О k-вполне транзитивности вполне разложимых абелевых групп без кручения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Математика и механика № 4(20)

УДК 512.541

М.И. Рогозинский

О А-ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНОСТИ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ

Вводится понятие ¿-вполне транзитивности для групп без кручения, исследуется вопрос о ¿-вполне транзитивности вполне разложимых групп из некоторых классов.

Ключевые слова: абелева группа, к-вполне транзитивность.

Одним из ключевых понятий теории абелевых групп является понятие вполне транзитивности. Впервые это понятие было рассмотрено Капланским в [1] для р-групп: р-группа О называется вполне транзитивной, если для любых элементов а, Ь е О группы О из выполнения неравенства Н(а) < Н(Ь) следует существование эндоморфизма 9 е Е(О), такого, что 9(а) = Ь (здесь Н(а), Н(Ь) - индикаторы элементов а и Ь соответственно).

Понятие вполне транзитивной группы без кручения впервые появилось в работе П.А. Крылова [2]: группа без кручения О называется вполне транзитивной, если для любых элементов а,Ь е О из %(а) < %(Ь), где х(а), х(Ь) - характеристики элементов а и Ь, следует существование 9 е Е(О) со свойством 9(а) = Ь . Заметим, что в [2] группа с указанным выше свойством называлась транзитивной.

В [3] рассматривается понятие «вполне транзитивность» для произвольной абелевой группы. Затем это понятие уточняется в [4]. При этом введенное понятие вполне транзитивной абелевой группы согласуется с рассматриваемыми ранее определениями вполне транзитивной р-группы и вполне транзитивной группы без кручения.

Интерес к изучению вполне транзитивных абелевых групп продиктован следующими соображениями. Вполне транзитивными группами являются группы, обладающие различной структурой, однако имеющие фундаментальное значение в теории р-групп и групп без кручения. К вполне транзитивным группам относятся, например, р-группы без элементов бесконечной высоты, р-адические алгебраически компактные группы и однородно сепарабельные группы, которым посвящены работы Р. Бэра, Ю.Л. Ершова, Л.Я. Куликова, А.П. Мишиной, Л. Фукса и других алгебраистов, квазисервантно инъективные группы без кручения, сильно однородные группы, интенсивно изучаемые в последнее время. Также понятие вполне транзитивной группы тесно связано с изучением вполне характеристических подгрупп абелевых групп [4]. Вполне транзитивные группы без кручения интенсивно изучались в работах [5-9] и др.

В [10] Кэрролл вводит понятие к-вполне транзитивной р-группы, тем самым обобщая понятие вполне транзитивности для р-групп.

Пусть О - р-группа и к е N . Группа О называется к-вполне транзитивной, если из выполнения условий для кортежей X = (х1,х2,...,хк), У = (у1,у2,...,ук) элементов группы О:

(1) H(хг) < H(у ), I = 1, к;

(2) кортеж X высотно независим, в том смысле, что при г Ф ] И(гхг) Ф И(^х]-) для любых г, 5 е Z, кроме случая гхг = &'х} = 0,

следует существование эндоморфизма 9 е Е(О) группы О со свойством

9(Хг) = у-, г = 1, к .

Для рассмотрения групп без кручения нам понадобятся следующие понятия

[11].

Характеристикой называется последовательность неотрицательных целых чисел и символов ж . Обозначим через X множество всех таких последовательностей. Если XI = (&!,...,кп,...) и х2 = (/],..., 1п,...), то полагают х1 <х2 тогда и только тогда, когда к < 1г для всех I е N .

Пусть О - группа без кручения. Для элемента g е О максимальное целое неотрицательное число к при данном простом числе р, для которого в группе О разрешимо уравнение ркх = g , называется р-высотой элемента g и обозначается Нр (g). Если уравнение разрешимо для любого к е N, то полагаем Нр (g) = ж . Последовательность р-высот

х( g) = Фр1( gX ^р2( g),...),

где р1,р2,... - последовательность всех простых чисел, упорядоченных по возрастанию, называется характеристикой или высотной последовательностью элемента g. Так как характеристика элемента g зависит от группы О, то иногда пишут Хо (g).

