Хаос и порядок в интегральных широтно-импульсных системах управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вы,п.2.1996

УДК 681.511.4

Хаос и порядок в интегральных широтно-импульсных

СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

Н. А-. Антонова

Получены необходимые н достаточные условия для существования и нестабильности периодических колебаний с заданным числом импульсов на периоде в системах управления с интегральным широтно-импульсным модулятором.

Для систем управления с интегральным широтно-импульсным дулятором (ИШИМ) и постоянным внешним возмущением доста-чно глубоко исследована проблема существования и устойчивости ■нужденных периодических колебаний в случаях непрерывной лй-йной части системы с распределенными и сосредоточенными параграми. Для таких колебаний были получены достаточные уело-', я существования и устойчивости, которые весьма слабо зависят свойств модулятора ИШИМ, практически неэффективны для си-м первого порядка и далеки от необходимых [1, 2]. Кроме того, дставляет интерес задача локальной неустойчивости периодйче-і'с решений, т.е. исследование детерминированного хаоса [3]. В ной работе для одномерных систем управления с ИШИМ при-тся описание областей в пространстве параметров системы, в _орых существуют как устойчивые, так и неустойчивые периоди-ие колебания с одним или несколькими импульсами на периоде. Описание системы.

Одномерная интегральная широтно-импульсная система упра-ния определяется уравнением вида

ТЛІ ТГ , _г . .

(і)

U(t) описывает состояние системы в момент ^ а > 0 — пара-; непрерывной линейной части системы, Т > 0 — период мо-ции импульсного элемента, а —- сигнал на входе импульсного

Антонова Н. А., 1996.

элемента, ф — постоянное внешнее воздействие на систему. Выход <р интегрального широтно-импульсного модулятора определяется как кусочно-постоянная функция вида

и\ _ / пТ <*<пТ + ип, - v

~ \ А„, пТ + іf < (n + 1)Т, п = 0,1,2,... w

Здесь i/„—первый положительный корень уравнения

\yn{vn)I = а, (А = cons* > 0), (3)

если таковой имеется на (0,2-1], и ип — Т в противном случае.

А„ = sign yn{vn) ' (4)

Функция уп(и) определяется формулой

Уп{т) = [ a{nT + t)dt.. (5)

J о

Формулировка результата.

Пусть тп— заданное натуральное число. Будем исследовать тТ— периодические решения уравнения (1), для которых

a(t + mT) — a(t) для всех t > 0, (6)

cp(t + mT) — <p(t) для всех t > 0, (7)

<p(t) ф 0, t Є [и, Т]; <p(t) = 0, t Є [0, г/] U [Г, mT]; (8)

Здесь v Є (0,Т), а (Г — и)^ длительность ненулевого импульса на периоде колебания. Искомое mT—периодическое колебание будем называть нетривиальным. Очевидно, что нетривиальные колебания не могут быть состояниями равновесия или режимами с насыщением.

Введем некоторые обозначения.

!9)

Пд— решение уравнения

П - 1пП - 1 = Л, причем П > 1; (10)

Теперь выявим условия нестабильности периодических колебаний, -Введем обозначения: ,

> = 1 + ?^гт+|м(с”а + 1)' <19>

е”ш 4-1

. (20)

е?па — 1

ф0 = __Е_7^Ь”1-.--:-!--^\. (21)

ета + 1 V . ета - 1/ * ■ ,

Величина Фо - это значение |^|, при котором'а2 — Ь = 0. В случае \ф\ > Фо значение а1 ~Ь> 0 и имеют смысл

ух = а — у/а? — Ь, |/2 '= а + у/а2 — Ь. (22)

Также введем функцию

СЫ = 1пу- У_ 1} (1 - ^ ДЛЯ у > 0. (23)

Сформулируем теорему о необходимых и достаточных условиях устойчивости исследуемых колебаний.

