CC BY
37
10. Варнавский В. Реформирование мировой электроэнергетики // Мировая экономика и международные отношения. 2003. №4. С.25.
11. Совет. Россия. 2005.7 июня,
12. Мировая экономика и международные отношения. 2003. №4. С.25-26.
13. Вестник Алтайской академии экономики и права. 2002. №6. С.116.
14. ДаниловН.И..МихайловВ.Ю.ПлануГОЭЛРО - 80лет// Развитие энергетики. Екатеринбург. 2003. С.8.
15. Наукоемкие технические разработки и использование минеральных ресурсов. Новосибирск, 2002. С.321.
16 Макаров А. Электроэнергетика России: Производственные перспективы и хозяйственные отношения. // Общество и экономика. 2003. №7-8. С.70,72.
17. Аргументы и факты (далее АиФ). 2004. №9. С. 6.
18. Государственный архив Омской области (далее ГАОО). Ф. 1720. Оп. 1. Д.2962. Л. 16.
19. ЗакировД.Г. Проблемы и пути решения рационального использования ТЭР в угольной отрасли // Наукоемкие технологические разработ ки и использование минеральных ресурсов. Новокузнецк, 2002. С. 320.
20. Мировая экономика и международные отношения. 2003. №4. С. 17-18.
21. Баланчевадэе В., Барановский А. Энергетика сегодня и завтра. М., 1990. С.60.
22. Родин Ю. Жаркое сердце Сибири // Сибирские огни. 1987. №6. С. 122.
23 Народное хозяйство СССР. 1922-1982. М., 1982. С.100,101.
24 АиФ. 2004. №2. С. 18.
25 Труды Алтайского гос. ун-та. Вып.7. 1997. С.241. Красный путь. 2001.1 авг.
26. Гринкевич. Р. Тенденции мировой электроэнергетики. // Мировая экономика и международные отношения. 2003. №4. С.20
27. Мировая экономика и международные отношения. 2003. №4. С.22.
28. Кузбасс. 2000.22 дек, С.2.
29. ЭКО. 1987. №6. С.63.
30. Российская газета. 2001.11 февр.
31. Энергетика: цифры и факты. М., 1999. №12. С.34.
32. Семкин Б. В., Стальная М.И., Свит П, П. К вопросу о рациональном использовании автономных электростанций в труднодоступных районах // Ползуновский альманах. 1999. №3. С.99.
33. Э.М.Перминов Нетрадиционная электроэнергетика: состояние и перспективы развития// Энергетик Алтая. 1997. (№3). 13 февр.
34. Семкин Б.В,, Иванов В.М., Свит П.П., Родивилина Т.Ю. Перспективы размещения малых и микро ГЭС в предгорных районах Алтайского краяи проблемы охраны окружающей среды в зонах водохранилищ. // Обской вестник. Барнаул, 1996. №1. С.55-56.
35. Закиров Д.К. Проблемы и пути рационального использования ТЭР в угольной отрасли // Наукоемкие технологические разработки и использование минеральных ресурсов. Новокузнецк, 2002. С.322.
36. Красюк H.H., Золотых С.С., Жаров А.И. и др. Угольный метам в региональной экономике//Уголь. 1999. №3. С.71.
37. Тайлаков О.В. Экономия и рациональное использование ресурсов//Уголь. 1998. сент. С.48; Закиров Д. К. Проблемы и ггути рационального использования ТЭР в угольной отрасли // Наукоемкие технологические разработки и использование минеральных ресурсов. Новокузнецк, 2002. С.322.
38. Ресурсы регионов в России. 2002. №4. С.30.
39. ЛукутинБ.В., Обухов С.Г., Яворский М.И. Перспективы малой энергетики в Томской области // Ресурсы регионов, 2002. №4. С.28.
ПОЛКАНОВ Михаил Владимирович, аспирант кафедры отечественной истории.
УДК 621.318.11 В.К.ФЕДОРОВ
П. В. РЫСЕВ Е. Ю. СВЕШНИКОВА Н. М. ЮРКИНА
Омский государственный технический университет
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРОСТЕЙШИХ МОДЕЛЕЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА
Проведены теоретические исследования управляемых переходов в системе двух связанных через емкость идентичных генераторов Чжуа из режима развитого хаоса к различным регулярным и хаотическим симметричным движениям посредством малых воздействий на один из генераторов.
