CC BY
2
Вестник РУДН. Серия: Инженерные исследования RUDN Journal of Engineering Research
2023;24(1 ):40-49
ISSN 2312-8143 (Print); ISSN 2312-8151 (Online) journals.rudn.ru/engineering-researches
DOI: 10.22363/2312-8143-2023-24-1-40-49 EDN: EOWDIE УДК 51-7
Научная статья / Research article
Иерархический подход к доказательству существования обобщенных плоских гнездовидных центральных конфигураций в некоторых вариантах общей задачи (рп+1 )-тел
Ю.В. Перепелкина3 , А.Н. Задирановь
^Российский государственный университет туризма и сервиса, Черкизово, Российская Федерация ьАкадемия государственной противопожарной службы МЧС России, Москва, Российская Федерация
^ amadeycity@yandex.ru
История статьи
Поступила в редакцию: 20 ноября 2022 г. Доработана: 26 января 2023 г. Принята к публикации: 5 февраля 2022 г.
Ключевые слова:
небесная механика, задача «-тел, частные решения
Аннотация. Продемонстрирован иерархический подход к процедуре доказательства существования в общей задаче (рп+1)-тел точных частных решений, так называемых обобщенных плоских центральных конфигураций небесных тел в форме последовательно вложенных один в другой выпуклых n-угольников, в вершинах которых расположены тела неравных масс, а в центре конфигурации находится несферическое тело. Рассматриваются плоские гнездовидные центральные конфигурации в форме вложенных один в другой выпуклых четырехугольников смешанных форм типа квадрат + ромб + дельтоид + трапеция + центральное тело в рамках общей задачи (4п+1)-тел небесной механики. Приведенные общие условия существования справедливы для любых гнездовидных плоских центральных конфигураций в рамках задачи (4п+1)-тел. Для решений системы уравнений используются символьные вычисления математического пакета Maple. Полученная система алгебраических уравнений имеет иерархическую структуру, подобную той, которая получается при реализации в системе алгебраических уравнений прямого хода преобразований в процессе решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Рассматриваются случаи центрального тела в виде сферической (шар) и несферической (эллипсоид вращения или трехосный эллипсоид) структур. В каждом из случаев приведены соответствующие необходимые и достаточные условия существования центральных конфигураций различного вида.
Для цитирования
Перепелкина Ю.В., Задиранов А.Н. Иерархический подход к доказательству существования обобщенных плоских гнездо-видных центральных конфигураций в некоторых вариантах общей задачи (да+1)-тел // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. 2023. Т. 24. № 1. С. 40-49. http://doi.org/10.22363/2312-8143-2023-24-1-40-49
© nepene^KHHa W.B., 3agnpaHOB A.H., 2023
licc^ (D® I This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License ik^KZMIiK https://creativec0mm0ns.0rg/licenses/by-nc/4.Q/legalc0de
The hierarchical approach to proving the existence of generalized planar nested central configurations on some versions of the general (pn+1 )-body problem
Yulianna V. Perepelkina" , Alexander N. Zadiranovb
aRussian State University of Tourism and Service, Cherkizovo, Russian Federation bState Fire Academy of EMERCOM of Russia, Moscow, Russian Federation ^ amadeycity@yandex.ru
Article history Abstract. A hierarchical approach to proving of existence in the general
Received: November 20, 2022 (pn+1)-body exact partial solutions is presented, the so called generalized
Revised: January 26, 2023 planar nested central configurations in a form of consequently nested in
Accepted: February 5, 2022 each other convex n-gons with nonequal in general masses in the vertices
and a nonspherical body in the centre. Flat nest-shaped central configura-Keywords: tions in the form of convex quadrilaterals of mixed shapes nested one into
celestial mechanics, n-body problem, another of the type square + rhombus + deltoid + trapezoid + central body
partial solutions, central configurations within the frame-work of the general problem of (4n+1)-bodies of celestial
mechanics were measured. The given general conditions of existence are valid for any nest-shaped planar central configurations within the framework of the (4n+1)-bodies problem. Symbolic calculations of the Maple mathematical package are used to solve the system of equations. The system of algebraic equations has a hierarchical structure similar to the obtained direct transformations to the system of algebraic equations within the process of solving systems of linear equations by the Gauss method. The cases of a central body in the form of a spherical (a ball) and a non-spherical (an ellipsoid of rotation or a triaxial ellipsoid) structures are considered. In each of the cases, the corresponding necessary and sufficient conditions for the existence of central configurations of various types are given.
