Управление режимами детерминированного хаоса в нелинейных электроэнергетических системах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N»3 (83) 2009

УДК 621.318

Л. С. никишкин

Омский государственный технический университет

УПРАВЛЕНИЕ РЕЖИМАМИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Идентифицировано существование хаотических режимов НЭЭС как дополнительного рабочего состояния даже тогда, когда существуют точки устойчивого равновесия. Хаотический режим может завершиться внезапной потерей устойчивости синхронных генераторов и, следовательно, НЭЭС в целом. Хаотические режимы особенно затрудняют работу синхронных генераторов, поскольку хаотические режимы имеют широкополосный спектр частот и могут индуцировать гармоники тока и напряжения, опасные для функционирования синхронных генераторов. С помощью управляющих воздействий оказалось возможным осуществить принудительную синхронизацию и вывод из хаотического режима синхронных генераторов.

Ключевые слова: детерминированный хаос, управление хаотическими колебаниями, нелинейная электроэнергетическая система.

Актуальность темы. Обычно под хаосом всегда понималось неупорядоченное, случайное, непрогнозируемое поведение элементов системы. Многие годы господствовала теория, утверждавшая, что статистические закономерности определяются только числом степеней свободы: полагали, что хаос — это отражение сложного поведения большого количества частиц, которые, сталкиваясь, создаюткартину неупорядоченного поведения.

Но существуют также режимы детерминированного хаоса — это новый тип и особая форма поведения систем [I].

При наличии нелинейностей существует широкий диапазон параметров элементов, при которых поведение нелинейной элек троэнергетической системы (НЭЭС) может оказаться хотя и ограниченным, но непериодическим и случайным, при этом колебания переменных состояния приобретают непредсказуемый, другими словами, хаотический характер и имеют не дискретный спектр, как в периодическом случае, а широкий непрерывный спектр. Помимо этого поведение НЭЭС оказывается столь чувствительным к начальным условиям, что долговременное прогнозирование точною решения становится невозможным, фазовый портрет «размывается» [2].

Таким образом, встает актуальная задача обнаружения, идентификации, численного моделирования режимов детерминированного хаоса и переход к периодическим режимам в НЭЭС.

Метол решения. Поставленная задача решается в предположении, что исходная трехмашинная НЭЭС — нерегулируемая и роторы синхронных генераторов, имеют разную инерционность. Такое допущение позволяет, с одной стороны, упростить систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих состояние НЭЭС, а с другой — дать качественный и количественный анализ получаемого хаотического решения для отклонений частоты и изменения активной мощности генераторов в НЭЭС.

Математическая модель трехмашинной нере!-ули-I руемой НЭЭС, когда роторы синхронных генерато-

ров имеют неодинаковую инерционность, причем генератор 1 и генератор 2 имеют в \ 2 большую инерционность по сравнению с генератором 3, представлена в [3] и имеет вид:

Л5,

с/1

= ед.

Ж ~ в. 5,п«,+ ^М + ^ <5,)

",1"

-С’,3 • С05(<У, - <У,) (а, - «уД

с/Л

Л

= <У,,

- С21 ■ 5Іп(<?2 - 5,) + Р>,

-С21 ■ со$(32 - <5,) • (й>, - го,),

СІ6,

сії

1=С03,

Рис. 1. Хаотический характер изменения активной мощности £, на налу генератора 1 с начальными условиями (0.6, 0.3, 0.0, 0.6, 0.3, 0.0, 0.6, 0.3, 0.0)

Рис. 2 . Хаотический характер изменения активной мощности £, на валу генератора 2 с начальными условиями ‘(0.6, 0.3, 0.0, 0.6, 0.3, 0.0, 0.6, 0.3, 0.0)

г 3, рад/с-

Рис. 3. Хаотический характер изменения активной мощности £. на валу генератора 3 с начальными условиями (0.6, 0.3, 0.0, 0.6, 0.3, 0.0, 0.6, 0.3, 0.0)

е2, рад/с*

Рис. 5. Фазовый портрет хаотической траектории в системе координат (а)2\£г)

ш3>рад^с 1

-С„ siniij-J, ) + Р3,

Рис. 6. Фазовый портрет хаотической траектории в системе координат (ю5 ;£?)

-С„ • cos(<y3 - St) • («з - o)i).

