CC BY
50
УДК 622.694.4.053
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ АВАРИЙНЫХ ИСТЕЧЕНИЙ В МАГИСТРАЛЬНЫХ ГАЗОПРОВОДАХ
Е.В. Куцова, Е.М. Васильев
Решается задача дистанционного определения параметров локальных разрушений магистральных газопроводов по термодинамическим характеристикам газа и его расходу, контролируемым на границах рассматриваемого участка трубопровода. Показана возможность и обоснован метод идентификации этих параметров по двум измеряемым величинам: дополнительному расходу газа через разрыв и давлению (или скорости) газа в конце участка. Приведён числовой пример, иллюстрирующий работоспособность предложенного метода идентификации
Ключевые слова: газопровод, локальное разрушение, математическое моделирование, идентификация
1. Постановка задачи
Распространённым вариантом возникновения аварийных истечений в газовых магистралях является локальное разрушение стенки трубопровода, происходящее в результате его коррозии, механических повреждений или деформаций. Появление таких повреждений даже на начальных стадиях разрушения стенок может быть обнаружено по изменениям состояния газа и его расхода как в начале, так и в конце рассматриваемого участка газопровода. Поскольку эти изменения связаны с площадью разрушения трубопровода и расположением места утечки на линии трассы, то правомерна постановка задачи: по известным изменениям состояния газа и его расхода на контролируемых границах трубопровода определить (идентифицировать) площадь локального разрушения и его расположение относительно указанных границ. При этом предполагается, что решение этой задачи путём установки вдоль всей магистрали, в том числе и на её труднодоступных участках, соответствующих датчиков экономически нецелесообразно.
2. Аналитическая модель истечения газа
Для количественного обоснования указанной постановки задачи и анализа путей её решения построим математическую модель рассматриваемого процесса истечения для участка магистрали длиной Ь, на расстоянии 1=аЬ от начала которого происходит истечение газа через локальное разрушение стенки. Искомыми параметрами истечения примем площадь разрыва 5Г, его удалённость а и расход газа Qr через разрыв.
Примем также, что компрессорная станция в начале участка магистрали поддерживает постоянными заданное значение давления Р1 и температуру Т1, а также обеспечивает расход газа Ql, равный сумме номинального расхода Q и расхода Qr через разрушенную стенку: Q1=Q+Q,■• Перекачивающая компрессорная станция в конце участка газопровода
Куцова Елена Викторовна - ООО “Питергазинжиниринг”, ведущий инженер, тел. (495) 784-71-61, e-mail:
e.kutsova@petergaz.com
Васильев Евгений Михайлович - ВГТУ, канд. техн. наук, тел. (473) 243-77-76, e-mail: vgtu-aits@yandex.ru
поддерживает постоянным расход газа 02, равный номинальному: Q2=Q.
Для принятых условий работы газопровода будем использовать следующие физические соотношения, описывающие состояние газа [1-4]:
1. Закон сохранения энергии (уравнение теплосодержания для молярного расхода):
( ..2 Л Ґ ..................2
^ =
CpTi +& + ц ghi
2
+ Цg^ + CT PWS J (T(x) - ToKp )dx
/
а-L
CpTа+ЦWа +
2
А
(1)
PiWiS
0
(CpT,
+ + Ц ghа)vа = (CpTr +
-Ц gho)vi
2
+ (CpT2 + Ц W +Ц gh2 +
2
2
(2)
+ Ct
ПЗц
J (T (x) - Токр )dx)v
р2^25 а.Ь
где СР - молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении, Дж/(моль-К); СТ - коэффициент теплопередачи от газа к внешней среде, Дж/(с-м2-К); Т2, Та, Тп Т(х), Токр - термодинамическая температура газа, соответственно: в конце участка; в точке а трубопровода; во внешнем сечении разрыва; текущая температура на расстоянии х метров от некоторой точки отсчёта; средняя по длине участка температура окружающей среды, К; ц - молярная масса газа, кг/моль; w1, wa, wг, w2 - скорости газа в указанных выше сечениях трубопровода и в конце участка м/с; g - ускорение свободного падения, м/с2; Н1, На, Н2 -нивелирные уровни начала трубопровода, места разрыва и конца трубопровода, м; Б - внутренний диаметр трубопровода, м; 5 -площадь внутреннего сечения трубопровода, м2; v1, va, VI-, v2 - молярные расходы газа в соответствующих сечениях, моль/с, определяемые из выражений:
Vi =
P1W1S
Ц
Ра^аS,
v 2 =
Р2W2S ,
в которых Р1, Ра, Pr, Р2 риваемых сечениях, кг/м3.