For citation
Perepelkina YuV, Zadiranov AN. The hierarchical approach to proving the existence of generalized planar nested central configurations on some versions of the general (pn+1)-body problem. RUDN Journal of Engineering Research. 2023;24(1):40-49. (In Russ.) http://doi.org/10.22363/2312-8143-2023-24-1-40-49
Введение
В последние десятилетия проблема существования обобщенных классических, главным образом плоских центральных конфигураций (ц.к.) небесной механики и звездной динамики развивается в нескольких направлениях. Первое состоит в рассмотрении действующих между телами сил, отличных от сил гравитационного притяжения (фотогравитационных, радиационных, электрических, магнитных и др.)1 [1; 2]. Второе рассматривает фигуры, участвующие
1 Емельянов Н.В. Основы теории возмущений в небесной механике: учебное пособие. М.: Физический факультет МГУ, 2015. 126 с.
в конфигурации тел, в частности центральные тела конфигурации [3; 4], отличные от сферических (эллипсоид вращения сжатый или вытянутый, трехосный эллипсоид) [5-8]. Третье изучает гнездовидные (то есть «наращиваемые») плоские ц.к., а четвертое - гнездовидные пространственные ц.к. Как показали исследования, структура уравнений движения и, как следствие, необходимых и достаточных условий существования [9; 10] ц.к. зависит от вида (формы) рассматриваемых ц.к. В различных трудах еще начала ХХ в. [11; 12] рассматривались элементы обобщенных квадратных и трапецевидных плоских ц.к. с несферическими телами в центре,
а позднее - обобщенные плоские ц.к. смешанного вида [5; 6; 13]. Современное прикладное программное обеспечение позволяет с достаточно высокой точностью моделировать подобные системы [14; 15].
В данном исследовании рассматриваются плоские гнездовидные ц.к. в форме вложенных один в другой выпуклых четырехугольников смешанных форм, а именно типа квадрат - ромб -дельтоид - трапеция - центральное тело, то есть в рамках общей задачи (4п+1)-тел небесной механики (рис.). Для таких ц.к. предложен так называемый иерархический подход для поиска совокупностей значений геометрических и динамических параметров, определяющих их существование.
Гнездовидная плоская центральная конфигурация типа квадрат - ромб - дельтоид - трапеция Nest-shaped flat central configuration of the square - rhombus - deltoid - trapezoid type
1. Постановка задачи:
общий вид уравнений движения (рп+1)-тел
Уравнения пространственного движения тел Рк с массой шш, I = 1, ...,р; к = 1, ..., п (I - число вложенных один в другой выпуклых многоугольников, к - число вершин многоугольников) в относительной гелиоцентрической системе координат Рохуг, вращающейся с постоянной угловой скоростью ю вокруг тела Ро с массой М0, имеют вид [13]
xlk-^yIk-(ù2xIk =
х„
-f (M0 + m,k )-f +
+f I
m
]=1 j *k
'lk
X] Xlk X]
A3
V Al]lk
+
+f II
1<g<p s=1
g^l
m
XGS Xlk XGS
a3
V AGslk
GS J
y!k+2(ùx!k-(ù2y!k = = -f (M о + mlk ) 4 +
+
f I
m
]=1 j *k
Г У l] - Ук ул A3 ~3
V Ajlk
+
l] J
+f II
1<g<p s=1
g^l
m
f \ У GS - ylk У GS
„3
a3
V A Gslk
GS J
zik =-f(Mo+mik)~T +
+
f I
m
]=1 j *k
_Z_]k Zl]
a3
V Ai]lk
+
fl]
+f II
1<g<p s=1
g^l
m
z - z„ z
GS lk GS
a3
V A GSlk
GS J
V2, 2 . 2 Xlk + ylk + zlk ;
Aißk = yj(xij - xik )2 + (y - yik )2 + (zi} - zik )2 •
При записи системы уравнений (1) предполагалось, что все тела Pik, Po притягиваются по закону Ньютона, но в то же время взаимодействующие один с другим тела Pik не оказывают влияния на движение центрального тела Po ввиду mk << М0, то есть рассматривается ограниченный вариант задачи N-тел, или планетный случай.
