CC BY
66
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
В. К. ФЕДОРОВ П. В. РЫСЕВ
Омский государственный технический университет
УДК 621.317
ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Хаос представляет собой реально существующее причудливое и устойчивое нелинейное явление, которое трудно проанализировать. Издавна многие исследователи обращали внимание на хаос, но, приняв его за физический шум, не занимались изучением этого явления.
Существующее определение хаотического поведения нелинейной электрической цепи (НЭЦ) следующее. Хаос - особая форма поведения НЭЦ в установившемся режиме. Из фундаментальных курсов по теории электрических цепей известно, что реакция - отклик всех устойчивых линейных цепей содержит две составляющие, одна из которых соответствует переходному процессу, а другая - установившемуся состоянию. При этом отклик в установившемся состоянии, описывающий поведение цепи или системы после завершения в ней всех переходных процессов, может представлять собой либо константу, либо некоторое периодическое решение. Это заключение настолько прочно входит в сознание инженеров, что большинство из них подсознательно экстраполирует его и на случай нелинейных цепей и систем.
Как известно, знание собственных значений и собственных векторов матрицы коэффициентов в системе линейных уравнений позволяет записать ее решение в замкнутом виде. В отличие от этого замкнутые решения могут быть получены лишь для небольшого числа систем нелинейных уравнений, вследствие чего решающая роль в отыскании и анализе различных нелиней-
ных явлений отводится методам численного моделирования. Но это никоим образом не затрагивало основополагающий научный принцип, заключающийся в том, что детерминированные системы по своей сути являются предсказуемыми: при заданных уравнениях, описывающих некоторую НЭЦ, и начальных условиях для этих уравнений режим НЭЦ может быть предсказан на любой интервал времени. Открытие хаотических режимов НЭЦ доказало неправомерность такой точки зрения. Хаотическая НЭЦ представляет собой детерминированную систему, которая ведет себя случайным образом. При наличии нелинейности существует широкий диапазон параметров элементов, при которых поведение цепи или системы в установившемся состоянии оказывается хотя и ограниченным, но непериодическим. Колебания приобретают случайный характер и имеют не дискретный спектр, как в периодическом случае, а широкий непрерывный спектр. Кроме того, поведение системы оказывается столь чувствительным к начальным условиям, долговременное прогнозирование точного решения становится невозможным. Такая высокая чувствительность к вариациям начальных условий - лишь одно из характерных проявлений хаотического поведения.
Проникновение в сущность изучаемых сложных процессов в нелинейных электрических цепях (и в более общем случае - нелинейных динамических системах) стало возможным благодаря применению и развитию идей и методов, выдвинутых и разработанных
великими математиками, физиками и механиками. В первую очередь следует назвать имена А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова. А. Пуанкаре ввел в анализ динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, мощные топологические и групповые методы, что позволило построить качественную теорию этих систем. Метод секущей гиперповерхности и отображения последования Пуанкаре дали универсальный инструмент для исследования многомерных нелинейных объектов и описания их странного, с обыденной точки зрения, хаотического поведения. Теория устойчивости движения в современном понимании была в основном построена A.M. Ляпуновым. Прямой метод Ляпунова, метод показателей Ляпунова и теория Ляпунова-Флоке являются конструктивными подходами к исследованию устойчивости и хаотического поведения детерминированных динамических систем.
Существенный вклад в рассматриваемую проблему внесли И. Пригожин, Е. Лоренц, Г. Хакен, Т. Паркер, Л. Чжуа, Я.Г. Синай, Л.П. Шильников и многие другие зарубежные и отечественные ученые.
1. Нелинейная электрическая цепь Чжуа
НЭЦ Чжуа (рис. 1) широко используется в качестве примера хаоса по следующим причинам:
а) она является простейшей автономной схемой, поведение которой может стать хаотическим. Она содержит только три энергозапасающих элемента, т.е. минимальное число таких элементов, необходимых для того, чтобы НЭЦ стала хаотической, и только один нелинейный элемент резистивного типа;
б) НЭЦ Чжуа допускает математический анализ ее хаотического поведения. Ее можно рассматривать как прототип (опытную модель) хаоса, обеспечивающий глубокое знакомство с областью хаоса.
