U-последовательности и примарные группы, содержащие собственные изоморфные себе вполне характеристические подгруппы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 2(3)

УДК 512.541

М.М. Савинкова ^-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ, СОДЕРЖАЩИЕ СОБСТВЕННЫЕ ИЗОМОРФНЫЕ СЕБЕ ВПОЛНЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ

Исследованиям абелевых групп, не содержащих собственных изоморфных им подгрупп, посвящен ряд работ. В настоящей работе рассматриваются абелевы группы, содержащие собственные изоморфные себе вполне характеристические подгруппы.

Ключевые слова: вполне характеристические подгруппы, инварианты Ульма - Капланского, и-последовательности.

В работах, опубликованных ранее, представлены исследования абелевых р-групп, не содержащих собственных изоморфных им подгрупп специального вида. Авторы статьи [1] дают общую конструкцию редуцированных примарных групп без собственных изоморфных подгрупп в виде следующей теоремы.

Теорема 1 [1]. Если К - замкнутая _р-группа с конечными ульмовскими инвариантами и, если 5 - собственный плотный подцоколь группы К, такой, что |К[р]/5 < с, то 5 является носителем сервантной подгруппы группы К, которая является группой без собственных изоморфных подгрупп.

В работе [2] рассматриваются 1-группы, /Р-группы и /Б-группы (группы, содержащие изоморфную собственную подгруппу, изоморфную сервантную подгруппу и изоморфное прямое слагаемое соответственно). Показано, например, что если G = К ® Б, где К - редуцированная, Б - делимая группы, то G - /Б-группа (/Р-группа) тогда и только тогда, когда либо К - /Б-группа (/Р-группа), либо Б -/Б-группа (/Р-группа). Более того, Б - /Б-группа (/Р-группа) тогда и только тогда, когда Б имеет бесконечный ранг без кручения или бесконечный _р-ранг для некоторого простого числа р.

Статья [3] связана с поиском абелевых ^-групп G без ненулевых элементов бесконечной высоты, которые обладают следующим свойством: если Н - сер-вантная плотная подгруппа группы G, которая изоморфна G, то Н = G.

Авторы статьи [4] рассматривают квази-минимальные группы, т.е. абелевы группы G, которые изоморфны всем своим подгруппам такой же мощности как G. Получен следующий результат.

Теорема 2 [4]. Группа G мощности к - квазиминимальная тогда и только тогда, когда

(1) к < Ко или

(и) (к = К0) G = Z, Z(p”) или Ф Ъ(р), или

«0

(ш) (к = К0) G = ® Ъ или ®Ъ(р).

К К

В настоящей работе рассматриваются абелевы группы, содержащие собственные изоморфные себе вполне характеристические подгруппы.

Пусть G - редуцированная ^-группа, ст - порядковое число. Через _р^ обозначается подгруппа группы G, определяемая по индукции: = G, _рст+^ = ^(рстС) и

раО = п ррО, если ст - предельное порядковое число. Наименьшее порядковое

р<а

число ст, для которого _рст+^ = _р^, называется длиной Х^) группы G, ст-м инвариантом Ульма-Капланского ^ (ст) группы G называется кардинальное число, равное рангу фактор-группы (р^)[р]/(рст+^)[р] [5. С. 181 - 182]. Обозначим Z0 -множество целых неотрицательных чисел. Пусть а = (а0, аь..., аи,...) - возрастающая последовательность ординалов и символов да (для любой пары индексов (г,у), где г <у, а, < а, если а, Ф да, и а, = а,-, если а, = да). Если а, + 1 < аг+1, то будем говорить, что последовательность имеет скачок в а,+1. Длиной Х(а) последовательности а называется наименьшее число z'еZ0, такое, что а, = да, причем Х(а) = да тогда и только тогда, когда а, < да для всех гeZ0 [6. С. 56 - 57].

Определение [6]. Возрастающая последовательность а = (а0, а1,., а„,...) ординалов и символов да называется ^/-последовательностью для группы G, если для любого а, Ф да имеем а, < Цб) и всякий раз, когда существует скачок в а„, а„ _ 1-й инвариант Ульма-Капланского группы G отличен от нуля.

Пусть G - редуцированная ^-группа, а = (а0, а1,., а„,...) - и-последователь-ность для группы G. Тогда определим подгруппу G(а), соответствующую данной ^-последовательности, следующим образом:

G(a)={gеG | (к* (Я), к*(р^,..„ к*(рЪ),-) > а}, где к ^) - обобщенная _р-высота элемента g. G(a) является вполне характеристической подгруппой группы G. Будем говорить также, что G(a) - вполне характеристическая подгруппа группы G, определяемая ^-последовательностью а.