Первая сумма в правой части системы уравнений (1) отражает гравитационное взаимодействие
lk
lk
тела Pik с телами внутри «первого» многоугольника (i = 1), а вторая сумма учитывает гравитационное взаимодействие этого же тела Pik с телами, расположенными в вершинах «второго» (i = 2) и последующих (i = 3, ..., p) многоугольников.
2. Общий вид необходимых и достаточных условий существования гнездовидных плоских центральных конфигураций в задаче (рп+1 )-тел
Упомянутые условия легко получаются из приведенной выше системы дифференциальных уравнений (1), описывающей движение тел в рамках приведенной постановки задачи. Действительно, будем искать плоские ц.к. Для этого достаточно в уравнениях (1) положить xik = xik = const, yik = yik = const, zik = zik = const = 0, координаты тел, которые вместе с массами (которые позднее будут найдены) mik, i = 1, ..., p; k = 1, ..., n, собственно, и определяют плоские центральные конфигурации. Поскольку в этом случае имеет
место
%=%=0, У Ik = У Ik = 0,
z,k = z,k =0
то необходимыми и достаточными условиями существования ц.к. будут (при mik > 0, mas > 0):
ш2 x„ = f (М0 + m„) J- -
-f I
m
^ Xlj Xlk Xlj ^
j=1 j * k
- f II
1<a<p s=1 a*l
m
-f I mj
j=1 j * k
- f II
1<a<p s=1 a*l
m
3 r3 Ijlk 'lj
Xas - Xlk X 1 Xas
A3 V A aslk r3 'as У
+ mlk ) yk rlk
- ylk yЛ
3 г3 ijlk 'lj
y<5S ylk У 1 s as
A3 V Aaslk r3 'as У
(2)
1. Необходимость. Пусть упомянутые ц.к существуют, то есть для известной конфигурации известны ее размеры (х/к, ..., %к, Тк, А/к), величины масс т/к, Мо в ее вершинах и в центре и квадрат угловой скорости ю2 вращения конфигурации
относительно центрального тела Mo, тогда условия (2) выполняются, так как подстановка значений перечисленных переменных и параметров превращает условия (2) в числовые тождества.
2. Достаточность. Пусть условия (2) выполнены. Тогда после исключения квадрата угловой
2 " скорости ю из этих уравнений, которое достигается делением этих уравнений на xik ф 0, ..., yik ф 0 и последующем их вычитании попарно, получается система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных mik. Масса M0 может рассматриваться в качестве основного варьируемого параметра, а совокупности значений Xik, ., zik, rik выбираются в соответствии с формой рассматриваемой ц.к. и значением параметра M0, который часто выбирается равным единице. При этом оказывается, что дефект матрицы системы алгебраических уравнений d > 1, и, таким образом, система
2
имеет множество решений относительно mik, ю .
Используя возможности символьных вычислений математического пакета Maple [15; 16], запишем общий вид относительно угловых скоростей вращения юш тел Pik необходимых и достаточных условий существования плоских ц.к. в рамках задачи (4п+1)-тел. Для этого последовательно для случаев одного многоугольника, положив в условиях (1) i = 1, затем для двух вложенных один в другой многоугольников (i = 1, 2) и, наконец, для р вложенных один в другой многоугольников (i = 1, 2, ..., p - 1, p):
l = 1; k = 1,...,4;
шп xii = (M о + mii - m
12
X12 X11
12
-m
13
X13 X11
A3
V A1311
"13
r3
'13 У
-m
14
f
(
-m
Ш124 X14 = (M0 + m14 ^ - m11 Г14
Л
X12 X14 X12
A3
V a1214
f
-m
'12 У
A3 A1211 r3 r12 У
X14 - X11 X 1 X14
A3411 r3 r14 У
X11 - X14 X 1 X11
A3114 r3 r11 У
X13 - X14 X 1 X13
A3 a1314 r3 r13 У
(X ^ У),
(3)
lk
2
0
n
при I = 1, 2; к = 1, ..., 4 к системе уравнений (3) добавляются
Юи Х21 = (Мо + т21 )-1Г - тп
—да,.
4
—т,,
""12 ""2
"А3
V А1221 г
Х14 — Х21
А3
V а1421
Х23 Х2 А3
V А 2321
21 Л
Х12
г3
'12
\
Х14 Г3
'14 У \
23 Г3
'23 У
Х11 "2 V А1121
— пи.