Эта схема реализуется в виде устройства (рис. 1а), где цепь, заключенная в штриховом квадрате, соответствует нелинейному резистору с вольт - амперной характеристикой, изображенной на рис. 16.
Динамика НЭЦ Чжуа описывается системой дифференциальных уравнений
"С, ^i = G(VCJ-Vcl)-g(VC2) ^ с2 ^ = G(VC]-VC2) + iLi
где g^,)выражает вольт - амперную характеристику i(V) нелинейного резистора, а через ^р^Л, обозначены соответственно напряжения на конденсаторе С, и С2 и ток в индуктивности L,.
Схемы были исследованы на ЭВМ в программе Micro -Сар 6. В результате моделирования удалось получить хаотические колебания напряжений и токов в элементах цепи. Величины сопротивлений, индуктивностей и емкостей на представленных схемах соответствуют параметрам элементов схем замещения в программе Micro - Сар 6.
На рис. 2 показан график напряжения на емкости С, в НЭЦ Чжуа. На графике хорошо видно, что напряжение на емкости подвержено случайным (хаотическим) колебаниям: изменяются период, амплитуда, форма сигнала. Странный аттрактор в НЭЦ Чжуа (рис. 3) имеет вид двух торов, связанных перемычкой. Решение не выходит за пределы этих торов, а переходит с одного на другой и обратно.
На рис. 4 и рис. 5 показано перерождение аттрактора (зависимости производной функции от самой функции -в нашем случае напряжения на емкости с2) в стран-
Рис. 1. Автономная НЭЦ Чжуа: а) реализация НЭЦ Чжуа; б) вояьт-амлерная характеристика нелинейного резистора.
" UcjB
Рис. 2 График напряжения на емкости С2 в НЭЦ Чжуа.
Рис. 3. Изображение странного аттрактора в НЭЦ Чжуа.
t'ltr
■ и«?«
Рис. 4. Трехмерное изображение странного аттрактора в НЭЦ Чжуа при вариации величины сопротивления д,.
ный аттрактор в НЭЦ Чжуа при вариации реличины сопротивления д,. Как видно из рисунков, переход к странному аттрактору (хаотическому режиму) осуществляется при значении сопротивления д. примерно 1,6 кОм.
Хаотическому поведению этой схемы можно дать качественное объяснение. Параллельное соединение Сг
f(x) = -а-х + 0,5 ■ (а + Ь) ■ ¡.г +1|--1|].
Рис. 5. Трехмерное изображение странного аттрактора в НЭЦ Чжуа при вариации величины сопротивления Л,.
В инверсной НЭЦ Чжуа (рис. 6а) не удалось получить хаотических колебаний. Напряжение на емкости С, (рис. 7,8) находится в режиме автоколебаний, а аттрактор (рис. 9) имеет вид канонической кривой -эллипса. Возможно, нам не удалось достичь хаотического режима в этой схеме скорее всего вследствие неточной математической модели диода в программе Micro - Сар 6.
Пересчитанные параметры, соответствующие исходной схеме, имеют величины а = 0,07; b = 0,1;/? = 1; а = 15. Расчеты показателей Ляпунова дали такие значения:^ =0,027 i/lj =0; Я, «-0,1134. Наибольший из показателей Ляпунова положителен, что подтверждает хаотичность поведения НЭЦ.
и ц образует один основной осциллирующий механизм в плоскости ((/(-:.'£,). тогда как проводимость в обеспечивает взаимодействие между осциллирующим резонансным контуром (с2, ¿,) и активным (нелинейным) резистором £(ИС1), объединенным с конденсатором С,. Действие этого активного резистора и объясняет хаотическое поведение схемы. Если бы этот резистор был локально пассивным, то схема вела бы себя совершенно спокойно - все решения стремились бы асимптотически к устойчивому равновесию.
