CC BY
66
УДК 622.694.4.053
АНАЛИЗ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАГИСТРАЛЬНЫХ
ГАЗОПРОВОДОВ
Е.В. Куцова, Е.М. Васильев
Проведён анализ существующих моделей распределения температуры, давления и скорости газа в магистральных газопроводах. Показан системный характер погрешностей, возникающих при практическом использовании этих моделей, и предложен подход к моделированию, основанный на непосредственном применении законов сохранения энергии, массы и импульса к потоку перемещаемого газа. Представлен числовой пример моделирования
Ключевые слова: математическое моделирование, газопровод, термодинамические параметры
1. Введение в проблему
Анализ распределения термодинамических характеристик газа: температуры Т, давления Р и скорости V, - по длине магистральных газопроводов является необходимым этапом проектирования газотранспортных систем [1-3]. Используемые в специальной литературе (в том числе и в нормативных документах) аналитические модели состояния газа в газопроводах [1-4] не отвечают возросшим требованиям к качеству современных проектов и определяют, в силу этого, потребность в изучении и устранении недостатков существующих методик расчёта [5].
В настоящей работе проводится анализ наиболее распространённых термодинамических моделей, изложенных в [1-4], обсуждаются причины погрешностей, возникающих при их использовании, и предлагается свободный от выявленных недостатков подход к задаче моделирования, основанный на численном решении системы уравнений, непосредственно отражающих законы сохранения энергии, массы и количества движения в потоке транспортируемого газа.
2. Анализ существующих моделей
Рассмотрим элементарный отрезок йх газопровода и определим на нём изменение энтальпии йН одного моля газа в виде:
йН= -йд-йв-йр, (1)
где йд - количество теплоты, отданной газом в результате теплообмена с внешней средой, имеющей температуру Токр, через поверхность площадью пБ-йх, образованную внутренним диаметром Б трубопровода, с коэффициентом теплопередачи СТ:
dq = ct (Т - токр) •dx ,
(2)
Q - массовый расход газа; ц - масса одного моля газа; Т - температура газа на рассматриваемом от-
Куцова Елена Викторовна - ООО “Питергазинжиниринг” ведущий инженер, Е- mail: [email protected], тел. 7(495)7847161(2010)
Васильев Евгений Михайлович - ВГТУ, канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, Е- mail: [email protected], тел. 8(4732) 437776
резке; de - изменение кинетической энергии газа в результате прироста его скорости на dw:
w 2
de = ц- d---; (3)
2
dp - изменение потенциальной энергии из-за смещения центра массы газа на высоту dh:
dp=^gdh,
g - ускорение свободного падения. Предполагая закон изменения нивелирного уровня газопровода линейным:
dh
— = sin а, (4)
dx
где а - уклон трубопровода, получим:
dp = |ag sin а •dx. (5)
Кроме того, воспользовавшись, по определению энтальпии, выражением:
dH=CP ddT, (6)
в котором СР - молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении, введём в (6) слагаемое, отражающее эффект Джоуля-Томсона при адиабатическом дросселировании реальных газов:
dH=CP(dT-DHdP), (7)
где DH=(dT/dP)H - коэффициент Джоуля-Томсона.
Приняв
dP
dx
или
P - P dP = -н 1к dx , L
(8)
где Рн, Рк - абсолютные давления в начале и в конце газопровода, а Ь - его общая длина, и подставив (2)-(8) в (1), получим:
P - P
CP • dT + CPDH н к dx =
= -Ст (T - ТоКр )dx - V-d~2— Ц? sin а • dx.
(9)
Пренебрегая в (9) изменением кинетической энергии и разделяя переменные, придём к дифференциальному уравнению:
- Ст
%Dц sin а
----—(Т - Токр )- u.g-------
QCP окр CP
P - P
- DH н к
JH'
L
dT = dx
интегрирование которого с начальным условием Т(х)|х=о=Тн позволяет получить искомое распределение температуры по длине х магистрали:
T(x) = TOKV + (TH - Top уax -
- D
H
P - P
нк
L-a
(1 - e-«)-pg
sin а
aCP
(1 - e“ ax),
где a =
Ct nDp QCp
Опустив третье и четвёртое слагаемые, т.е. не учитывая, в дополнение к вышесказанному, эффект Джоуля-Томсона и изменение нивелирного уровня, мы придём к известной формуле В.Г.Шухова:
Ст пБц
Т(х) = Токр + (Тн - Токр )в Q'Ср Х. (11)
Для построения модели распределения давления положим, что на элементарном участке магистрали йх общие потери давления йр складываются из потерь давления на преодоление сил трения йРтр, на преодоление силы тяжести йРк и на изменение количества движения газа йРк:
йР=йРтр+йР^+йР„. (12)
Составляющую йРтр определим с помощью уравнения Вейсбаха-Дарси:
dPmp = -X pw dx , тр 2D
(13)
где р - плотность газа на участке йх.