Если XI = (к!,...,кп,...)их2 = (/],..., 1п,.) - характеристики, то их сумма определяется как характеристика

Х1 +х2 = (к1 + ll,..., кп + 1п ,...:к а их разность при х2 < Х1 определяется как характеристика

Х1 -Х2 = (к1 -ll,...,кп - 1п,...),

где ® плюс (минус) нечто есть да. Заметим, что в [11] для указанных операций с характеристиками используется мультипликативная запись, здесь же будет удобна аддитивная форма записи. Характеристика называется идемпотентной, если

Х+Х=Х.

Две характеристики х1 = (к1,. .,кп,...) и х2 = (11,. ., 1п,...) называются эквивалентными, если неравенство кп Ф 1п имеет место лишь для конечного числа номеров п и только тогда, когда кп и 1п конечны. Класс эквивалентности во множестве характеристик называется типом. Если х^) принадлежит типу (, то говорят, что элемент g имеет тип t, и пишут t(g) = t или ^ (g) = t, если необходимо указать, что тип элемента g рассматривается в группе О.

Группа без кручения О называется однородной (типа 0, если все ее ненулевые элементы имеют один и тот же тип t.

Тип обычно представляется характеристикой, принадлежащей этому типу. Другими словами, пишут

t = ^..^ ¿п ^..^

понимая, что характеристику (к1,...,кп,...) можно заменить эквивалентной. Для двух типов ^ и ^ полагают ^ < ^, если существуют две такие характеристики Х1 и х2, принадлежащие типам ^ и ^ соответственно, что х1 <Х2 .

Обозначим через П - множество всех простых чисел, упорядоченных по возрастанию. Тип t называется рк -делимым, если для всех характеристик

Хе t, где х = (х1,Х2,...,Хк,...), имеем х(к) = ж . Заметим, что если О - однородная группа типа t и тип t рк -делим, то ркО = О.

Семейство групп без кручения {О, }ге1 называется жесткой системой, если

шм0,,0,) Ця Л1

Далее в работе под словом группа будем понимать абелеву группу без кручения. В настоящей работе рассматривается обобщение понятия вполне транзитивности для групп без кручения.

Определение 1 [12]. Пусть О - группа без кручения и к е N . Группу О назовем к-вполне транзитивной, если для любых двух кортежей длины к X = (х1, х2,..., хк), У = (у1, у2,..., ук) элементов группы О из выполнения условий

(1) х( х,) <х(у, X1 =1 к;

(2) типы t(х;) и t(х1) несравнимы при I Ф ,

следует существование эндоморфизма 9 е Е(О) группы О со свойством 9(х,) = у-, I = 1, к .

При к = 1 получаем понятие вполне транзитивной группы.

Кортеж X, удовлетворяющий условию (2) определения 1, назовем и независимым. Наибольшую длину ^независимого кортежа группы О будем называть ^длиной и обозначать к( (О). К примеру, ^длина всякой однородной группы равна 1. В случае, если в группе О для любого к е N существует ^независимый кортеж длины к, будем считать, что к( (О) = ж . Ясно, что при к > к( (О) группа О является к-вполне транзитивной по определению. Тогда очевидно, что всякая однородная группа (в том числе делимая и ранга 1) является к-вполне транзитивной для любого к > 1 .

Покажем, что условие (2) определения 1 нельзя заменить условием независимости элементов кортежа X.

Пусть О - группа ранга, не меньшего двух, к > 1; а,Ь е О, причем х(а) < х(Ь) и элементы а, Ь независимы.

Полагаем х1 = а + Ь, х2 = а, у1 = Ь, у2 = а . Если г (О) = 2, то в группе О нет элементов, независимых с (х1, х2). Если же г (О) > 2, то в качестве элементов х3,х4,...,хк выберем элементы, независимые с а, Ь. Тогда полагаем у, = х;,

I = 3,к. Ясно, что для кортежей X = (х1,х2,...,хк); У = (у1,у2,...,ук) условие (1)

определения 1 выполнено. Также, по построению, элементы кортежа X независимы. Предположим, существует эндоморфизм 9 е Е(О) группы О, переводящий элементы кортежа X в элементы кортежа У. Тогда получаем

Приходим к противоречию, так как эндоморфизм не может понижать характеристики. ■

Укажем некоторые свойства /-длин прямых сумм групп без кручения.

Пусть О = А © В . Тогда

1. к, (О) > к, (А).

Действительно, если X = (х1,х2,...,хк) - /-независимый кортеж элементов группы А, то X также /-независимый кортеж группы О, значит к, (О) > к .

