CC BY
32
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011 Математика и механика № 2(14)
УДК 512.541
Д.С. Чистяков, О.В. Любимцев ОБ АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ С UA-КОЛЬЦОМ ЭНДОМОРФИЗМОВ
В статье изучаются почти вполне разложимые и сильно неразложимые абелевы группы без кручения ранга 2, кольцо эндоморфзмов которых является кольцом с однозначным сложением.
Ключевые слова: кольцо с однозначным сложением, почти вполне разложимая абелева группа, сильно неразложимая абелева группа без кручения.
Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей. Кольцо R называется кольцом с однозначным сложением (UA-кольцом), если на его мультипликативной полугруппе (R, *) можно задать единственную бинарную операцию +, превращающую ее в кольцо (R, *, +) [1 - 3].
Абелеву группу, имеющую UA -кольцо эндоморфизмов, мы будем называть End-UA -группой.
В настоящей статье получено описание почти вполне разложимых и сильно неразложимых End-UA -групп без кручения. Далее всюду под словом «группа» понимается абелева группа.
Будем говорить, что группа А квазиравна группе В (А«В), если А квазисодер-жится в В и В квазисодержится в А (если nA с B, mB с A для некоторых n, meN). Квазиравенство А«®еА, где I - конечное множество, называется квазиразложением, или квазипрямым разложением, группы А. При этом подгруппы А, называются квазислагаемыми группы А. Группа называется почти вполне разложимой, если она квазиравна вполне разложимой группе.
Абелеву группу без кручения A можно естественным образом вложить в Q-пространство Q®A, которое является делимой оболочкой группы A. Естественный образ вложения подразумевает отождествление элемента aeA с элементом 1®aeQ®A. Каждый эндоморфизм aeE(A) единственным образом продолжается до линейного преобразования 1®a Q-пространства Q®A. Кольцо E(A) содержится в EndQ(Q®A).
Таким образом, E(A)={aeEndQ(Q®A)| aAo4}. Q-алгебра Q®E(A) называется кольцом квазиэндоморфизмов группы A. Далее для кольца Q®F^) примем обозначение S.
Заметим, если S - UA-кольцо, то E(A) тоже будет UA-кольцом. Действительно, новое сложение в кольце E(^) индуцирует новое сложение в кольце S.
Псевдоцоколем абелевой группы без кручения A называется сервантная подгруппа, порожденная всеми ее минимальными сервантными вполне характеристическими подгруппами (p/г-подгруппами) - обозначим ее Soc A.
Прямое слагаемое А ранга 1 называется полусвязанным, если в его дополнительном прямом слагаемом найдется прямое слагаемое ранга 1, тип которого сравним с типом А . При этом группу, каждое прямое слагаемое ранга 1 которой полусвязано, назовем полусвязанной. Пусть Q(A) множество всех типов прямых слагаемых ранга 1 вполне разложимой группы A. Тип xeQ (A) назовем изолиро-
ванным, если никакой другой тип из 0.(Л) не сравним с т. Неопределяемые нами понятия можно найти в [4].
Вспомним полезный для дальнейшего изложения результат: кольцо Я будет ПЛ-кольцом тогда и только тогда, когда любой изоморфизм мультипликативных полугрупп колец а: Я^Яявляется изоморфизмом колец [1 - 3].
Теорема 1. Пусть О - почти вполне разложимая группа без кручения конечного ранга и А = ©И1=1Л,- - ее полное квазиразложение. Тогда О является Епё-ПЛ-группой в том и только том случае, если множество О(А) не содержит изолированных типов.
Доказательство. Достаточность. Имеем 5=® к{^=1 е$е/, где е, е/, - идемпо-тентны кольца 5, соответствующие прямым квазислагаемым данного квазиразложения группы О.
Покажем, что кольцо £ является ПЛ-кольцом. Согласно [3, теорема 2.12.], достаточно проверить, что
для любого индекса /,/е{1,... ,к} (здесь Ь (е/Бе/) и Я (е,£е,) - левый и правый анну-ляторы подколец е£е/и е£е^ соответственно).