Введение
Внесем ясность в понимание терминов детерминированность и хаос, а затем определим содержание термина детерминированный хаос. Во всех случаях, когда говорят о детерминированности, подразумевают однозначную взаимосвязь причины и следст-
вия. В применении к эволюционным законам это означает, что если задано некоторое начальное состояние системы при I = то оно однозначно определяет состояние системы в любой момент времени I > 10.
В общем случае, зависимость будущего состояния х(1) от начального х(у можно записать в виде: х(1) = = Р[х(у], где И — детерминированный закон (или
оператор), который осуществляет строго однозначное преобразование начального состояния х(10) в будущее состояние х(1:) для любого 1Х.0. Этот закон может представлять собой функцию, дифференциальное или интегральное уравнение, просто некоторое правило, заданное таблицей или графиком и т.д. Важно главное: закон Б однозначно трансформирует начальное состояние (причину) в будущее состояние (следствие).
Теперь внесем ясность в понятие «хаос». Давайте проведем мысленный эксперимент с броуновской частицей. Поместим частицу в начальный момент I = 1;0 в раствор жидкости и с помощью микроскопа и начнем фиксировать ее положение во времени, отмечая координаты частицы через равные интервалы времени Д1:. Нетрудно убедиться, что под действием случайных толчков со стороны окружающих молекул частица будет совершать нерегулярные блуждания, которые характеризуются запутанной траекторией. Повторим эксперимент несколько раз подряд, осуществляя в пределах возможностей воспроизводство начальных условий опыта. Каковы будут результаты? Их, главным образом, два. Первый — каждый раз траектория движения частицы будет сложной непериодической. Второй — любая попытка однозначного повторения опыта приведет к отрицательному результату. Каждый раз при повторении опыта с одинаковыми (в пределах наших возможностей) начальными условиями мы будем получать различные траектории движения частицы, которые даже близко не напоминают друг друга!
Классическое явление движения броуновской частицы дает нам четкие физические представления о хаосе как о непредсказуемом, случайном процессе. Таким образом, если мы говорим о хаосе, мы подразумеваем, что изменение во времени состояния системы является случайным (его нельзя однозначно предсказать) и не воспроизводимым (процесс нельзя повторить) [5].
Постановка задачи
Изложенные выше размышления приводят нас к убеждению, что понятия «детерминизм» и «хаос» есть прямо противоположные по смыслу. Детерминизм ассоциируется с полной однозначной предсказуемостью и воспроизводимостью, хаос — с полной непредсказуемостью и невоспроизводимостыо. Возникает закономерный вопрос, что понимается под термином детерминированный хаос, где объединены два противопо-ложных по смыслу понятия ? Ответить на этот вопрос непросто, но возможно. Попытаемся это сделать.
Нам понадобится рассмотреть понятие устойчивости (неустойчивости) движения системы. Начнем с простейшего, рассмотрев состояние покоя или равновесия системы. Поместим маленький шарик в нижнюю точку внутри полой сферы. Слегка толкнем его и пронаблюдаем за движением. После совершения нескольких затухающих колебаний шарик вновь займет положение на дне сферы. В этом случае положение равновесия устойчиво: малые возмущения исходного состояния затухают во времени. Если мы поместим шарик на вершину сферы (снаружи), то реакция на малое возмущение будет иной: при любом сколь угодно малом отклонении шарика от состояния равновесия он скатывается с вершины. Это положение равновесия неустойчиво: малые возмущения исходного состояния нарастают во времени.
Физический смысл понятия устойчивость (неустойчивость), рассмотренный нами применительно к
состоянию равновесия, сохраняется и в отношении любого другого режима. Режим функционирования динамической системы называют устойчивыми, если малые возмущения в окрестности этого режима затухают во времени, стремясь к нулю. Если этого не происходит и малые отклонения от режима функционирования системы нарастают во времени, такой режим будет неустойчивым.
