CC BY
10Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып. 5.2003
УДК 681.511.4 .
Динамика двумерных широтно-импульсных систем
УПРАВЛЕНИЯ
H.A. Антонова
Для импульсных систем управления второго порядка с широтно-импульсным модулятором первого рода получены необходимые и достаточные условия существования периодических колебаний с одним, двумя или тремя импульсами на периоде.
В данной работе исследуется задача существования периодических колебаний в широтно-импульсных системах управления второго порядка с широтной модуляцией заднего фронта импульса и постоянным внешним возмущением. Ранее задача решалась в [1], где для систем произвольного порядка были получены достаточные условия существования и устойчивости вынужденных периодических колебаний с наперед заданным числом импульсов на периоде. Но эти условия неэффективны для систем первого и второго порядков. В [2,3] с помощью вычислительных экспериментов была исследована одномерная система и выяснилось, что она может обладать множеством периодических решений , сколь бы велика не была частота импульсации. В [3] сформулированы и доказаны аналитические условия существования периодических колебаний в таких системах.
В данной статье для двумерных систем управления приводится аналитическое описание областей в пространстве параметров системы, где существуют устойчивые периодические колебания одним, двумя или тремя импульсами на периоде.
©. Антонова H.A., 2003.
1. Описание системы.
Двумерная широтно-импульсная система управления описывается уравнением вида
1 cPU , 1 1 dU . тт _
aia2 at2 af ■ a2 at ■ ;
Здесь a2,ai - положительные постоянные времени управляемого объекта, a2 > Q!i > О, U - состояние системы управления, <р - сигнал на выходе импульсного элемента, а - ошибка управления объектом, ф -постоянное внешнее воздействие на систему.
Рассматривается широтно-импульсная модуляция первого рода, для которой выход <р модулятора определяется как кусочно-постоянная функция вида
m(i\ - ! siSn a(nT)i пТ < * < пТ + тп, > m
~ { • • пТ + тп< t < (п + 1)Т, п — О* 1,2,... { )
Здесь
тп = Г;тт{ИпГ)|/<т.;1}, ' (3)
ег« - порог насыщения импульсного элемента, Т - период модуляции импульсного элемента.
2. Формулировка результатов.
Пусть т— заданное натуральное число. Будем исследовать тТ— периодические решения уравнения (1), для которых
cr(t + mT) — cr(t) для всех t > 0, (4)
(f(t. i- mT) = !f(t.) для всех t > 0. : (5)
Среди периодических решений выделим многотактные релейные периодические (МРП) режимы с насыщенными импульсами, для которых
<p(t) ф 0, для всех t е [0, mT], (6)
и простейшие нетривиальные колебания, для которых
<p{t) ф 0, t € [0, г]; <p(t) = 0, t € (г; Г); \p(t) ф 0, t € '[Г, mT]; (7)
при этом все значения сг(кТ), к = 3,4,..., m одного знака.
Здесь т € (0, Г) - длительность первого ненасыщенного импульса, а остальные импульсы на периоде являются насыщенными. Известно,
что все МРП режимы в системах с ШИМ-1 устойчивые в малом. Нас интересуют условия тта параметры системы си, аг, 0,Т, 0"», при которых колебание с заданным числом импульсов реализуется. Теорема 1 (гп = 1).
1. Устойчивый однотактный релейный периодический режим су-
члесгпвует тогда и только тогда, когда
\Ф\ > <т, + 1. (8)
2. Простейшее нетривиальное Т— периодическое колебание существует тогда и только тогда, когда
О < \р\ < о* -f 1. (9)
Теорема 2(гп = 2).
Устойчивый 2—тактный релейный периодический режим существует тогда и только тогда, когда
а\ а2 ( с:У'Т - L _ е^7 - 1 \ _
Теорема 3(га = 3). Устойчивый 3—тактный релейный периодический режим существует тогда и только тогда, когда
I + (Г, -- 2ГП!Г1 fК'2, К3) < \ф\ < 1 - 2к, - <7*. (11)
где
Q 1 «2
=-(_!___!__)
о2-01 \0|(еь'т + еа'т + 1) a2(e2a*T + еа*Т + \))
pOl Т а2Т \
К->
«3
а 1 q 2
а2 - О] уа^е20!7 + ea>T + 1) a2(e2a*T + еа*т + 1)
ata2 / c2°lT e2ajT
У
пУ
а2 - ах \сн(е2°1т + еа'т + 1) а2(е2а*т + еа*т +
Выводы теоремы 1 оказались такими же, как в [4], но здесь исследуется система второго порядка, а в [4] изучалась система управления первого порядка. Теоремы 2 и 3 дают аналитическое описание областей существования устойчивых периодических колебаний с двумя и тремя импульсами на периоде. Поскольку "цикл три рождает хаос", то в изучаемой системе возможны колебания с любым числом импульсов на периоде. Вычислительные эксперименты подтверждают это предположение, но аналитическое описание областей существования периодических колебаний с числом импульсов на периоде больше трех получить в явном виде пока не удается.
