Однотактовые колебания в линейных интегральных широтно-импульсных системах управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1 .Вып.4-2001

УДК 681.511.4

Однотактовые колебания в линейных интегральных

ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

Н.А. Антонова

Получены необходимые и достаточные условия для существования и нестабильности периодических колебаний с одним импульсом на периоде в системах управления с линейным инте-гральным широтно-импульсным модулятором.

В данной работе исследуется задача существования и устойчивости периодических колебаний в линейных интегральных широтно - импульсных системах управления с модуляцией переднего либо заднего фронта импульса и постоянным внешним возмущением. Эта задача решалась в [1], где были получены достаточные условия существования и устойчивости вынужденных периодических колебаний с произвольным числом импульсов на периоде. Но эти условия мало зависят от свойств широтно - импульсных модуляторов, практически неэффективны для систем первого порядка и, следовательно, далеки от необходимых. В данйой работе для одномерных систем управления приводится аналитическое описание областей в пространстве параметров системы, где существуют как устойчивые, так и неустойчивые периодические колебания с одним импульсом на периоде.

1. Описание системы.

Одномерная линейная интегральная широтно-импульсная система управления описывается уравнением вида

Т^ + и = * = Ф-и. (1)

Здесь Т\ - положительная постоянная времени управляемого объекта, II - состояние системы управления, у? - сигнал на выходе импульсного

••элемента, <7 - ошибка управления объектом, с - постоянное внешнее воздействие на систему. Рассматриваются следующие виды широтно-импульсного управления:

а) В случае модуляции переднего фронта импульса в линейном, интегральном широтно-импульсном модуляторе (.111 111IIM I) выход модулятора определяется как кусочно-постоянная функция вида

_ Г 0, пТ < I < пТ + ;/п ,9

пТ + //„ <i < (?) + 1)Т'. (п = 0, 1,2—). l“j

Здесь Т > 0. а величины i/n, А„ находятся следующим образом. Если |<т(п7')| < Y' то уп будет первым положительным корнем уравнения

Г 1у \

I J <7(пТ + t)(H | = —1У{ 1 - '-) (3)

II

А„ = sign j a(nT + 1)d1. ( :1)

./о

в противном случае и„ = 0 и А„ = signcr(n7 ).

б) В случае модуляции заднего фронта импульса в линейном интегральном широтно-импульсном модуляторе (ЛПШИМ-II) выход у? модулятора имеет вид

Здесь

А„, пТ < t < пТ + ип

0, пТ + //„ </<(/) + ! )Т. (п — 0, 1. 2....).

An = sign а(пТ). (6)

Величина 1/п определяется по следующему правил}-. Если а(пТ) ф 0, то ип вычисляется как минимальный на (0, Г) корень уравнения

11 а(пТ + *)<Й| = Д(^)2, (7)

если такого корня нет, то полагают ип = Т. Если а(пТ) — 0, то //„ = 0.

Введем в рассмотрение величин}7 о = - параметр, связывающий

характеристики непрерывной линейной части сис темы и импульсного элемента.

2. Формулировка результатов.

Будем исследовать Т— периодические решения уравнения (1), для которых

Среди периодических решений выделим тривиальные периодические колебания, для которых

т.е. колебания с насыщенными импульсами, и простейшие нетривиальные колебания, для которых

т.е. колебания с ненасыщенными импульсами.

Нас будут интересовать условия на параметры системы Г, а, ?/’, Д, при которых искомые колебания реализуются.

Для одномерных систем управления с модуляцией переднего фронта импульса в линейном интегральном широтно-импульсном модуляторе справедлива следующая теорема.

Теорема 1 (ЛИШИМ-1). 1. Тривиальное Т—периодическое колебание существует тогда и только тогда, когда

2. Простейшее нетривиальное Т— периодическое колебание суще-

+ Т) = а{1) для всех 1 > 0,

^ + Т) = ^>(0 для всех I; > 0.