— яг,
— т
Х13 Х2 А3
V а1321
"21
"А3
V а2221
Х24 Х2
"Д3
V А 2421
•"11 Г3
г11 У
-Л'13 Г3
г13 У
22 Г3
'22 У
24 Г3
'24 У
ю24 х24 = (м0 + т24 ) "т — т11
'24
"11 „3
—т,,
—т
-да,,
^ Х12 Х24 Х12 ^
'12 У
А3
V 1224
^ Х14 Х24 Х14 ^
А3
V 1424
А3
V 2224
14 У
— да.
— т.
— тп
А3 '
V 1124 '11 У
^ Х13 — Х24 Х13 ^
А3
V 1324
13 У
22 У
С Х21 Х24 — Х21 ^
А3 '3 ,
V 2124 '21 У
Х23 — Х24 Х23
А3 -3
V 2324
23 У
(Х ^ у),
(4)
при I = 1, 2, ..., (р - 1), р; к = 1, ..., 4 к системам уравнений (3), (4) добавляются
1 Хя1
Юр1 Хр1 = (М 0 + тР1 — т11 'р1
Х11 Хр1 Х11
V А31Р1
—т
12
—т,
V А12 Р1
Х14 Хр 1
V А14 Р1
т
22
—Х Х ^
Х12 Хр1 Х12 ' 3
'12 У
Х14 ' 3
\
(
т
13
Х13 Хр 1
т
V А?3 р1
Х21 Хр 1 V А21 р1
Х22 Хр1 Х22
А3
V А 22 р 1
т
'11 У
^13
г3
\
Х 21 г3
'21 У
—Х Х л
Х23 Хр1 Х23
23
22 У
т
24
т
( р—1)1
Х24 Хр1 А24р1
( р 1)1
V 23 р1
Х24 ' 3
'24 У
23 У
р1
А3
V А(р—1)1 р1
( р 1)1
(р 1)1 У
—т,
(р—1)2
т
(р—1)3
т
(р—1)4
Х(р—1)2 Хр1 А3
V А(р—1)2р1
Х( р —1)3 Хр1 А3
V А(р—1)3 р1
Х(р —1)4 Хр1 А3
V А(р—1)4р1
Х,
(р —1)2 3
'(р—1)2 У
Л
Х
(р —1)3 '3
'(р—1)3 у
т
р2
т
р3
Хр 2 Хр1 V Ар2р1
Хр3 Хр1
А3, ,
V р3 р1
Х
Х
Х( р —1)4 ' 3
'(р—1)4 У л
р.
„3
р 2 У л
р±
3
—т
р4
Х р 4 Хр1
V Ар4р1
р3 У
Хр 4 ' 3
'р 4 У
Юр4Хр4 = (М0 + тр4 )
Х£±_
р 4) 3 т11 Г
' р4
—т
Х12 Хр4
Л
т
14
12 р4
Х14 Хр4
т
22
14 р4
Х22 Хр4
12 '3
'12
2Ц '3
'14
22 „3
т
т
21
*22 р4
т
Х11 Хр4
11 р4
Х13 Хр4
_11 „3
л13 р4
Х21 Хр4
т
23
21 р4
Х23 Хр4
""13
г3
'13
21 '21
23 „3
*23 р4
Х24 Хр 4
24 р 4
24 3
т
(( р—1))1
—т
( р—1)2
Х(р—1)1 Хр 4
Л( р—1)1 р 4
Х(р—1)2 Хр 4 А3
А( р—1)2 р 4
т
(р 1)3
(р 1)3
р4
А3
V А(р—1)3р 4
т
(р 1)4
(р 1)4
р4
\ р—1)4 р 4
Х( р—1)1 ' 3
'(р—1)1 У
Х( р—1)2 ' 3
'(р—1)2 У Л
Х р—1)3 ' 3
'(р—1)3 у Х ^
Х( р—1)4 ' 3
'(р—1)4 У
—m
p2
—mp1 XP1 — 'Xp 4 xp1
А3 V Ap1p 4 r3 rp1J
г f Л
Xp 2 — Xp 4 Xp 2 — mp3 Xp3 — Xp 4 Xp3
А3 V АР 2 p4 3 r 'p 2 VA 3 p 3 p 4 3 rp3 J
(X ^ y)
(5)
Символ (х ^ у) означает, что аналогичные системы уравнений имеют место и для переменных у. Отметим, что приведенные общие условия существования справедливы для любых гнездовидных плоских ц.к. в рамках задачи (4п+1)-тел, например для дельтообразных, трапецеобразных и др.