2. Если для любых элементов а є А,Ь є В типы /(а) и /(Ь) несравнимы, то к{ (О) > к{ (А) + к{ (В).

Пусть X = (х1, х2,..., хк) - /-независимый кортеж группы А, У = (у1, у2,..., уі) -/-независимый кортеж группы В. Поскольку типы элементов групп А и В несравнимы, кортеж 2 = (х1,х2,...,хк,у1,у2,...,Уі) также /-независим, т.е. к((О) > к +1.

3. Если для любых элементов а є А, Ь є В типы /(а) и /(Ь) сравнимы, то к (О) = тах(к/ (А);к (В)).

Для определенности будем считать, что к(В) > к{(А). Пусть У = (у1,у2,...,уі) - /-независимый кортеж группы В наибольшей длины. Рассмотрим кортеж У = (у1, у2,..., у, а), где а є А . Поскольку типы любых элементов групп А и В

сравнимы, кортеж У не является /-независимым, т. е. в группе О нет /-независимого кортежа длины, большей чем і.

Приведем оценку верхней границы /-длины вполне разложимой группы конечного ранга. Для этого потребуется следующее понятие.

Семейством Шпернера множества Е называется семейство подмножеств Е множества Е, в котором ни один элемент не является подмножеством другого. Другими словами, если X, У є Е, то X <£ У и У <£. X.

Теорема Шпернера [13]. Для любого семейства Шпернера Е подмножеств множества мощности п справедливо

Рассмотрим теперь данный результат в контексте вопроса о /-длине вполне разложимой группы конечного ранга.

Лемма 1. Пусть О = © Аі - вполне разложимая группа ранга п, г(Аі) = 1. То-

9(х1) = 9(а + Ь) = 9(а) + 9(Ь) = у1 = Ь и 9(х2) = 9(а) = у2 = а. Учитывая оба равенства, приходим к соотношению 9(Ь) = Ь - а . Рассмотрим характеристики элементов из этого равенства:

Х(9(Ь)) = х(Ь - а) = іпада); х(Ь)) < х(а) < х(Ь).

и < сп1, где т = П2

п

і=1

Доказательство. Действительно, пусть для некоторого к е N имеется кортеж элементов группы О X = (х1,х2,....хк). Для /-независимости кортежа Xнеобходимо, чтобы индексное множество I(х2) не являлось подмножеством множества I(х ■) для всех ] ФI. Другими словами, необходимо, чтобы индексные множества

I(х2), I = 1,к, образовывали семейство Шпернера для множества {1,2,...,п}. По теореме Шпернера, наибольшее число таких множеств для вполне разложимой

Замечание. Верхняя оценка достигается, например, для групп вида О = © А2 ,

Поскольку вполне разложимая группа к-вполне транзитивна при к > к (0), далее в тексте для вполне разложимых групп ранга п, в силу теоремы Шпернера,

полагаем к < Сп .

Рассмотрим вопрос о к-вполне транзитивности вполне разложимых групп из некоторых классов.

Теорема 2. Пусть О = А1 © А2, где г (А1) = г (А2) = 1. Тогда О является к-вполне транзитивной для всех к > 1 .

Доказательство. Ясно, что при к > 2 в группе О нет /-независимого кортежа длины к. Поэтому при к > 2 группа О является к-вполне транзитивной по определению.

Пусть к = 2 . В случае если типы /(А1) и /(А2) сравнимы, в группе О нет /независимых кортежей длины 2, тогда О по определению 2-вполне транзитивна.

Пусть /(А1) и / (А2) несравнимы. Рассмотрим кортежи X = (х1, х2),

V = (У1,У2) элементов группы О, удовлетворяющие условиям (1), (2) определения 1. В силу того, что кортеж X /-независим, заключаем, что х1 и х2 принадлежат различным прямым слагаемым Д, / = 1,2 , ранга 1. Не умаляя общности, можно считать, что х1 е А1, х2 е А2. Тогда для любых а1 е А1, а2 е А2 справедливо Х(а1 + а2) < х(х1) и х(а1 + а2) < %(х2). Поэтому из выполнения условия (1) определения 1 для кортежей X, У и из несравнимости типов /(А1) и /(А2) заключаем, что

VI е Аи У2 е А2 .