(8)

(9)

^>(1) = сопМ, для всех £ > 0,

(10)

(/?(£) ф сопМ, для всех /, > 0,

(И)

д

(12)

сгпвуетп т.огда и только тогда, когда точка ( ф: ^) является внутреннего точкой области, ограниченной линиями

и кривой, зада,иной в параметрическом виде,

0 < г < 1,

(14)

где £ - корень уравнения

(1-2т +-1пОЬ£ = 1 - 7, £ > 1,

а £

В случае одномерных систем управления с модуляцией заднего фронта импульса, в линейном интегральном широтно-импульсном модуляторе имеет место следующее утверждение.

Теорема 2 (ЛИШЙМ-И).

1. Тривиальное Т—периодическое колебание существует, тогда и только тогда, когда,

И>| + 1- (16)

2. Простейшее нетривиальное 'Г—периодическое колебание существует тогда и только тогда, когда

к’| < -ут + 1- (17)

Теперь сформулируем условия устойчивости Г—периодических ко-

лебаний одномерных систем управления с модуляцией переднего либо заднего фронтов импульса в линейном интегральном широт ио-импульсном модуляторе.

Пусть Я'1 - корень на (0; а) уравнения

I Д Л мох

+ —.Г. (18)

е" — 1 Т аТ

а .г 2 - корень на (0: а) уравнения

—7—Г = ~—Т 1^’1 ~ т + ~г'7')' ^ ^

ел — 1 е“ — 1 1 о I

Теорема 3 (ЛИШИМ-1).

1. Тривиальное Т—периодическое колебание устойчиво.

2. Простейшее нетривиальное Т—периодическое колебание устойчиво. если выполняется условие

+ ,»)

Простейшее нетривиальное Т—периодическое колебание неустой-

чиво. если справедливо неравенство

+ + (21)

где | и .т-2 - решения уравнений (18) и (19) соответственно.

Пу сть .?’! - корнь на (0; а) уравнения

х — ^ д

7ГГГ = 1-И + 5г*. <22>

а. .г2 - корнь на (0;а) уравнения

= С23)

е1' — 1 е — 1 а!

Теорема 4 (ЛИШИМ-И)

1. Тривиальное Т—периодическое колебание устойчиво.

2. Простейшее нетривиальное Т—периодическое колебание устойчиво. если выполняется неравенство

е-1’2 — ] А А г 1

а ^ ~тг,х1 + (1 - 1'/’| Н——- г)- (24)

еа + 1 а1 а1 е-4 — 1

Простейшее нетривиальное Т—периодическое колебание неустойчиво, если справедливо неравенство

__ I А А

^-Т>^2 + (1-№1 + ^2)(]-—^-г), (25)

е° + 1 о / а1 е12 — 1

где .Т1 и .г2 - решения уравнений (22) и (23) соот.вет.ственно.

3. Доказательства

3.1. Доказательство теоремы 1. Введем обозначения ип = и(пТ), ап = о'(п'Т) — ф — ип. Для систем с ЛИШИМ-1 решение уравнения (1) с функцией <рЦ), определяемой (2), примет вид

гп Г 4- - / У + (а<1 ~ если 1 е [°1 "п],

{ ф + (ап - ф)е~а^т - Дп[1 - е~°'(г-1')/г], если г € Т].

(26)

Очевидна формула для одномерного отображения [2]

<7„+| = /(<т„). /(<х„) = Ф + К - Ф)е-а - А[1 - е-о(1-Уг)]. (27)

Вычисляем

/ <т(пТ + <)с?£ = иФ + — (ап — (/’)(! — е~шу/т).

/о а • •

Величина г/п в соответствии с (3) определяется следующим правилом. Т'

Если \сгп | < ф. то ип - первый положительный корень уравнения

и из (4)

Т гг

\п = sign [іупф + —{<тп - Ф){ 1-е )

а

Если |(Т„| > то vn = 0 и An = signcTj,.