Известно, что е£е, = Q®E(eiО). Так как А, является группой ранга 1 без кручения, то имеем изоморфизм е,О^А/. По условию теоремы, для любого индекса /е{1,... ,к} найдется индекс/е{1,... ,к}, такой, что /(е/О)>/(е,О) (или наоборот). Покажем, что для любого 0ффее£е,найдется пее^е,-, такой, что пфФ0.
Пусть ф(х)=уф0 для некоторого хеQ®eiО. Найдется пеК, такой, что пхее,О. Далее, шф(пх)ее,О для некоторого натурального ш, то есть справедливо тф(пх)е е,О, шф(пх)= шпф(х)=у Ф0, где У ее О.
Пусть Ш=е,¥, П=е]¥, где V - делимая оболочка группы О. Если 0ф5ее/£е1, то 5еИош(^,У), причем найдется такое кеК, что к5(е,О)се/О^Л/-. Следовательно, ограничение к5 на е,О есть мономорфизм из е,О в е/О. Поэтому к5(у')= У'Ф 0.
Заметим теперь, что если п(шф)ф0 для некоторого пее/Беи то пфФ0. Положим П=к5. Тогда п(шф)(пх)=п( У)= к5(у')=у''ф0 и равенство (**) выполнено. Следовательно, кольцо £ является ПЛ-кольцом. На основании сделанного во введении замечания заключаем, что Е(О) - ПЛ -кольцо.
Необходимость. Докажем утверждение для случая А=А!®А2 (доказательство распространяется на случай большего ранга группы А ). Предположим противное: тип ЦА\) не сравним с типом ((А2). Тогда е,£'е/=0 при /Ф/. Далее, так как А, - группа ранга 1, то е$е1 = О. Следовательно, £= QxQ.
В работе [2] (после следствия 2 к теореме 3) имеется такое замечание: если Я не ПЛ-кольцо, то для любого кольца Т, в свою очередь, ЯхТ не является ПЛ-кольцом. Применяя это утверждение к кольцу £= Ох О, заключаем, что £ не ПЛ-кольцо (см. также [1, лемма 2.5]).
Покажем, что Е(О), будучи подкольцом в 5, также не является ПЛ-кольцом.
Построим мультипликативный автоморфизм ф кольца Е(О), полагая ф(а,Ь)= =(—1)к(а,Ь), где к находится из равенства а=рка’, (р,а')=1 (наименьший общий делитель р и а’равен 1).
Очевидно, что ф - биекция. Кроме того, если а1=риа'ь а2= руа’2, то ф[(а:,й:)( а2Л)] = ф[а^2, Ь^] = ф[ри+'’а' 1 а'2,Ъ\ 62] =
= (-1)и+',(а1 аъЬх 62) = ф[(а:,Ь!)]ф[( а^)].
или
Ь (е£е/) п е£е, = 0 Я /е,) п е55е{ = 0,
(*)
(**)
Об абелевых группах без кручения с УД-кольцом эндоморфизмов
57
Следовательно, ф сохраняет умножение. Так как ф (р(1,1)) = ф(р,р) = -(р,р) Ф Ф (р,р) = рф(1,1), то ф не является кольцевым автоморфизмом кольца Е(О). Противоречие. Теорема доказана.
Доказанная теорема находит свое применение в проблеме определяемости абелевых групп.
Говорят, что абелева группа ЛеХ определяется своим кольцом эндоморфизмов Е(Л) в классе абелевых групп X, если всякий раз из изоморфизма Е(Л)=Е(В), где ВеХ, следует изоморфизм Л^В. По аналогии вводится понятие определяемости абелевой группы полугруппой эндоморфизмов.
