Хаос и порядок в широтно-импульсных системах управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 1.1995

УДК 681.511.4

Хаос и порядок в широт н о - и м п у л ь с н ы х системах

управления Н.А.Антонова

Получены необходимые и достаточные условия для существования и нестабильности 7' - п с р и од и ч ее к и х колебаний в системах управления с широтно-импульсной модуляцией первого и второго рода.

?

Для систем управления с широтно-импульсной модуляцией [1] достаточно глубоко изучены вопросы устойчивости различных процессов при любых начальных возмущениях (Якубович В.А., Гелиг А.Х. и др.)- Также представляет интерес задача неустойчивости решений таких систем, т.е. исследование детерминированного хаоса ^2]. В нашей работе проводится описание областей в пространстве параметров одномерных широтно-импульсных систем, в которых существуют как устойчивые, так и неустойчивые периодические колебания с одним импульсом на периоде.

Описание системы.

Одномерная щиротно-импульсная система управления описывается в пространстве состояний уравнением вида

+ и = <р, <7 = ф - и. (1)

а аъ

Здесь а — параметр непрерывной линейной части системы, Т — положительная постоянная, период модуляции импульсного элемента, а — сигнал на входе импульсного элемента, ф — постоянное внешнее воздействие на систему.

Рассматриваются следующие виды широтно-импульсного управления:

© н.А.Антонова, 1995.

111

а) Широтно-импульсная модуляция первого рода (ШИМ-1), для торой

, , _ Г sign а(пТ), пТ < t < пТ + тп

~ \ О, nT + Tn<t<(n+ 1 )Т, п = 0,1,2,...

Здесь

гп=Г-пип{|<г(пГ)|/<7,;1},

а, — порог насыщения импульсного элемента.

б)Широтно-импульсная модуляция второго рода (ШИМ-2), для торой Ip{t) имеет вид (2), а тп—первый неотрицательный ко уравнения

к тп-Т ■ \а(пТ + тп)\,

если таковой имеется на [0,Т], и тп = Т в противном случае. 3, ас—положительное число.

Формулировка результата.

Будем называть Г—периодическое колебание системы (1) не виальным, если длительность г импульса на периоде принадле-интервалу (0,Т). Очевидно, что нетривиальные колебания не мо быть состояниями равновесия или режимами с насыщением.

Теорема 1(ШИМ-1).Для существования нетривиального Т периодического жолебания необходимо и достаточно, чтобы поднялось условие

0 < \ф\ < а* + 1. Это колебание будет устойчивым, если

IV-K^M^ + Di + ^^r + D-D,

и неустойчивым, если

\Ф\ > -1п£(е" + 1)) + + 1) - 1).

а а еа — 1 а

Теорема 2(ШИМ-2).Для существования нетривиального ' периодического колебания необходимо и достаточно, чтобы полнялосъ условие

0 < Щ < 1 + АС.

Это колебание будет устойчивым, если

Ж < г-Цг + + 1п(1 + (е" - - £)),

1-(-еа а а е™ +1 а

и неустойчивым, если

/с,

На рисунках 1 и 2 приведена геометрическая интерпретация утверждений теорем 1 и 2. Буквой X отмечены области существования неустойчивых Т-периодических колебаний исследуемых систем,дополнения этих областей в первых квадрантах-это области существования устойчивых Т-периодических колебаний ,среди которых возможны как нетривиальные колебания, так и режимы с насыщением.

Рис. 1

Рис. 2

В основе доказательств теорем лежит метод точечных преобразований [3]. Результаты исследований являются дополнением и обобщением работы [4].

Доказательство теоремы 1. Введем обозначения

ип - и(пТ), ап = а(пТ) = ф - ип.

Решение уравнения (1) с функцией (p(t), определяемой (2), примет вид

<т(пТ + t)

Ф - exp(-at/T)[ip - ап+

+(ехр{at/T) - l)signcrn], если t Е [0, т„], Ф - ехр(~Ы/Т)[ф - ап+

+(ехр(атп/Т) - l)sign<7„], если t £ [гп,Т].

ill'.