3. Доказательства 3.1. Вывод основных формул
•Я- <м — <ч -»и —__
л
Стандартной заменой переменной V = и, г» = % уравнение (1) све-
дем системе двух уравнений
¿V ¿11) '
— = го, —-■ = -(ах + а2)гу - аха2ь + оца21р. аъ аъ
Характеристическое уравнение левой части уравнения (1) имеет вещественные корни — и — а2, поэтому заменой пременной
х = ги + а2и, у = гл + о.\У
последняя система дифференциальных уравнений преобразуется к системе уравнений вида
с[х с1у х — у
— = -ос^х + ага2(р, -у-= - а2у + аха2(р, а = ф---. (12)
(1.1 ш а2 — «1
Введем обозначения
хп = х(пТ), уп = у(пТ), <тп = <т(пТ), \п = з1§пст(пТ).
Решение системы линейных уравнений (12) с функцией определяемой (2), позволяет получить рекуррентные соотношения
= еио,1Т-[хп + Какё011^ -1)], У»+1 '= е"а2Т[уп -Ь Аггаг(еа2Т" -1)]. (13)
ПрИЭТОМ" ............ * г \ -
= ^^^ = 0,1,2,3,.,. (14)
а2 — аг
Величина тп определяется в соответствии с (3) по формуле ^ ^ ' ^ = Т-т1}, • - ' • (15)
3.2. Доказательство теоремы 1. Периодическим колебанием периода Т может быть однотактный релейный периодический режим либо простейшее нетривиальное Т- периодическое колебание. Начальную точку такого колебания определить нетрудно. Полагаем в формуле (13) значения а>„ = х, = у, \п = Л для всех п, получаем
е°1Т — 1 еа2Т — 1
ж = Ла2е°'Г_1' ^ = Ла1еа2т_1- (16)
Подставив это в (14), приходим к выражению для модуля начальной ошибки управления объектом <т в виде
II ч/ а1а2 ( еа1Т — 1 еа»т-1 \ .
В правой части (17) стоит монотонно убывающая функция аргумента г на отрезке [О, Т]. Это легко проверяется с помощью производной этой функции при условии «2 > «1 > 0. Наибольшее значение функции Аф, а наименьшее - (Хф — 1). Поскольку в левой части (17) стоит неотрицательная величина, то необходимо выбрать А = sign^>. Подставляем (17) в формулу (15), приходим к уравнению для определения длительности импульса г простейшего нетривиального Т- периодического колебания
1/1 ( еа1Т~1 е°2Т-1 \ Пяч
ТТ т а2 - ах \ах(е^т - 1) а2(е^т _ I)) ' ^
Левая часть этого уравнения монотонно возрастает, а правая часть монотонно убывает по аргументу т на отрезке [0, Г]. Следовательно, необходимым и достаточным условием существования решения уравнения (18) на интервале (0,Т) являются неравенства \ф\ > 0 и <х» > \ф\ — 1, эквивалентные условию (9). Определив корень уравнения (18), подставим его в (16), найдем начальные условия для простейшего нетривиального Т- периодического колебания.
Неравенство <т» < \ф\ — 1 влечет к отсутствию решения уравнения (18) на интервале (0,Т), поэтому из (15) заключаем, что длительность импульса т = Т. Из (16) находим начальные условия х = а^'щпф, и у = alsigш/^ отвечающие за однотактный релейный периодический режим. Теорема 1 доказана.
3.3. Доказательство теоремы 2. Для двухтактного релейного периодического режима все импульсы на периоде являются насыщенными, т.е. т„ = Т. Знаки импульсов будут чередоваться
А2п+1 = А, А2п = —А, п = 0,1,2,...
Значения сигналов х и у будут периодическими с периодом 2Т. Можно считать
Х2п+1 = У2п+1 = У1, Х2п = Х2, У2п = У2, П = 0, 1, 2, 3, .... Из рекуррентных соотношений (13) находим
Х2 = е-а1Т[хх + Аа2(е*'т - 1)], у2 = е""^ + Аах(е1Г - 1)],
- = е~^т[х2 - Ха2(е^т - 1)], ух = е^т[у2 - Ха^'1 - 1)].