2. Закон сохранения массы:
Р1^=Ра^; PаWаS=PrWrSr+ Р2^2&
Ц Ц
- плотности газа в рассмат-
(3)
(4)
v
a
+
P2W2S=Q, (5)
где
„ _ ц . „ _ ц . „ - ц
V ” V ’ Р2 V ’
Кц1 кца кц2
Vц1, ^а,..., ^2 - молярные объёмы, м3/моль;
Р Т Р т
v1 =v п 1 • •V2=^ п2
*ц1 ^ цп 0 „ ’•• - ’^ц2 ^цпот, >
Р1Тп Р2Тп
^п - молярный объём газа при температуре Тп=273 К и давлении Рп=1,01-105 Па, м3/моль;
3. Условие адиабатического истечения с местной скоростью звука:
...2 уЯТг
т
1 г
т
-*• г/
( р \ г
р
у-1
У
(6)
(7)
где у - показатель адиабаты; Я - универсальная газо вая постоянная, Дж/(моль-К).
4. Соотношение Сен-Венана для звукового ис течения через разрыв:
У
Рг f 2 ]у-1
Р і 1 ■ (8)
Ра 17 +1V
Отметим, что если отношение давления Ра газа в точке а трубопровода к атмосферному давлению Рп=1,01-105 Па не превышает критического значения
У
У1
Рп Ь + 0 ’
то вместо (6) используют соотношение Рг=Рп, а вместо (8) уравнение адиабатического движения газа по короткому патрубку без трения:
„2
СРТа - Сртг +
ЦМг
5. Закон сохранения импульса вдоль оси трубопровода:
Р^1°(^а- м’\) - (Р1 - Ра )0 -Х
„ а в(и)^и
- ЯР1^1^ I ———;
И ^и)
р2^20(^2 -№а) = (Ра -Р2)0-
2Б
а-Ь
I w(х)dx -
(9)
-X
2Б
I w(х)йх - gp2W2о I
(10)
а-Ь
w(h)
где р - текущий угол наклона оси трубопровода к горизонту, рад; X - коэффициент внутреннего вязкого трения в потоке газа; Р1, Ра, Рг, Р2 - абсолютные давления газа в начале трубопровода, в месте его повреждения, в выходном сечении разрыва (в струе истечения) и в конце трубопровода, Па.
Построенная модель даёт возможность проведения количественного анализа режима истечения с целью решения поставленной задачи.
3. Анализ возможных путей решения задачи
В качестве номинальных параметров газопро-приняты: Р1=220-105 Па:
К; Т2=290 К; Т=285 К;
вода приняты: Р1=220-105 Па; Р2=147-105 Па; 7’1=310
2 290 К; Токр=285 К; w1=5 м/с; w2=7 м/с; СТ=1,115 Дж/(с-м2-К); Х=0,00672; р=0; Ь=300-103 м; 5=0,234 м2; Б=0,546 м; g=9,81 м/с2; СР=35,6 Дж/(моль-К); Сv=27,3 Дж/(моль-К); Я=8,31 Дж/(моль-К); ц=16,04-10-3 кг/моль; ^„=22,4-10-3
м3/моль; Q=p1w1S=160,711 кг/с; £,.=0,004 м2=40 см2; а=0,3.
Численное решение системы уравнений (1)-(10) по разностной схеме, выполненное на линейной сетке с переменным шагом и числом узлов п=35 путём совместного решения системы, содержащей 3 п+1=106 уравнений, представлено на рис. 1, где индексами норм и ав помечены термодинамические характеристики газа по длине магистрали в нормальном режиме работы и при аварийной работе с истечением газа в точке а=0,3.