Теперь обсудим другое важное свойство сложных систем — нелинейность. Пусть мы имеем дело с неустойчивым режимом. Слегка нарушив режим малым воздействием, мы поначалу будем фиксировать нарастание возмущения. Будет ли оно бесконечным? В реальной жизни — никогда! Отклонение будет нарастать до тех пор, пока не вступит в действие некий механизм нелинейного ограничения процесса нарастания возмущения. Что это такое ? Ответим на этот вопрос с физической и математической точек зрения.
С физической точки зрения, нарастание амплитуды не может происходить до бесконечности. На первом этапе, когда отклонение от исходного состояния мало, оно может нарастать. А дальше? Дальше, в силу ограниченности энергетических ресурсов системы, это нарастание должно прекратиться или смениться уменьшением амплитуды отклонения. Любой новый режим должен иметь конечную амплитуду и управляют этими процессами нелинейные законы. Мы говорим о нелинейности в том случае, когда свойства системы непосредственно зависят от ее состояния.
Рассмотрим динамическую систему, состояние которой характеризуется тремя независимыми переменными (фазовыми координатами). Траектория раскручивается в трехмерном пространстве, удаляясь отточки равновесия О по спирали. Достигнув некоторых значений и испытывая действие механизма нелинейного ограничения, траектория вновь вернется в окрестность исходного состояния. Далее, ввиду неустойчивости, процесс будет повторяться. Возможны два варианта: траектория, спустя конечное время, замкнется, демонстрируя наличие некоторого сложного, но периодического процесса; траектория будет воспроизводить некий апериодический процесс, если при I —» оо замыкания не произойдет. Второй случай и отвечает режиму детерминированного хаоса! Действительно, работает основной принцип детерминизма: будущее однозначно определено начальным состоянием. Однако, процесс эволюции системы сложный, непериодический. Чисто внешне он ничем не отличается от случайного! Однако при более детальном анализе вскрывается одно важное отличие этого процесса от случайного: этот процесс воспроизводим! Действительно, повторив еще раз начальное состояние, в силу детерминированности мы вновь однозначно воспроизведем ту же самую траекторию независимо от степени ее сложности. Значит, этот непериодический процесс не является хаотическим в смысле определения хаоса, данного нами выше ? Да, это сложный, похожий на случайный, но тем не менее детерминированный процесс.
Метод решения.
Нелинейная электрическая цепь Чжуа
Нелинейная электрическая цепь (НЭЦ) Чжуа (рис. 1) широко используется в качестве модели детерминированного хаоса по следующим причинам:
а) она является простейшей автономной схемой, поведение которой может стать хаотическим. Она содержит только три энергозапасающих элемента, т.е. минимальное число таких элементов, необходи-
мых для того, чтобы НЭЦ стала хаотической, и только один нелинейный элемент;
б) НЭЦ Чжуа допускает математический анализ ее хаотического поведения. Ее можно рассматривать как прототип (опытную модель) хаоса, обеспечивающий глубокое знакомство с областью хаоса.
Эта схема реализуется в виде устройства (рис. 1а), где цепь, заключенная в штриховом квадрате соответствует нелинейному элементу с вольт-амперной характеристикой, изображенной на рис. 16.
Динамика НЭЦ Чжуа описывается системой дифференциальных уравнений
г ау
<
dt
C1-^ = G(VC2-Va) + iL L,~ = VC1
(1)
где д(УС2) выражает вольт-амперную характеристику ЦУ) нелинейного резистора, а через ^.У^Дц обозначены соответственно напряжения на конденсаторе С, и С2 и ток в индуктивности Ь,, С - прово-
димость резистора R.
G = —• R,
Шо ■^nl! I \ I \ 1R Bp
-Bp I Шо
В результате моделирования в программе Micro-Cap была исследована динамика НЭЦ Чжуа,
На рис. 2 показан график напряжения на емкости С2 в НЭЦ Чжуа. Хорошо видно, что напряжение на емкости подвержено случайным (хаотическим) колебаниям: изменяются период, амплитуда, форма сигнала. Фазовый портрет колебаний в НЭЦ Чжуа (рис. 3) представляет собой странный аттрактор, имеющий виддвухторов (такназываемый «double scroll»), связанных перемычкой. Решение не выходит за пределы этих торов, а переходит с одного на другой и обратно.