Здесь Л" = С<5,. ei,, е,, Ö2, о>г,с2, S,, <а3, с,,) — вектор пере-

Р Р є

менных состояния и R = (Bt = —С|3 = Ру -—

тп тл

і -j. >

Математическая модель (1) трехмашинной НЭЭС исследовалась с помощью программного комплекса МаШСАЭ. В программном комплексе МаИтСАО НЭЭС задавалась в виде системы дифференциальных уравнений (1) и решение проводилось методом Рунге-Кутта 4-го порядка с переменным шагом. Интегрирование (1) производилось при следующих значениях параметров НЭЭС в относительных единицах В, =0,1 С,з =1; Р, =0,4; В, = 0,1; С21=1; Р2=0,4

В3 =0,1 ; С31=1

р, = 0,з

5,(0) = 0,6; й>,(0) = 0,3 ; £г,(0) = 0;

«у,(0) = 0,3 ; £-,(0) = 0 ; ¿3(0) = 0,6;

«,(0)=0.

В результате моделирования обнаружены хаотические колебания отклонений активной мощности £■,(1), £2(0, £3(1) на валу генераторов НЭЭС, как это показано на рис. 1, 2, 3. Фазовые портреты решений системы дифференциальных уравпений (1) представлены на рис. 4,5,6. Таким образом, получены режимы детерминированного хаоса для изменения активной мощности на валу синхронных генераторов и, следовательно, турбин жестко связанных с синхронными генераторами. Необходимо отметить, что хаотические решения системы дифференциальных уравнений (1) получаются лишь тогда, когда численные значения параметров НЭЭС лежат в строго определенных интервалах. Если это не выполняется, то решения системы дифференциальных уравнений (1) получаются

начальных условиях

<52(0) = 0,6 ß>3(0) = 0,3

Д - -ІІ- Г - ^г| Р - и _ Г - ^31 р _ %> \

2 ~ т » 21 “ т 'Г2~т ■ С31 “’Г“. О ) ~

'р- 'г- ‘>г '¡з уЗ '/3

совокупность параметров НЭЭС, где ¿>|, А, д), Т/п Та. Г/3 — соответственно отклонения углов поворота роторов, постоянные инерции 1-го, 2-го и 3-го генераторов,

Рс13. Рс2,, Рс1| — синхронизирующие мощности между генераторами,

/' БІп <5,, Р2 бій 5г, Л, біп — соответственно изменение

мощности, выдаваемой в сеть 1-м, 2-м и 3-м генераторами,

£■(,,,£02,£05 — соответственно начальные значения мощности, выдаваемой в сеть 1-м, 2-м и 3-м генераторами при возникновении возмущения в сети.

і------1------1------1------1------

-0І О 05 I IJ 2

е,. рад'с’

Рис. 4. Фазовый портрет хаотической траектории в системе координат (й),. Є{)

о>,.рад^1

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (83) 2009

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N>3 <М> 2009

є I, рад/c3 Û-8 0.6

Рис. 7. Стабилизированный периодический характер изменения Є! генератора 1 с начальными условиями |0.6, 0.3, 0.0, 0.6, 0.3, 0.0, 0.6, 0.3, 0.0)

t,c

Рис. 8. Стабилизированный периодический характер изменения Є-, генератора 2 с начальными условиями (О.бГо.З. 0.0, 0.6, 0.3, 0.0, 0.6, 0.3, 0.0)

е^.рад/с’О 8 06 04 02 0

-0.2

20

40

60

80

100

«.с

Рис. 9. Стабилизированный непериодический характер изменения £, генератора 3 с начальными условиями (0.6, 0.3, 0.0, 0.6, 0.3, 0.0, 0.6, 0.3, 0.0)

нехаотическими. Отсюда следует, что хаотические режимы НЭЭС возникают только при совпадении нескольких факторов, связанных с изменением численных значений параметров НЭЭС.

При анализе режима развитого хаоса в НЭЭС, когда получено хаотическое решение системы дифференциальных уравнений (I), было обнаружено, что можно стабилизировать фазовую траекторию и перейти к симметричным периодическим колебаниям посредством управляющего воздействия на переменные состояния генераторов.

Для конкретизации дальнейших рассуждений предполагается, что управляющие воздействия £, у, и X представляют своего рода амплитудно-фазовую модуляцию переменной состояния Л,, 3, и <?,. В этом случае математическая модель (1) НЭЭС преобразуется и получается в виде:

dS.