Теорема 4. Периодическое колебание вида (6)-(8) будет неустойчивым, если выполняется одно из соотношений:

Щ < Ф0, или Ст(ух) > Л . или С(у2) < А, (24)

и будет устойчивым, если справед > I неравенства

. ■ И>Фо,- ■■ СЫ < д < С(й). (25)

На рисунке 1 в случае а) для « = 0,5ив случае б) для а = 2,5

приведена геометрическая интерпретация утверждений теорем 1 -

4. В плоскости параметров (Д, гр) цифрами 1, 2, 3 отмечены области существования устойчивых периодических колебаний с одним, двумя либо тремя импульсами на периоде. Дополнения этих областей в полосе 0 < А < а -это области существования решений системы, среди которых возможны как периодические колебания, так и непериодические траектории. Это наиболее вероятные зоны детерминированного хаоса.

Рис.1. Области существования устойчивых периодических колебаний в случае а) для а = 0,5 и в случае б) для а — 2,5. Числа внутри областей указывают количество импульсов на периоде.

В основе доказательства теорем лежит метод точечных отображений [4], Нетривиальным колебаниям периода тТ исследуемой системы управления будут соответствовать т-кратные неподвижные чки точечного отображения прямой в прямую. Поэтому вопросы гествования неподвижных точек этого отображения, их устойчи-сть либо неустойчивость будут определять динамику решений изу-мой системы: существование устойчивой т-кратной неподвиж-й точки будет соответствовать устойчивому тТ-периодическому “ебанию, т.е. порядку, а существование неустойчивой т-кратной подвижной точки будет соответствовать неустойчивому колеба-

о, т.е. возможному детерминированному хаосу.

Результаты проведенных исследований являются дополнением и бщением работ [5, 6].

Доказательство теорем 1-3. Введем обозначения ип = и(пТ), ап = <т(пТ) = ф — ип.

ение уравнения (1) с функцией </?(£), определяемой (2), имеет

вид

Отсюда выводим формулу для точечного отображения

&п+1 — }К), п — 0,1,2,

(27)

где

/М - ^ + (<гя - ^)е-“ - Л„е-“ (еа- ев^/т) . (28)

Величина гл, в соответствии с (3)-(5) вычисляется как первый положительный корень на (О, Т) уравнения уп{^п) — АПД, где

и /уя = Т, если такого корня не существует. Таким образом, Периодическим колебаниям исследуемой импульсной системы будут соответствовать ш—кратные неподвижные точки точечного отображения, (27)-(28). Нам следует отыскать необходимые и достаточные условия существования этих неподвижных точек. Так как мы исследуем решения системы (1) со свойствами выходного сигнала (2) и (8), то на периоде тпТ величина щ € (О, Т), а величины щ = У, где А; = 1,2, ...,т - 1. В соответствии с (26) выпишем элементы т-кратного цикла <7о, &1, •••, Ст-1

С учетом (29) и (3) величина щ является первым корнем уравнения

а для всех к = 1,2,т-1 и всех ь> € (О, Т) корней у уравнения (3) нет, т.е.

!/»(!') = фи + ^ (<7„ - Ф) (1 - е ""/Т) ,

(29)

0\ — Ф + ((То — 0)е~“ ” Лое-а (е® - е^) ,

О* - Ф + - Ф)е~а, (к - 2,3, ...,га),

о-™ — <7о-

(Л = 2,3, ...,т)

(30)

+ Е („0 (1 _ = Л0А, (31)

ЫИ| = \ф" + §("*- V1) (1 - е-'"77') I < Д- (32)

116

Знак первого импульса. Ао можно выбрать по знаку внешней нагрузки .ф, поэтому Хоф = IV'!- Обозначим

х = аи$/Т, у = аи/Т, Д = аД/Т.

Ясно, что х и у лежат в интервале (0, а-). После алгебраических преобразований системы уравнений (30) находим начальную точку сто искомого периодического колебания

Подставив сто в (31), поЛучим уравнение относительно х Є (0, а)

Поскольку нас интересует первый корень уравнения (31), то следует проследить за выполнением неравенства

а также условия (32), которое после подстановки а к и последующих преобразований примет вид

ж для всех к = 1,2,...,т — 1.