Хаотическому поведению этой схемы можно дать качественное объяснение. Параллельное соединение С, и L, образует один основной осциллирующий механизм в плоскости (Vc,,iL|), тогда как проводимость G обеспечивает взаимодействие между осциллирующим резонансным контуром (С,, L,) и активным (нелинейным) элементом g(VC2), объединенным
Рис. 1. Автономная НЭЦ Чжуа: а) реализация НЭЦ Чжуа; б) вольт-амперная характеристика нелинейного элемента.
с конденсатором С2. Действие этого активного элемента и объясняет хаотическое поведение схемы. Если бы нелинейный элемент был локально пассивным, то схема вела бы себя совершенно спокойно — все решения стремились бы асимптотически к устойчивому равновесию.
Поскольку вольт-амперная характеристика д(УС2) является ниспадающей и У„(1)'Ц(1)<0, то во внешнюю цепь непрерывно подается энергия. Аттрактивный характер хаотических траекторий обусловлен рассеянием энергии в пассивном элементе С, что сдерживает ее нарастание. Однако баланс энергии оказывается весьма своеобразным, и он непрерывно изменяется во времени, никогда не повторяясь как периодическое явление.
3.97 7 97 11 97
Рис. 2. График напряжения на емкости.
Т.МС
от
и^.в
Рис. 4. Странный аттрактор, образуемый напряжением на конденсаторе С2.
шсза ,в*
Рис. 3. Изображение странного аттрактора в НЭЦ Чжуа.
Нелинейная электрическая цепь Чжуа с источником переменного напряжения промышленной частоты
НЭЦ Чжуа проявляет хаотические свойства не только при питании от источника постоянного напряжения, но и получая питание от источника переменного тока промышленной частоты. Для этого при моделировании в схему Чжуа (рис. 1) вместо источника постоянного напряжения включали источник синусоидального напряжения частотой 50Гц.
Эти результаты весьма значительны для наших дальнейших исследований, т.к. схему Чжуа при подробном изучении можно представить таким образом: часть схемы, заключенная в штриховой квадрат является простейшей моделью нелинейного генератора (вольтамперная характеристика представлена на рис. 1), который подает питание в колебательный RLC контур. Нелинейная генерация обусловлена наличием положительной обратной связи, которая широко применяется в реальных генераторах.
На рис. 5 отчетливо видно, что положительные и отрицательные полуволны, искаженной синусоиды чередуются в случайном порядке. Кроме того, помимо колебаний на основной (несущей) частоте присутствуют высокочастотные непериодические колебания, носящие случайный характер.
Поскольку фазовый портрет представляет собой видоизмененный странный аттрактор типа «double scroll», присущий системам с хаотическим поведением, то можно говорить о наличии хаоса в схеме Чжуа, получающей питание от источника переменного напряжения промышленной частоты.
Управление и синхронизация хаотических колебаний в системе емкостно-связанных генераторов
Известно, что взаимодействие идентичных динамических систем, способных демонстрировать типичные переходы к хаосу, приводит к появлению новых колебательных режимов и существенно более сложной картине бифуркационных переходов, по сравнению с поведением используемой индивидуальной системы. Набор наблюдаемых колебательных режимов и виды бифуркационных переходов во многом определяются типом связи между подсистемами. В качестве системы связанных хаотических генераторов рассмотрим идентичные генераторы Чжуа, соединенные через емкость С5 (рис. 6).
Динамика системы двух связанных через емкость НЭЦ Чжуа описывается следующей системой уравнений:
(2а) ^- = a(y,-x1-h(xl), ат
dy,
(2b) -fL = x,-y1+z1+y((x2-x,)-(y2-y,) + (z2-z1)) , ат
dzi г,
(2с) -Г = -РУ, . ат
(Vc,),., лг (Vq)u 7 JUu
dx,
(2d) —- = а(у, -x,-h(x2)), ат
(2)
dy,
(2е) —^ = -у,+z,+y((x, -х,)-(у, -y,) + (z,-z,) ат
dz,
(2f) —^ = -(Зу ■ , dx
С, r LG2 С2 G
Сз, а = Е>, b = Eo, T = IG
С,
h(xM
Ьх-а + Ь,если х < — 1, ах, если |х|<1, Ьх + а-Ь,если х > 1,
Отметим, что система (2) является симметричной по отношению к замене переменных х,=(х1,у1,г,)ох2=(х2,у21г2) х, = (х^у,^,) <=> х2 = (-х2,-у2,-г2).