Следствие 2. Пусть О - почти вполне разложимая группа без кручения и А=© ”=1 Л, - ее полное квазиразложение. Если множество 0.(А) не содержит изолированных типов и группа О определяется своим кольцом эндоморфизмов в некотором классе абелевых групп, то она определяется своей полугруппой эндоморфизмов в этом классе.
Чтобы привести пример группы, не являющейся эндоморфной, обратимся к сильно неразложимым группам без кручения ранга 2, для которых кольцо Е(О) не является подкольцом кольца рациональных чисел. Такие группы хорошо изучены (см., напр. [5]). В этой ситуации возможны следующие случаи [5, § 3]:
1. Группа О - сильно неразложима, при этом d/mQS=2.
Заметим, что, если 5^О, то 5 и, следовательно, Е(О) не являются ПЛ-кольцами.
Для доказательства следующего утверждения нам будут полезны некоторые понятия и результаты, касающиеся однородных отображений модулей.
Пусть Я - ассоциативное кольцо с единицей, V - унитарный левый Я-модуль.
Множество МЯ(У) = {/ : V ^ V | /(гх) = г/(х), геЯ, хе V} является почтикольцом относительно операций сложения и композиции отображений. Элементы множества MR(V) называются Я-однородными отображениями. Очевидно, что множество MR(У) содержит кольцо ER(У) всех эндоморфизмов Я-модуля V.
В работе [6, Предл. 2.4] доказано, что, если MR(У)= Ец^ для всех Я-модулей V, то Я - ПЛ-кольцо.
Теорема 3. Сильно неразложимая группа О без кручения ранга 2 является Епё-ПЛ-группой в том и только том случае, когда О не совпадает со своим псевдоцоколем Бос О.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что О = Бос О. Тогда S=Q или Б - квадратичное поле, причем d/mQS=2. В обоих случаях кольцо Б не является ПЛ-кольцом, так как, например, мультипликативный изоморфизм
не является изоморфизмом колец. Поэтому О - не Епй-Ш-группа.
Достаточность. Пусть О не совпадает со своим псевдоцоколем Бос О.
. Пусть V - унитарный левый Б-модуль, /еMS(У) и
х,уе V. Имеем
0 о)f(x+y) = /[[2 0J(x+y)J = f(y).
Сложив данные равенства, получим f(x+y) = f(x) + f(y). Поэтому feES(V) и MS(V)=ES(V). Из работы [6, Предл. 2.4] следует, что кольцо S является UA-кольцом. Следовательно, кольцо E(G) так же является UA -кольцом. Теорема доказана.
Авторы признательны профессору Чехлову А.Р. за полезные замечания, коллективу кафедры алгебры Томского государственного университета за внимание к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nelius Chr.-F. Ring emit eindentiger Addition. Padeborn, 1974.
2. Stephenson W. Unique addition rings // Can. J. Math. 1969. V. 21. No. 6. P. 1455-1461.
3. Михалев А.В. Мультипликативная классификация ассоциативных колец // Мат. сб. 1988. Т. 135 (177). № 2. С. 210-224.
4. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Томск: ТГУ, 2002.
5. Arnold D.M. Finite rank torsion - free abelian groups and rings // Lecture Notes in Math. 1982. V. 931. P. 1-191.
6. B. van der Merwe. Unique addition modules // Communications in algebra. 1999. V. 27(9). P. 4103-4115.
Статья поступила 26.10.2010 г.
Chistyakov D.S., Lyubimcev O.V. ON TORSION - FREE ABELIAN GROUPS WITH UA-RINGS OF ENDOMORPHISMS. In this paper, we study almost completely decomposable and strongly indecomposable torsion - free rank 2 Abelian groups the endomorphism ring of which is a unique addition ring.
Keywords: unique addition ring, almost completely decomposable Abelian group, strongly indecomposable torsion - free Abelian group.
CHISTYAKOVDenis Sergeevich (Nizhny Novgorod Commercial Institute)
E-mail: [email protected]
LYUBIMCEV Oleg Vladimirovich (Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering)
E-mail: [email protected]