Требование разрешимости уравнения (33) с ограничениями (34)-(35) позволяет получить необходимые и достаточные условия су-ествования искомого колебания вида (6)-(8) для исследуемой си-емы.

Введем вспомогательные функции

.а0 = ф - А0

а также значения <т*.

6 —~ 0

У\Ф\ ~ — а — 1(1 - Г') < Д для всех у Є (0,х), (34)

у\ф\ - е(т к)а^та _61(1 - е у) < Д для всех у Є (0, а) (35)

Тогда уравнение (33) преобразуется к виду

р{х) = г(х).

Отметим два полезных в дальнейшем свойства функции р{х). Если к е (0,р(0)) и £(к) — корень уравнения (11), то для решений уравнения (36) справедливы соотношения;

р(х) < к тогда и только тогда, когда р (1п£(к)) < к, (37)

Действительно, если р(х) < к, то, в силу (36),?*(я) < ас, или в развернутой записи .

Это неравенство равносильно оценке вида х < 1п£(к), где £(к) является решением уравнения (11). Поскольку функция р(х) монотонно убывающая, то неравенство р(х) < к эквивалентно соотношению х > р~1{к). Так как функция г (о;) монотонно возрастающая, то г(х) > г(р~1(к)). С учетом (36), г(р_1(/с)) < р(х) < к. Поэтому

Свойство (37) доказано. Аналогичными рассуждениями доказывается (38), но знак неравенств меняется на противоположный.

Теперь найдем условия разрешимости уравнения (33), записанного как (36). Поскольку для всех х € (0, а) функция р(х) монотонно убывающая и неотрицательная, а функция г(х) монотонно возрастающая и один раз меняющая знак,то необходимым и достаточным условием существования решения этого уравнения на (0, а) является неравенство р(а) < г (а), которое равносильно (12).

Осталось проверить, что на решении уравнения (33) справедливы неравенства (34)-(35). Воспользовавшись обозначением для функции р(х), запишем их в виде

р(х) > к тогда и только тогда, когда р (1п£(к)) > к. (38)

;1' - к(1 - е х) < Д.

р 5(к) < 1п£(к),т.е.р(1п£(/с.)) < к.

\у- р{х)( 1 - е у)| < Д для всех г/€ (0,Х*), (39)

у — р(х)е^т~к^а(1 — е~у) < Д для всех у € (0,а),

и для всех к — 1,2,..., т — 1.

Введем функцию

и(у) = у-р(х)(1 -е.у).

Она является выпуклой, ее значения /<(0) = О н и(х) == Д. Наи-. меньшее значение она принимает в точке = 1п^(.г), равное ит;„ = Ыр(х) — р(х) + 1. Если р(х) < 1, то и (у) монотонно возрастающая, и для всех у € (0, х) выполняется неравенство 0 < и(у) < А, т.е. (39) имеет место. Если же р(х) > 1, то (39) выполняется тогда и только тогда, когда мт,-п > -Д, т.е. 1пр(а;) — р(х) + 1 > —Д, что

равносильно неравенству

\_

р(х) — 1пр(х) — 1 < Д.

Решение последнего неравенства: р(х) < Пд, где Пд решение уравнения (10). Если р(0) < Пд, то последняя оценка очевидна, в противном случае, для ее обеспечения воспользуемся (37) и найдем, что она эквивалентна неравенству р(1п£(Пд)) < Пд, или в подробной записи,

е“-Щ1д)

\ф\{вта - 1) . .

Если т — 1, то последнее неравенство, решенное относительно ф, сводится к оценке (13), и теорема 1 доказана. Для завершения доказательства теорем 2 и 3 осталось показать оценку'(40) для т > 1. Заметим, что (40) также обеспечивает выполнение и (39) для т > 1, Введем функцию

Му) = У ~ е{т~к)ар{х)( 1 - е~у),у £ (0, а).

ля всех к = 1,2, ;..,т — 1 Ук(у) выпуклые функции, г^.(0) = 0 и

ь3+1(у) > ь3(у) >,в = 1,2,...т - 2.