3. Необходимые и достаточные условия существования гнездовидных плоских центральных конфигураций смешанных форм при иерархической последовательности
Рассмотрим гнездовидные плоские ц.к. в виде последовательно вложенных один в другой р многоугольников разной формы (рис.), что позволяет говорить о ц.к. смешанных форм в классическом варианте. Для уменьшения объема алгебраических преобразований и частичного упрощения изложения алгоритма вычислений ограничимся случаем р = 4, п = 4.
Для удобства выпишем фактические значения координат (хы у») тел Ры в соответствии с рисунком в виде таблицы.
Координаты тел гнездовидной конфигурации для различных типов четырехугольников Coordinates of nest-shaped bodies for different types of quadrilaterals
к 1 2 3 4
1= 1 (квадрэт/square)
x1k a,. 0 -a,, 0
Ун 0 a,, 0 -a,.
r1k a„ a,, a,, a,.
/= 2 (ромб/rhombus)
x2k a21 0 -a2, 0
y2k 0 P22 0 -P22
r2k a21 p22 a2, p22
1 = 3 (дельтоид/deltoid)
x3k Оз1 0 -a3, 0
Узк 0 p32 0 -p34
r3k a3. p32 a3, p34
1 = 4 (трапеция/trapezoid)
x4k a4i 0 -a43 0
У* 0 a4, 0 -a43
Г» a4, a4i a43 a43
Подстановка значений координат из таблицы последовательно в системы уравнений (3)-(5) [15] дает (I = 1; к = 1, ..., 4):
а) первый уровень иерархии - квадрат, центральное тело шар с массой Мо:
2 2 2 2 2 шп = ш12 = ш13 = ш14 = ш =
M0 + m
(1 + 2>/2)
а
(6)
Таким образом, при последовательной записи условий существования сначала квадратной ц.к. т11 = т12 = т13 = т14 = т с центральным телом Мо I = 1; к = 1, ..., 4 получается одно уравнение (6) с тремя неизвестными ю2, М, т, если считать геометрические размеры ц.к. заданными (а - размер полудиагонали квадрата). Далее учитываем следующее «кольцо» и записываем условия существования ц.к. типа квадрат - ромб -центральное тело - шар;
б) второй уровень иерархии - для двух вложенных один в другой четырехугольников (I = 1,
2; к = 1, ., 4) к уравнению (6) добавляются два уравнения
ю21 = ю2э
М 0 +Т т21
■ +
а
21
+2т
22
4 у
+ т 1 — х
( а212 + в222 ) 1 1
3/ ' '"11
2 а.
21
+
2а
21
41 + а21 )2 (а11 - а21 )2 (^ + а^ )3
/
2 _ 2 _ Ю22 = Ю24 =
V
М0 + Т т22
4 22 У в
- +
22
2 1
®32 = (М 0 + т32 ^ +
в32
+2 т.
1
1
21
(а 212 + в322 )
з/ + тЦ — х
2 Рз
32
2Р
32
(«11 + Р32 )2 (а11 " Р32 )2 ( а2 + р^
+т
22
32
(Р22 + в32 ) (Р22 - Рз2 )
+2т х
11
х-— + т.
(в32 + а2! )А 34 Р32 ^(Р32 + Р34 )2 Р
524
+2 т.
21
(а 212 + Ь 222)
V + т11^ х
2 Р 2
22
1
1
2Р
22
(а11 + Р22 ) (а11 - Р22 ) ( а2 + Р^ )/2
; (7)
в) третий уровень иерархии - для трех вложенных один в другой четырехугольников (I = 1, 2, 3; к = 1, ..., 4) к уравнениям (6), (7) добавляются еще три уравнения:
< = ю^ =| Мо + т3! | — +
1 ^ 1
4 31 У а
31
2т
1
22
(а312 + Р222) 1
+ ти— х 2 а31
(а11 + а31) (а11 - а31)
- + ■
2а
(а!21 + а22!)32
+
(
+т,,
+т.