Отсюда выводим формулу для точечного отображения

<7/1+1 = Д^п),

где

Дет) = a exр(—а) + ф( 1 — ехр(—а)) — signer ехр(—а)(ехр(атп/Т) —1|

Величина тп в соответствие с (3) определяется формулой

тп = Т min{|an|/cr*, 1}.

Периодическим колебаниям исследуемой широтно-импульснсЛ системы будут соответствовать [3] неподвижные точки точечног® отображения (12). Устойчивость или неустойчивость этих неподвижных точек влечет устойчивость или неустойчивость соотвез ствующих им решений уравнения (1). Поэтому нам следует найтш условия существования и устойчивости неподвижных точек.

Для нетривиального Т-периодического колебания неподвижна* точка кратности 1 является решением уравнения а = /(а), или в развернутой записи:

а = о"ехр(~а) +'0(1 — ехр(—а)) — signer ехр (—а) (ехр (ат/Т) — 1)),

где

г = Гтт{Н/<7„1}. После некоторых преобразований уравнение сводится к виду

ехр (ат/Т) — 1

ф = а + signcr-

ехр(а)

(13!

Здесь в правой части стоит функция аргумента сг, которая, как нетрудно видеть, является нечетной и монотонно возрастающей (напомним, что г — кусочно-линейная функция от а). Следовательно, при любых а, Т и ф существует единственное решение уравнения

(13) (Тнт = cr(a;, Г, ф), причем signcrHX = sign'0. Поскольку нас интересует нетривиальное периодическое колебание, т.е. г € (О, Т), то в силу (3) необходимо, чтобы 0 < |<тнт| < с*. Это свойство решения сгцт уравнения (13) обеспечивается в том и только в том случае, когда 0 < |г/'| < а* + 1, т.е. в условиях (5). Попутно заметим, что умножение уравнения (13) на signa и последующие преобразования с учетом соотношений

asigna = ra»/Г, Asigna =

позволяет перейти к формуле

exp(ar/T) = 1 + (\ф\ - та,/Т)(ехр(а) - 1). (14)

Для доказательства устойчивости неподвижной точки нужно показать, что в условиях (6) выполняется неравенство \df /da\ < 1 для a = ант- Вычислим

df/da = ехр(—а)(1 — signa схр(ат/Т) (a/T)dr / da) (15)

Так как

dr/da — Tsigna/a»,

то

df /da = ехр(—a)(l — (a/a,) ехр(ат/Т)) Тогда неравенство \df /da\ < 1 преобразуется к виду

ехр(ат/Т) < a,(exp(a) + 1)/а (16)

Решение уравнения (14), удовлетворяющее неравенству (16), существует в том и только в том случае, когда выполняется соотношение

a*(exp(aj + ï)/a > 1 + - (aja) In (a, (ехр (aj + 1)/а) (ехр (a) - 1).

Решив последнее неравенство относительно получим формулу (6).

Доказательство неустойчивости однократной неподвижной точки проводится аналогичными рассуждениями, только знак неравенства нужно сменить на противоположный. Мы получим, что требование \df/da\ > 1 для a = ант будет равносильно условию (7).- Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Поскольку описания систем с ШИМ-1 и ШИМ-П похожи, то можно воспользоваться обозначениями предыдущего доказательства. В соответствии с законом (4) на исследуемом нетривиальном Т-периодическом колебании величина г находится как первый корень уравнения

где начальная точка а = ант удовлетворяет уравнению (13), а а{Ь) определяется из (11):

а(г) = гр - ехр(-аЛ/Т)(ф - а + (ехр(сЛ/Т) - 1^шт).