—- = (о„

Л 1

^. = -й|.5т((1 + #-^)<У1 + Я^<Уз)-

Рис. 10. Фазовый портрет стабилизированной периодической траектории в системе координат (О) | )

©2-Рад

Рис. 11. Фазовый портрет стабилизированной периодической траектории в системе координат (в) , \6,)

(ùy рад/с

Рис. 12. Фазовый портрет стабилизированной непериодической траектории в системе координат (й) 3 \ Єу)

-С., J • cos(5, - <5.)■(*>, -Й>,),

dS dt -

^ = -Д2 • sin((l + у-J=) ■ S2 + А~ ■ S}) --C2I sin(5j - J,)+ P2,

(2)

(2)

~ = ~B2- cos[(l + y -j=) ■ +• ■ S, 1

-C2, • cos(<y, - <5, ) ■ (oj2 - ù), ).

*cos|(i + +

1 . .1

I

'Ж

1(1 +Ç-J=) û), + À -j= • ] -

dô-

dl

dt

ïj • sin((l + £ —j~) ■ S,

-С3, • $т(£, - 5,) + Р^,

—^- = -Я, • соз|(1 + ^^2

•К,+^-^)-в^ + л-^-й>}]-

-С'з, • С05(53 - г,) • (<и3 - со,).

При этом параметры НЭЭС и начальные условия переменных состояния остаются неизменными.

Используемая процедура управления хаосом позволяет стабилизировать хаотические траектории и осуществить принудительную синхронизацию генераторов и вывести их из хаотического режима.

Результаты численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (2) с заданными параметрами и начальными условиями при управляющих воздействиях £ = 0,015,у = 1,иЛ = 0,12 приведенные на рисунках 7, 8, 9, указывают на то, что генератор 1 и генератор 2 вышли из хаотического режима и колебания е, и е2 стали симметричными и периодическими. Однако колебания е3 генератора 3 остаются непериодическими, но устойчивыми. Фазовые портреты решений системы дифференциальных уравнений (2) представлены на рисунках 10, 11, 12.

Заключение. Обнаружение режимов детерминированного хаоса для изменений активной мощности на валу синхронных генераторов обладает научной

новизной. Ранее такая проблема втеории не рассматривалась. Весьма важным является то обстоятельство, что режим детерминироваиного хаоса может быть сведен к периодическим колебаниям.

Рассмотрена возможность принудительной синхронизации хаотических колебаний. Показано, что с помощью малого управляющего воздействия на синхронные генераторы можно стабилизировать фазовую траекторию и свести хаотический режим к периодическим колебаниям.

Библиографический список

1. Федоров В.К. Введение в теорию хаотических режимов нелинейных электрических цепей и систем. — Омск: ОмПИ, 1992. -144 с.

2. Федоров В.К., Рысев П.В., Свешникова Е Ю. Детерминированный хаос в нелинейных электрических цепях и системах. — Омск: ОмГТУ, 2006, — 130 с.

3. Liu С. Detection of transiently chaotic swings in power systems using real time phasor measurements//IEEETrans. PowerSyst. 1994. Vol. 9. №3. C. 1285-1292.

НИКИШКИН Алексей Сергеевич, аспирант, ассистент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

Адрес для переписки: territoriax@nas.ru

Статья поступила в редакцию 30.06.2009 г.

© А. С. Никишкин

УДК 621.31 д п. попов

А. О. ЧУГУЛЁВ

Омский государственный технический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА В ПРОВОДНИКАХ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММЫ ЕЬСиТ

Представлены результаты моделирования электромагнитных процессов в проводниках различной формы с помощью программы Е1сиТ. Сделаны выводы о степени влияния частоты протекающего тока на параметры проводника в зависимости от формы его поперечного сечения и окружающей проводник среды (рассмотрены случаи проводников, окруженных диэлектриком, и проводников, находящихся в ферромагнитных пазах).

Ключевые слова: поверхностный эффект, комплексное сопротивление, компьютерное моделирование.

Работа посвящена определению комплексного сопротивлений от частоты или соответствующими

сопротивления проводника произвольного сечения коэффициентами, приводимыми в специальной лите-

в зависимости от частоты протекающего тока. Такие ратуре для определенных форм паза, например, в [1 ].

проводники могут входить в состав подвижных час- Целью данной работы является расширение диапа-

тей электрических машин, например, в короткозамк- зона исследований в данном направлении,

нутый ротор асинхронного двигателя. Численный расчет полного сопротивления провод-

При проектировании электрических машин часто ника с учетом поверхностного эффекта может быть

пользуются эмпирическими кривыми зависимости выполнен на основе решения уравнений Максвелла.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 <83) 2009 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА