу = ф для некоторых у є Аи?(О), и є N. Тогда иу(х) — у Откуда у(х) = у'є А, х — у -1(у') є А.

Построим Е(О)-однородное отображение /: О ^ О, переводящее а в Ъ, по правилу

Заметим, что данное отображение не аддитивно. Поэтому группа О не является эндоморфной. Теорема доказана.

Следствие 4. Неоднородная вполне транзитивная абелева группа конечного ранга, кольцо квазиэндоморфизмов которой является телом, МЕ-вполне транзитивна.

Доказательство следует из [3, теорема 41.2.].

Предложение 5. Если О — ®/є/ О, - М^-вполне транзитивная абелева группа без кручения, то МЕ-вполне транзитивны все слагаемые О,.

Доказательство. Пусть/ є Ме(<з)(О) и О, - прямое слагаемое группы О (/є I). Тогда/(О,) с О,- (см. доказательство теоремы 2). Эндоморфизм фу є Е(О,) можно продолжить до эндоморфизма ф є Е(О). Рассмотрим отображение //), являющееся ограничением / на О,. Тогда

Пусть 0 Ф а, Ь е G/, такие, что х(а) < х(Ь) (в группе G^• и, следовательно, в группе G). В силу МЕ-вполне транзитивности группы G найдется однородное

М^вполне транзитивное слагаемое группы G. Предложение доказано.

Полагаем П(G) = {р| _pG Ф G}.

Предложение 6. Пусть G = ®;е/ Gг' - абелева группа без кручения, удовлетворяющая условиям:

1) все прямые слагаемые Gi МЕ-вполне транзитивны,

2) все прямые слагаемые Gi вполне характеристичны и сильно £^)-сервантны,

3) ЩG) п Д^) = 0 при г Фу.

Тогда М^вполне транзитивна группа G.

Доказательство. Пусть 0 Ф а, Ь е G, такие, что х(а) < х(Ь). По условию предложения

а = а1 + а2 + ... + ап, Ь = Ь1 + Ь2 + + Ьп, где а,, Ь, е Gi•, г = 1, 2, ..., п.

Поскольку П^) п П^) = 0 при г Фу, то х(а,) < х(Ь), г = 1, 2, ..., п. На основании МЕ-вполне транзитивности всех слагаемых Gi найдутся £^г)-однородные отображения /,: Gi ^ Gi (г = 1, 2, ..., п), удовлетворяющие условию /(а,) = Ь,. Для отображения / G ^ G, определяемого правилом

ф(Ь), х = ф(а) є А, 0, х й А.

отображение / є МЕ(Д)(О) со свойством /(а) = Ъ. Следовательно, /^(а) — Ъ и О,

и проекций е1, е2 , •••, еп, е , соответствующих разложению О = О1®О2® ... ®Оп®О , имеем

/(а) — (еі + Є2 + + еп + е )/а + а + • + ап) —

— е/а + а + • + ап) + Є2Даі + а + • + ап) + ... +

+ епДа1 + а2 + • •• + ап) + е.Ла1 + а2 + ••• + ап) —

=_Де1 (a1 + a2 + ••• + an)) + ,Ле2 (a1 + a2 + ••• + an))+ ••• +

+ f(e„ (al + a2 + ••• + an)) + f(e (a1 + a2 + ••• + an)) = fa0 + f(a2) + ••• + f(an) =

=/l(a1) + f2(a2) + ••• + ./й(аи) = b1 + b2 + — + bn = b-

Предложение доказано.

Заметим, что если G - абелева группа без кручения, то для любых a, b е G, таких, что x(a) < x(b), существует f е MZ(G) со свойством f(a) = b.

Пусть A - сервантная подгруппа, порожденная элементом а. Тогда

... . 1пЪ,x = oa е A,

f (Х) = io.xe A.

Автор благодарен Крылову П.А. за постановку задачи и внимание к работе, а также Цареву А.В. за полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hausen J. and Johnson J.A. Centralizer near-rings that are rings // J. Austr. Math. Soc. 1995. V. 59. P. 173-183.

2. Pilz G. Near-rings: the theory and its applications. North Holland Publ., 1983.

3. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал пресс, 2006.

4. Чистяков Д.С., Любимцев О.В. Абелевы группы как эндоморфные модули над своим кольцом эндоморфизмов // Фундамент. и прикл. матем. 2007. Т. 13. № 1. С. 229-233.

5. Grinshpon S.Ya., Krylov P.A. Fully invariant subgroups, full transitivity and homomorphism groups of Abelian groups // J. Math. Sciences. 2005. V. 128. No. 3. P. 2894-2997.

6. Чехлов А.Р. Е-энгелевы абелевы группы ступени < 2 // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2012. № 1(17). С. 54-60.

Статья поступила 28.02.2012 г.

Chistyakov D.S. A GENERALIZATION OF THE FULL TRANSITIVITY PROPERTY FOR TORSION-FREE ABELIAN GROUPS. In this paper we study homogeneous mappings of torsion-free Abelian groups of finite rank; in particular, the notion of full transitivity is generalized.

Keywords: fully transitive torsion-free Abelian group, homogeneous mapping, pi-subgroup, pseudosocle.

CHISTYAKOV Denis Sergeevich (Nizhny Novgorod Commercial Institute)

E-mail: [email protected]