Идеальный пропеллер в потоке сжимаемого газа в аэродинамической трубе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том XIX 1 9 8 8 №6

УДК 629.7.015.3.035.5 533.6.071.088

ИДЕАЛЬНЫЙ ПРОПЕЛЛЕР В ПОТОКЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА В АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ

В. В. Келдыш

Исследуется влияние аэродинамической трубы с закрытой рабочей частью на КПД работающего в ней воздушного винта и создаваемое им поле течения. Рассмотрение ограничено классической схемой идального пропеллера [1], в которой предполагается, что вся потребляемая винтом мощность переходит в кинетическую энергию окружающей среды. В сжимаемой среде это означает, что во всем возмущенном пространстве течение адиабатическое.

Увеличение скорости полета аппаратов с воздушными винтами по-ставило вопрос о влиянии сжимаемости воздуха на их идеальный КПД, а лабораторные исследования винтов — вопрос о влиянии аэродинамической трубы с закрытой рабочей частью на характеристики работающего в ней воздушного винта и создаваемое им поле течения по сравнению с неограниченным пространством.

При рассмотрении этой задачи рабочая часть трубы предполагается цилиндрической с круглым поперечным сечением, неограниченной с обоих сторон от плоскости вращения винта. Ометаемая винтом площадь заменяется проницаемым диском, при протекании через который струи воздуха в ней скачком повышается статическое давление и полная энергия. При этом пренебрегается потерями, обусловленными закруткой потока за винтом, конечным числом его лопастей, трением и волновыми потерями при их обтекании. В такой постановке теория идеального пропеллера определяет минимальные потери, связанные с созданием тяги, и соответственно верхнюю границу КПД воздушного винта, которая позволяет оценить степень совершенства реальных воздушных винтов. Как частный случай, получено влияние сжимаемости воздуха на характеристики 'Идеального пропеллера в неограниченном пространстве.

Рассматриваются дозвуковые режимы течения в аэродинамической трубе, когда перед винтом скорость нигде не превосходит скорости звука. Предполагается, как это принято в классической теория идеального пропеллера, что на некотором расстоянии за винтом течение приходит в равновесие, в трубе устанавливается постоянное давление, и струя воздуха, прошедшего через ометаемую винтом площадь, становится цилиндрической. В поперечных сечениях этбй струи непосредственно перед и за винтом, а так же в ее цилиндрической части, пара-

2— Учеьые записки № 6

17

метры течения постоянны. Обозначим их индексами 1, 2 и 3 соответственно. Индексы 4 и 5 относятся к параметрам течения вне струи вдали за винтом и в плоскости его вращения. Вдали перед винтом течение в трубе полагается равномерным. Параметры его обозначим индексом оо. На рис. 1 показана схема течения при работе винта в трубе.

Применяя законы сохранения массы, энергии и количества движения к воздуху, проходящему через сечения струи 1 и 2 и сечения трубы 3, 4 и оо после некоторых преобразований получим следующую систему уравнений:

В0 =

= Я (хі)

Х+1

Рої

Во =

N

5 Рої я* і

А> = [р (>ч) - р О-оо) ] —Ь

%-1

2*

х+1

<7(М(М2* -1*4 ?(М (X»-1*41)1 >

Г'

X—1

Я (и — од Оч)

1 — а

(і)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6) (7)

здесь о = 5/Р относительная величина ометаемой винтом площади 5 в трубе с площадью поперечного сечения /\

В выражениях (1) — (7) приняты обычные в газовой динамике обозначения:

р у

Ро а*

х~1 х2У-1 = —

» + 1

Ро

Ро

Ро

где а*— критическая скорость звука, определяющая полную энергию в струйке тока; V, р, р—местные скорость течения, плотность и статическое давление соответственно; ро, ро — давление и плотность в адиабатически заторможенном потоке (1/=0); Р, N — создаваемая винтом тяга и потребляемая им мощность; %— отношение удельных теплоемкостей газа, принятое равным и=1,4.