а
1
1
Л
V(а21 + а31 )2 (а21 - а31 )2 у
1 1
+ т
+
(Р22 + а21)(«4 + <) 3
2
2 1
Юм = (М 0 + т34 +
Р34
+2т,,
( а 212 + Р 34 )
1 1
-V + т11— ■
Р34
2Р3
(а„ + р34)2 (Р34 - а„)2 (а^ + Р^
+да,
22
(Р22 + Р34 ) (Р22 - Р34 )
+ 2т
31
(Р 34 + а 31 )
- + т,
3 32 р3
(Р32 + Р34 )2 Р
2 о2 32
; (8)
г) четвертый уровень иерархии - для четырех вложенных один в другой четырехугольников (I = 1, ..., 4; к = 1, ..., 4) к уравнениям (6)-(8) добавляются еще четыре уравнения:
/
2
Ю41 =
1 1 1
М0 +" т41 1" +
V 8 у а.
41
+2т
1
22
(а412 + Р222)
■ + т,
1
3/ ' '"11
2 а
41
х
х
х
х
1
Р
34
1
1
х
1
(а11 +а41 )2 (а11 — а 41)2
2а„
\2 / \2 ' , ,3/
' ' „2 , „2 \/2
(а21 + а^1)3
2а
43
(ап +а43)2 (а11 — а43)2 (а^ + а%)32
+
У
—тп
а
41
( а21 +а41 ) ( а21 — а41 )
+
+т
1
1
32
, /у + т31— х
(в3з + а41 ) ^ а41
1
( а31 +а41 ) ( а31 — а41 )
+ т.
34
(Р24 + а421)3
■ +
+т
43
11
+ -
(а41 + а43)2 а (а23 + а21 )3
2
Ю42 =
' 1 ^ 1
М 0 +" т41 Н" V 8 У а41
1
1 1
+2т21 :-Ту — т 32 —
( а 2г+ а 412)32 а41
1
1
22 32
(Р 32 — а41 ) Р:
1
+т
11
а
41
2а
(а11 + а41 )2 (а11 —а41 )2 (^ +
+т
1
Г
22
а
41
1
1
\\ И22 + а41 У (в 22 — а 41 ) 1
+т.
а
22 41
Л
/ \ 2 2 ( а 33 + а 41) а 33
+ т
43
а
1
1
а
( а 41 + а 43 )2 а23 ( а ^ + а %)
Ю« =|М 0 +1 т43 I-1 + 2т22 8 У а,.
(в2з + а432)32
—т
32
41
(Р32 — а41 ) Р
22 32
+ тп — х
а
43
+т
---у + т21— х
(в3з + а23 Г а41
1
1
V(а21 +а43 ) (а21 а43 ) У
+
+т
а
1
1
(а31 + а43) (а31 — а43) 1 1
+ т41 — х
а
43
+
а
(а21 + а23 )2 а21 ' (а21 + а23)3
+
У
+т
1
(
32
"'44
1
(в34 + а^3)
1 ^ 1
34
8 {13 11 п
8 у ^^
1
3а4
(а11 + а43 ) (а1 1 " а43 ) (а31 + а^ )
1 1
V
х2т.
( а21" + а 43 ) „ (
3 + 3
+т
а
(2 2 \/2 а31 + а43 )
л
(Р 32 + а 43 ) Р
22 32
а
(
1
1
\
Р34 (Р34 а43)
+ т41-х
(
V И34 ^Р34 43 ^ У
1 1 а
а
43
V
( а 41 + а 4.3 )2 а31 ( а41 + а ^ )33
. (9)
4. Алгоритм последовательных вычислений
Число выписанных уравнений на последнем четвертом уровне иерархии равно 10, однако они образуют систему из 42 уравнений, если записать их в виде попарных разностей вида
Юп — Ю^ =0, Юп — =0,..., Ю^ — Ю^ = 0, соответствующих исключению из системы уравне-
х
1
х
х
1
х
х
х
х
х
1
1
1
х
х
1
2
ний квадрата угловой скорости ю и отражающих тот факт, что все 16 тел, расположенных в вершинах четырех многоугольников гнездовид-ной плоской ц.к., должны вращаться относительно их общего центра Мо (который, строго говоря, не является центром масс системы тел) с одной и той же угловой скоростью, в то время как само тело с массой Мо, которое на рисунке не отражено, каким-то образом движется относительно общего центра масс.
