CC BY
26
УДК 621.317
П. В. РЫСЕВ А.А.ЯКУБОВИЧ Е. В. КОТЕЛЬНИКОВА
Омский государственный технический университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЭВМ ХАОТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ РАБОТЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
В статье рассматривается нелинейная электрическая цепь Чжуа. Приведено описание программы, позволяющей моделировать процессы в нелинейных электрических цепях (НЭЦ) на примере автономной цепи Чжуа.
В классическом представлении считается, что если бы в некоторый момент времени состояние НЭЦ было известно с достаточной точностью, то, в принципе, будущее поведение НЭЦ можно было бы предсказать, а прошлое - восстановить. Для устойчивых и нейтральных процессов это имеет место. В неустойчивых процессах ситуация иная: очень «малая» причина приводит к следствию, которое по масштабу несоизмеримо с причиной.
Описание НЭЦ требует привлечения понятий порядка и хаоса. Выясняется, что хаос может появляться из упорядоченного состояния (детерминированный хаос), а порядок - из хаотического состояния. Хаос - особая форма поведения НЭЦ в установившемся режиме. Термин «хаос» применяется к таким состояниям НЭЦ, траектории которых в фазовом пространстве обнаруживают сильную зависимость от
начальных условий. Другое свойство НЭЦ в хаотическом состоянии - потеря информации о начальных условиях. Особенностью НЭЦ в хаотическом состоянии является возбуждение непрерывного спектра частот реакции - отклика НЭЦ, расположенного ниже частоты внешнего воздействия.
Открытие хаотических режимов НЭЦ доказало неправомерность точки зрения, что детерминированные системы по своей сути являются предсказуемыми: при заданных уравнениях, описывающих некоторую НЭЦ, и начальных условиях для этих уравнений режим НЭЦ может быть предсказан на любой интервал времени. Хаотическая НЭЦ представляет собой детерминированную систему, которая ведет себя случайным образом
НЭЦ Чжуа (рис. 1) широко используется в качестве примера хаоса по следующим причинам:
и 8,2 мГн
С1
0,05
Р!1 1к66 ■С=Ь
С2
А1
4= 4= Р2
0,005
т
3!
46К2
02
ИЗ 46к2
<
Р!6 300
Н7 300
-15в
Я5
ЗкЗ Зк3
Р!8 1к25
+15в
Рис. 1. Автономная НЭЦЧжуа: а) реализация НЭЦ Чжуа; б) вольт-амперная характеристика нелинейного резистора.
а) она является простейшей автономной схемой, поведение которой может стать хаотическим. Она содержит только три энергозапасающих элемента, т.е. минимальное число таких элементов, необходимых длятого, чтобы НЭЦ стала хаотической, итолько один нелинейный элемент резистивного типа;
б) НЭЦ Чжуа допускает математический анализ ее хаотического поведения. Ее можно рассматривать как прототип (опытную модель) хаоса, обеспечивающий глубокое знакомство с областью хаоса.
Эта схема реализуется в виде устройства (рис. 1 а), где цепь, заключенная в штриховом квадрате, соответствует нелинейному резистору с вольт-амперной характеристикой, изображенной на рис. 16.
Динамика НЭЦ Чжуа описывается системой дифференциальных уравнений
с,-
сН
¿Ус. <и
-С(У(Г1-УСУ)-д(УС2),
(1)
1 (И 61
где д(УС\) выражает вольт-амперную характеристику ¿/у/нелинейного резистора, а через УсмЧлЛ, обозначены соответственно напряжения на конденсаторе С, и С, и ток в индуктивности I,.
Хаотическому поведению этой схемы можно дать качественное объяснение. Параллельное соединение С, и Ц образует один основной осциллирующий механизм в плоскости (^сгЛ, ). тогда как проводимость С обеспечивает взаимодействие между осциллирующим резонансным контуром (С,, 1Х) и активным нелинейным элемен том д(Уа), объединенным с конденсатором С,. Действие этого нелинейного элемента и объясняет хаотическое поведение схемы. Если бы этот нелинейный элемент быллокально пассивным, то схема вела бы себя совершенно спокойно -все решения стремились бы асимптотически к устойчивому равновесию.