гому для выполнения (40) необходимо и достаточно, чтобы удо-творялись неравенства

Ут-1(а) < А, щ(у) > -А,у € (0,а)

(41)

как 1>т_1(а) — а— еар(х)( 1 — е “), то первое неравенство (41) осильно соотношению

р(х) >

асно (38) получаем оценку

ос — Д

а — А

Вычислив значение ф>«нии р * левой части, затем преобразовав

неравенство относительно ф, придем ь формуле (15) или cr -частному виду (14) для т = 2 (правое неравенстве). Таким образом, первое условие (4.1) гарантируется условиями теорем 2-3. - - ;

Теперь С ПОМОЩЬЮ производной исследуем V\(y), В точке ymin она ‘принимает минимальнее* значение, равное где

Vmi. - in Ц,ш, = 1п (р(ф'т~1}‘) -М*)»"-"* + 1-

Если ymin < а, то в.силу выпуклости V\{y) для выполнения второго неравенства в (41) необходимо и достаточно, чтобы > — А, т.е., приходим к неравенствам .

\пр(х)е^т~^а < a, p(,x)e(m"1)a-in^(a,-)e(ra”1)Q) - 1 < Д. Решения' этих неравенств

' р{х) < е{2~т)а р{х)е^1^ < Пд, '

где 11 д - решение уравнения (10). Применив (37), после вычислений, приходим к оценке (16) пли ее частному тшцу (14) для т — 2 (левое, неравенство).

В случае ут;п > а, функция v\(y) будет убывающей и для выполнения второго неравенства в (41) надо потребовать, чтобы vi(a) > —Д. Получаем

(«)

Для т — 2 неравенства (42) упрощаются к виду

. 1 , , О! + А,

1 < р(х) < —— е“ — 1

Отсюда находим оценку

А > I - а.

В силу (36),''г (ж) > 1, а значит и r(a) > 1, что записывается как оценка

А <а-1+е~а. '

Для а > 0 два полученных неравенства относительно А противоречивы. Поэтому в случае т = 2 неравенства (42) несовместны.

Для т > 2 с помощью (38),(37) и ряда выкладок приходим к тому, что неравенства (42) равносильны условию (17). Теорема 3 доказана.

Доказательство теоремы 4. Неустойчивость исследуемых тТ - периодических колебаний эквивалентна неустойчивости т - ■ кратной неподвижной точки отображения (27)-(28). Как известно [4], достаточным условием неустойчивости такой точки является неравенство

й}{ах) с?/(ат_г)

11а

Вычислим, используя #(^о)

йа

йа

■(31),

'1-А

йа

> 1

(43)

ОТ

${<7 к) с1а

V + (а о — ф)е~а,/о/Т

= е ", к = 1,2,..., гп — 1.

Если обозначить х — ащ/Т и принять Ао'Ф = ['0|, то условие неустойчивости (43) записывается в виде

1

1

101 -

> 1

(44)

Так как х - решение уравнения (33), то можно определить знак знаменателя дроби в (44).

101

еа — е*

1

-ж 1/1 . .. а: — А ех - 1 - х + А

е = 101 - 1^1—----------7 = 1#

'е* - 1

<ея

1

> 0.

есь последняя дробь положительна при всех х > 0. Поэтому ре-ние неравенства (44) относительно ф преобразуется к .виду

| -0 | <

е* - 1

а?па

+ 1

-1

+ 1

пользовавшись обозначениями (19)-(20), последнюю оценку заем как квадратное неравенство относительно ег

е2г-2 аех + Ь>$

Его-дискриминант а2 — Ь отрицателен тогда и только тогда, когда \ф\ < Ф0. т.е. в условиях (24) и (21). В противном случае, неравенство имеет решение

ех <У1 либо е* > 2/2,

где у\ и у2 определяются в (22). С помощью функции р(х) из уравнения (36) последние неравенства преобразуем к виду

! \ ^ ^ ~ У\ еа~у2

р(х) > Г-——‘------гг . либо р(х) <

к ’ |</’|(е,,ш - 1) ■ '

Польз] емся (38)-(37), находим

\ф\(ета - 1)'

еа - ух

е" - у-2

>

<

е" - Ух

|0|(е,по - 1)’

|ч/»|(ета - .1) ) " \ф\ (е,па — 1)’

где £(•) - соответствующие решения уравнения (11). Упростим эти неравенства, вычислив значения функции р(-). Получим

' е - ух

.Ж(ет*-1),

< ух либо £

е° - У2 |'0!(ета -1).