Поскольку всякая группа ранга 1 является вполне транзитивной, существуют эндоморфизмы 91 еЕ(А1), 92 еЕ(А2) со свойствами 9г-(хг-) = у{ (/' = 1,2). Рассмотрим эндоморфизм 0 группы О, действующий по правилу: для любого g е О, g = а1 + а2, а1 е А1, а2 е А2 полагаем 9(g) = 91 (а1) + 92(а2). Тогда получаем: 9( хг-) = 9г- (хг-) = у1,1 = 1,2. Таким образом, искомый эндоморфизм найден. ■

Для произвольной вполне разложимой группы ранга 3 уже нет однозначного ответа о к-вполне транзитивности. Приведем примеры.

группы О ранга п равно Сп . Таким образом, кг (О) < Сп . ■

п

2=1

где 4 = .

1. Рассмотрим группу О = А1 © А2 © А3, где г (А1) = г(А2) = г (А3) = 1 и

/(А1) = (0,ж,ж,...,ж,...); /(А2) = (ж,0,ж,...,ж,...); /(А3) = (ж,ж,0,...,ж,...). Покажем, что О не является 3-вполне транзитивной. Пусть элементы

а е А1, Ь е А2, с е А3 имеют наименьшие характеристики в соответствующих группах. Рассмотрим кортежи X = (х1, х2, х3), У = (у1, у2, у3), элементов группы

О, где х1 = а + Ь, х2 = Ь + с, х3 = а + с, у1 = х1, у2 = Ь + х2, у3 = х3. Запишем характеристики элементов кортежа X:

Х(х1) = Х(а + Ь) = (0,0,ж,ж,ж,...) ;

Х(х2) = Х(Ь + с) = (ж,0,0,ж,ж,...) ;

Х(х3) = х(а + с) = (0,ж,0,ж,ж,...).

Видим, что кортеж X удовлетворяет условию (2) определения 1. Кортежи X, У по построению удовлетворяют условию (1).

Предположим, группа О 3-вполне транзитивна. Тогда существует 9 е Е(О), что 9(х2) = у,1 = 1,3 . Поскольку прямые слагаемые {А1;А2;А3} образуют жесткую систему, получаем, что 9(а) е А1, 9(Ь) е А2, 9(с) е А3. Но тогда 9(х1) =9(а + Ь) = 9(а) + 9(Ь) = у1 = а + Ь , откуда 9(Ь) = Ь и 9(х2) = 9(Ь + с) = = 9(Ь) + 9(с) = у2 = 2Ь + с , откуда 9(Ь) = 2Ь . Приходим к противоречию. ■

2. Рассмотрим теперь группу О = В1 ©В2 ©В3, где г(В1) = г(В2) = г(В3) = 1 и /(В1) = (ж,0,0,...,0,...); /(В2) = (0,ж,0,...,0,...); /(В3) = (0,0,ж,0,...,0,...). Заметим, что для любых ненулевых элементов а е В1, Ь е В2, с е В3 имеет место равенство /(а + Ь) = /(а + с) = /(Ь + с) = (0,0,...,0,...). Таким образом, если кортеж X = (х1, х2, х3) является /-независимым, то, не умаляя общности, можем считать, что х1 е В1, х2 е В2, х3 е В3.

Пусть кортежи X = (х1, х2, х3), У = (у1, у2, у3) элементов группы О удовлетворяют условиям определения 1. В силу приведенных рассуждений, заключаем, что х1 е В1, х2 е В2, х3 е В3. Тогда из выполнения условия (1) определения 1 следует,

что у е В!, у2 е В2, у3 е В3.

Таким образом, получаем, что х(х2) < х(у), 2 = 1,3; х1,у1 е В1, х2, у2 е В2, х3, у3 е В3. Из вполне транзитивности групп В1; В2; В3 следует существование эндоморфизмов 91 е Е(В1); 92 е Е(В2); 93 е Е(В3), со свойствами: 92 (х2) = у,

I = 1^3.

Рассмотрим эндоморфизм 9 е Е(О) группы О, действующий по правилу: для любого элемента g = а1 + а2 + а3, а1 е В1, а2 е В2, а3 е В3, имеем 9(g) = 91 (а1) + + 92(а2) + 93(а3).

