Характеристическая задача для системы уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 121

MSC 35Q05

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Р.Р. Раянова

Самарский государственный технический университет, ул. Молодогвардейская, 244, Самара, 443100, Россия, e-mail: rayanova.rina@gmail.com

Ключевые слова: уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, уравнения гиперболического типа, краевые задачи, линия сингулярности.

Рассмотрена краевая задача в характеристическом квадрате с данными на параллельных характеристиках для системы гиперболических уравнений с волновым оператором и сингулярным матричным коэффициентом при младшей производной. Используя известное решение задачи Коши для указанной системы уравнений с данными на линии сингулярности матричного коэффициента, поставленная задача редуцируется к системе интегральных уравнений Карлемана. В работе найдено в явном виде решение указанной краевой задачи.

Обозначим через Mn — множество постоянных матриц порядка и. Пусть Л(С) — спектр матрицы G Е Mn, Xi— собственные значения матрицы G (i = 1, 2, ...,и).

В области D = {(x,y) :0 < x + у < 1, 0 < x — у < 1} рассмотрим систему уравнений

uxx

Uyy

2G

uy

У

0,

(1)

где u(x,y) = (uul(x,y),u2(x,y),... ,un(x,y)^T — вектор искомых функций, Л^) Е (0,1/2).

Пусть D0 = D 0{y > 0} = {(x, y) : 0 < x + y < 1, 0 < x — y < 1,y > 0} D1 = D 0{y < 0} = {(x,y) : 0 < x + y < 1,0 < x — y < 1,y < 0}.

Обозначим 0o (f; f) и ®1(1+X—точки пересечения характеристик x — y = 0 и x — y = 1 с характеристикой другого семейства, выходящей из точки (x, 0).

Задача Требуется найти вектор-функцию u(x,y), удовлетворяющую следующим свойствам:

1. u(x, y) Е C(D) О C2(D0 U D1),

2. u(x, y) удовлетворяет системе (1) в области D0 U D1,

3. u(9o) = p(x), x Е [0,1],

4. u(9l) = ?X(x), x Е [0,1],

5.

lim (—y) y^o-

2G

du

dy

lim y2G

y^<0+

du

dy

122 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

где ф(х) = (ф1(х), ф2(х), ■ ■ ■, фп(х)), ф(х) = (Ф1(х),Ф2(х), ■ ■ ■ ,Фп(х)) - заданные вектор-

функции.

Поставленная задача сводится к системе интегральных уравнений Карлемана. Пусть О = [a, 6], где — а< a < b < + а.

Определение 1. Через HX = Hх(О), где О = [a,b], А = (А1 ,А2,...,Хп), обозначим класс вектор-функций f (х) = (fl(x), f2(x), ■ ■■, fn(x)) с областью определения Df = О, каждая компонента которых, удовлетворяет па О условию Гель дера

\fk(xi) — fk(х2)\ < Ak|xi — x2\Xk (k = 1, 2, ■■■,n)

со своими фиксированными значениями Ak и Xk.

Определение 2. Через H* = H*(a,b) обозначим класс вектор-функций

f (х) = (fl(x), f2(x), ■■■, fn(x)), для которых существуют такие мультииндексы А =

(АЬ А2, ■■■, Ап), с = (Ol,C2, ■■■,Сп) и 5 = (Si,S2 ,■■■, Sn), ЧТО

f (х) =_____Ах!_________

(х — a)l-e(b — x)l-S ’

где f *(х) £ HX([a, b]) и каждой компоненте вектора f (х) соответствуют свои фиксированные значения мулвтииндексов А, с и 5.

Определение 3. Пусть a = (al,a2, ■■■,an) — мультииндекс. Через H*a обозначим класс вектор-функций f (х) = (fl(x), f2(x), ■■■, fn(x)) таких, что

f (х) = ______ш_____________

J{ ’ (х — a)l-a-e(b — x)l-a—’

где 0 < ck < 1 — ak, 0 < 5k < 1 — ak (k = 1,2, ■■■, n), а каждая компонента вектора f *(х) принадлежит своему классу Hak, который определен в [1].

Справедлива теорема.

Теорема Пусть G £ Mn - матрица, у которой спектр A(G) £ (0,1/2). Пусть, далее, матрица T £ Mn является матрицей преобразования G к жордановому виду Ас = TGT-l. Пусть BeKTopTg(x) £ H*, где a = (al, a2, ■ ■ ■, an), ak = 1 — 2Аk, Аk £ A(G). Тогда единственное решение системы интегральных уравнений Карлемана в классе векторфункций, таких что Tv(х) £ H* имеет вид

-l

где матрицы Z(х)

v(х) = (LUE — 2G))~ DE-2a(E — Z(xD+I-ZДх})g(x)

( \ E-2G

^(Дг) л = i<™2( n (e—24)).

(2)

Подставляя найденное в формуле (2) выражение для вектора v(х) в решения задач Коши в областях Do и Dl найдем окончательно решение u(x, у) в области D = D0 U Dl.

Литература

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / Минск: Наука и техника, 1987.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 123

CHARACTERISTIC PROBLEM FOR EULER-POISSON-DARBOUX’S EQUATIONS SYSTEM OF HYPERBOLIC TYPE

R.R. Rayanova

Samara State Technological University,

Molodogvardeiskaya Str., 244, Samara, 443100, Russia, e-mail: rayanova.rina@gmail.com

Key words: Euler-Poisson-Darboux equations, hyperbolic equations, boundary problems, singularity line.