Так как описывает локально активный резис-
тор (Кл(()■'«(')<0 )■ то 00 внешнюю цепь непрерывно подается энергия. Аттрактивный характер хаотических траекторий обусловлен рассеянием энергии в пассивном элементе С, что сдерживает ее нарастание. Однако баланс энергии оказывается весьма своеобразным, и он непрерывно изменяется во времени, никогда не повторяясь как периодическое явление.
2. Инверсная нелинейная электрическая цепь Чжуа
Инверсная НЭЦ Чжуа состоит из четырех элементов, из которых лишь один - нелинейный (рис. 6а - цепь, заключенная в штриховой квадрат). Его вольт-амперная характеристика показана на рис. бб.
Динамика этой НЭЦ описывается системой дифференциальных уравнений
1 dt
„ dVr
= -g(VC2-VC1)
-2 '
C2 dt
fik-dl
s(vC2-vcl)-iLl,
(2)
C2
<
.1
£-f(y-x)-dt
dz a
*=Р'У
3. Нелинейная электрическая цепь, содержащая индуктивность с гистерезисом
Эта НЭЦ (рис. 10) состоит из четырех элементов: источник синусоидального напряжения, нелинейное
где через Ргм^сгЛ, обозначены соответственно напряжения на конденсаторе С, и с2 и ток в индуктивности Ц. Функция g(УC2-УCI) описывает вольт-амперную характеристику нелинейного резистора и имеет вид
Я(К) = -то.И + 0>5-К+т1)[к + £1|-|К-£1|].
Преобразуем систему уравнений (2) к безразмерному виду:
г, л
ш
(3)
1 т. ✓ГС
ч/ 0 ЁЛ у
9)
Рис. 6. Инверсная НЭЦ Чжуа а) схема инверсной НЭЦ Чжуа б) вольт-амперная характеристика нелинейного резистора.
Рис. 7. График напряжения на емкости С, в инверсной НЭЦ Чжуа.
НШШ
foe * =
Е,
У =
С2
С, •£
1
L.C,
а = — Ь =
С,
Сг"
Рис. 8. График напряжения на емкости С, инверсной НЭЦ Чжуа (увеличенный масштаб).
1 а
\
Ч
\
Рис. 9. График аттрактора в инверсной НЭЦ Чжуа.
ч
Рис. 13. График напряжения на сопротивлении Я7 в НЭЦ, содержащей индуктивность с гистерезисом (увеличенный масштаб).
ч
+ 15В
Рис. 10. Схема НЭЦ, содержащей индуктивность с гистерезисом.
Рис. 14. Странный аттрактор в НЭЦ, содержащей индуктивность с гистерезисом.
Тж
Рис. 11. График напряжения на сопротивлении Л, в НЭЦ, содержащей индуктивность с гистерезисом.
в сердечнике катушки.
V
Рис. 12. График напряжения на сопротивлении Д, в НЭЦ, содержащей индуктивность с гистерезисом (увеличенный масштаб).
Рис. 16. График магнитной индукции в сердечнике катушки (увеличенный масштаб).
Ви.й'с
Рис. 17. График магнитной индукции в сердечнике катушки (увеличенный масштаб).
сопротивление, конденсатор и катушка, намотанная на магнитный сердечник. Характерные значения параметров таковы: С = 7,5 мкФ, Р = -500 Ом, частота возбуждающего сигнала 200 Гц. Отрицательное сопротивление реализовано на основе операционного усилителя.