Тогда для элементов кортежей X, У получаем 9(х2) = 92 (х2) = у2, 2 = 1,3. Искомый эндоморфизм найден, следовательно, группа О - 3-вполне транзитивна. ■

Приведем критерий вполне транзитивности для однородно разложимых (в частности, вполне разложимых) групп. Для этого понадобится следующее определение:

Определение 2 [4]. Будем говорить, что однородно разложимая группа G = © Gt удовлетворяет условию контрастности для типов, если для всяких двух

teT

типов tj, t2 e T, t1 Ф t2 и любого простого числа р, такого, что pG Ф G ,

имеет место pG = G .

t2 t2

Предложение 3 [15]. Однородно разложимая редуцированная абелева группа G = © Gt вполне транзитивна тогда и только тогда, когда каждая однородная

teT

компонента ее канонического разложения вполне транзитивна и G удовлетворяет условию контрастности для типов.

Следствие 4 [15]. Вполне разложимая группа G = © Ai вполне транзитивна

iel

тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию контрастности для типов.

Далее, нам понадобятся следующие обозначения. Для произвольной группы без кручения G обозначим n(G) = {р e П; pG Ф G}.

Пусть G = © Ai - прямая сумма групп без кручения Ai, ni e E(G) - проекция

iel

группы G на прямое слагаемое Ai, i e I. Для любого элемента g e G введем следующее множество индексов: I(g) = {i e I: ni (g) Ф 0} .

Пусть G = © Ai - однородно разложимая группа. Для всякого J с I обозна-

iel

чим tJ = inf t(Ai). В частности, если J = {i}, i e I, то tJ = ti = t(Ai).

ieJ

Рассмотрим вопрос о k-вполне транзитивности вполне разложимых групп, имеющих следующую структуру. Пусть G = © Ai - вполне разложимая группа,

iel

r (Д) = 1, причем типы t(Д) и t(Aj) несравнимы при i Ф j. Другими словами, множество прямых слагаемых ранга 1 {Д }iel образует жесткую систему групп.

Для вполне разложимых групп с указанной структурой справедливы следующие результаты.

Теорема 5. Пусть G = © Д - вполне разложимая группа, r(Д) = 1, множество

iel

{Д }iel образует жесткую систему. Если группа G является ^-вполне транзитивной для некоторого к e N, то для любых конечных подмножеств J1, J2,...Jk с l, таких, что тип tJ несравним с типом tJ , выполнено Jn П Jm =0 при m Фп .

Доказательство. Пусть подмножества Jj, J2,...Jk сl конечны и таковы, что тип tJ несравним с типом tJ при m Ф п. Для всех i = 1, к обозначим

Gi = © A: и xi e Gi, такой, что l (xi) = Jt. Предположим, для некоторых

jeJi

m, n = 1, к Jm П Jn Ф0 . Тогда найдется r e Jm П Jn . В силу выбора элементов xt получаем, что xm = ar + a; xn = br + b, где ar,br e Ar и r g l(a); r i l(b). Тогда существуют u, v e Z , такие, что

uar = vbr. (*)

Рассмотрим кортеж X = (х^,х2,...,хк) элементов группы О. Из условий теоремы следует, что X /-независим. Выберем элементы кортежа У = (у1, у2,..., ук) следующим образом: при / Ф т, / Ф п полагаем у^ = хг-, ут = аг, уп = 2ЬГ. Ясно, что кортежи X и У удовлетворяют условиям определения 1. Тогда, в силу к-вполне транзитивности группы О, существует эндоморфизм 9 е Е(О), такой, что

9(х/) = yi, / = 1, к . Рассмотрим данные равенства подробнее при / = т, / = п :

9( Хт) = 9(аг + а) = 9(аг) + 9(а) = Ут = аг,

9(хп) = 9(Ь + Ь) = 9(йг) + 9(Ь) = Уп = 2йг.

Поскольку семейство прямых слагаемых (Д }ге1 образует жесткую систему, заключаем, что

9(аг) = аг и 9(ЬГ) = 2ЬГ. (**)

Из равенств (*) и (**) получаем

иаг = и9(аг) = 9(иаг) = 9(уЬг ) = у9(Ьг ) = 2уЬг .

Приходим к противоречию, то есть Jn П Jm = 0 при т Фп . ■

Следствие 6. Пусть О = © Д - вполне разложимая группа, г (Д) = 1, множе-

/е/

ство (Д }е/ образует жесткую систему. Если группа О 2-вполне транзитивна, то для любых различных индексов т, п, к е 1 тип /(Дт) П /(Дп) сравним с типом / (Дт ) П / (Д ).