Г — периодическим колебаниям исследуемой: системы с ЛІПНИМ-

І будут соответствовать неподвижные точки точечного отображения

(27). т.е. решения уравнения ст* = /(а»), пли в развернутой записи

= <7*е_а + ■</>(і - е-") - A(i -

После некоторых преобразований это уравнение сводится к виду

Рг> _ е«‘'*/г

а = ф — А----------------. (29)

еа - I

Величина v, является ненулевым решением уравнения

Т1 Л

\і'*ф + —((Т. - </-)(! - е"Л1/*/г)| = —//»(! - тг), (30)

а 1 J

и А принимает значение

А = sign[iv0 + —{гг, - ф)(1 - e_ot/*/r)]. (31)

а

В случае тривиального Т—периодического колебания |сг„| > ф.

//„ = 0, А = signa*. Тогда для начального значения а, = ф — А при всех п будем иметь <7,l+i = оп. Так как |а»| = А<7, = Хф — 1. необходимым и достаточным условием существования тривиального Г—периодического колебания будет требование Аф — 1 > ф, которое равносильно неравенству (12).

В случае простейшего нетривиального Г—периодического колебания подставим (29) в уравнение (30) и, учитывая (31), получим уравнение

cv _ раи,/Т і _ -пи,/Т \

' ' М = -(^-1). (32)

е“-1 а^/Т ТКТ

Здесь в левой части уравнения стоит монотонно убывающая функция */„, а в правой монотонно возрастающая. Следователь!го, уравнение имеет единственное решение г/* € (0,Г) в том и только том случае, когда |?/'|(1 - |г/>| + ф) > 0, т.е. 0 < ]ф| < 1 + ф. Границами ^той области являются линии (13).

На простейшем нетривиальном колебании |сг*| < фиг/* должно быть первым положительным корнем уравнения (28), поэтому необходимо проверить выполнение неравенств

е° _ еа^«/7’

1

<

1

ау /Т

101

Г’

Аи < Т^Т ^

(33)

(34)

для всех V £ (0,1/,).

Анализ неравенств (33) и (34) с учетом уравнения (32) позволяет заключить, что эти неравенства равносильны условию

_ раи,/Т

е" - 1

Уравнение (32) и неравенство (35) перепишем в виде еа _ еа1/*/Т

(35)

________________п., | ^ , ^1\

еа - 1 1 Т Тг

е“ — е“1/*^:г . . Д

е« —1 <М+г-

Правая часть уравнения монотонно возрастающая функция от г/*. Поэтому существует единственный корень уравнения

аи/Т

Д Дгл Д

-(101 “ у + у?) ^ 101 + у-

1 - е-°“'/т

Обозначим этот корень к. Тогда неравенство

а» _ р<»к/Т

д

1 < \1>\ + у

(36)

необходимо и достаточно для выполнения (35), где г/, - решение (32). Если ввести £ = е“«/т, то £ будет корнем уравнения

1п£ Д Д ... Д

1 - 1/£^1 ~ уГ + ^ пО - 101 + тр

Введение параметра т = позволяет последнее уравнение свести

к виду

(1 — 2т + — 1п£)1п£ = 1 — > 1. (37)

а £

[

Следовательно, границей области (36) будет линия, параметрические уравнения которой

е° — f А еа — £

= Т=т^7’ г€(0’1)’

где £ - корень уравнения (37). Это совпадает с (14) и (15). Теорема 1 доказана.

3.2. Доказательство теоремы 2. Для систем с ЛИШИМ-Н решение уравнения (1) с функцией <p(t), определяемой (2), примет вид

n(r>T+t\ = / 0 + (^ - Ф)е~ы/Т - А„[1 - е-/г если t <Е [0, !/п],

1 ’ \ ф + (<гп - ф)е-аг'т - Ап[е-а(<-")/т - е-“‘/г], если t е К, Г].

(38)

Значение \п определяется по формулам: An = signer^, если сгп ф О,

Хп = 0, если ап = 0.

Вычисляем

/ а(пТ + t)dt = и(ф - А„) + —(ап - ф + А„)(1 - e~av)IT).