Теорема 3 [6]. Пусть G - неограниченная вполне транзитивная ^-группа. Подгруппа 5 группы G является вполне характеристической тогда и только тогда, когда она имеет вид 5 = G(a) = {gеG | (к (£•), к ^),..., к (р^),...) > а}, где а -^-последовательность для группы G. Всякая вполне характеристическая подгруппа 5 представляется в этом виде единственным образом.

Приведем теоремы 4 и 5 из [7], которые понадобятся нам в дальнейшем.

Теорема 4. Пусть неограниченная _р-группа G является прямой суммой циклических групп, 5 = G(a) - её вполне характеристическая подгруппа, где а = (а0, а1,., а„,...) - ^-последовательность для группы G и Х(а)=да. Тогда для всех ге^

*,•

/5 ) = £ /0 К + 7) , ^ = а,+1 - 1 - а,'. (1)

1=«

Доказательство. Пусть G = G1 ® G2 ®...® Gг' ®..., где для любого натурального г Gi - прямая сумма циклических групп порядкар

= *®,(^}), (°(^}Р).

Для каждого натурального числа г построим элементы

р gf), а, - 1+1 < I < а,, ЛеМ/. (2)

Так как а - возрастающая последовательность, то для всех 0 < у < г - 1 имеем а, - 1 - (г - 1) > а, - у, откуда (а, _ 1 + 1) - г + у > а,. Тогда для всех а, _ 1+1 < I < а,

выполняется I - г + у > а,, т.е. для любого элемента а вида (2) к (ра) > а,. Так как

порядок любого элемента a вида (2) равен р, то для всех у > і ра = 0, откуда h (ра) > да > а,. Этим доказано, что для любого натурального і все элементы вида

(2) принадлежат 5 = б(а).

Беря прямую сумму циклических групп, образующими которых служат все

элементы вида (2), получаем группу 5 . Покажем, что 5 = 5. Допустим, что су-

ществует такой элемент gеS, что g £ Б ; g = £ шу-р1 ^, где (от, р) = 1,

7=0 П/

к] е Ып, для всех 0 <у < /1. Так как g £ Б , то существует такое 0 <у < /1, что

г- (к■)

р1 g1 - й Б . Возможны два случая.

п]

1. Пусть и, < а0. Тогда к* (р1 ^^) < а0, откуда к*^) < а0, а это противоречит тому, что gеS.

2. Пусть а0 < и, Тогда существует такое натуральное г, что а, _ 1+1 < и, < а,. Так как рГ] ^ й Б , то г, < и, - г, откуда о (р^^) > р1, т.е. р1 (р^ ^^ 0 . Следовательно, к* (р g) < к* (р1 (р1 ^)) = г + г у < пу < а , а это противоречит тому,

что gеS.

В обоих случаях получено противоречие. Следовательно, Б = Б. Если _р-груп-па является прямой суммой циклических групп, то г-й инвариант Ульма - Каплан-ского этой _р-группы (ге^) равен мощности множества всех циклических прямых слагаемых порядка р+1. Тогда, исходя из построения группы Б, получаем, что инварианты Ульма - Капланского группы 5 удовлетворяют равенствам (1). ■

Теорема 5. Пусть 5 = G(a) - неограниченная вполне характеристическая подгруппа редуцированной сепарабельной^-группы G, где а = (а0, а1,., а„,...) - и-последовательность для группы G. Тогда для всех г'е70

/5 () = £ /0 К + ) ) , Ъ = а,+1 - 1 - а,'. (3)

]=0

Доказательство. Так как группа G(a) неограниченная, то Х(а) = да. Обозначим через В некоторую базисную подгруппу группы G. Тогда для любого г е Z0 [5. С. 186]

/Х0 = /в(г'). (4)

Таким образом, а является ^-последовательностью для группы В. Подгруппа

В(а) группы В является базисной подгруппой группы G(a). Следовательно, для любого г'еZ0

/0(а)(г') = /В(а)(г). (5)

Группа В - прямая сумма циклических групп, следовательно, по теореме 5

*/

/В(а) 0') = £ /В К' + ] ) , Ъ = а,+1 - 1 - а,'. (6)

7=0

Учитывая (4), (5) и (6) получаем, что для всех г е Z0 имеет место равенство (3). ■

Теперь исследуем р-группы некоторых классов, которые имеют вполне характеристические подгруппы, изоморфные самой группе.

Теорема 6. Пусть G - неограниченная вполне транзитивная ^-группа, 5 -вполне характеристическая подгруппа группы G, определяемая и-

последовательностью а, где Х(а) = да и пусть G = 5. Тогда

1) если последовательность а для некоторого г имеет скачок в а;'+1, то /о(г') Ф 0 и/е(г) >/?(аг);

2) если в а;+1 скачка нет, то /е(г') = /о(а;).