Так как д(Уа) описывает локально активный резистор (У/^■1'„{1)<0), то во внешнюю цепь непрерывно подается энергия. Аттрактивный характер хаотических траекторий обусловлен рассеянием энергии в пассивном элементе в, что сдерживает ее нарастание. Однако баланс энергии оказывается весьма своеобразным, и он непрерывно изменяется во времени, никогда не повторяясь как периодическое явление.
Работа программы
Если в сложной электрической цепи имеется одна ветвь с нелинейным элементом, то определение тока
в ней можно проводить на основе теоремы об активном двухполюснике (методом эквивалентного генератора). Идея решения заключается в следующем. Ветвь, содержащая нелинейный элемент, выделяется из исходной цепи, а вся остальная, уже линейная, схема представляется в виде активного двухполюсника (АД). Согласно теореме об АД схему линейного АД по отношению к зажимам 1 -2 выделенной ветви (рис. 1 а) можно представить эквивалентным генератором (рис. 16) с ЭДС, равной напряжению на зажимах 1 -2 при разомкнутой ветви с нелинейным элементом, и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению линейного двухполюсника. Последняя схема рассчитывается, например, графическим методом как цепь с последовательным соединением элементов.
Если необходимо также найти токи в линейной части исходной цепи, то после расчета нелинейной схемы на рис. 1 б в соответствии с теоремой о компенсации нелинейный элемент заменяется источником ЭДС или тока, после чего проводится анализ полученной линейной цепи любым известным методом.
В программе используется метод кусочно-линейной аппроксимации. Дифференциальные уравнения решаются методом Рунге-Кутты 4-го порядка с фиксированным шагом.
Описание программы
Главная форма имеет вид, изображенный на рисунке 3.
Параметры схемы (сх,р ,а,Ь), изображенные на рис. 3 являются коэффициентами нормированной системы уравнений (2).
(2)
Х2 Х|
х./ = а{х1-х.,-[(х2)) х, = -рх,
где /'Сх/) = Ьх + 0.5Са-Ь^|х + 1|-]х-ф - аппроксимирующее выражение по методу секционных кусочно-линейных функций, которое характеризует нелинейный элемент.
О"'*--
"й
Рис. 2. Расчет методом эквивалентного генератора.
Файл Расчет! Корж Спектр Осхепе
|Ю а 116.802 /)
]-1.1429 а J-0.71429 Ь
Ii- Е
Начальные чслоеия [01 Ul.oe. |o/i U2. а е.
(ол i;o.a.
R1
L1 В 01 = = С2 = Rnt
8.2 0.05 0.005
rWH мкФ
Сопротивление нелмйного элемента на участкам: ОМ Ом
В АХ нелинейного элементе
Рис. 3. Главная форма. На форме расположены: схема, вольт-амперная характеристика нелинейного элемента, диалоговые окна параметров и начальных условий, кнопки управления.
а = -
.£l
с.
р=
LC
а = -
т,
х =-
dx
tG _ 1
г = — I G = — С, R,
Ь А
х,, = = -
7 Просмотр графиков
масштаб аттрактора
СЕ йх
Е - величина напряжения, при котором происходит излом вольтамперной характеристики нелинейного элемента;
а и Ь - нормированные характеристики наклона ВАХ участков нелинейного элемента. ш„, - проводимости линейных участков нелинейного элемента.
Параметры могут задаваться как величинами сопротивлений элементов схемы прямо на рисунке, так и значениями коэффициентов нормированной системы ДУ. Причем приведение к нормированным параметрам происходит автоматически.