50
40
Т, °С 30
20
w, м/с 10
0.3 Qг=107,38 кг/с 0г=4-10-3 м2
^^1 Р 1 норм
Т норм р 1 ав
w норм
2.5 -10
Р, Па
7
2 .107
7
1.5 -10
7
1 -10"
7
5 -10
6
00 0 0.2 0.4 0.6 0.8 а 1
Рис. 1. Распределение характеристик газа в нормальном и аварийном состояниях трубопровода с утечкой газа в точке а=0,3
На рис. 2,3 представлены результаты дополнительного исследования взаимосвязей параметров истечения ог и а с термодинамическими характеристиками газа на границах участка газопровода.
Рис. 2. Исследование влияния площади 5Г разрыва на распределение давления и скорости газа
(0=И0'3 м2, г-0,1,2,3,4)
и
а
40
V, м/с 30
20
10
а=0,2 Г II 5 •10‘3 м2
^Рно а=0,8 рм а=0,6
Р а=0,4 а=0,6 а=0 2 II
V. а=0,2 Ч а=0, а=0,6 4 ^ а=0,^Й
^нор м
-|2.5 -10 Іа
12-107
1.5 -10
7
1 -107
7
5 -10
6
_ пиі’лі _
00 0 0.2 0.4 0.6 0.8 а 1
Рис. 3. Исследование влияния места а разрыва на распределение давления и скорости газа
Сопоставление рис. 1-3 позволяет сделать вывод о том, что наиболее чувствительными характеристиками состояния газа к параметрам разрыва 8Г и а являются давление Р2 и скорость ^2 газа в конце контролируемого участка газопровода, и можно сделать предположение о достаточности контроля Р2 и ^2 для идентификации 8Г и а.
С целью проверки этого предположения построены поверхности Р2(5Г,а) и w2(Sr,а), линии равного уровня которых представлены на рис. 4.
х 10
-3
Рис. 4. Линии равного уровня поверхностей Р2^„а) и а)
Сопоставление зависимостей Р2^г,а) и W2(Sr,а) свидетельствует о невозможности установления однозначного соответствия произвольно взятой пары значений Р2 и ^2 искомым параметрам Sr и а. Например, значения Р2=1,3-107 Па и ^2=8 м/с могут наблюдаться во всём диапазоне величины а при разных значениях Sr.
Кроме того, рис. 3,4 наглядно свидетельствуют о существовании неоднозначности рассматриваемых взаимосвязей Р2 и ^2 с параметром Sr в области больших значений а. Так, позначениям Р2=0,4-107 Па и ^2=25 м/с одно и то же значение Sr=4,1•10-3 м2 может идентифицироваться при разных значениях а: а=0,5 и а=0,8.
Таким образом, совокупность характеристик Р2 и ^2 газа не удовлетворяет требованиям взаимно однозначного соответствия с искомыми параметрами истечения 8Г и а.
Вместе с тем нетрудно убедиться, что этому требованию отвечает сочетание одной из указанных величин Р2 или ^2 с величиной дополнительного расхода Qr, значение которого на начальном конце участка газопровода определяется из соотношения:
Qr= &-&
На рис. 5 показаны линии равного уровня поверхностей Р2(£г,а) и Q,(Sr,а), характер изменения которых подтверждает возможность использования величин Р2 и Q2 для однозначной идентификации и а во всём диапазоне их изменения.
-3
х 10
2.28х х10'3 м2'
XQ,=100 Р2=0,4^107 ПаУ
^^\аг=80 кг Р2 = 0 /-
6^10' П^Г
X. Qr=60 кг/ і і Р2=0,8^107 Па _ Р7=1 •Ю7 Па .
Qr=20 кг/с ~ Г'——... — |Р.=1 3 • 107 1 _ Р2 =1,2 • 107 Па Па "
0.2
0.4
0,47
0.6 а 0.8
Рис. 5. Линии равного уровня поверхностей Р 2^„а) и <2^г,а)
Пример идентификации Sr=2,28•10-3 м2 и а=0,47 по известным значениям Р2=1-107 Па и Q,.=60 кг/с показан на рис. 5.