При у = 0 получаем уравнение одиночной цепи Чжуа, которая была упомянута выше.
В этой системе при конечной связи через емкость С5 хаос возникает при значительно меньших значениях параметра а двух связанных парциальных генераторов, чем в отсутствие ее. При конечной связи хаос возникает при а = 9... 10 [1 ],а в одиночной цепи Чжуа хаос возникает при а = 11.5... 12.5. Когда во взаимодействующих генераторах уже наблюдаются режимы развитых хаотических колебаний (рис.7), в индивидуальной системе все еще существуют устойчивые циклы.
Это означает, что они существуют и в системе взаимно связанных генераторов, но уже в неустойчивом виде. Причем располагаются эти циклы в симметричном подпространстве х, = х2 (х - векторы динамических переменных первой и второй подсистем [5]) фазового пространства системы, являясь устойчивыми к симметричным возмущениям и неустойчивыми к несимметричным. Если при конечной связи в системе сформировался хаотический аттрактор (рис. 6), в котором встроены данные седловые симметричные циклы, то фазовую траекторию можно будет легко стабилизировать в их окрестности. Для этого достаточно посредством малых воздействий на один из генераторов стабилизировать фазовую траекторию в симметричном подпространстве х,=х2. Поскольку интересующий нас седловой цикл устойчив к симметричным возмущениям, через некоторое время фазовая траектория обязательно подойдет к нему и будет эволюционировать на этом цикле, пока присутствуют управляющие возмущения. Определить вид возмущений, стабилизирующих фазовую траекторию в симметричном подпространстве, существенно проще, чем вид возмущений, стабилизирующих ее в окрестности седлового цикла. Если в отсутствие связи парциальные системы демонстрируют хаотические колебания, то стабилизация фазовой траектории в данном симметричном подпространстве связанных систем приведет к режиму синхронизации хаоса [2).
Следует отметить, что в системах, подобных связанным идентичным цепям Чжуа, имеющих несколько видов симметрии, хаотическую траекторию можно стабилизировать в различных симметричных подпространствах. Например, не только в подпространстве х, =х2, но и в х, = - х2. Будут ли стабилизированные движения с указанными свойствами симметрии регулярными или хаотическими, зависит оттого, имеются ли в этом подпространстве седловые циклы устойчивые к симметричным возмущениям или нет.
В системе (2) в режиме развитого хаоса можно осуществить стабилизацию фазовой траектории е симметричном подпространстве х,=х.„ х.=-х„ по-
ТГ
гя
VI
-I-
* к 03 2 Г
О ""О Н "" ]_I___I
V«
-I-
Рис. 6. Система емкостно связанных генераторов Чжуа.
Рис. 7. Напряжение на конденсаторе С1 при отсутствии управляющего воздействия.
средством малого дополнительного воздействия на одну из подсистем, зависящего от координат х,и х2. Для этого перепишем систему (2) в новых переменных в виде:
и = (х, - х2)/2, V = (у, -у2)/2, к = (г, - г2)/2,
и'= (х, +х2)/2, у'= (у, +у2)/2, (г, + г2)/2;
(За) ^ = а[у-и-с(и)1
(ЗЬ) — = и-у + \у-2у[и-у + лу} (Зт
(30 ^ = ёт
(3<±) — = а[у'-и,-с(и')] с1т
(Зе) —=и-у+л*г, dt
(*) ^ dт
где с(и) = (Ь(х,)-Ь(х2))/2, с(и,) = (Ь(х1] + Ь(х?1|/2
(3)
-ом-от-ага-аш о ош ош о.аз оси оо: ооб 'и- А
Рис, 6. Фазовый портрет в отсутствии управляющего воздействия.