Доказательство. Вполне характеристическая подгруппа группы G, определяемая ^-последовательностью а, имеет вид 5 = G(а). Так как /е(г) = /адО'), то для всякого г'еZ0 по теореме 5

у О') = уа(а) () = Е уа К + 7), Ъ = а,+1 - 1 - а,'. (7)

1=о

Или так как /е(г') = /одО'), то

к1

/о (г) = £ /о (а- + 7) = /о К)+/о (а- +!)+•••+/о К- + а-+1-1 - а-) =

У=0

= Л? К ) + /о К' + 1) + ••• + /о (аг+1 - 1) • (8)

Рассмотрим два случая.

1) Если а,+ 1 < а;+1, то последовательность а имеет скачок в а,+1 и, следовательно, по определению ^-последовательности /ё(а;) Ф 0. Тогда из равенства (8)

получаем

/е(г') Ф 0 и /е(г') > /е(аг).

2) Если в а;+1 скачка нет, то а, + 1 = а;+1 и Л, = а;+1 - 1 - а, = 0. Тогда получаем из формулы (7)

/?(г') = /?(а,). ■

Пусть Ж0 - множество возрастающих последовательностей целых неотрицательных чисел и символов да, начинающихся с нуля.

Теорема 7. Пусть аеЖ0, Х(а) = да. Пусть G - редуцированная сепарабельная ^-группа, 5 = G(a) - ее вполне характеристическая подгруппа и G = 5. Тогда если а имеет хотя бы один скачок, то G - ограниченная группа.

Доказательство. Предположим, что G - неограниченная группа и а имеет хотя бы один скачок. Пусть а имеет первый скачок в а(+1. Тогда а=(0,..., г, г+2+и1, г+3+и2,..., ?+да+1+ит,...),

где 0 < и1 < и2 < .

Так как G = G(a), то /е(г) = /е(а)(0 для всех г'еZ0. По теореме 3

кй

/а (0) = /а(а) (0) = Е Уа (ао + 7), Ло = а1 - 1 - ао=1 - 1 - 0=0,

1=о

следовательно, /а(0) = /е(а)(0).

Аналогично

/С(1) = /G(a)(1),

,/а(г - 1) = ,/е(а)(г - 1).

Найдем fG(t):

kt

fa () = fa(a) () = Z fa (at + J) , k = a+1 - 1 - + 2 + n - 1 - *

j=o

т.е.

/e(t) = /g(0+fG(t+1)+—+fG(t+1+n1);

/g(*+1) = /g(*+2+«i)+/g(*+3+«i)+^+/;(г+2+И2),

Из (9) следует, что /G(t+1)+...+/G(t+1+n1)=0 и, значит,

/G(t+1)=,/G(t+2)=.=/G(t+1+n1).

Подставляя в следующее равенство /G(t+1)=0, получим, что

/G(t+2+n1)=/G(t+3+n1)=.=/G(t+2+n2)=0-

Покажем, что/G(t+w)=0 для каждого meN. Допустим, что/G(t+i) = 0 для всех 1 < i < m. Покажем, что/G(t+m+1) = 0. Получим

/g(0) = ./gco^X

/G(1) = /G(a)(1),

,/G(t) = ^(а)^

0 = /g(*+2+«1)+/G(t+3+«1)+.+/g(*+2+«2),

0 = /G(t+m+1+nm)+/G(t+m+2+nm)+.+/?(г+т+1+ит+1),

/G(t+m+1) входит в правую часть некоторого вышеуказанного равенства, имеющего нулевую левую часть, следовательно, /G(t+m+1)=0. Таким образом, /G(t+m)=0 для каждого meN, а это противоречит тому, что G - неограниченная. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Hill P., Megibben Ch. On primary groups with countable basic subgroups. // Trans. Amer. Math. Soc. 1966. V. 124. No. 1. P. 49 - 59.

2. Beaumont R.A., Pierce R.S. Isomorphic direct summands of abelian groups. // Math. Annalen. 1964. V. 153. P. 21 - 37.

3. Monk G.S. Abelian p-groups without proper isomorphic pure dense subgroups. // Ill. J. Math. 1970. V. 14. No. 1. P. 164 - 177.

4. Goldsmith B., Ohogain S., Wallutis S. Quasi-minimal groups // Proc. Amer. Math. Soc. 2004. V. 132. No. 8. P. 2185 - 2195.

5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: Мир, 1974. 335 c.

6. Kaplansky I. Infinite Abelian groups. Michigan: Ann. Arbor., Univ. Michigan Press, 1968. 91 p.

7. Шерстнева А.И. Почти изоморфные абелевы группы и аналог теоремы Кантора - Шредера - Бернштейна: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Томск: Том. гос. ун-т, 2002. - 94 с.

= 1 + n1,

(9)

(1О)

Статья принята в печать 16.06.2008 г.