4. Численные методы решения задачи
Характер представленных на рис. 5 зависимостей Р2^г,а) и Q,(Sr,а) указывает на возможность предварительного табулирования возможных соответствий пар Р2 и Qr парам Sr и а по известным номинальным характеристикам газопровода, работающем в нормальном режиме.
Однако современная тенденция внедрения вычислительных средств и методов в процесс управления транспортом газа в реальном масштабе времени требует автоматизации процедур идентификации для любых текущих условий эксплуатации газопровода. Для этого рассмотрим примеры применения наиболее надёжно работающих методов поиска решений: покоординатный и градиентный методы.
Покоординатный метод поиска решения задачи сводится к поочерёдному варьированию искомых переменных Sr и а, определению с помощью модели (1)-(10) расчётных значений Р2 и Qr, сравнению их с фактически измеренными и коррекции значения Sr или а в нужную сторону до тех пор, пока расчётные значения Р2 и Qr не совпадут с фактическими с заданной точностью.
2
3
1
Порядок реализации процедур этого метода.
1. Выбирается произвольная начальная точка поиска а).
2. Любым методом одномерного поиска (в примере использовался метод золотого сечения) ищется минимум невязки Ег расчётного Qr и фактического значений Qr, факт вдоль координаты Sr:
Er=.
1 --
Qr
\2
Qr,факт
определяемый в некоторой точке ^д, а0).
3. Из точки $гЛ, а0) ищется минимум невязки Еа расчётного Р2 и фактического значений Р2,факт вдоль координаты а:
E=
1 —
P2
Л2
Р2,факт
определяемый в точке &л, а!).
4. Поиск повторяется с п. 2 до достижения каждой невязкой заданного малого значения е.
Иллюстрация решения задачи методом покоординатного поиска представлена на рис.6.
х 10-3
Рис. 6. Решение задачи методом покоординатного поиска
Для достижения значения е=1-10-2 потребовалось 20 циклов поиска.
В качестве альтернативного метода решения рассматривался градиентный метод поиска, основанный на следующих процедурах.
1. Выбирается произвольная начальная точка поиска а).
2. Численным методом, например, вычислением отношений приращений невязок к малому шагу аргумента, определяется градиент невязки Е:
-|Т
VE г
AEr
ASr
S,
r,0
AEa
Aa
-a
3. В направлении градиента методом одномерного поиска ищется минимум невязки Ег определяемый в точке $Г1, а!). При этом для ускорения поиска компонента градиента вдоль переменной а умножается на масштабирующий множитель а0/ Sr,0.
4. Поиск повторяется с п. 2 до достижения каждой невязки заданного малого значения е.
Иллюстрация хода поиска решения представлена на рис. 7.
x 10
-3
Рис. 7. Решение задачи градиентным методом
Для достижения значения е=1-10-3 потребовалось 10 шагов поиска.
Литература
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.
2. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. Ч.1 / Г.Н. Абрамович. - М.: Наука, 1991. - 600 с.
3. Селезнёв В.Е. Численный анализ и оптимизация газодинамических режимов транспорта природного газа / В.Е. Селезнёв, Г.С. Клишин, В.В. Алёшин и др. - М.: Эдиториал УРСС, 2003. - 224 с.
4. Едигаров А.С. Математическое моделирование аварийного истечения и рассеивания природного газа при разрыве газопровода / А.С. Едигаров, В.Л. Сулейманов // Математическое моделирование. 1995. Т. 7. Вып. 4. - С. 37-52.
ООО “Питергазинжиниринг” (г. Москва)
Воронежский государственный технический университет
IDENTIFICATION OF PARAMETERS OF THE EMERGENCY OUTFLOW IN THE GAS MAINS E.V. Kutsova, E.M. Vasilyev
The problem of remote definition of parameters of local destructions of the gas mains under thermodynamic characteristics of gas and his charge, controllable on borders of a considered site of the pipeline is solved. The opportunity is shown and the method of identification of these parameters on two measured sizes is proved: to the additional charge of gas through break and to pressure (or speeds) gas at the end of a site. The numerical example, exemplifying serviceability of the offered method of identification is resulted
Key words: a gas main, local destruction, mathematical modeling, identification