Доказательство. Предположим противное, то есть для некоторых т, п, к е 1 типы /(Дт) П /(Дп) и /(Дт) П /(Дк) несравнимы. Тогда типы элементов ат + ап и ат + ак, где аг- е Д, а;- е Д;-, а1 е Дг, также несравнимы. Причем 1(ат + ап) П1 (ат + ак) = т , что противоречит утверждению теоремы 5. ■

Предложение 7. Если вполне разложимая группа О =© Д1, где г(Д) = 1,

/е/

множество (Д }/е1 образует жесткую систему, вполне транзитивна, то для любых элементов а, Ь е О, из %(а) < %(Ь) следует 1(Ь) с 1(а).

Доказательство. Пусть а, Ь е О и %(а) < %(Ь). Из вполне транзитивности группы О следует существование 9 е Е(О), такого, что 9(а) = Ь .

Получаем Ь = 9(а) = 9( X а) = X 9 (аг-) е © Дг-, то есть 1(Ь) с 1(а). ■

/е/(а) /е/( а ) /е/(а)

Учитывая приведенные выше результаты, получаем следующие факты. Теорема 8. Пусть О = © Дг- - вполне разложимая группа, г(Д) = 1, множество

/е/

(Д }/е1 образует жесткую систему. Группа О к-вполне транзитивна для всех к е N тогда и только тогда, когда выполнены условия

(А) группа О удовлетворяет условию контрастности для типов;

(Б) для любых двух элементов а, Ь е О с несравнимыми типами выполнено 1 (а) П1 (Ь) =0.

Доказательство. Необходимость. Пусть О является к-вполне транзитивной для всех к є N . Тогда, так как О является вполне транзитивной, в силу утверждения предложения 3 О удовлетворяет условию контрастности для типов, и, так как О является 2-вполне транзитивной, из теоремы 5 при к=2 следует выполнение условия (Б).

Достаточность. Пусть для группы О выполнено (А) и (Б). Из предложения 3 следует, что О является вполне транзитивной. Докажем, что О к-вполне транзитивна для всех к > 2.

Пусть X = (х1,х2,...,хк), У = (ух,у2,...,ук) - кортежи элементов группы О, удовлетворяющие условиям определения 1. Из условия (1) определения 1 и условия (Б) теоремы следует, что при і Ф ] І (хі) ПІ (х}-) = 0 . Обозначим через

_ к ______ к _

Іі = І(хі), Оі = © Л1,І = І\(ІІ Іі), О =©_ А. Тогда О =© Оі © О .

ІєІ (хі) і=1 ієІ г=1

Из вполне транзитивности группы О следует, что всякая Оі также вполне транзитивна и, из условия (2) определения 1 и по предложению 7, что

І(уі) с І(хі), то есть уі є Оі. Тогда существуют 9і є Е(Оі) со свойством __________________ к

9і (хі) = уі, і = 1,к. Рассмотрим эндоморфизм 9 = ^ 9п є Е(О), где п є Е(О) -

і=1

проекция группы О на прямое слагаемое Оі, і = 1, к . Тогда по построению имеем

9(хі) = 9і(х) = у. ■

Теорема 9. Пусть О = © Лі - вполне разложимая группа, г(Лі) = 1, множество

ієІ

{Л }ієІ образует жесткую систему и к є N . Группа О к-вполне транзитивна тогда и только тогда, когда для любых конечных множеств Зх,/2,..., Jk с І, таких, что типы ї, и ї, несравнимы при т Ф п , выполнены условия

^ т , п

(I) ,п П ,т =0 при т Ф п ;

(II) Группы От = © Л удовлетворяют условию контрастности для типов

іє,т

(т = 1, к);

(III) Если для конечного множества индексов , с І и натурального т = 1, к справедливо ї, > , то , с ,т .

Доказательство. Необходимость. Выполнение условия (I) следует из теоремы 5.