Отмечаем, что полученная выше система алгебраических уравнений имеет иерархическую структуру, подобную получаемой при реализации в системе алгебраических уравнений прямого хода преобразований в процессе решения систем линейных алгебраических уравнений методом исключения неизвестных Гаусса. Правда, полученная таким образом «трапецевидная» форма расширенной матрицы системы уравнений имеет «перевернутый» вид, поскольку строки с наименьшим числом неизвестных с ненулевыми коэффициентами оказываются вверху, а не внизу, как это бывает в классическом методе Гаусса.
Действительно, первое уравнение содержит лишь массу Ми неизвестные юц, ап, тц и образует первый уровень иерархии. Далее добавляется второй уровень из трех уравнений, содержащих массу М и неизвестные а21, а22, т21, т22, так как неизвестные с индексом 11 уже оказываются найденными из решения уравнения предыдущего уровня. Следующий третий уровень иерархии образуется подсистемой из 12 уравнений, содержащих массу М и неизвестные а31, а32, а34, т31, т32, т34, так как неизвестные с индексами 11, 21, 22 уже найдены из решения уравнений предыдущего (второго) уровня. Наконец, четвертый уровень иерархии образуется подсистемой из 26 уравнений, содержащих массу М и неизвестные а41, а43, т41, т43, так как неизвестные с индексами 11, 21, 22, 31, 32 и 34 уже найдены из решения уравнений предыдущего уровня.
Считая геометрические размеры а» рассматриваемых в ц.к. многоугольников заданными, получим переопределенную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных масс т1к, которых из-за наличия сим-метрий оказывается всего 8 (тц - для квадрата; т21, т22 - для ромба; т31, т32, т34 - для дельтоида; т31, т33 - для трапеции). Используя возможности
Maple, выписав последовательно 42 упомянутые попарные разности ю^ — ю^ = 0, -и^ =0,..., ®4з — ю2 =0, получим систему линейных алгебраических уравнений вида, которая имеет множество решений относительно масс при условии наличия переменных значений центральной массы и размеров многоугольников.
42
^ (аптп + ai2m2l + а^ + щ тх +
¡=1
+a5m32+щ6т3з+ат»+ат^ ) = аМ0. (io)
Заключение
Предложен и описан новый подход к доказательству существования обобщенных плоских центральных конфигураций в рамках общей задачи (рт+1)-тел, в которой р вложенных один в другой выпуклых n-угольников, в вершинах которых, в свою очередь, расположены n точечных, строго говоря, разных масс mik, вращаются с постоянной угловой скоростью вокруг центрального тела M0. Центральное тело может иметь сферическую (шар) или несферическую структуру (эллипсоид вращения или трехосный эллипсоид). В каждом из случаев соответствующие необходимые и достаточные условия существования ц.к. имеют различный вид.
Список литературы /References
1. Lei H, Huang X. Quadrupole and octupole order resonances in non-restricted hierarchical planetary systems. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2022; 515(1):1086—1103. https://doi.org/10.1093/mnras/stac1757
2. Tory M, Grishin E, Mandel I. Empirical stability boundary for hierarchical triples. Publications of the Astronomical Society of Australia. 2022;39:7. https://doi.org/10.1017/pasa.2022.57
3. Siddique MAR, Kashif AR. The restricted six-body problem with stable equilibrium points and a rhomboidal configuration. Hindawi Advances in Astronomy. 2022; 2022:8100523. https://doi.org/10.1155/2022/8100523
4. Han S, Lee H-W, Kim K-W. Orbital dynamics in centrosymmetric systems. Physical Review Letters. 2022;128: 176601. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett. 128.176601
5. Llibre J, Moeckel R, Sim C. Central configurations, periodic orbits, and hamiltonian systems. Advanced Courses in Mathematics (CRM). Barcelona, Basel: Springer; 2015. p. 105-167. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0933-7
6. Zhuravlev SG. Proof of the existence theorem of plane central configurations with an ellipsoid of rotation in the center in the problem of (4n+1)-bodies. Theoretical and Applied Problems of Nonlinear Analysis. Problems of Nonlinear Analysis. Moscow: Dorodnicyn Computing Centre of RAS; 2012. p. 186-215. (In Russ.)
Журавлев С.Г. Доказательство теоремы существования плоских центральных конфигураций с эллипсоидом вращения в центре в задаче (4п+1)^л // Теор. и прикл. задачи нелинейного анализа. М.: Вычислительный центр имени А.А. Дородницына Российской академии наук, 2012. С. 186-215.