90

£'0

T“

I ЭЙД Ь'О £'0

T

T

OZ'l

SZÏ

ҐО OCÏ

ОЫ

OS'l

ҐО

ҐО

ҐО

Так как в течение предполагается изоэнтропическое, изменение полной энергии в струйках тока происходит только при прохождении их через ометаемую винтом площадь:

В дальнейшем сохраним для этих величин только индексы 1 « 2.

При решении системы уравнений (1) — (8) из двух значений к, определяемых величиной функции <7(Х), для 1=1, 2, 5 и оо следует брать дозвуковое (Л,<1). Для ¿=1,5 и оо это непосредственно следует из постановки задачи (дозвуковые режимы течения в трубе). Для ¿ = 2 это следует из теоремы Вулиса, где показано, что при подводе к газу механической энергии дозвуковой поток замедляется [2].

Величины В0 и В'0 назовем коэффициентами тяги и мощности винта. Они связаны с принятыми обычно в теории идеального пропеллера в несжимаемой среде коэффициентами В и В' зависимостями:

При переходе от трубы к неограниченному пространству в пределе, когда а—4), система уравнений (1) — (8) упрощается, статическое давление в струе далеко за винтом равно давлению в однородном потоке перед ним: Рз = Р4 = Р°°, коэффициент скорости однородного течения вдали перед винтом % в явном виде выражается через коэффициенты скорости в струе непосредственно перед и за винтом и отношение полных давлений:

Задание коэффициентов В0 и В'0 определяет параметры течения в сечениях струи 1 и 2 (уравнения (1), (2) и (3)). Зависимость между ними в аэродинамической трубе такая же, как в неограниченном пространстве. Параметры течения вдали перед и за винтом (в сечениях оо, 3 и 4) зависят еще от относительной величины ометаемой винтом в трубе площади о и, следовательно, при одинаковых значениях коэффициентов В0 и В’0 они различны в аэродинамической трубе и в неограниченном пространстве. Это показывает, что в аэродинамической

<2,со 0*1 Я*4---------- £*5, Рооо Ро 1 Ро4 Ро5» Ро«> Ро\ -------------/?04---Р05»

= Ро2 == Ро8> Ро2=:РоЗ И

(8)

N _х+1 В’0

0>5 Роо ^00 ^

1-Х

1-Х

а КПД равен:

/

1—X

трубе винт возмущает все поле течения, в отличие от неограниченного пространства, где возмущения вне струи за винтом при удалении от него затухают. Такой же вывод для несжимаемой среды сделан в работе [3].

При исследовании моделей винтов в аэродинамической трубе создаваемая ими тяга и потребляемая мощность измеряются непосредственно, а„ 1 и рад определяют состояние воздуха в форкамере трубы и тоже известны. Следовательно, величина • коэффициентов В0 и Вд известна.

При определении КПД винта в качестве скорости полета обычно принимается скорость равномерного потока вдали перед ним, которая отлична от скорости полета в неограниченном пространстве при тех же значениях коэффициентов тяги В0 и мощности Вд винта. Поэтому результаты, полученные при испытании воздушных винтов в аэродинамической трубе, следует приводить к соответствующей скорости полета в неограниченном пространстве. При одинаковых значениях коэффициентов В о и В о КПД винта в аэродинамической трубе с закрытой рабочей частью и в неограниченном пространстве относятся как:

где % — приведенная скорость полета в неограниченном пространстве, Лоо — приведенная скорость однородного течения в трубе вдали перед винтом.

для 0 = 0,3, полученная в результате численного решения системы уравнений (1) — (8). Штриховые линии соответствуют постоянному значению числа Маха однородного течения в трубе вдали перед винтом М» С увеличением относительной величины ометаемой винтом площади о и коэффициента его тяги В0 поправка к КПД, полученному при испытании винта в трубе, растет.