Переключатели «графики» предназначены для выбора графиков, с которыми пользователь желает ознакомиться, и 1,112 — для вывода графиков напряжений на конденсаторах С, и С2 соответственно. I-тока через индуктивность. Оси ординат графиков напряжений на конденсаторах размечены в вольтах. Ось ординат графика тока через индуктивность размечена в миллиамперах. Отсчет времени в миллисекундах. Время для наглядности отображается только первые 10000 миллисекунд. Графики масштабируются автоматически и выводятся на всем протяжении расчета. При желании пользователь может просмотреть весь период расчета. Аттрактор строится по следующему принципу: по оси абсцисс — напряжение на конденсаторе С2. По оси ординат - напряжение на конденсаторе С,. На форме «график аттрактора» снизу слева отображается координаты курсора мыши в нормированных единицах. Масштаб аттрактора задается на форме «Просмотр графиков».
На графике хорошо видно, что напряжение на емкости подвержено случайным (хаотическим) колебаниям: изменяются период, амплитуда, форма сигнала.
О 001
г время.мс
¡131072 №шагов
Г Белый фон аттрактора Отображение
Графини:
Г ui Г U2 Г I
Cancel
] 65536
0k
Рис. 4. Форма «Просмотр графиков».
Вид аттрактора говорит о том, что в схеме присутствуют хаотические колебания. Т.к. при синусоидальных колебаниях с постоянной частотой фазовый портрет представляет собой правильную геометрическую фигуру (окружность, эллипс). При изменении управляющих параметров рождаются устойчивые предельные циклы, на базе которых наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода циклов, завершающийся возникновением хаоса. Эволюция хаоса приводит к образованию хаотического аттрактора, получившего в литературе название «double scroll» (двойной завиток), изображенный на рис. 6.
Расчет корней характеристического уравнения
Расчет корней характеристического уравнения производится классическим методом: определяется полное сопротивление цепи в разрыве, а затем приравнивая его к нулю определяем корни.
В форме, показанной на рис. 7, расположены поля с корнями характеристического уравнения на линейных участках а и Ь. Участок «а» соответствует линейной части вольтамперной характеристики нелинейного элемента на участках U<-E и U>E, а участок «Ь» на участке -E<U<E. Корни выводятся в комп-
( НГН1(ИП|1РИ''>- И I ИПНД1 I
* / г ' ^^ > — /---
г-----—-- —---~
щЯШаЯ
I А пЛ 1 ^ 1 I п
Рис. 5. Напряжение на конденсаторе С2.
Рис. 6. Изображение аттрактора.
рни харантерисгическо1о ураоиения
|-12480.3784Э81505 41837,13457530151
|-12480.3784381505 + 41837,13457590151
¡59097.3030610399 »01
¡1261.96142454002 35275.92553066371
[1261.96142454002 ♦ 35275.92553066371
.На участке Ь нелинейного э леменга
Не участие а нешнеЛяго э леменга
■29790.8854362709 »И
Ок
Рис.7. Форма «Корни характеристического уравнения».
лексном виде. По виду корней можно судить об устойчивости режима в схеме. Корень, у которого только действительная часть характеризует процесс: затухающий при отрицательном его значении, расходящийся при положительном значении. Как видно из расчета, при работе схема постоянно меняет корни.
Программа также позволяет вычислять энергетический спектр, по виду которого можно легко идентифицировать тип процесса.
Результаты моделирования в программе подтверждаются данными эксперимента (рис. 9,10).
Отчетливо видно, что результаты моделирования в программе и данные физического эксперимента очень близки, что позволяет говорить о достоверности результатов численного моделирования.
Эффект хаотизации движений в детерминированных нелинейных системах, еще совсем недавно ка-
завшийся просто невероятным в рамках традиционных стереотипов классической теории колебаний, сейчас уже представляется как научно обоснованное явление фундаментальной значимости. Для этого потребовалось 25 лет интенсивных исследований. Возможно, новые геометрические и топологические представления в теории хаотических режимов нелинейных электрических цепей и систем станут такой же непременной частью лабораторных методов анализа колебаний, какой стал Фурье-анализ.