Используя условие неразрывности
в котором 5=яБ2/4, выразим текущую скорость V через её значение wн в начале магистрали:
= Рн ™н
и далее:
p
2 2 2 pH wH
pw =■ н н
p
(14)
Для исключения из (14) текущей плотности р воспользуемся уравнением состояния для одного моля газа РУа=ЯТ и соотношением:
V* = м / р,
в котором Vц - молярный объём газа. Тогда из очевидного равенства:
PV[^ = Т
(15)
P V T
J — цн £н
и (15) следует:
0 = 0н
PT
1 L н
PHT
(16)
Подставляя последовательно (16) в (14) и (14) в (13) получим компоненту dPmp:
. pHwHPHT dPmp = -X H H H dx . mp 2DTHP
(17)
Составляющая dPh в (12) с учётом (4) и (16):
0 PT
dPh = -pg^dh = —н—— g •sinа •dx. (18)
PHT
Величина потери давления dPw, связанная с изменением количества движения секундного массового расхода газа на отрезке dx, имеет вид:
dPw=-pwdw=-dpw ,
Переписав dPw с учётом (14) и (16) получим:
dPw = -_p—wpL d — = p—w— P—T dP . (19)
Тн P TH P
Подставим (17)-(19) в (12):
dP = -X
phwHPHT , phPT,
2DTH P
dx-H—— g sin а • dx +
P T
1 H
+ pHw—pJ dp.
T P
н
Разделив переменные придём к дифференци-
альному уравнению:
^ pH wH PHT pHTH 2
X H H H +y g sin а • P
X
2DT—
PT
н
2
p - pHwHPHT
TH P
(20)
dP = -dx,
из которого для дальнейшего упрощения выкладок слагаемое с множителем Р2 опускается.
Результат интегрирования (20) с начальным условием Р(х)|х=0=Рн:
Р( )2 2рнРнТср (х), Р( )
Р( х)------------ ---1п Р( х) =
(21)
= p2 -Р — ЩРнТесрЮ Г_Х x + 2ln p
н Тн ІD н
не приводит к конечному выражению Р(х) через известные величины. Поэтому в (21) обычно пренебрегают слагаемым, отражающим потерю давления на изменение количества движения, т.е. учитывают в результате только потери на трение:
P( x) =
2 Xp—wHP—Tcp (x)
PH--------------- ----x,
DTH
где
x
Tcp (x) = - j T (у )dy .
(22)
(23)
Заменив в (10) x=y, получим из (23):
P - P
нк
- DH
Тср (х) = Тoкp + (Тн - To,v )
1-e
o^p
o^p >
L^a
1-
ax
■Mg
sin а
ax
(
a • С p
1-
1 - e~
ax
где х=[0;Ь]; а = Ст ; Рк в общем случае опреде-
Q'CP
ляют поочерёдными итерациями (22)-(23)-(22)...
Описанные процедуры получения итоговых моделей распределения температуры (10) и давления (21),(22) опирались на следующие, заведомо в той или иной мере невыполняющиеся в реальных магистралях, допущения:
постоянство коэффициента БН Джоуля-Томсона (см.(7)) предполагает несущественное изменение состояния газа по всей длине трубопровода или, по меньшей мере, адиабатический характер
X
X
н
ax
процесса транспортировки, в то время как этот процесс таковым не является;
линейный закон распределения давления (8) вдоль магистрали противоречит модели (21);
исключение из рассмотрения в (9) компоненты, соответствующей изменению кинетической энергии газа, и из (21) компоненты, отражающей потерю давления на изменение количества движения, как сравнительно малых величин. Это предположение требует проверки для каждой конкретной магистрали или режима её работы и не может быть общепринятым;
условие постоянства температуры газа вдоль магистрали в модели распределения давления (21) противоречит модели распределения температуры (10).