Здесь эволюция симметричных движений х, = х2 (х, = -х2) определяется уравнениями 3d-3f (За-Зс), а их устойчивость - уравнениями За-Зс (Зс1-ЗГ).
Рассмотрим случай стабилизации симметричных режимов при х,=хг Таким симметричным движениям отвечает неподвижная точка с координатами 11 = 0, у = 0, = Для того чтобы исследовать ее па устойчивость, достаточно рассмотреть первыр три
6.1 10
62 10
6.3 10'
6.4 10
б 5 10
Рис. 9. Напряжение на конденсаторе С1 после воздействия управляющего сигнала в симметричном подпространстве х, = хг.
Ис1 в
35 221 193 1 ¿л ' 1М 107 0.79
0->
\
у )
/ /
/ ] /
ч г
--
"0.4 -0.» -0.11-0.05710.0371 Л.!7 0 29 0.4 'и i а
ис1
8'1<} 8.14Ю4 829104 &43104 8^7-Ю4 871-Ю4 8861^ 9Ю4 I , с
Рис.10, а) фазовый портрет при воздействии управляющего воздействия в симметричном подпространстве х,=хг; б) напряжение на конденсаторе С1 после воздействия управляющего сигнала в симетричном подространстве х=-х2.
Цс1
и
б
Рис.11. а) зависимость напряжения на емкости С1 от напряжения на емкости СЗ, наглядно демонстрирующая режим синхронизации; б) фазовый портрет при воздействии управляющего воздействия в симметричном подпространстве.
уравнения системы (За-Зс). Добавим к уравнению (За) малое аддитивное воздействие И(и) = г (х,-х2), зависящее от координаты и, и определим с помощью стандартного критерия Рауса-Гурвица, при каких значениях г указанное воздействие будет стабилизировать неподвижную точку и = 0,у = 0,лу=0. Тем самым мы определим условия стабилизации симметричных режимов системы (2), которая в отсутствие управляющих воздействий Р(х,,х2) = г(х,-х2) на первое уравнение демонстрирует режим развитого хаоса.
Анализ на устойчивость показал, что хаотическую траекторию можно стабилизировать в симметричном подпространстве х, = х^ (рис. 9) при выполнении условия (4).
г < сс(с - 0,5) + 0.5^ - (0.25(4 - а)2 - ЭДЗ - а))1'
(4)
где ^ = 1 - 2у, с = <
1 + Ь, если х < —1,
1 + а, если |х|<1, 1 + Ь, если х > 1.
Дополнительное стабилизирующее воздействие Р = г(х|-х2) подавалось в тот момент, когда изображающая точка попадала в малую окрестность симметричного подпространства. При указанном воздействии можно осуществить управляемый переход из режима развитого хаоса в режим симметричных движений (рис. 9). Характер симметричных колебаний: (регулярные или хаотические) зависит от значений параметров системы и определяется характером движения парциального генератора в отсутствие связи.
Добавив к уравнению (3(1) малое управляющее воздействие Б, = г,и', аналогичным образом можно определить при каких значениях г, неподвижная точка и' =у' =\г' = 0 будет устойчивой или произойдет стабилизация симметричных движений х, = -х2 в исходной системе (2) при управляющем воздействии Ц на один из парциальных генераторов.
Используемая процедура управления хаосом позволяет стабилизировать хаотическую траекторию в симметричном подпространстве системы, не оказывая влияния на динамику системы, когда она эво-
люционирует в этом подпространстве. Поэтому результирующим будет то симметричное движение, которое является притягивающим в симметричном подпространстве.