7. Antonidou K, Libert A.-S. Origin and continuation of 3/2, 5/2, 3/1, 4/1 and 5/1 resonant periodic orbits in the circular and elliptic restricted three-body problem. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2018;130:41. https://doi.org/10.1007/s10569-018-9834-8
8. Oks E. Orbital dynamics in the restricted three body problem: overview of recent analytical advances obtained by separating rapid and slow subsystems in non-planar configurations. Dynamics. 2021;1:95-124. https://doi.org/10.3390/dynamics1010006
9. Veras D. Relating binary-star planetary systems to central configurations. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2016;462(3):3368. https://doi.org/10.1093/mnras/stw1873
10. Hansen B, Naoz S. The stationary points of the hierarchical three-body problem. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2020;499(2):1682-1700. https://doi.org/10.1093/mnras/staa2602
11. Andoyer MH. Sur les solutions periodiques voisines des positions d'equilibre relatif, dans le probleme des n corps. Bulletin Astronomique, Paris. 1906;23:129-146.
12. Elmabsout B. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. Mechanics. Mécanique. Série II. Fascicule b. (vol. 328). Elsevier; 2000.
13. Zhuravlev SG. On existence of planar central configurations in relative noninertial coordinate systems. International Journal on Pure and Applied Mathematics, Classical and Ce-lestialMechanics, Cosmodynamics. 2012;(1):62-74. (In Russ.)
Журавлев С.Г. О существовании плоских центральных конфигураций в относительных неинерциальных системах координат // Международный журнал по теоретической и прикладной математике, классической и небесной механике и космодинамике. 2012. № 1. С. 49-61.
14. Pollard H. Mathematical introduction to celestial mechanics. London: Prentice-Hall International Inc.; 1966. https://doi.org/10.2307/3612975
Поллард Г. Математическое введение в небесную механику / пер. с англ. Э.М. Эпштейна. М. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2012. 188 с.
15. Lalande F, Trani AA. Predicting the stability of hierarchical triple systems with convolutional neural networks. The Astrophysical Journal. 2022;938(1):1-9. https://doi.org/10.3847/1538-4357/ac8eab
16. Perepelkina YuV. Mathematical modeling of systems of nonlinear equations using the Maple visual instruments. New Aspects of Science and Education: Thesises of Reports International Science and Practical Conference, Moscow, 11 April 2019. Мoscow: МА^ Press; 2019. p. 122-123. (In Russ.)
Перепелкина Ю.В. Математическое моделирование поиска решений нелинейных систем уравнений визуальными средствами Maple // Новое в науке и образовании: сборник тезисов докладов международной ежегодной научно-практической конференции, Москва, 11 апреля 2019 г. М.: МАКС Пресс, 2019. С. 122-123.
Сведения об авторах
Перепелкина Юлианна Вячеславовна, кандидат физико-математических наук, доцент Высшей школы сервиса, Российский государственный университет сервиса и туризма, Российская Федерация, 141221, Черкизово, ул. Главная, д. 99; ORCID: 0000-0001-8115-8253, Scopus Author ID: 25925321600, eLIBRARY SPIN-код: 5157-4093; amadeycity@yandex.ru
Задиранов Александр Никитич, доктор технических наук, профессор кафедры процессов горения и экологической безопасности, Учебно-научный комплекс процессов горения и экологической безопасности, Академия государственной противопожарной службы, Российская Федерация, 129366, Москва, ул. Бориса Галушкина, д. 4; ORCID: 00000001-7787-8290, Scopus Author ID: 57214856655, eLIBRARI SPIN-код: 2873-6465; zadiranov@mail.ru
About the authors
Yulianna V. Perepelkina, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of High School of Service, Russian State University of Torusim and Service, 99 Glavnaya St, Cherkizovo, 141221, Russian Federation; ORCID: 00000001-8115-8253, Scopus Author ID: 25925321600, eLIBRARY SPIN-code: 5157-4093; amadeycity@yandex.ru
Alexander N. Zadiranov, Doctor of Technical Sciences, Professor of Combustion Behavior and Environmental Safety Department, Educational and Scientific Complex of Combustion Processes and Environmental Safety, State Fire Academy of EMERCOM of Russia, 4 Borisa Galushkina St, Moscow, 129366, Russian Federation; ORCID: 0000-0001-7787-8290, Scopus Author ID: 57214856655, eLIBRARI SPIN code: 2873-6465; zadiranov@mail.ru