Таким образом, применяемые модели описания термодинамических характеристик газа не только опираются на невыполнимые предпосылки, но и не образуют совместную систему моделей, способную адекватно отразить взаимосвязь между температурой, давлением и скоростью газа в магистрали.
Причина этого заключается в стремлении для каждой термодинамической величины получить независимые выражения в явной и конечной аналитической форме, что оказалось невозможным без введения указанных допущений. Отсюда вытекает целесообразность применения системного подхода к моделированию состояния газа в магистрали путём прямого и совместного использования законов сохранения энергии, массы и количества движения потока газа, взаимосвязано определяющих все его термодинамические характеристики.
3. Составление модели на основе законов сохранения энергии, массы и импульса
Выделим в стационарном потоке газа в трубопроводе произвольные сечения х1 и х2 и применим к этому выделенному участка газа закон сохранения энергии, приведённой к одному молю (24), закон сохранения массы (25) и выражение для изменения количества движения массы газа т, численно равной секундному расходу Q=р1w1S (27) [6,7]:
2 2
СРТ1 + Ц * + ЦЕ^1 = СРТ2 + Ц V2 +МЯ^2 + О; (24)
2
2
р1^1^=р2^25';
р1^1^(м2 - = (Р1 - Р2)^ - Ртр - р}
к ■
(25)
(26)
где нижние индексы “1” и “2” присвоены величинам в сечениях х1 и х2 соответственно; в частности, плотности газа на границах выделенного участка:
ц ц
р1 = —; р2 = — ^1 Н2 ^
молярные объёмы:
V,, = V,,..
РпТ
п11 .
vи7 = V,
РпТ
п12 .
1п
РТ
(27)
(28)
2п
¥ц„ - молярный объём газа при температуре Ти=273 К и давлении Ря=1,01 -105 Па; О - изменение внутренней энергии одного моля газа в результате теплообмена с внешней средой на участке между сече-
ниями х1 и х2; ¥тр - результирующая сила вязкого трения, действующая на массу газа т при её прохождении между сечениями х1 и х2; ^ - результирующая сила тяжести, действующая на массу газа между сечениями х1 и х2.
Выражение для О получим с помощью (2):
С = Ст (Т(х) - ТОКр )ёх . (29)
хі
Компонента ¥тр выводится из (13) и (25):
х2
х2
Р( хМ х)5М( х) Я
х2
2Б
ёх = X— |м(х)ёх . (30)
х1 х1
Аналогично из (18) с учётом (4) получаем Гк:
к,
Рк = |
р(к)м>(к^
м>(И)
к2
ёк
м>(И)
х2
= Qg ®іп а|
х1
ёх
м(х)
(31)
Подставляя (29)-(31) в (24)-(26) придём к искомой модели состояния газа в виде системы:
И М1
И
2
2
+ СТ I (Т(х) - Токр )ёх;
х1
х2
р1м1^=р2м2^;
Я(М2 - М1) = (Р1 - Р2)Б -Х^- [м(х)ёх -
2и ■’
х2
х1
х2
х1
ёх
м( х)
(32)
(33)
(34)
Для численного интегрирования системы (32)-(34) с некоторым малым шагом іі*Ь (^/<<1) воспользуемся известными начальными условиями
Т(х)|х=о=Тн, Р(х)|х=0=Рн, м(х)|х=0=мн. В результате разностная форма (32)-(34) получит вид:
2 2 Срті +,2—+цФі = Срті+1 + и 2+1 +цФі+1 +
(35)
2
2
Я
2
Рі2^ = Рі+1мі +1^;
Я(мі+1 - 2і ) = (Рі - Рі+1)^ -
(36)
2Б
2
• з/ • Ь - Qg зіп а
( 2 і + 2+1 ^ 2м2і+1
• зі • Ь;
(37)
, = 0;1/ st.
При известном профиле трассы газопровода значение Нм определяется расчётным путём. Уравнения (35)-(37) при 1=0 будут содержать известные начальные условия Рн, Тн, Vн и три неизвестные величины Р,+1, Т,+1, ^,+1 (величины р, выражаются через Р, и Т, по (27) и (28)). Решая систему трёх алгебраических уравнений (35)-(37) для ,=0 получим
значения трёх искомых неизвестных Р,+1, Т,+1, wI■+1, которые можно использовать в качестве начальных для следующего шага.