На рис. 2 и 3 показано влияние о и 6С на поле течения при постоянном значении числа М«, = 0,6 и 0,7: числа Маха скорости течения в струе непосредственно перед и за винтом Mi и М2, вдали за ним в струе и окружающем ее пространстве, где давление выравнивалось (p3==pí)t Мз и М4, а так же отношение этого давления к статическому давлению равномерного потока вдали перед винтом рз/р°° и отношение критических скоростей звука в струйках тока, не* прошедших через ометаемую винтом площадь, и в струе за ним а^,/а*2-

Вследствие сжимаемости воздуха уменьшается число Маха в струе при прохождении ее через ометаемую винтом площадь (M2<Mi). Величина числа М непосредственно за винтом меньше, чем вдали перед ним (М2<Моо), когда Моо>0,5.

Вдали за воздушным винтом в аэродинамической трубе устанавливается статическое давление, превышающее его величину вдали перед винтом (Рз/Роо>1)> и скорость в окружающем струю за винтом пространстве меньше, чем вдали перед винтом (М4<М<», М5<Моо).

С ростом относительной величины'ометаемой винтом в трубе площади а уменьшаются числа Маха в струе непосредственно перед винтом Mi и за ним М2 и М3, а также в окружающем струю пространстве М4 и М5. Увеличиваются отношение р»/Роо.

У (о Ф 0) ____________________________\

(ст = 0) ;

'00

X >

На рис. 1 сплошными линиями показана зависимость

<ы м

4*7

1¡0~L

0,9 -

Рис. 2

3=0,7

При одинаковом значении коэффициента тяги сужение струи за винтом и величины индуцируемых им скоростей в аэродинамической трубе меньше, чем в неограниченном пространстве.

Система уравнений (1) — (8) имеет решение вплоть до значений коэффициентов тяги Во или В, соответствующих достижению в струе непосредственно перед винтом скорости звука Я1=1. Назовем их критическими (Яокр и 5кр). Следует полагать, что дальнейшее увеличение коэффициентов ТЯГИ (Во>Вокр) не влияет на поле течения перед винтом, и скорость непосредственно перед ним будет оставаться равной скорости звука. Тогда эта система уравнений станет переопределенной. Для ее решения откажемся от уравнений, определяющих соотношение между параметрами течения непосредственно перед и за ометаемой винтом площадью. При этом отпадает условие постоянства этих величин в сечениях 1 и 2, которое в теория идеального пропеллера является наименее строгим, так как на границе струи скачок давления должен быть равен нулю. Расход воздуха в струе винта будем считать максимальным <7(?ц) =<?(1). Некоторое отличие скорости перед винтом от скорости звука не должно существенно повлиять на величину функции <?(А,1), которая достигает максимальной величины при Х=1. Вдали за винтом сохраним условие выравнивания давления в струе и окружающем ее пространстве.

В такой постановке в работе (4] приведен КПД идеального пропеллера в неограниченной сжимаемой среде во всем диапазоне значений коэффициента тяги 0<В0<оо, ?ч=1. Когда В0>В0кр, это предполагает наличие дополнительного устройства перед воздушным винтом, доводящее скорость перед ним до величины скорости звука, что не соответствует обычным условиям его работы.

На рис. 4 приведена зависимость КПД идеального пропеллера и параметров течения далеко за ним от коэффициента его тяги, как при Во<Вокр, А,1<1 так и при В0>В0 кр, Л,1 = 1 в неограниченном пространстве и в аэродинамической трубе с закрытой рабочей частью при постоянном значении числа Маха скорости равномерного потока вдали перед ним Моо = 0,6. Пунктирная линия соответствует критическим значениям коэффициента тяги. С ростом относительной величины ометае-мой винтом в трубе площади коэффициент Вокр увеличивается.