Решение этой системы уравнений относительно у^ х2, уг имеет вид
е°чТ _ 1 е<*2т _ I
е«!^ _ \ еа2Т — 1
х2 = Ха2 т , у2 = Лах- _ . е"*1-' + -1 еа^ + 1
Для исследуемого колебания из (15) вытекают неравенства
с» <7*
Заменяя х?\ и <т2 по формуле (14), Приходим к неравенствам
Хф + / еа'т — 1 _ е°2Т — 1 \ > ^
а2 - О! \0!(еа1т + 1) а2{еа*т + \)) ~
_д , агаа / еа'г - 1 _ е°*г - 1 \ > ^ а2 - «1 уа^е«!7 + 1) а2(еа*т + 1)) ~
Считаем Л = ъ'щпф, тогда последние два неравенства легко преобразуются к виду (10).
Начальное условие для двухтактного релейного периодического режима определяется парой ¿1, уг из уравнения (19). Теорема 2 доказана.
3.4. Доказательство теоремы 3. Для трехтактного релейного периодического режима все импульсы на периоде являются насыщенными, т.е. тп = Т. Знаки импульсов будут чередоваться в цикле три, т.е.
^Зп+1 = ^Зп+2 = А, Л3п = —А, п = 0,1,2,...
Значения сигналов х и у будут периодическими с периодом 3Т. Можно считать
ЯЗп+1 = XI, УЗп+1 = 1/1, ^Зп+2 = х2, Узп+2 = 2/2,
Хзп = хз, Узп = Уз, П = 0,1,2,3,.... Из рекуррентных соотношений (13) находим
х2 = е-а1Т[х1 + Аа2(ев1Т - 1)],у2 = е~^т[У1 + Ас^е'7 - 1)],
х3 = е"а1Г[х2 + Ха2(е^т - 1 )},у3 = е~а2Т[у2 + Ха,(е1Т- 1)].
x1 = e-aiT[x3-Xa2(e^T-l)ly1=e-^T[y3-Xa1(elT-l)}.
Решение этой системы уравнений относительно хх, yi, х2, у2, ^з, Уз имеет вид
1 + еа«т - e2aiT 1 + еа2Т - е2в2Т
«^^l+e-ir+eaatT. ^ = + (2°}
1 _ e°iт + e2aiT 1 - ёа2Т + е2с"2Т
*2 = Аа21+е^ + е2^' У2 = Aail+e^ + e2^'
-14- eQl7 -f e2aiT . -1 + е«2Г + е2«*7
®з = Аоа г +eeiT + etelT , уз = Aqi 1+eQ2T + e2a2T •
Для исследуемого колебания из (15) вытекают неравенства
<7« С* (7,
Заменяя сгх, <т2, и сг3 по формуле (14), приходим к неравенствам aia2 / 1 + eQ'T - е2а'г 1 + е'г - e2azT Л ^
ах<*2 / 1 - eaiT + е2а'г 1 - elT + е2а2Т -Л
У ~ а2 - ах \ai(l + e2aiT) _ а2(1 + ea*T + е2«2Т)) ~
aia2 / -l + ea'T + e2aiT -1 + elT + е^аТ V ' 7- Т + ol2 - ai \ati(l + е°чт + ~ а3(1 + е°2Т + е2°2Т)/ ~ Пользуясь обозначениями «х, /с2, к3, из формулировки теоремы 3, неравенства преобразуем к виду
Хф — кх — к2 + к3> ov, >
Хф - Ki + к2 - «з > <t*,
— Хф — «х + К2 + К3 > (Т..
Так как имеет место соотношение
«1 + /с2 + «з = 1) то последние три неравенства преобразуем к виду
Хф > 1 + «г* — 2«з, А^ > 1 + <т» — 2/с2, Хф < 1 — a, — 2/ci.
Если положить А = sign^, то приходим к неравенствам (11).
Начальное условие для трехтактного релейного периодического режима определяется значениями хг, ух из (20). Теорема 3 доказана.
Литература
1. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1993. 268 с.
2. Кипнис М.М. Символическая и хаотическая динамика ши-ротно- импульсных систем управления//Докл. РАН. 1992. Т.824-№2i С. 2J8-276.
3. Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной одномерной широтно-импульсной системе управления / / Из в. РАН. Техн. кибернетика. 1992. №1. С. 108-112.
4. Антонова Н.А. Динамика одномерных широтно-импульсных систем управления//Вестник Сыктывкарск. ун-та. Сер.1: мат., мех., инф: 1999. Вып.З. С. 127-144.
Summary"
Antonova N.A. Dynamics of two demensional pulse-width modulated control systems
Nesessary and sufficient conditions are obtained for existence of mT -periodic modes (m=l,2,3) in two dimensional control systems employing pulse-width modulation of the first kind.
Сыктывкарский университет
Поступила 30.09.2003