> У2-

Поскольку правая часть (11) монотонно возрастает в области положительных значений функции, то можно перейти к равносильным неравенствам, вычислив значения этой монотоной функции.

А < С(ух) либо А > С(У2),

при этом С(у) определяется (23). Следовательно, пришли к услови (24), которое гарантирует неустойчивость колебания (6)-(8).

Достаточным условием устойчивости колебания (б)-(8) являе неравенство

Л/(ах) #(сг^_1)

<1,

йа с1,а с1а

равносильное квадратному неравенству относительно ел

е21 - 2ае* + Ъ < 0.

122

Последнее имеет место при условии (25), в чем нетрудно убедиться с помощью выше приведенных рассуждений, но с заменой знаков неравенств на противоположные. Теорема 4 доказана.

Обсуждение результата.

Доказанные теоремы дают разбиение плоскости (ф; аА/Тф) параметров одномерной интегральной широтно-импульсной системы управления на области, в которых возможны устойчивые периодические колебания, и области, где наблюдается хаотическое поведение решений системы. Если сравнить с работой [2],где предложено достаточное условие существования Т - периодического колебания в виде \ф\ > 0.1а2/А, то теорема 1 дает полное описание области существования нетривиального колебания, включающее и это подмножество. Выполнение условий теоремы 3 для га == 3 позволяет сделать вывод о наличии детерминированного хаоса [4] в исследуемой системе с ИШИМ, т.е. ’’цикл три рождает хаос”.

Зоны существования устойчивых либо неустойчивых периодических колебаний легко строятся, но с помощью вычислительной техники, так как условия (13)-(18) предполагают необходимость решения неявных уравнений от одной4 переменной. Условия устойчивости содержат явную зависимость переменной А из (9) от внешней нагрузки ф. Эксперименты показывают, что при любых а > 0 и любом заданном числе га импульсов на периоде область существования искомых колебаний определяется, но для га > 4, как правило, это область неустойчивости.

Таким образом,регистрация хаоса в системах с ИШИМ вполне возможна и нельзя утверждать, как это делается в [1], что интегральные широтно-импульсной системы управления ведут себя как непрерывные системы при малых периодах модуляции.

Литература

1. Гелиг А. X., Чу рилов А. Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. С.-Петерб. ун-т, С.-Петербург, 1993.268с.

2. Ерихов М. М., Островский М. Я. Достаточные условия

существования Т-периодических режимов в системах с ’’ли-

нейной” интегральной широтно-импульсной модуляцией.// Автоматика и телемеханика. 1987.№9.С.26-30.

3. Кипнис М. М. Хаотические явления в детерминированной широтно-импульсной системе управления// Техническая

■ ■ кибернетика, 1992‘.№1.С. 108-112.

4. Шарковский А. Нм Коляда С. Ф., Сивак А. Г., Фе-

доренко В. 'В„- Динамика одномерных отображений. Киев: Наук, думка, 1989. .

5. Антонова Н. А. Существование периодических режимов в системах с интегральной широтно-импульсной модуляцией// Автоматика и телемеханика. 1979.№7.С. 175-181.

6. Антонова Н. А. Хаос и порядок в широтно-импульсных системах управления//Вестник Сыктывкар, ун-та. Сер.1. Вып.1. 1995.С.111-119.

Summary

Antorfova N. A. Chaos and order in an integral pulse-width control systems

Nesessary and sufficient conditions are obtained for existence and instability of mT-periodic oscillations in control systems employing the integral pulse-width modulation.

Сыктывкарский университет Поступила 28.01.96 .