Jo а

Выводим формулу для одномерного отображения [2]

ап+\ = f(<rn), /Ы = Ф + (оп - ф)е~а - \пе~а(еа,/п/т - 1). (39)

Величина vn в соответствии с (7) определяется следующим правилом. Если |сгп| = 0, то vn = 0. Если |<тп| > 0, то ип - минимальный на (0; Т) корень уравнения

\и{ф - А„) + — (<7П - ф + А„)(1 - е~аи1Т)\ = (40)

Q 1 i

В случае отсутствия корня полагаем vn — Т.

Т—периодическим колебаниям исследуемой системы с ЛИШИМ-

II будут соответствовать неподвижные точки точечного отображения (39), т.е. решения уравнения сг* = /(<т»), или после преобразований

eai/,/T _ j

а^ф- (41)

Величина А = signer», а и* является ненулевым решением уравнения

Т , р^./Т _ 1 Д..2

ИФ - Л) + -(1 - е-"^)(Л - Л еа_1 )| = —. (42)

Для тривиального Т—периодического колебания ип = Т для всех п и <т» = ф — А. Поэтому уравнение (42) упрощается к виду

Иф - А)| =

Поскольку |сг*| = Хф — 1, то Л-0 — 1 > 0 и \ф = \ф\. Следовательно, необходимым и достаточным условием отсутствия корня последнего уравнения на (О, Т) является требование \ф\ — 1 > т.е. неравенство (16).

В случае простейшего нетривиального Г—периодического колебания из (42) получим уравнение

I __ е-о*)/Т еа _ ес,./Т

(|0| - 1) +

аг/)/Т еа — 1

В правой части этого уравнения стоит монотонно убывающая по аргументу и функция. Поэтому V = г/, единственный корень уравнения, если он существует. А существование этого корня определяется уравнением

! _ е-о«/.)/Т еа _ е«"./Т Д^*

(\ф -1) Н--------77^ - : (44)

ар*/! еа — 1 1 1

Левая часть уравнения функция монотонно убывающая, а правая часть

- монотонно возрастающая функция. Поэтому необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения на (О, Т) является неравенство |0| — 1 < которое совпадает с (17). Теорема 2 доказана.

8.3. Доказательство теоремы 3. Для доказательства устойчивости искомого колебания достаточно показать устойчивость неподвижной точки <т». Для этого следует проверить неравенство \(1$/<1а\ < 1 для <т = сг», где /(сг) из (27). В случае тривиального Т—периодического колебания \\й//й(т\ — е~а < 1. Поэтому тривиальное Г—периодическое колебание устойчиво.

Для простейшего нетривиального Т—периодического колебания вычислим

СИ 1 <1и , ,

Обозначим V = ¥■. Дифференцируя (28), получаем

Отсюда находим и и подставляем его в (45), получаем неравенство

еаи,/Т _ Х

е~“

1

Хф - ^(1 - ^)

< 1.

Так как /'* является решением уравнения (32) и Хф = \ф\, несложные преобразования приводят к неравенству

еа^»/Т _ |

1_е < 1-А1 - # + ^ ~ I + ¥) +1'

В силу уравнения (32) знаменатель последней дроби оценивается снизу величиной

Д ( Дг/*^п ои'^/Т ^ 1 А и* ^ Д^*

- — + —)( - ^т^у) +-^->-у--

Следовательно, условие устойчивости сводится к проверке неравенства

ех — 1 Да: .. Д Дхч/ х .

?ТТ<^ + (№1-7 + ^)(1-?ГТ), (47)

в котором используется обозначение х = аищ/Т. Уравнение (32) перепишем в виде

еа~х - 1 х Д Д

-гтгг = е— - т + *гх)-

Легко заметить, что величины х\ и ж2, корни- уравнений (18) и (19) соответственно, являются нижней и верхней оценками корня х последнего уравнения. Так как левая и правая части неравенства (47) монотоно растут по х, требование (20) является достаточным условием для выполнения (47) в точке х, т.е.условием устойчивости исследуемого колебания.