Докажем, что группы От = © Лі вполне транзитивны. Пусть а, Ь є От и

іє,т

Х(а) ¿х(Ь). Построим кортежи X = (х1,х2,...,хк), У = (у1,у2,...,ук) следующим образом. При і Ф т выберем хі є Оі так, чтобы І(хі) = , ; уі = хі, хт = а, ут = Ь . Поскольку группа О является к-вполне транзитивной, существует 9 є Е(О), что 9(хі) = уі. Рассмотрим сужение 9т =9|О . Так как {А}ієІ образует жесткую систему, 9т є Е(От). Получаем, что 9т (а) = Ь , то есть От вполне транзитивна.

Покажем, что условие (III) также выполнено. Пусть для некоторых J с I и m = 1, к справедливо J ^ J . Тогда существуют элементы х e Gm, y е © Ai, I(x) = Jm;I(y) = J , для которых выполнено x(x) ^ x(y). По-

ieJ

строим кортежи X = (x1,x2,...,хк), Y = (y1,y2,...,Ук). При i Ф m выберем xi e Gi так, чтобы I(xi) = J, yi = xi, xm = x, ym = y . Ясно, что X и Y удовлетворяют условиям определения 1. Тогда, из к-вполне транзитивности группы G следует существование эндоморфизма 9eE(G) со свойством 9(xi) = yi. Но тогда y = 9(x) е Gm , то есть J = I(y) с I(x) = Jm .

Достаточность. Пусть условия (I), (II) и (III) выполнены. Покажем, что G является к-вполне транзитивной. Рассмотрим кортежи X = (xl, x2,..., xk),

Y = (y1, y2,..., yk) элементов группы G, удовлетворяющие условиям определения 1. Для всякого m = 1, к обозначим Jm = I(xm), Jm = I(ym), Gm = © Ai,

ieJm

Gm = © Ai. Из условия (II) следует, что группы Gm вполне транзитивны. Значит,

ieJm

существуют 9m е E(Gm), такие, что 9m (xm) = ym, m = 1, к. Рассмотрим эндомор-

к

физм 9 = ^ 9mnm группы G, где nm е E(G) - проекция группы G на прямое сла-

m=1

гаемое Gm. Тогда получаем

9(xi ) = 9mnm (xi ) = 9i (xi ) = yt ,

m=1

значит искомый эндоморфизм найден. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Kaplansky I. Infinite Abelian Groups. Ann Arbor: Univ. of Michigan Press, 1954.

2. Крылов П.А. О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения // Сборник асп. работ по матем. Томск, 1973. С. 15-20.

3. Гриншпон С.Я., Мисяков В.М. О вполне транзитивных абелевых группах // Абелевы группы и модули. - Томск, 1986. - С. 12-27.

4. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность // Фундамент. и прикл. матем. 2002. Т. 8. №2. С. 407-473.

5. Гриншпон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Томск. 1982. С. 56-92.

6. Крылов П.А. Вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. № 5. С. 549-560.

7. Чехлов А.Р. О разложимых вполне транзитивных группах без кручения // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 3. С. 714-719.

8. Чехлов А.Р. Об одном классе эндотранзитивных групп // Матем. заметки. 2001. Т. 69. № 6. С. 944-949.

9. Grinshpon S.Ya., Krylov P.A. Fully invariant subgroups, full transitivity, and homomorphism groups of Abelian groups // J. Math. Sci. 2005. V. 128. No. 3. P. 2894-2997.

10. CarrollD. Multiple transitivity in abelian groups // Arch. Math. 1994. V. 63. P. 9-16.

11. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2.

12. Рогозинский М.И. ¿-вполне транзитивность абелевых групп без кручения // Наука и образование: 13 Всерос. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 2009. С. 14-17.

13. EngelK. Spemer theory. Camb. Univ. Press, 1997.

14. Рогозинский М.И. ¿-вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Современные проблемы математики и механики: Материалы II Всерос. мол. науч. конф. Томск, 2011. С. 41-44.

15. Гриншпон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Томск, 1982. С. 56-92.

Статья поступила 02.07.2012г.

Rogozinsky M. I. ON ¿-FULL TRANSITIVITY OF COMPLETELY DECOMPOSABLE TORSION FREE ABELIAN GROUPS. In this work, we define the notion of ¿-fully transitive torsion free abelian groups. The problem of multiple transitivity of completely decomposable torsion free abelian groups from some classes is studied.

Keywords: abelian group, ¿-full transitivity

ROGOZINSKY Mihail Ivanovich (Tomsk State University)

E-mail: [email protected]