В системе взаимно связанных генераторов в режиме развитого хаоса фазовая траектория время от времени входит в малую окрестность не только симметричного подпространства х, = х^ но и в х, = -х^ Для того чтобы стабилизировать ее в этом подпространстве, к первому уравнению системы (3) добавлялось малое управляющее воздействие Р(и)= г (х,-х2). На рис. 10(а,б,в) проиллюстрирован управляемый переход из режима развитого хаоса в режим симметричных хаотических колебаний. В отличие от предыдущего случая управляемых переходов от хаотических колебаний к регулярным не наблюдалось. В результате управления всегда возникали симметричные хаотические движения
При значениях и, соответствующих хаотическим режимам в системе связанных генераторов, в подпространстве х, = -х2 отсутствуют седловые циклы, устойчивые к симметричным (в данном случае противофазным) возмущениям. Здесь уже образовалось хаотическое множество, притягивающее фазовые траектории данного подпространства, на которое и выходит система при "включении" управления. Формирование данного хаотического множества происходит через последовательность бифуркаций удвоения периода седловых циклов, устойчивых к указанным симметричным возмущениям. Исследование бифуркационных переходов для неустойчивых движений осуществлялось следующим образом: задавались начальные условия в окрестности исследуемого подпространства и подавалось управляющее воздействие . В результате в системе можно было наблюдать только те колебательные режимы, которые являются устойчивыми к противофазным возмущениям.
Проведенные теоретические исследования управляемых переходов в системе двух связанных через емкость идентичных генераторов Чжуа из режима развитого хаоса к различным регулярным и хаотическим симметричным движениям посредством малых воздействий на один из генераторов показали, что:
— хаотическую траекторию можно стабилизировать в различных симметричных подпространствах (х, = х2 и х, = -х2) полного фазового пространства системы, осуществляя тем самым режим синхронизации хаоса как в виде синфазных, так и противофазных хаотических колебаний подсистем;
— стабилизация хаотической траектории в симметричном подпространстве может переводить систему в режим регулярных движений, то есть может служить упрощенным методом управления хаосом.
— методы стабилизации движений в симметричных подпространствах полного фазового пространства системы можно использовать для проведения бифуркационного анализа определенного класса седловых движений.
Заключение
Хаос представляет собой реально существующее причудливое и устойчивое нелинейное явление, которое трудно проанализировать.
Неопределенность в задании начального состояния — ситуация вполне реальная с точки зрения физики. Действительно, в силу конечной точности регистрации состояния любыми приборами, оно определяется с конечной (пусть сколь угодно малой) ошибкой. Это означает, что мы должны анализировать эволюцию во времени не начальной точки, а начальной области вокруг этой точки, в силу неустойчивости режима, следствием чего и является перемешивание.
Особенности этого режима находят применение в радиотехнике, например, при передаче и кодировке информации хаосом.
Наличие хаотических колебаний может носить и негативный характер. Повышается вероятность возникновения резонансных режимов, что отрицательно сказывается на энергетических характеристиках электроснабжения. Неустойчивость режима ведет к потере детерминированной предсказуемости, становится сложно прогнозировать надежностные характеристики элементов энергосистемы. Хаотические колебания токов и напряжений в элементах энергосистемы ведет к более быстрому износу электрооборудования, следовательно, к росту амортизационных издержек в процессе эксплуатации.
В этом случае необходимо избегать режима хаотических колебаний путем управления и синхронизации, как это было проделано на модели связанных генераторов. Целью дальнейших исследований будет обобщение полученных результатов и перенос их на реальные объекты системы электроснабжения.
Библиографический список
1. МунФ. Введение в хаотическую динамику. — М.: Наука, 1990. - 140 с.
2. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. — М.: Наука. Гл. ред. физ. — мат.лит., 1990. - 312с.
3. Разевиг В.Д. Система схемотехнического моделирования Micro-Сарб. — М.: Горячая линия —Телеком, 2001. - 344 с.
5. Федоров В.К. Введение в теорию хаотических режимов нелинейных электрических цепей и систем: Учеб. пособие / ОмПИ. Омск, 1992. - 44 с.
7. Анищенко B.C. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соровского профессора: Учеб.пособие.Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 144 с.
8. Федоров В.К., Рысев П.В. Хаос в нелинейных электрических цепях//Омский научный вестник. — 2003. — №1. — С. 59-63.
ФЕДОРОВ Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор кафедры электроснабжения промышленных предприятий.
РЫСЕВ Павел Валерьевич, аспирант кафедры электроснабжения промышленных предприятий. СВЕШНИКОВА Елена Юрьевна, аспирантка кафедры электроснабжения промышленных предприятий. ЮРКИНА Наталья Михайловна, аспирантка кафедры электроснабжения промышленных предприятий.