Введя обозначение

Поскольку уравнение (13) позволяет получить выражение

1 + |сг| - Щ = (ехр(а) - ехр(аг/Г))/(ехр(а) - 1), (19)

и правая часть (19) является неотрицательной монотонной функцией аргумента г, то для т £ (О, Г) имеем оценку: 1-+-|<т| —€ (0,1). Значит функция T(í) монотонно возрастает по аргументу t. Теперь составим обобщенное уравнение периодов, подставив (19) в (18):

Kt - Т(\ф - 1 + ехр(-а*/Г)(ехр(а) - ехр(ат/Г))/(ехр(а) - 1)) = 0

Существование искомого колебания определяется наличием у последнего уравнения корня t = г, единственного на интервале [0, г]. Единственность корня очевидна из монотонности левой части обобщенного уравнения периодов по переменной t ,а существование корня i — т сводится к разрешимости уравнения

кг - Т(\ф - 1 + (ехр(а- - at/T) - 1)/(ехр(а) - 1)) = 0, (20)

левая часть которого монотонная функция г. Поэтому необходимым и достаточным условием разрешимости этого уравнения на (0,Г) является требование ~Т\ф\(кТ - Т(\ф\ - 1)) < 0, т.е. условие (8).

Kt = Tsigncra(í), t € (0,Г),

(17)

(18)

Теперь найдем достаточные условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки ант, решающей уравнение (12). Величина if/da определяется формулой (15). Значение dr/da вычисляется как производная неявной функции, определяемой (18) при t = т:

<г/т и,Т

--Т(8щпа ехр(-ат/Т) + (1 + \а\ -\ф\)(-а/Т) ехр(-аг/Т)—) = О

da аа

Принимая во внимание (19) и (20), получаем

dr

signaехр(ат/Т)—~ ~ Т/(к + а(1 - \ф\ + кт/Т)). da

Подставив это выражение в (15), находим, что

df/da = ехр(—a)(l - а/(к + а(1 - \ф\ + кг/Т))).

Неравенство \df/da\ < 1 будет эквивалентно соотношению

к/a + 1 - \ф\ + кт/Т > 1/(ехр(а) + 1). (21)

Напомним, что г является решением уравнения (20). Поэтому (21) можно переписать в равносильном виде

(ехр(а - а т/Т) - 1)/(ехр(а) - 1) > -к/а + l/(exp(a) + 1),

откуда легко находится оценка для г:

г < т., где т. = Г - — 1п(1 + (е- - 1)(^— - -)). (22)

a ea -f 1 a

Решение уравнения (20) будет удовлетворять неравенству (22) тогда и только тогда, когда

К 1,1« к 1

Подставив сюда т* и решив неравенство относительно \ф\, мы придем к условию (9). Следовательно, устойчивость однократной неподвижной точки уравнения (12) доказана. Доказательство неустойчивости сводится к проверке неравенства \df [da\ > 1, которое обеспечивается условием (10) теоремы. Теорема 2 доказана.

Обсуждение результата.

Доказанные теоремы дают разбиение области параметров одномерной широтно-импульсной системы управления на области, в которых возможны устойчивые периодические колебания, и области, где наблюдается хаотическое поведение решений системы. Оказалось, что в системе с ШИМ-I область хаоса содержит в себе подмножество {(ст*, |V>|) : сг* < c*/(exp(ck) + 1), l^'l < с * + 1}. Этот факт был экспериментально показан в [2]. В системах управления с ШИМ-И область хаоса включает в себя подмножество {(к, \ф\) : к + к/а + 1/(ехр(—a) + 1) < \ф\ < к + 1}. Таким образом, регистрация хаоса в столь простых системах не является неожиданностью.

Литература

1. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. Санкт-Петербург: С.-ПбУ, 1993. 268с.

2. Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной широтно-импульсной системе управления// Техническая кибернетика. 1992. №1. С.108-112.

3. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

4. Антонова H.A. О простейших периодических решениях в системах импульсного регулирования с ШИМ-I и ШИМ-И// Автоматика и телемеханика. 1975. №2. С.46-52

Summary

Antonova N.A. Chaos and order in pulse-width control systems.

Nesessary and sufficient conditions are obtained for existence and instability of Г-periodic modes in control systems employing pulse-width modulation of the first and second kinds.

Сыктывкарский университет Поступила 8.02.95