Доказательство неустойчивости нетривиального Т—периодического колебания проводится аналогичными рассуждениями, только знак неравенства нужно сменить на противоположный. Мы получим, что требование |о?//с1сг\ > 1 для <7 = сг* обеспечивается условием (21). Теорема

3 доказана.

3.4. Доказательство теоремы 4. В случае тривиального колебания \<$/а\ = е~а < 1- Поэтому тривиальное Г—периодическое колебание устойчиво.

Для простейшего нетривиального Г—периодического колебания вычислим из (39)

Я - -~«(Л _ \ (ЛЯ\

Обозначим V — Дифференцируя (40), получаем

,/(,/, _ Л) + е-^*/т((7, - ф + Х)и + —(1 - е-“^/г) = хЦ^-и. (49)

а 1 *

Отсюда находим V и подставляем его в (48), получаем неравенство

е“"*/т - 1

е-“

1 -

< 1.

Обозначение х = аг/./Г и несложные преобразования приводят к неравенству

е"1'*/7 - 1

2 Ді/«

Использование уравнения (43) позволяет переписать это неравенство в равносильном виде

ег - 1 Ах Ах..л х

< + (і _ |^| + ——)(1 - ——-). (50)

е" + 1 ®Т аТ

Уравнение (44) запишем в виде

а-х _ і х Д

-(1-101 + ^х).

ес/ _ 1 &х __ } аТ

Величины XI и Х2, корни уравнений (22) и (23) соответственно, являются нижней и верхней оценками корйя х последнего уравнения. Так как левая и правая части неравенства (50) монотоно растут по х, то требование (24) является достаточным условием для выполнения (50) в точке х, т.е. условием устойчивости исследуемого колебания.

Доказательство неустойчивости нетривиального Г—периодического колебания проводится аналогичными рассуждениями, только знак неравенства нужно сменить на противоположный. Мы получим, что требование /йа\ > 1 для а = о* обеспечивается условием (25). Теорема

4 доказана.

4. Обсуждение результата.

Доказанные теоремы дают разбиение области параметров а, Т, Д,0 одномерной линейной интегральной широтно-импульсной системы управления на области, в которых возможны устойчивые либо неустойчивые Т—периодические колебания, и области, где таких колебаний нет.

В теоремах 1 и 2 приводится аналитическое описание областей существования однотактовых колебаний. Оказывается, что в системах с ЛИШИМ-1 есть область в пространстве параметров системы, в которой Т— периодические колебания отсутствуют. В системах с ЛИШИМ-Н подобное явление не наблюдается. В теоремах 3 и 4 сформулированы достаточные условия устойчивости и неустойчивости простейших нетривиальных Г—периодических колебаний. При малых значениях параметра а эти условия близки к необходимым. В основе доказательства теорем лежит метод точечных отображений [2]. Нетривиальным колебаниям периода Т исследуемой системы управления будут соответствовать неподвижные точки точечного отображения прямой в прямую. Поэтому вопросы существования неподвижных точек этого отображения, их устойчивость либо неустойчивость определяют динамику решений изучаемой системы: существование устойчивой неподвижной точки будет соответствовать устойчивому Т—периодическому колебанию, т.е. порядку, а существование неустойчивой неподвижной точки будет соответствовать неустойчивому колебанию, т.е. возможному детерминированному хаосу. Зоны существования устойчивых либо неустойчивых периодических колебаний легко строятся с помощью вычислительной техники, так как условия (14)-( 15) и (18)-(23) предполагают необходимость решения неявных уравнений от одной переменной.

Литература

1. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: изд-во СПбГУ, 1993. 268с.

2. Шарковский А.,Н., Коляда С.,Ф., Сивак А.,Г., Федоренко В.,В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наук, думка, 1989.

Summary

Antonova N.A. T-periodic modes in linear integral pulse-width modulated control systems

Nesessary and sufficient conditions are obtained for existence and nonstability of Г-periodic modes in control systems employing linear integral pulse-width modulation.

Сыктывкарский университет

Поступила 11.10.2000