Помимо того что исследования хаотических колебаний приносят с собой новые идеи, они важны для инженеров еще по нескольким причинам. Во-первых, хаос или шум затрудняет предсказание времени работоспособности нелинейной электрической системы, поскольку оказывается неизвестной точная зависимость токов и напряжений от времени. Во-вторых, осознав, что простые нелинейности способны привести к хаотическим режимам, мы сталкиваемся с вопросами о предсказуемости в классической физике и о ценности численного моделирования нелинейных систем. Моделирование проводилось на примере нелинейного автономного генератора Чжуа. Были получены временные зависимости токов и напряжений, а также фазовый портрет колебаний.
Кроме того, программа позволяет преобразовывать сигнал в спектр Фурье, что очень важно из-за наглядности картины. Также программа способна определять корни характеристического уравнения, с помощью которых можно судить об устойчивости системы, определять тип процесса в схеме.
Все полученные при моделировании данные проверены неоднократными экспериментами на физических моделях как авторами, так и другими исследователями, что подтверждает их достоверность.
Д' Энерге 1ичеснин спектр .
НР
10 100 Частота, о.е.
Рис. 8. График энергетического спектра.
5У
ЗОкНг
Рис. 9. Спектр сигнала, снятый при физическом эксперименте.
Рис. 10. Фотография странного аттрактора при физическом эксперименте.
Теория хаотических колебаний является одним из самых молодых и динамично развивающихся разделов сЬизики. Исследование хаотических режимов работы электрических и электроэнергетических сис-
тем, возможно, позволит в будущем прогнозировать и избегать возникновения случайных колебаний электрических величия, что поможет повысить надежность системы.
Библиографический список
1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П. А.Ион-кин.А.В.Нетушил, С.В.Страхов. -5-е изд., перераб. -М.:Энер-гоатомиздат, 1989. - С. 528.
2. Бессонов А А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. — 7-е изд., перераб. и доп. —М.: Высш.шк., 1978. -С.528.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трехт. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. ЖуховицкийБ.Я., Не-гневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Не-линейныецепи. -М.:Энергия- 1972. -С.200.
4. ЧуаЛ.О., Лин Пен-Мин.Машинный анализ электронных схем: алгоритмы и вычислительные методы; Пер. с англ. — М.: Энергия, 1980. - С. 640.
РЫСЕВ Павел Валерьевич, ассистент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий». ЯКУБОВИЧ Антон Андреевич, студент 5 курса ЭнИ, КОТЕЛЬНИКОВА Елена Владимировна, студентка 5 курса ЭнИ.
УДК 621317 Е. Ю. СВЕШНИКОВА
A.C. НИКИШКИН
Омский государственный технический университет
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТЕРЬ МОЩНОСТИ НА МОДЕЛЯХ
ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА В НЕЛИНЕЙНОМ ЭЛЕМЕНТЕ_
В данной работе проводились исследования потерь мощности в нелинейном элементе термисторе в зависимости от вида режима. Были решены уравнения, описывающие динамику генератора Анищенко-Астахова. Вследствие особенностей режима хаотических колебаний (отсутствие периода) был применен для расчета потерь мощности метод трапеций. Осуществлены теоретические переходы из режима хаоса к режимам квазипериодических колебаний и выяснен ряд особенностей схемы, приводящей к снижению потерь мощности в режиме квазипериодических колебаний. Для расчетов был использован компьютерный математический пакет Math Cad 2001, а для их проверки программа схемотехнического моделирования Micro-Cap 7.0.
Введение
Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы и его называют законом эволюции. Динамические системы — это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описание динамических систем в смысле знания закона эволюции также допускает.большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.
Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени.
В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели. Исследование реальных систем идет по пути изучения соответствующих математических моделей, совершенствование и развитие которых определяется анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. Исследуя одну и ту же динамическую систему, в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели.
Генератор Анищенко - Астахова
В качестве модели детерминированного хаоса исследовался генератор Анищенко-Астахова. Автоколебания в системе обеспечиваются введением в контур термистора Я(Т), свойства которого нелинейным