На рис. 5 показано влияние сжимаемости воздуха на зависимость КПД идеального пропеллера в аэродинамической трубе от числа М«, и коэффициента тяги В при его докритических значениях (сплошные

* 1 1 1 1 1 1 1 1 1 г—

0 1 Мх=0,6 I 1 I г | В

0 1 0,2 м„=о,в , I 0,4 I 0,6 | *0,

0 1 0,1 м^=о,ч- 0,2 I 0,3 № I

0 0,1 Рис. 5 07

линии) и сверхкритических (штриховые линии). На докритических режимах при <т<0,1, в том числе и в неограниченном пространстве, сжимаемость воздуха практически не влияет на зависимость г)(В). С ростом относительной величины ометаемой винтом в трубе площади а увеличивается влияние сжимаемости воздуха на эту зависимость, и при постоянном значении коэффициента тяги увеличивается КПД винта, определенный по скорости однородного потока в трубе вдали перед ним.

Теория идеального пропеллера в ее классической постановке [1] не дает возможность определить форму струи винта и параметры поля течения во всем возмущенном им пространстве. Для малых возмущений в неограниченном пространстве эта задача решена по линейной теории сжимаемого газа путем замены ометаемой винтом площади слоем диполей. Потенциал ускорения такого течения в неподвижных осях равен:

Ф (X, у. г) = С-°- |Т- -Г (^'> --------. (9)

Л ' дxJJ 1Л*2 + (1 — М2) [(у-уу+ (г—г')2]

оси декартовой системы координат у иг параллельны плоскости вращения винта, ось х — расположена вдоль оси струи в направлении, противоположном скорости полета, М — число М скорости полета, !(у', г')—поверхностная плотность, диполей. При дозвуковых скоростях М< 1 интегрирование производится по всей ометаемой винтом площади 5. При постоянной нагрузке на ней

/ =

4яр5

Для газа, не прошедшего .через ометаемую винтом площадь, С = О, в струе за ней:

С =-----------=£.

0,5рV2 5

Выражения для коэффициента давления и компонентов скорости возмущения Vi в поле течения в связанных с винтом осях координат приводятся к сумме двух эллиптических интегралов 3-го рода. На оси струи и непосредственно перед и за ометаемой винтом площадью интеграл (9) берется в элементарных функциях

- - а '1 + ... <0.

V 4 (1 —М2) у /!+•*„ / И VI — М2

В ' 1—2М3 + ——), ' лм>0,

V 4(1 М3) ^ /1+3

где Я — радиус винта, а в сечениях струи 1, 2 и 3 (см. рис. 1 , а)

^1 ___ В у2 __ 1 — 2М2 п Уз В _ V] + у2

V 4(1 — М2) ’ V 4(1 - М2) ’ V ^ 2 2 V

С точностью до малых величин порядка В2 зависимость ассимпто-тического значения индуктивной скорости в струе за винтом от коэффициента его тяги В такая же, как в несжимаемой жидкости, а ве-

личина этой скорости равна средней арифметической величине индуктивных скоростей в струе непосредственно перед и за винтом.

Для приближенного определения формы струи винта предположим, что скорость и плотность в ее поперечных сечениях постоянны. Тогда местный радиус струи Яс в долях радиуса винта равен:

С ростом числа Маха скорости полета в окрестности винта увеличивается градиент скорости течения на оси струи и ее кривизна (рис. 6). При [х|>1,57? параметры течения в струе близки к «х асимптотическим значениям, а ее форма — к цилиндрической.

В аэродинамической трубе с закрытой рабочей частью с ростом относительной величины ометаемой винтом площади уменьшаются числа Маха в струе винта и окружающем ее пространстве. Поэтому следует полагать, что градиент скорости там меньше, и ассимптотиче-ские значения параметров течения будут практически достигаться не дальше от винта, чем в неограниченном пространстве.

1. Аэродинамика./Под общей редакцией В. Ф. Дюрэнда. Т. IV.— М.: Оборонгиз, 1940.

2. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. — М.: Наука,

1969.

3. Бабкин В. И., Горелов Ю. А. Учет влияния струи винта на распределение давления вдоль стенок трубы. — Ученые записки ЦАГИ, 1987, т. 18, № 1.

4. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. I., — М.: Наука,

1984.

Рукопись поступила 27/V 1987