Если N - число витков в индуктивности, А - эффективная площадь сечения сердечника, I - длина магнитного пути, то плотность магнитного потока В в сердечнике описывается уравнением
+ + = (4)
где Н(В) - нелинейное соотношение магнитного поля и магнитной индукции в материале сердечника. В описываемом эксперименте были приняты следующие
Р. Т. ТАМИНДАРОВ В. Г. ШАХОВ А. Н. ЯВОРСКИЙ
Омский государственный университет путей сообщения
АК «Омскэнерго» УДК 621.311.1:681.3.06
Электрические сети и информационные технологии
Проблема повышения эффективности транспорта электрической энергии к потребителям актуальна как с коммерческой, так и с государственной точки зрения. Одним из путей решения этой проблемы, помимо развития инфраструктуры электрических сетей и обновления изношенного порой более чем на 60% оборудования является использование систем управления информационными потоками (ИП) для транспорта и учета полученной и отпущенной электрической энергии (ПЭЭ). Вследствие развития телекоммуникаций и информатизации отрасли появилась возможность централизованного управления электрическими сетями, обмен как коммерческой, так и технологической информацией между разнесенными пространственно субъектами энергосистемы.
Качественное выполнение поставленных перед энергетиками задач невозможно без развитой инфор-
параметры катушки с сердечником: N = 100 витков, А = 1,5-10"s лг и I = 0,1 м.
В этой цепи индуктивность с гистерезисом, обусловленным наличием магнитного сердечника, при частоте возмущающего синусоидального сигнала 200 Гц и более создает хаотические колебания. На рис. 11 форма напряжения на сопротивлении Л8 изменяется по случайному закону, а при увеличении масштаба (рис. 12,13) наблюдаются учащение частоты, хаотические изменения формы и амплитуды сигнала. Странный аттрактор (рис. 14) имеет вид двух гантелей разной величины, соединенных перемычкой. Аналогичными особенностями обладает и магнитная индукция в сердечнике катушки (рис. 15,16,17).
Литература
1. Мун Ф. Введение в хаотическую динамику. - М.: Наука, 1990.-140 с.
2. Разевиг В.Д. Система схемотехнического моделирования Micro - Сар 6. - М.: Горячая линия -Телеком, 2001. - 344 с.
3. Parker Т., Chua L. Chaos: A Tutorial for Engineers // Proceedings of the IEEE. - 1981. - v.75. - № 8. -p.982 - 1008.
4. Matsumoto T. Chaos in Electronic Circuits II Proceedings of the IEEE. - 1987. - v.75. - № 8. - p.1033 - 1057.
ФЕДОРОВ Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор кафедры электроснабжения промышленных предприятий.
РЫСЕВ Павел Валерьевич, студент 5-го курса электротехнического факультета.
мационной системы (ИС), без эффективной автоматизации управления и ее оптимизации.
Существующие АСУ в энергетике по сути своей выполняют роль связующего звена между Управлением энергетической компании и исполнителями, в частности между Региональным энергетическим управлением (РЭУ), предприятием электрических сетей (ПЭС) и районами электрических сетей (РЭС).
Внедрение информационных технологий (ИТ) ставит перед собой задачу создания единой информационной среды (ЕИС), доступной для ввода, обработки и получения результата (отчетность или управляющее воздействие) всем субъектам энергосистемы от РЭУ до РЭС.
В статье проанализирована ситуация внедрения ИТ на примере конкретного ПЭС. Это Южные электрические сети, входящие в состав Омской энергосистемы, основной задачей которых является гарантированное снабжение электрической энергией семи южных районов Омской области
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ИНФОРМАТИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОСНАБЖАЮЩИХ ПРЕДПРИЯТИЙ
В СТАТЬЕ РАССМАТРИВАЮТСЯ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ВНЕДРЕНИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ (ИТ) НА ПРИМЕРЕ КОНКРЕТНОГО ПРЕДПРИЯТИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ. ПРОВЕДЕН АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ ИТ И ОПРЕДЕЛЕНЫ ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИХ РАЗВИТИЯ. РЕКОМЕНДОВАНЫ ПУТИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ВНЕДРЕНИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ.