4. Экспериментальная проверка моделей
Для сравнительного анализа моделей (10),(22) и (35)-(37) использован пример газопровода с параметрами: Р1=250-105 Па; Р2=125,2-105 Па; Т1=323 К; Т2=283 К; Токр=280 К; w1=4 м/с; w2=7 м/с; СТ= 1,35 Дж/(с-м2-К); Х=0,028; а=-30° при х<4-103 м; а=0°
при 4Т03<х<196Т03 L=200d103 м; S=0,234
м; а=30° при х>196^10 м;
м2; D=0,546 м; СР=35,6
,-6
Дж/(моль-К); ^=8,31 Дж/(мольК); DH=3,2T0- К/Па;
1-3 кг/моль; V,„=22,4-10-3 м3/моль;
n\\
\4 ^ Vs 4(35 '-(37)
(11) ““1
(10)
ц=16,04'10-
Q=р1w1S=140,22 кг/с. Шаг интегрирования ^/=0,01.
Сравнение моделей распределения температуры показано на рис. 1.
60 г
Т, °С 50
40
30
20
10
0
-10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 х/Ь 1
Рис. 1. Сравнение распределений температуры, полученных по (10), (11) и (35)-(37)
Как и следовало ожидать, модель В.Г.Шухова (11), давая многократно проверенное практикой хорошее приближение в среднем, не отражает изменения температуры, связанные с перепадом нивелирных уровней.
В более совершенной аналитической модели (10) это недостаток устранён, однако отмечавшееся выше использование постоянного среднего коэффициента БН=3,2'10-6 К/Па привело к отрицательным расчётным значениям температуры в конце газопровода. Фактические значения БН в интервале х/Ь=[0;1] для рассматриваемого газопровода составили БН=(6,62...0,97)-10-6 К/Па.
На рис. 2 показаны сравниваемые распределения давления Р и скорости V.
8.5 7
w, м/с
5.5
4
2.5
P(35) (37)
w( 22V
P(22)
w(35) -(37)
3 -10 P, Па
2.5 -10
7
2-107
1.5 -10
7
1 -107
7
5 -10
6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 х/Ь 1
Рис. 2. Сравнение распределений давления и скорости, полученных по (22) и (35)-(37)
Значение скорости w(х)(22) вычислялось по найденным Т(х) из (10) и Р(х) из (22):
, ч Q - РпТ(х)
w( х) =----- ----------.
V ' 5-Ц'Р(х)Тп
Упрощённое содержание модели (22) и использование в ней средней температуры Тср(х) также приводят к заметным относительным отличиям расчётных значений Р(22) и w(22) от известных.
Литература
1. Поршаков Б.П. Термодинамика и теплопередача
(в технологических процессах нефтяной и газовой промышленности) / Б.П.Поршаков, Р.Н.Бикчентай,
Б.А.Романов. - М.: Недра, 1987. - 352 с.
2. Алиев Р.А. Трубопроводный транспорт нефти и газа / Р.А.Алиев, В.Д.Белоусов, А.Г.Немудрин и др. - М.: Недра, 1988. -368 с.
3. Ионин А. А. Газоснабжение / А.А.Ионин. - М.: Стройиздат, 1989. - 439 с.
4. Общие положения по проектированию и строительству газораспределительных систем из металлических и полиэтиленовых труб, СП 42-101-2003. - М.: ЗАО Полимергаз, 2003. - 174 с.
5. Кудряшов Б.Б. Вопросы достоверности тепловых расчётов магистрального газопровода / Б.Б.Кудряшов, В.С.Литвиненко, С.Г.Сердюков // Журнал технической физики, 2002, т. 72, вып. 4. - С.1-5.
6. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. Ч.1 / Г.Н.Абрамович. - М.: Наука, 1991. - 600 с.
7. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г.Лойцянский. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.
ООО “Питергазинжиниринг”
Воронежский государственный технический университет
THE ANALYSIS OF THERMODYNAMIC MODELS GAS MAINS E.V. Kutsova, E.M. Vasilyev
The analysis of existing models of distribution temperature, pressure and speed of gas in the gas mains is lead. System character of the errors arising at practical use of these models is shown, and the approach to the modeling, based on direct application of laws of conservation of energy, weights and a pulse to a stream of moved gas is offered. The numerical example, showing results of theoretical researches is submitted
Key words: mathematical modeling, a gas main, thermodynamic parameters
